第02讲 集合的运算-【暑假自学课】2022年高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第02讲 集合的运算

       【学习目标】

1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集

2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集

3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．

        【基础知识】

一、集合的并集

1.定义：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合,叫做集合A与B的并集,记作,读作A并B,

2.数学表达式：.

3.用Venn图表示（阴影部分）如图所示：

 4.解读：（1）仍然是一个集合.

（2）并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可,这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼,必居其一,而并集中的“或”字可以是兼有的. 或有三层含义：；；.

（3）对定义中“所有”二字不能简单地理解为把A,B中的元素放在一起,就是中的元素,要注意元素的互异性.

二、集合的交集

1.定义：一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,叫做A与B的交集,记作,读作A交B.

2.数学表达式：.

3.用Venn图表示（阴影部分）如图所示：

4.解读：（1）由是由集合A与集合B的所有公共元素组成的集合.（2）仍然是一个集合,当集合A与集合B没有元素时,.

三、集合的补集

1.全集的定义：一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作.

2.全集解读：

（1）全集包含我们所要研究的集合的全部元素,所要研究的集合都是它的子集.

（2）全集是相对于所研究问题的一个相对概念,所研究的问题变了,全集有可能就变了,如我们只在整数集Z范围内研究问题时,全集就是整数集Z,而当研究的问题拓展到实数集时,全集就是实数R,这时,整数集Z就不是全集了.

3.补集的定义：对于全集的一个子集A,由全集中不属于A的所有元素组成的集合,称为集合A相对于全集的补集,简称为集合A的补集,记作.

4.数学表达式：.

5.用Venn图表示（阴影部分）如图所示：

6.解读：

（1）若全集为具体的数集,则全集符号可换成相应的数集符号,如全集为实数R,可记为.

（2）补集既是集合之间的一种关系,又是集合之间的一种运算.

四、几个等价关系

在利用集合的交集、并集、补集性质解题时,常常会遇到A∩B＝A,A∪B＝B等这类问题,在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系,在一定的情况下可以相互转化,以下几个等价转化关系,请同学们务必掌握：A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A∩()=⇔()∪B=U,在解题中运用这种转化能有效地简化解题过程．

五、德摩根律与容斥原理

1.德摩根律

① ；

②

2.解读：以上两式常在集合运算中出现,其正确性可通过下面的Veen图验证：

3.容斥原理

我们把含有有限个元素的集合称为有限集,用card（A）表示有限集A的元素个数,如A={-1,2,3,4},则card（A）=4,

由上图易得①card（A∪B）= card（A）+card（B）－card（A∩B）；② card（A∪B∪C）= card（A）+card（B）+card（C）－card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）+card（A∩B∩C）.

六、进行集合的交、并、补运算注意三点：

(1)意义化：分清集合的类型,是表示数集、点集还是图形构成的集合．

(2)直观化：借助数轴、Venn图等将有关集合直观地表示出来．

(3)求出有关集合中方程、不等式的解,不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式．运算时还要注意：①勿忘对空集的讨论；②勿忘集合中元素的互异性；③对于含参数的集合问题,勿忘对所求数值进行合理取舍．

【基础知识】

考点一：求集合的并集

例1．（2021-2022学年宁夏石嘴山市平罗中学高一下学期期中）已知集合，，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，，所以；故选B

考点二：求集合的交集

例2．（2021-2022学年西藏拉萨中学高二下学期月考）已知集合，则A∩B=（       ）

A．{0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{2，3}

【答案】D

【解析】由题设，.故选D

考点三：求集合的补集

例3．（2022届北京市第八十中学高三下学期考前热身练）已知，，则___________.

【答案】

【解析】因为，，

所以或

考点四：集合的混合运算

例4．（2022届吉林省吉林市普通高中高三第四次调研）已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知，集合，所以，而集合，

所以.故选A.

考点五：venn图在集合运算中的运用

例5．（2022届陕西省西安中学高三下学期第二次仿真模拟）如图，全集，集合，集合，则阴影部分表示集合（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】矩形表示全集，集合，集合,

，则阴影表示集合为.

故选D.

考点六：根据集合运算求参数的值或范围

例6．（多选）（2022届湖北省武汉市高三下学期四月调研）已知集合，若，则的取值可以是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】AB

【解析】因为，所以，所以或；故选AB

考点七：集合之间的关系与集合运算的交汇

例7．（多选）（2021-2022学年河北省石家庄市第六中学高一上学期期中）集合，则下列结论正确的是（       ）

A．A∪B=B B．A∪B=A C．A∩B=A D．A∩B=B

【答案】BD

【解析】因为，所以A∪B=A，A∩B=B.故选BD.

        【真题演练】

1．（2021新高考全国卷Ⅰ）设集合,,3,4,,则　　

A． B．, C．, D．,3,

【答案】B

【解析】,,3,4,,

,3,4,,．

故选B．

2. （2021新高考全国卷Ⅱ）设集合,则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】由题设可得,故,故选B.

3．(2021高考全国卷乙)已知集合，，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】任取，则，其中，所以，，故，

因此，．故选C．

4.(2021高考全国卷甲)设集合，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以,

故选B．

5．(2020高考卷Ⅰ)设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a= (　　)

A．–4 B．–2 C．2 D．4

【答案】B

【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：．由于，故：，解得：．

故选B．

6．(2020高考全国卷Ⅱ)已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则 (　　)

A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3}

【答案】A

【解析】由题意可得：，则．故选A

7．(2019高考全国卷Ⅲ)已知集合，，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，，所以，故选A．

       【过关检测】

1．（2022届北京市大兴区兴华中学高三三模）已知集合，，则（        ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，，所以，故选B.

2．（2022届天津市武清区杨村第一中学高三下学期热身练）记全集，集合，集合，则=（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】依题意，或，因，所以.

故选C

3.（2022届辽宁省鞍山市第一中学高三下学期六模）设全集，集合，，则实数的值为（       ）

A．0 B．-1 C．2 D．0或2

【答案】A

【解析】由集合知，，即，而，全集，

因此，，解得，经验证满足条件，所以实数的值为0.故选A

4．（2022届江西省萍乡市高三模拟）如图，全集，，，则阴影部分表示的集合为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由图示可知，阴影部分可表示为,∵,∴,

故选.

5. （多选）（2022届福建省泉州市高三第五次质量检测）已知集合A，B均为R的子集，若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】如图所示

根据图像可得,故A正确；由于 ，故B错误； ,故C错误

，故选AD

6. （2021-2022学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高一上学期期中）若集合，集合，则正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABCD

【解析】对于A选项，，且，A对；

对于B选项，，所以，，，B对；

对于C选项，，C对；

对于D选项，，D对.故选ABCD.

7.（2021-2022学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期第二次月考） 满足的所有集合是______.

【答案】或或或

【解析】∵，∴为的子集，

∴或或，

∴或或或

8.（2021-2022学年重庆市巫山大昌中学校高一上学期期末） 某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________.

【答案】

【解析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和化学小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示：

由图可知：，解得，所以同时参加数学和化学小组有人.

9. （2021-2022学年福建省莆田砺志学校高一上学期学情摸底）设集合，且都是集合的子集，如果把叫作集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是___________.

【答案】

【解析】由题可知，的长度为 ，的长度为， 都是集合的子集，

当的长度的最小值时，与应分别在区间的左右两端，

即，则，

故此时的长度的最小值是：.

10.（2021-2022学年重庆市缙云教育联盟高二下学期5月质量检测）已知集合，集合．

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围

【解析】 (1)当时，，

；

(2)由，则有：，解得：，即，

实数的取值范围为．