江苏省十一校2021-2022学年高二下学期阶段联测数学试题及答案

江苏省十一校2021-2022学年高二下学期阶段联测

数学试卷

考试时间120分钟  总分150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知点，若向量，则点B的坐标是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用空间向量的坐标运算求得的坐标.

【详解】设为空间坐标原点，

故选：B

2. 要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是（    ）

A. 20 B. 16 C. 10 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】利用间接法，先求总的选2人担任正副组长的选法，再减去当副组长的情况，即为所求．

【详解】不考虑限制条件5人中选2人担任正副组长有种选法，若a当副组长，有种选法，

故a不当副组长，有 (种)选法.

故选：B

3. 的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（    ）

A. 540 B.  C. 162 D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由二项式系数和求出，然后写出展开式的通项公式得常数项所在项数，从而得常数项．

【详解】的展开式中各项系数之和为，解得

所以的通项公式为：

当时，为常数

故选：D

4. 已知，，且事件A、B相互独立，则（    ）

A. 0.18 B. 0.5 C. 0.3 D. 0.9

【答案】A

【解析】

【分析】由概率的乘法公式求解作答.

【详解】由题意得.

故选：A

5. 已知随机变量，且，则的值为（    ）

A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8

【答案】C

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性即可求解.

【详解】解：，

故选：C.

6. 展开式中的系数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据二项定理得出展开式中的系数，再结合组合数的性质即可求解；

【详解】由题意可知，展开式中的系数为.

所以原式的展开式的系数为：

故选：D.

7. 盒中有3个红球，4个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】运用全概率公式进行求解即可.

【详解】设事件表示第一次抽取的是黑球，，，

事件表示第二次抽取的是黑球，因此有，

所以，

故选：B

8. 已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将问题转化为一个数为零，每次加或者减，经过6次后，结果还是零的问题.用古典概型的概率计算公式即可求得结果.

【详解】该问题等价于：一个数据为零，每次加或者减，经过6次后，结果还是零的问题.

则每次都有加1或者减1两种选择，共有种可能；

要使得结果还是零，则只需6次中出现3次加1，剩余3次为减1，

故满足题意的可能有：种可能.

故满足题意的概率.

故选：B.

【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属基础题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下面四个结论正确的是（    ）

A. 空间向量，（，），若，则

B. 若对空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面

C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底

D. 任意向量，，，满足

【答案】ABC

【解析】

【分析】A.利用空间向量数量积的定义判断；B.利用空间向量共线定理的推论判断；C.利用空间基底的定义判断；D.根据与 共线，与 共线判断.

【详解】A.空间向量，（，），若，则，所以，故正确；

B. 若对空间中任意一点O，有，且，则P、A、B、C四点共面，故正确；

C.因为是空间的一组基底,所以不共面，则也不共面，又，所以不共面，则也是空间的一组基底，故正确；

D.因为与 共线，与 共线，又，，是任意向量，所以 与 不一定相等，故错误；

故选：ABC

10. 为研究需要，统计了两个变量x，y的书籍情况如表：

其中数据，，，…，和数据，，，…，的平均数分别为，，并且计算相关系数，回归方程为，则（    ）

A. 点必在回归直线上，即

B 变量x，y正相关

C. 当，则必有

D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据回归方程的性质和相关系数的性质逐个分析判断即可

【详解】对于A，因为样本中心点必在回归直线上，所以，所以A正确，

对于B，因为相关系数，所以变量x，y负相关，所以B错误，

对于C，因为点不一定在回归直线上，所以当，不一定有，所以C错误，

对于D，因为相关系数，所以，所以D正确，

故选：AD

11. 已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（    ）

A. ， B. 随机变量满足，则

C.  D. 若，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用正态分布的期望和方差可判断A选项；利用期望的性质可判断B选项；利用正态密度曲线的对称性可判断CD选项；

【详解】对于A选项，因为，则，，A对；

对于B选项，随机变量满足，则，B错；

对于C选项，由正态密度曲线的对称性可知，C对；

对于D选项，若，则，则，D对.

故选：ACD.

12. （多选）甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球，先从甲盒中随机取出一球放入乙盒．用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（    ）

A. 事件B与事件C是互斥事件 B. 事件A与事件C不是独立事件

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据互斥事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断B；分第一次取白球和红球两种情况讨论，从而可判断C；根据条件概率公式即可判断D.

【详解】对于A：事件B与事件C能同时发生，事件A与事件B不是互斥事件，故A错误；

对于B：事件A发生与否与事件C有关，故B正确：

对于C：，故C正确；

对于D：，，

所以，故D正确．

故选：BCD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 若随机变量X服从超几何分布，则X的均值_____________．

【答案】

【解析】

【分析】由超几何分布期望公式直接求解即可.

【详解】由题意知：.

故答案为：.

14. 已知单位向量，，满足，则_____________．

【答案】##

【解析】

【分析】先由题设得，两边平方结合数量积的运算律即可求解.

【详解】由题意知：，可得，即，

又，则，解得.

故答案为：.

15. 现有甲､乙两类零件共8件，其中甲类6件，乙类2件，若从这8件零件中选取3件，则甲､乙两类均被选到的方法共有种___________.(用数字填写答案)

【答案】36

【解析】

【分析】

利用计数原理可得甲､乙两类均被选到的方法共有；

【详解】甲､乙两类均被选到分两种情况：

（1）甲类选2个，乙类选1个，即；

（2）甲类选1个，乙类选2个，即；

所以总数共有：，

故答案为：.

16. 男子冰球比赛上演的是速度与激情的碰撞.2022北京冬奥会男子冰球主要比赛场馆是位于北京奥林匹克公园的“冰之帆”国家体育馆．本届冬奥会男子冰球有12支队伍进入正赛，中国首次组队参赛，比赛规则12支男子冰球参赛队先按照往届冬奥会赛制分成三个小组（每组4个队）．正赛分小组赛阶段与决赛阶段；小组赛阶段各组采用单循环赛制（小组内任两队需且仅需比赛一次）；决赛阶段均采用淘汰制（每场比赛胜者才晋级），先将12支球队按照小组赛成绩进行种子排名，排名前四的球队晋级四分之一决赛（且不在四分之一决赛中遭遇），其余8支球队按规则进行附加赛（每队比赛一次，胜者晋级），争夺另外4个四分之一决赛席位，随后依次是四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛．则本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排____________场比赛．

【答案】30

【解析】

【分析】分别求出小组赛、附加赛、四分之一决赛、铜牌赛、金牌赛各自比赛场次,加起来能求出组委会共要安排多少场比赛.

【详解】根据赛制,小组赛共安排比赛场比赛，附加赛共安排8÷2=4场比赛，

四分之一决赛共安排8÷2=4场比赛，半决赛共安排4÷2=2场，铜牌赛、金牌赛各比赛一场，共2场，

故本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌,组委会共要安排:18＋4十4＋2＋2=30场比赛.

故答案为：30

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 如图所示，在正方体中，，点M，N分别在和DB上，且，．

（1）求线段MN的长；

（2）求直线和平面DMN所成角的大小．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据已知将求出，再求其模长即可；

（2）将与平面DMN的法向量求出，利用向量法求解线面所成角即可.

【小问1详解】

以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，.因为点M在上，

设，

所以.因为点N在DB上，

设，所以，

因为，，所以，

，解得，，所以，

所以.

【小问2详解】

设为平面DMN的法向量，因为，，

由，，得，，

取，所以为平面DMN的一个法向量.

记直线和平面DMN所成角为，

因为，所以，

所以直线和平面DMN所成角为.

18. 某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据：

（1）求出线性回归方程；

（2）当广告费支出为12（元）时，求销售额y的线性回归估计值．

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．

【答案】（1）   

（2）95.5（元）

【解析】

【分析】（1）先求出，，结合公式求出即可得线性回归方程

（2）将代入线性回归方程求出即可

【小问1详解】

设线性回归方程为

易得， 

，

所以

【小问2详解】

当时，，

故当广告费支出为12（元）时，销售额y的线性回归估计值为95.5（元）

19. 甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为.如果比赛采用“五局三胜（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）”比赛规则.

（1）求甲获胜的概率；

（2）记甲、乙比赛的局数为，求的概率分布列和数学期望.

【答案】（1）   

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）甲前三局胜了两局，且第四局甲胜，即可求解.

(2)列出的所有取值，求出对应概率，再列出分布列，即可求出期望.

【小问1详解】

记甲获胜为事件，说明甲前三局胜了两局，且第四局甲胜，

所以

答：甲获胜的概率为

【小问2详解】

可能取值是3、4、5，

所以

则

20. 2022年北京冬奥会开幕式于2月4日在国家体育馆举行，北京成为了历史上首个同时举办夏奥会与冬奥会的“双奥城市”，冬奥会上，各种炫酷的冰雪运动项目在青少年中掀起了一股冰雪运动热潮．为了了解某班学生喜爱冰壶项目是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

已知在全班50人中随机抽取1人，抽到喜爱冰壶运动的学生的概率为0.6．

（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；

（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱冰壶运动与性别有关？

附：，其中．

【答案】（1）填表见解析   

（2）能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱冰壶运动与性别有关

【解析】

【分析】（1）根据题设条件可得完整的列联表.

（2）根据公式可求的值，对照临界值表可得相应的结论.

【小问1详解】

因为喜爱冰壶运动的学生的概率为0.6，故喜爱冰壶运动的学生的人数为30人，

故补充完整的列联表如下：

【小问2详解】由，

所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱冰壶运动与性别有关．

21. 如图，四棱雉的底面为直角梯形，∥，，，，平面．

（1）求异面直线与所成的角的余弦值；

（2）求出点A在平面上的投影M的坐标．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）以D点为原点，， ，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用向量的夹角公式求解即可，

（2）设，则，表示出，然后由，，列方程组可求出结果

【小问1详解】

因为平面，平面，

所以，

因为，

所以，，两两垂直，

所以以D点为原点，，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，．

，，

，

所以异面直线与所成的角的余弦值为．

【小问2详解】

设，

则．

又，

由，，得，

解得．

所以．

22. 法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000，上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000，标准差为50的正态分布.

（1）假设面包师说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000的个数为，求的分布列和数学期望；

（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468.庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：）

尽管上述数据都落在上，但庞加菜还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概率角度说明理由

附：

①若，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则由统计学知识可知：随机变量

②若，则，，；

③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.

【答案】（1）分布列见解析；期望为1（个）（2）详见解析

【解析】

【分析】（1）由题意知，的所有可能取值为0，1，2.可求得；；.从而可求得的分布列和其数学期望.

（2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.假设面包师没有撒谎，则.由附①，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则.可求得这25个数据的平均值为，而由由附②数据知，，由附③知，事件“”为小概率事件，可得结论.

【详解】（1）由题意知，的所有可能取值为0，1，2.

；；

.所以分布列为：

所以（个）.

（2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.

假设面包师没有撒谎，则.

根据附①，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，

则.

庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X的取值中随机抽取了25个数据，

这25个数据的平均值为，

由附②数据知，，

由附③知，事件“”为小概率事件，

所以“假设面包师没有撒谎”有误，

所以庞加莱认为面包师撒谎.

【点睛】本题考查概率统计知识的应用，关键在于理解概率统计中的量的含义，与实际生活中的数据建立联系，属于中档题.