2021-2022学年江苏省泰州市高二下学期期末考试数学试题Word版含答案

江苏省泰州市2021-2022学年高二下学期期末考试

数学试题

（考试时间：120分钟；总分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 可以表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间，若事件，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知随机变量X概率分布为

则X的均值为（    ）

A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7

4. 《义务教育课程方案》将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课程内容共设置十个任务群，每个任务群由若干项目组成．其中生产劳动包括农业生产劳动、传统工艺制作、工业生产劳动、新技术体验与应用四个任务．甲、乙两名同学每人从四个任务中选择两个任务进行学习，则恰有一个任务相同的选法的种数为（    ）

A. 16 B. 20 C. 24 D. 36

5. 的展开式中，常数项为（    ）

A. 8 B. 16 C. 18 D. 24

6. 商家为了解某品牌取暖器的月销售量y（台）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月该品牌取暖器的月销售量与当月平均气温，其数据如下表；

由表中数据算出线性回归方程中的，据此估计平均气温为0℃的那个月，该品牌取暖器的销售量约为（    ）台．

A. 56 B. 58 C. 60 D. 62

7. 通过随机询问200名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

参考公式：独立性检验统计量，其中．

参考数据：

则根据列联表可知（    ）

A. 有95%以上把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B. 有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C. 有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D. 有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

8. 在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列说法中正确的是（    ）

A. 公式中的L和W具有相关关系

B. 回归直线恒过样本点的中心

C. 相关系数r的绝对值越接近1，则两个变量的相关性越强

D. 对分类变量x与y的随机变量来说，越小，判断“x与y有关系”的把握越大

10. 下列关于随机变量X说法正确的是（    ）

A. 若X服从二项分布B（4，），

B. 若X服从超几何分布H（4，2，10），则

C. 若X的方差为D（X），则

D. 若X服从正态分布N（3，），且，则

11. 设，下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 在，，…，中，最大

12. 在正三棱柱中，底面ABC是边长为2的等边三角形，，D为BC中点，则（    ）

A. 平面⊥平面

B. 异面直线与BC所成角的余弦值为

C. 点M在内（包括边界）且，则CM与平面ABC所成的角的正弦值的最大值为

D. 设P，Q分别在线段，上，且，则PQ的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. ________．

14. 已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的标准差为________．

15. 长方体中，，，则点B到平面距离为________．

16. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，记取出的红球个数为X，则＝________，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．条件①：前三项的二项式系数之和为16；条件②：第3项与第4项的二项式系数相等；条件③：所有项的系数之和为1024

问题：在的展开式中，___．

（1）求n的值；

（2）求展开式中所有的有理项．

注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．

18. 已知，．

（1）求的值；

（2）当时，求实数k的值．

19. 电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．

（1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？

（2）女生互不相邻的坐法有多少种？

（3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？

20. 如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O，，．

（1）求二面角的大小；

（2）在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．

21. 某公司对项目甲进行投资，投资金额x与所获利润y之间有如下对应数据：

（1）用相关系数说明y与x相关性的强弱（本题规定，相关系数r满足，则认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱）；

（2）该公司计划用7百万元对甲，乙两个项目进行投资，若公司利用表格中的数据建立线性回归方程对项目甲所获得的利润进行预测，项目乙投资百万元所获得的利润y百万元近似满足：，求甲，乙两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大．

参考公式：，．相关系数．

参考数据：统计数据表中．

22. 我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位nm）．

（1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；

（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；

（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径X~N（9，0.04），从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率．

参考数据：若，则，，，．

答案

1-8 BBCCD  BAD  9.BC  10.AB  11.ABD  12.ACD

13.

14.

15.

16. ①. ；    ②.

17.（1）选条件①：由题意，前三项的二项式系数之和为，即，故，因为，故

选条件②：由题意，，故，解得

选条件③：令有，解得

（2）由题意，的通项公式，

故当时为有理项，分别为，，故有理项有与

18.（1）因为，，故，，故

（2），，，因为，故，即，故，即，故或

19.（1）先将3个女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有(种)排法；

（2）先将4个男生排好，有种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有种方法，故符合条件的排法共有(种)；

（3）先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有(种)；

20.（1）由题意得平面ABCD，且，

以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，如图所示

所以，

所以，

设平面PAB的法向量，

则，即，

令，可得，所以，

因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，

又因为，，平面PAC，

所以平面，

所以即为平面的法向量，

所以，

又，由图象可得二面角为锐二面角，

所以二面角的大小为

（2）假设线段AD上存在一点Q，满足题意，

设，因为，

所以，解得，

所以，则，

因为平面PAB法向量，

设得PQ与平面APB所成角为

所以，

解得或（舍）

所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为，此时，即Q为AD上靠近A的四等分点，

21.（1）解：由题意，，，

，，，

，

y与x线性相关性较强；

（2）解：由（1）可设关于的线性回归方程为：

，，

，

设对乙投资百万元，则甲项目投资百万元，

总利润，

时取等号，此时，

所以甲，乙两个项目投资金额分别为5.5百万元，1.5百万元时，获得的总利润最大．

22.（1）由题意，可知可取.则有

;

;

;

.

所以的分布列为：

因此的数学期望

（2）由题意，可取的值为.则有

；

；

.

所以技术攻坚成功的概率.

因于，所以的方差.

（3）由，则可知，

由于，则,

所以，

所以，

则，

记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4nm”为事件.

则.