广西专用高考数学一轮复习单元质检三导数及其应用含解析

这是一份广西专用高考数学一轮复习单元质检三导数及其应用含解析，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元质检三　导数及其应用(时间:100分钟　满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.如果一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在3 s末的瞬时速度是(　　)A.7 m/s B.6 m/s C.5 m/s D.8 m/s答案:C2.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a等于(　　)A.2 B.-2 C. D.-答案:B3.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是(　　)A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1答案:B4.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,-]∪[,+∞) B.[-]C.(-∞,-)∪(,+∞) D.(-)答案:B5.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是(　　)A.0 B.1 C.2 D.3答案:A6.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x答案:D解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f'(x)=3x2+1,得曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.7.已知当x∈时,a≤+ln x恒成立,则a的最大值为(　　)A.0 B.1 C.2 D.3答案:A解析:令f(x)=+lnx,则f'(x)=.当x∈时,f'(x)<0;当x∈(1,2]时,f'(x)>0.∴f(x)在区间内单调递减,在区间(1,2]上单调递增,∴在区间上,f(x)min=f(1)=0,∴a≤0,即a的最大值为0.8.已知函数f(x)=xsin x,x1,x2∈,且f(x1)<f(x2),则(　　)A.x1-x2>0 B.x1+x2>0 C.>0 D.<0答案:D解析:由f(x)=xsinx,得f'(x)=sinx+xcosx,当x∈时,f'(x)>0,故f(x)在区间内单调递增.又f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),∴f(x)为偶函数,∴当f(x1)<f(x2)时,f(|x1|)<f(|x2|),∴|x1|<|x2|,∴<0.故选D.9.已知函数f(x)=ln x+tan α的导函数为f'(x),若方程f'(x)=f(x)的根x0小于1,则α的取值范围为(　　)A. B. C. D.答案:A解析:∵f(x)=lnx+tanα,∴f'(x)=.令f(x)=f'(x),得lnx+tanα=,即tanα=-lnx.设g(x)=-lnx,显然g(x)在区间(0,+∞)内单调递减,而当x→0时,g(x)→+∞,故要使满足f'(x)=f(x)的根x0<1,只需tanα>g(1)=1.又0<α<,∴α∈.10.已知函数f(x)=--x2的最大值为f(a),则a等于(　　)A. B. C. D.答案:B解析:∵f'(x)=--2x,∴f'(1)=-f'(1)-2,解得f'(1)=-,∴f(x)=-x2,f'(x)=.令f'(x)>0,解得0<x<,令f'(x)<0,解得x>,故f(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,故f(x)的最大值是f,于是a=.11.若函数f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则实数a的取值范围是(　　)A. B. C. D.答案:C解析:若f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则f'(x)=x2-ax+1在区间内有零点,且零点不是f'(x)的图象顶点的横坐标.由x2-ax+1=0,得a=x+.因为x∈,y=x+的值域是,当a=2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.所以实数a的取值范围是,故选C.12.(2020广西贵港四模)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)>0.已知a=f,b=f(31.5),c=f(21.5),则(　　)A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b答案:A解析:∵当x>0时,xf'(x)-f(x)>0,∴'=>0,∴在区间(0,+∞)内单调递增,又f(x)是奇函数,且f(-1)=0,∴f(1)=0,∴当x∈(0,1)时,f(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,∴a=f=f(-2)=-f(2)<0.∵31.5>21.5>1,∴f(31.5)>0,f(21.5)>0,且,∴>1,∴b=f(31.5)>f(21.5)=c>0.∴a<c<b.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.函数y=x-x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于　　　　　. 答案:解析:由x-x2=0,得x=0或x=1.因此,所围成的封闭图形的面积为(x-x2)dx=.14.(2020广西钦州一模)已知函数f(x)=x(x5-16x2+x-4),且f(x)≥f(x0)对x∈R恒成立,则曲线y=在点处的切线的斜率为　　　　. 答案:17解析:∵f(x)=x(x5-16x2+x-4)=x6-16x3+x2-4x=+(x-2)2-68,∴当x=2时,函数f(x)取得最小值,∴x0=2.∵'=5x4-32x+1,∴曲线y=在点处的切线的斜率k=5×24-32×2+1=17.15.已知函数f(x)=e|x-1|,函数g(x)=ln x-x+a,若∃x1,x2使得f(x1)<g(x2)成立,则a的取值范围是　　　　　. 答案:(2,+∞)解析:由题意,若∃x1,x2使得f(x1)<g(x2)成立,可转化为f(x)min<g(x)max成立,由函数f(x)=e|x-1|,根据指数函数的图象与性质可知,当x=1时,函数f(x)=e|x-1|取得最小值,此时最小值为f(1)=1.又由g(x)=lnx-x+a,则g'(x)=-1=(x>0),当x∈(0,1)时,g'(x)>0,则函数g(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,则函数g(x)单调递减,所以当x=1时,函数有最大值,此时最大值为g(1)=a-1,令a-1>1,解得a>2,即实数a的取值范围是(2,+∞).16.已知函数f(x)=xln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,给出以下几个结论:①0<x0<;②x0>;③f(x0)+x0<0;④f(x0)+x0>0.其中正确的结论是　　　　　.(填出所有正确结论的序号) 答案:①③解析:由已知得f'(x)=lnx+x+1(x>0),不妨令g(x)=lnx+x+1(x>0),由g'(x)=+1,当x∈(0,+∞)时,有g'(x)>0总成立,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且g>0,又x0是函数f(x)的极值点,所以f'(x0)=g(x0)=0,即g>g(x0),所以0<x0<,即结论①正确,则结论②错误;因为lnx0+x0+1=0,所以f(x0)+x0=x0lnx0++x0=x0(lnx0+x0+1)-=-<0,故结论③正确,而结论④错误,所以填①③.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知函数f(x)=(x-)e-x.(1)求f(x)的导函数;(2)求f(x)在区间内的取值范围.解:(1)因为(x-)'=1-,(e-x)'=-e-x,所以f'(x)=e-x-(x-)e-x=.(2)由f'(x)==0,解得x=1或x=.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:x1f'(x) -0+0-f(x)单调递减↘0单调递增↗单调递减↘又f(x)=-1)2e-x≥0,所以f(x)在区间内的取值范围是.18.(12分)设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)若a=0,讨论f(x)的单调性;(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.解:(1)当a=0时,f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1.当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增.(2)f'(x)=ex-1-2ax.由(1)知f(x)≥f(0),即ex≥1+x,当且仅当x=0时等号成立,故f'(x)≥x-2ax=(1-2a)x.当a≤时,1-2a≥0,f'(x)≥0(x≥0),f(x)在区间[0,+∞)内是增函数,因为f(0)=0,于是当x≥0时,f(x)≥0.符合题意.当a>时,由ex>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0).所以f'(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),故当x∈(0,ln2a)时,f'(x)<0,而f(0)=0,于是当x∈(0,ln2a)时,f(x)<0.不符合题意.综上可得,a的取值范围为-∞,.19.(12分)已知f(x)=x2-a2ln x,a>0.(1)求函数f(x)的最小值;(2)当x>2a时,证明:a.答案:(1)解函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-.当x∈(0,a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=a时,f(x)取得极小值,也是最小值,且f(a)=a2-a2lna.(2)证明由(1)知,f(x)在区间(2a,+∞)内单调递增,则所证不等式等价于f(x)-f(2a)-a(x-2a)>0.设g(x)=f(x)-f(2a)-a(x-2a),则当x>2a时,g'(x)=f'(x)-a=x-a=>0,所以g(x)在区间(2a,+∞)内单调递增.所以当x>2a时,g(x)>g(2a)=0,即f(x)-f(2a)-a(x-2a)>0,故a.20.(12分)已知函数f(x)=ln x-ax2-2x,a∈R.(1)当a≥0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数h(x)=f(x)+3ax2+3x的极值大于零,求实数a的取值范围.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-2ax-2=,当a=0时,令f'(x)==0,得x=.所以当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减.当a>0时,令f'(x)=0,则-2ax2-2x+1=0.因为Δ=(-2)2-4×(-2a)=4+8a>0,x>0,所以x=.故函数f(x)在区间0,内单调递增,在区间内单调递减.综上,当a=0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为;当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为0,,单调递减区间为.(2)由题意可知,函数h(x)=lnx+2ax2+x,所以h'(x)=+4ax+1=(x>0).①当a≥0时,h'(x)>0,可知函数h(x)在区间(0,+∞)内单调递增,无极值,不符合题意;②当a<0时,由h'(x)=0可得4ax2+x+1=0,则Δ=1-16a>0,且两根之积为x1x2=<0,不妨设x1<0,x2>0,x2=,则由h'(x)=0可得x=x2,故h(x)在区间(0,x2)内单调递增,在区间(x2,+∞)内单调递减,所以x=x2为极值点.由题意可知,h(x2)=lnx2+2a+x2>0.又4a+x2+1=0,所以lnx2+>0.构造函数g(x)=lnx+(x>0),则g'(x)=>0,所以函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.又g(1)=0,所以由g(x)>0,解得x>1,即x2=>1,解得-<a<0.故实数a的取值范围为.21.(12分)(2020山东,21)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aex-1-.(1)当a=e时,f(x)=ex-lnx+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴、y轴上的截距分别为,2.因此所求三角形的面积为.(2)由题意a>0,当0<a<1时,f(1)=a+lna<1.当a=1时,f(x)=ex-1-lnx,f'(x)=ex-1-.当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.当a>1时,f(x)=aex-1-lnx+lna>ex-1-lnx≥1.综上,a的取值范围是[1,+∞).22.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b2>3a;(3)若f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-,求a的取值范围.答案:(1)解由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f'(x)=3x2+2ax+b=3+b-.当x=-时,f'(x)有最小值,也是极小值,即b-.因为f'(x)的极值点是f(x)的零点,所以f=-+1=0,又a>0,故b=.因为f(x)有极值,故f'(x)=0有实根,从而b-(27-a3)≤0,即a≥3.当a=3时,f'(x)≥0且f'(x)不恒等于0,故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;当a>3时,f'(x)=0有两个相异的实根x1=,x2=.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增↗极大值单调递减↘极小值单调递增↗故f(x)的极值点是x1,x2.从而a>3.因此b=,定义域为(3,+∞).(2)证明由(1)知,.设g(t)=,则g'(t)=.当t∈时,g'(t)>0,从而g(t)在区间内单调递增.因为a>3,所以a>3,故g(a)>g(3)=,即.因此b2>3a.(3)解由(1)知,f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-a,.从而f(x1)+f(x2)=+a+bx1+1++a+bx2+1=(3+2ax1+b)+(3+2ax2+b)+a()+b(x1+x2)+2=+2=0.记f(x),f'(x)所有极值之和为h(a),因为f'(x)的极值为b-=-a2+,所以h(a)=-a2+,a>3.因为h'(a)=-a-<0,于是h(a)在区间(3,+∞)上单调递减.因为h(6)=-,于是h(a)≥h(6),故a≤6.因此a的取值范围为(3,6].