2020-2021学年1.1 集合的概念导学案

  1．1　集合的概念

最新课程标准：(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．

知识点一　集合的概念

1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．

2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合．

3．集合中元素的特征

4.集合相等

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．

　集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．

知识点二　元素与集合的表示及关系

1．元素与集合的符号表示

表示

2．元素与集合的关系

　对元素和集合之间关系的两点说明

1．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A ”与“a∉A ”这两种结果．

2．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．

3．数学中一些常用的数集及其记法

全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集)，记作N；

全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N＋；

全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；

全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；

全体实数组成的集合称为实数集，记作R.

知识点三　集合的表示

1．列举法

把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{　　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

2．描述法

一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．

1．列举法表示集合时的4个关注点

(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．

(2)集合中的元素必须是明确的．

(3)集合中的元素不能重复．

(4)集合中的元素可以是任何事物．

2．描述法表示集合时的3个关注点

(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；

(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；

(3)不能出现未被说明的字母．

[教材解难]

1．教材P2思考

例(3)到例(6)都能组成集合

例(3)中的元素为“每一个正方形”

例(4)中的元素为“到直线l的距离等于定长d的所有点”

例(5)中的元素为“方程x2－3x＋2＝0的所有实数根”

例(6)中的元素为“地球上的四大洋”

2．教材P3思考

(1)能，大于等于0且小于等于9的3的倍数．

(2)不能，不等式x－7<3的解集是x<10，元素有无数个，列举不完．

3．教材P5思考

用自然语言、列举法和描述法表示集合时各有各的特点，自然语言只需表达出集合中元素的共同特征，不受形式的限制．列举法和描述法是集合语言，有严格的格式要求．其中列举法非常明确地列出组成集合的元素，适用于表示元素个数较少的集合，但是不易看出元素所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如不等式x－1>0的解集；描述法清楚地表述了元素的共同特征，适用于表示无限集或元素个数较多的有限集，但是不容易看出集合的具体元素．

[基础自测]

1．下列能构成集合的是(　　)

A．中央电视台著名节目主持人

B．我市跑得快的汽车

C．上海市所有的中学生

D．香港的高楼

解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．

答案：C

2．下列各组中的两个集合M和N，表示相等集合的是(　　)

A．M＝{π}，N＝{3.141 59}

B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}

C．M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}

D．M＝{1，，π}，N＝{π，1，|－|}

解析：选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0,1}，只有D是正确的．

答案：D

3．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是(　　)

A．{0,1,2,3,4}  B．{1,2,3,4}

C．{0,1,2,3,4,5}  D．{1,2,3,4,5}

解析：∵x－3<2，x∈N*，

∴x<5，x∈N*，

∴x＝1,2,3,4.故选B.

答案：B

4．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.

解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，

所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，

则方程x2＋ax＋3＝0，

即x2－4x＋3＝0，

解得x＝1或x＝3，

所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．

答案：{1,3}

题型一　集合的概念[经典例题]

例1　下列对象能构成集合的是(　　)

A.高一年级全体较胖的学生

B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1

C．全体很大的自然数

D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点

【解析】　由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin 30°＝cos 60°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选D.

【答案】　D

构成集合的元素具有确定性．

方法归纳

判断一组对象组成集合的依据

判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．

跟踪训练1　下列各项中，不可以组成集合的是(　　)

A．所有的正数

B．等于2的数

C.接近于0的数

D．不等于0的偶数

解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C中的对象不能构成集合．故选C.

答案：C

C中元素不确定．

题型二　元素与集合的关系[经典例题]

例2　(1)下列关系中，正确的有(　　)

①∈R；②∉Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

【解析】　(1)是实数，是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－|＝是无理数．因此，①②③正确，④错误．

(2)∵a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A＝{0,4}满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A＝{1,3}满足要求；若a＝2，则4－a＝2，此时A＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C.

【答案】　(1)C　(2)C

a分类处理：

①a＝0，a＝1，a＝2；

②a＝3，a＝4

还讨论吗？

方法归纳

判断元素和集合关系的两种方法

(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．

(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．

跟踪训练2　下列说法正确的是(　　)

A.0∉N　　　　　B.∈Q

C．π∉R　　　　D.∈Z

解析：A.N为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.是无理数，Q是有理数集合，∉Q，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R，故本选项错误；D.＝2,2是正整数，则∈Z，故本选项正确．故选D.

答案：D

N自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．

题型三　集合的表示[教材P4例题2]

例3　试分别用描述法和列举法表示下列集合：

(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合A；

(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.

【解析】　(1)设x∈A，则x是一个实数，且x2－2＝0.因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．

方程x2－2＝0有两个实数根，－，因此，用列举法表示为A＝{，－}．

(2)设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}．

大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为B＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．

找准元素，列举法是把元素一一列举．描述法注意元素的共同特征．

教材反思

本例题用列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．

跟踪训练3　用适当的方法表示下列集合：

(1)方程组的解集；

(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；

(3)方程x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合；

(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合．

解析：(1)解方程组得故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为{(4，－2)}．

(2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3,5,7,11.可用列举法表示为{3,5,7,11}．

(3)方程x2－2x＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}．

(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．

易错点　忽略集合中元素的互异性出错

例　含有三个元素的集合，也可表示为集合{a2，a＋b,0}，求a，b的值．

【错解】　∵＝{a2，a＋b,0}，

∴

解得或

【正解】　∵＝{a2，a＋b,0}，

∴

解得或

由集合中元素的互异性，得a≠1.

∴a＝－1，b＝0.

【易错警示】

方法归纳

选用列举法或描述法的原则

要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素个数较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法.

课时作业 1

一、选择题

1．已知集合A中元素x满足－≤x≤，且x∈N*，则必有(　　)

A．－1∈A　　　B．0∈A

C.∈A        D．1∈A

解析：x∈N*，且－≤x≤，所以x＝1,2.所以1∈A.

答案：D

2．将集合用列举法表示，正确的是(　　)

A．{2,3}   B．{(2,3)}

C．{(3,2)}  D．(2,3)

解析：解方程组得

所以答案为{(2,3)}．

答案：B

3．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为(　　)

A．2  B．2或4

C．4  D．0

解析：集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，

所以a＝2，

或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，

综上所述，a＝2或4.故选B.

答案：B

4．下列集合的表示方法正确的是(　　)

A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}

B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5}

C．{全体整数}

D．实数集可表示为R

解析：选项A中应是xy＜0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{　}”与“全体”意思重复．

答案：D

二、填空题

5．给出下列关系：(1)∈R；(2)∈Q；(3)－3∉Z；(4)－∉N，其中正确的是________．

解析：是实数，(1)正确；是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－是无理数，(4)正确．

答案：(1)(4)

6．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，则实数a＝________.

解析：由集合相等的概念得解得a＝1.

答案：1

7．已知集合A＝，用列举法表示集合A为________．

解析：(6－x)是12的因数，并且x∈N，解得x为0,2,3,4,5.

答案：{0,2,3,4,5}

三、解答题

8．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．

解析：因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1}，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.

若－3＝a－3，则a＝0.

此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．

若－3＝2a－1，则a＝－1，

此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．

综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.

9．用适当的方法表示下列集合．

(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；

(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合．

解析：(1)因为方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0或－1，所以解集为{0，－1}．

(2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n<500，n∈N}．

[尖子生题库]

10．下列三个集合：

①{x|y＝x2＋1}；

②{y|y＝x2＋1}；

③{(x，y)|y＝x2＋1}．

(1)它们是不是相同的集合？

(2)它们各自的含义是什么？

解析：(1)它们是不相同的集合．

(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．

由二次函数图象知y≥1，

所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．

集合③是函数y＝x2＋1图象上所有点的坐标组成的集合．