江苏省宿迁市2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题

宿迁市2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题

试卷满分（150分）考试时间（120分钟）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则(    )

A.          B.           C.              D.

2.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是(    )

A.          B.            C.或        D.

3.设定义在上的奇函数，满足对任意的都有，且当时，，则的值等于(    )

A.             B.               C.                   D.

4.已知实数满足，则的最小值为(    )

A.              B.               C.                   D.

5.某射手每次射击击中目标的概率固定，他准备进行次射击，设击中目标的次数为X，已知，且,则(    )

A.              B.               C.                   D.

6.已知函数，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为(    )

A.        B.         C.        D.

7.函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是(    )

A.     B.      C.     D.

8.设，，，则(    )

A.         B.          C.         D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.

9.下列命题为真命题的是(    )

A.若，则           

B.若，则        

C.若关于的不等式的解集为，则

D.若，则“”是“”的必要不充分条件

10.已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为1，则正确的命题是(    )

A.                           B.        

C.展开式中常数项为            D.展开式中含的项为 

11.下列说法正确的是(    )

A.6个不同的小球放入到5个不同的盒子中，要求每个盒子里至少有一个球，则不同的放法共有                         

B.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，其中甲只能排在乙的左边，丁只能排在乙的右边，则不同的排法有20种      

C.已知随机变量满足，，．若，则                       

D.已知,那么

12.如图，在边长为3的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有(    )

A.与所成角的余弦值为                                   

B.过三点的正方体的截面面积为 

C.在线段上运动，则三棱锥的体积不变

D.为正方体表面上的一个动点，分别为的三等分点，则的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13.已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为______.

14.已知函数有唯一的零点，则的值为______.

15.已知是函数的导函数，，对任意实数都有，则的解集为______.

16.已知，则

(1)被3除的余数是___；

(2)_______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.使不等式对一切实数恒成立的的取值范围记为集合，

集合.

(1)求集合；

(2)若是的充分条件,求实数的取值范围．

18.为了丰富学生的课余生活，高三年级举行乒乓球比赛，选手每赢一局就会获得一个纪念品，小明和小华进行比赛，小明每局获胜的概率均为，不存在平局，两人约定先胜4局者赢得比赛.

(1)求比赛5局小明获胜的概率；

(2)若在前3局中小明胜两局，小华胜一局，记比赛结束时，小明获得的纪念品的个数为随机变量，求的分布列和数学期望.

19.已知函数为偶函数.

(1)求实数的值；

(2)解关于的不等式；

(3)设，函数与图象有2个公共点，求实数 的取值范围.

20.国家加大了对全民体育锻炼的重视程度，推行全民体育锻炼工作，全民体育锻炼活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民身体素质得到了大幅度提高.某高中为响应政府号召，在寒假中对某校高二400名学生（其中男生240名）按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查，了解他们每天的体育锻炼情况如下表：

(1)根据统计数据完成以上2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的条件下，认为该校女生和男生在每天体育锻炼时间方面存在差异？

(2)若从抽出的100名学生中按“每天体育锻炼时间是否低于1”采用分层随机抽样抽取10名学生准备进行身体素质测试，在这10名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生每天体育锻炼时间不低于1的人数为，求的分布列和数学期望.

(3)若将频率视作概率，从该校所有在校学生中随机抽取10人进行调查，记10人中每天体育锻炼时间不低于1的人数为的概率为，当取得最大值时，求的值.

附参考数据及公式：，其中.

21.如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，，，分别为线段上的动点.

（1）若为线段的中点，证明：；

（2）若，且，求二面角的余弦值.

22.已知函数，.

(1)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围；

(2)若方程有且仅有两个实根，

①求实数的取值范围；

②证明：.