第17讲 三角恒等变换-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

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第17讲 三角恒等变换       【学习目标】1. 经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义2.能从两角差的余弦公式推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系3.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）         【基础知识】一、两角和与差的三角函数公式1.两角和与差的余弦公式2.两角和与差的正弦公式3.两角和与差的正切公式 4.两角和与差的正切公式的变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；二、二倍角的三角函数1. 二倍角的正弦、余弦、正切公式2.二倍角公式的变形形式(1)(sinα±cosα)2＝1±sin2α；(2)cos2α＝；(3)sin2α＝.3．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：(1)sin2α＝2sinαcosα＝＝，即sin2α＝.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，即cos2α＝.4.半角公式三、积化和差与和差化积公式1.积化和差公式sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．2.和差化积公式sinα＋sinβ＝2sincos.sinα－sinβ＝2cossin.cosα＋cosβ＝2coscos.cosα－cosβ＝－2sinsin.四、辅助角公式辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ).其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝确定或由sinφ＝和cosφ＝共同确定．【考点剖析】考点一：给角求值例1．（2021-2022学年四川省成都市蓉城名校联盟学高一下学期期中）（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为sin(59°+61°)=sin(120°)=sin(180°-60°)=sin60°=.故选D.考点二：给值求值例2．（2021-2022学年山东省名校（历城二中、章丘四中等校）高一下学期5月联考）若，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为＝＝＝. 故选B.考点三：给值求角例3．（2021-2022学年江苏省苏州高新区第一中学高一下学期期中）设，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，且，所以，则，故选A．考点四：辅助角公式的应用例4．（2021-2022学年陕西省安康中学高一上学期期末）当时，函数取得最大值，则_______________．【答案】【解析】当时，取得最大值（其中），∴，即，∴．考点五：两角和与差正切公式变形的应用例5. （2021-2022学年江苏省南通市如皋市高一下学期教学质量调研）已知，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，故，故，同理，故，故B成立.而故，故A错误.而，故因，故，所以，又若，则， 解得，因为，，故无解，故D错误.若，则，则，这与矛盾，故D错误.故选B.考点六：平方相加求值例6．（2021-2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月）已知，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，由得，两式相加得，得.故选A考点七：三角函数式的化简例7．（2021-2022学年江西省名校高一下学期期中调研）化简______【答案】【解析】因为所以考点八：三角函数式的证明例8．（2021-2022学年江西省名校高一下学期期中调研）（1）证明：（2）求值：【解析】（1）证明：因为左边右边，所以原命题成立.（2）因为，所以，所以        【真题演练】 1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷)若α为第四象限角，则 (　　)A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0【答案】D【解析】当时，，选项B错误；当时，，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选D．2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷)已知，且，则 (　　)A． B． C． D．【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），又．故选A．3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= (　　)A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D【解析】，，令，则，整理得，解得，即．故选D．4.(2021年高考全国甲卷)若，则 (　　)A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，，解得，，．故选A．5.（多选）（2020-2021学年辽宁省大连市第二十四中学高一下学期期中）已知，，则恒等于（       ）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由可得，即，又，，整理得，则，B，C正确；A，D错误.故选BC.6.（多选）（2021-2022学年江西省临川一中高一下学期月考）下列选项化简值为1的有（       ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A，，故A正确；对于B，，故B 正确；对于C，，故C不正确；对于D，，故D正确.故选ABD.7.（2021-2022学年山东省烟台市高一下学期期中）若，则______．【答案】【解析】．8.（2020-2021学年辽宁省大连市第二十四中学高一下学期期中）化简下列各式：(1)；(2)．【解析】 (1)；(2).        【过关检测】1. （2021-2022学年湖北省荆州市沙市中学高一下学期期中）化简：（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】故选A2.（2021-2022学年甘肃省天水市第一中学高一下学期段考）已知，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，即，因为，所以、，即，又，解得或（舍去）；故选A3.（2021-2022学年贵州省黔东南州高一下学期期中）设，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据正余弦和正切的二倍角公式有，，，.因为，，，故，故选B4.（2021-2022学年辽宁省辽南协作体高一下学期期中）若，，且，，则的值是（       ）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】，又∵，∴.又∵，∴，于是，易得，则.故选B.5.（多选）（2021-2022学年江苏省徐州市睢宁县高一下学期期中）已知，以下选项正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】根据题意，，两边平方，得，所以，，故A错误；又因为，所以，，故B正确；，故C正确；，故D正确；故选BCD6.（多选）（2021—2022学年江西省南昌市第二中学高一下学期第一次月考） 下列等式中，正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】对于A，，故A正确；对于B，，故B不正确；对于C，，所以，故C正确；对于D，，，所以，故D正确.故选ACD.7.（2021-2022学年云南省临沧市云县高一下学期期中）已知，均为锐角，且，，则cos＝___．【答案】【解析】因为均为锐角，则，又，即，，于是得，，又，所以．8.（2021-2022学年四川省内江市第六中学高一下学期期中）在△ABC中，，则的取值范围是______．【答案】【解析】因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以所以，所以的取值范围为9.（2021-2022学年四川省广安市广安第三中学校高一下学期第一次考）（1）化简（2）已知，求的值.【解析】（1），故，又，故（2），解得或则或10.（2021-2022学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高一下学期期中）小萌在一次研究性学习中发现，以下5个式子都成立．①；②；③；④；⑤．她觉着好像有某种规律，你能帮她总结出这个规律么？并证明这个结论；并利用这一结论计算的值．【解析】猜想规律：.证明：=.==.