第11讲 指数与指数函数-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第11讲 指数与指数函数

       【学习目标】

1.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．

2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念

3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点

        【基础知识】

一、根式的定义

1.a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.

2.a的n次方根的表示

①当n是奇数时， a的n次方根表示为，a∈R；

②当n是偶数时， a的n次方根表示为±，其中－表示a的负的n次方根，a∈[0，＋∞)．

3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

二、根式的性质

1.()n＝a(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n＞1)．

2.＝.

三、分数指数幂

1.a＝，a＝＝(其中a>0，m，n∈N*，且n>1)．

2.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

四、有理数指数幂的运算性质

1.aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．

2.(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．

3.(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

五、无理数指数幂

1.对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．

2.定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．

六、实数指数幂的运算性质

1.aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．

2.(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．

3.(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．

七、条件求值

对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．

利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(其中a>0，b>0)：

八、指数函数的定义图象及性质

1.函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

2.指数函数的图象和性质

【解读】

1.由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象．

2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴．

九、识别指数函数图象问题的注意点

1.根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1；

2．在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小；

3．根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置．

4.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)．

十、函数图象的对称和变换规律

一般地，把函数y＝f(x)的图象向右平移m个单位得函数y＝f(x－m)的图象(m∈R，若m<0就是向左平移|m|个单位)；把函数y＝f(x)的图象向上平移n个单位，得到函数y＝f(x)＋n的图象(n∈R，若n<0，就是向下平移|n|个单位)．

函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．

函数y＝f(|x|)的图象是关于y轴对称的，所以只要先把y轴右边的图象保留，y轴左边的图象删去，再将y轴右边部分关于y轴对称得y轴左边图象，就得到了y＝f(|x|)的图象．

【考点剖析】

考点一：根式的化简

例1．化简（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】，故选D．

考点二：利用指数幂的运算性质化简

例2．（2021-2022学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中）化简结果为（       ）

A．a B．b C． D．

【答案】A

【解析】根据实数指数幂的运算公式，可得：

.故选A.

考点三：条件求值

例3．（1）已知是方程的两个根，且，求的值．

（2）已知，求下列各式的值：

①；

②．

【解析】（1）因为是方程的两个根，所以，

所以．

因为，所以．

所以．

（2）①将两边平方，得．

即．

②将两边平方，得，

即．

考点四：指数函数的图象

例4．（2021-2022学年浙江省杭州地区重点中学高一下学期期中）若函数的图象如图所示，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意，函数，

令，即，解得或，

可得或，

结合图象，可得，解得；

又由函数的图象得，当时，，

当时，因为，可得，所以，即，解得.

故选D.

考点五：求指数型函数的定义域与值域

例5函数在上的值域为___________.

【答案】

【解析】

∵则令

在递增

∴

考点六：求指数函数的单调区间

例6．（2020-2021学年河南省登封市一高高一上学期段考）函数的单调递减区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，在单调递增，在单调递减，在单调递增，根据“同增异减”可得，函数的单调递减区间是.故选A.

考点七：利用指数函数的单调性比较大小

例7．（2020-2021学年四川省巴中市恩阳区高一上学期期中）已知，，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为单调递减，所以，，所以.

故选D

考点八：利用指数函数的单调性求参数范围

例8．（2021-2022学年云南昭通市第一中学高一下学期考试）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，，

则，可化为；

为上的增函数，为上的增函数，

对恒成立，即，

，，即实数的取值范围是.故选D.

        【真题演练】

1. （2021-2022学年陕西省咸阳市高一上学期期末）若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以当，即时，函数值为定值0，所以点P坐标为.

另解：因为可以由向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由过定点，所以过定点.故选B

2.（2021-2022学年江苏省常州市金坛区高一上学期期中）若，且，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题设，，即，

又，且，

所以.故选A.

3.（2021-2022学年安徽省池州市青阳县第一中学高一下学期3月月考）已知函数，，且，则下列结论中，一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由图示可知时，的符号不确定，，故AB错；

,

, 即，

故，故D正确，

又，所以，即,

所以，即，所以，故C不正确.故选D

4.（多选）（2021-2022学年江苏省盐城市滨海中学高一上学期期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（       ）

A． B．

C．当时， D．当时，

【答案】CD

【解析】对于A选项，，所以A选项错误.

对于B选项，，所以B选项错误.

对于C选项，，，所以C选项正确.

对于D选项，，，所以D选项正确.故选CD

5．（多选）（2021-2022学年山东省聊城市高一上学期期末）已知函数，，对任意，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】对选项A，，，故选项A错误；

对选项B，，，则，故选项B正确；

对选项C，

不妨设，则，故，故选项C正确；

对选项D，因为是奇函数，在上递减

则要使恒成立

只需：

只需：

只需：

而，故，故选项D正确

故选BCD

6.（2020-2021学年安徽省合肥市第十中学高一上学期期中）_____________．

【答案】

【解析】原式＝．

7．（2020-2021学年江苏省镇江市高一上学期期中）（1）求值：；

（2）已知，求值：.

【解析】（1）原式；

（2）由，而，

则，故.

8.（2021-2022学年贵州省六枝特区高一下学期期中）已知定义域为的函数是奇函数.

(1)求的值；

(2)判断函数的单调性并证明.

【解析】 (1)由为定义在上奇函数可知，解得.

经检验，此时对任意的都有

故.

(2)由递增，可知在上为减函数，

证明如下：

对于任意实数，，不妨设，

则.

∵单调递增，且，

∴即，，，

∴，∴，

故在上为减函数.

       【过关检测】

1. （2021-2022学年陕西省咸阳市武功县高一上学期期中）已知函数，则函数的图像经过（       ）．

A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限

C．第二、四象限 D．第一、二象限

【答案】B

【解析】因为，

所以函数的图象经过一、二象限，

又的图象是由的图象沿y轴向下平移2个单位得到，

所以函数的图象经过二、三、四象限，如图，

故选B

2.（2021-2022学年广东省广州市六中高一下学期期中）已知m，n为正实数，且，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，为正实数，且，即

在上均为减函数，

在上为增函数.

当时，，故A错误；

当时，，故B错误；

取，此时，故C错误；

，，，

，，，故D正确.

故选D

3.（2021-2022学年陕西省渭南市临渭区高一上学期期末）函数与（且）在同一坐标系中的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为一次函数为直线，且函数单调递增，排除AD选项.

对于B选项，指数函数单调递减，则，可得，

此时，一次函数单调递增，且直线与轴的交点位于点的上方，合乎题意；

对于C选项，指数函数单调递减，则，可得，

此时，一次函数单调递增，且直线与轴的交点位于点的下方，不合乎题意.

故选B.

4.（2021-2022学年广东省汕尾市高一上学期期末）若，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，因为在上为减函数，且，

所以，所以，故选A

5.（多选）（2021-2022学年河北省沧州市沧县中学高一上学期测试）已知函数，则（       ）

A．的值域为R B．是R上的增函数

C．是R上的奇函数 D．有最大值

【答案】ABC

【解析】，而，所以值域为R，A正确，D错误；

因为是递增函数，而是递增函数，所以是递增函数，B正确；

因为定义域为R，且，所以是R上的奇函数，C正确；

故选ABC

6.（多选）（2021-2022学年江苏省无锡市市北高级中学高一上学期期中）已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（       ）

A．4 B．3 C． D．

【答案】CD

【解析】因为是上的增函数，所以，

解得.故选CD.

7．（多选）（2021-2022学年吉林省松原市重点高中高一3月联考）设，表示不超过的最大整数，例如：，，已知函数，则下列叙述中正确的是（       ）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．在上是增函数 D．的值域是

【答案】BC

【解析】根据题意知，，

，，

所以，且，

所以，函数既不是奇函数，也不是偶函数，A错；

，

所以，函数为奇函数，B对；

因为函数为上的增函数，则函数为上的减函数，

故函数上的增函数，C对；

因为，则，所以，，故，

所以，函数的值域为，D错.故选BC.

8.（2021-2022学年河北省沧州市沧县中学高一上学期测试）已知，，则______．

【答案】

【解析】因为，，所以．

9.已知正整数和非零实数，若，且，求的值．

【解析】由已知，得，同理，，

三式相乘，得，又，

所以，又因为为正整数，故，

又则．

10.（2021-2022学年四川省德阳市第五中学高一上学期12月月考）已知函数.

(1)判断的奇偶性；

(2)判断的单调性并证明；

(3)若不等式在上有解，求的最大值.

【解析】 (1)由题意知：定义域为，

，为上的奇函数.

(2)是上的增函数，证明如下：

令，则；

，，，，

是上的增函数.

(3)由得：；

当时，，

令，在上单调递增，，

即，，则的最大值为.