广西专用高考数学一轮复习单元质检十二概率A含解析

单元质检十二　概率(A)

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)

1.已知函数f(x)=2x(x<0),其值域为D,在区间(-1,2)上随机取一个数x,则x∈D的概率是(　　)

A. B. 

C. D.

答案:B

解析:函数f(x)=2x(x<0)的值域为(0,1),

即D=(0,1),则在区间(-1,2)内随机取一个数x,x∈D的概率P=.

故选B.

2.若ξ~B(n,p)且E(ξ)=6,D(ξ)=3,则P(ξ=1)的值为(　　)

A. B. 

C.2-4 D.2-8

答案:B

解析:∵E(ξ)=np=6,D(ξ)=np(1-p)=3,

∴p=,n=12,

∴P(ξ=1)=.

3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,随机选取两个不同的数,共有=45种情况,而和为30的有7+23,11+19,13+17这3种情况,故所求概率为.

4.某商场为了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系,随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表:

由表中数据算出线性回归方程x+中的=-2,气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃,据此估计该商场下个月毛衣销售量约为(　　)

A.46件 B.40件 C.38件 D.58件

答案:A

解析:由题中数据,得=10,=38,回归直线x+过点(),且=-2,代入得=58,则回归方程为=-2x+58,所以当x=6时,=46,故选A.

5.已知随机变量X服从正态分布N(5,4),且P(X>k)=P(X<k-4),则k的值为(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

答案:B

解析:∵正态曲线的对称轴为x=5,

又P(X>k)=P(X<k-4),

∴k+(k-4)=2×5,∴k=7,故选B.

6.设随机变量X服从二项分布X~B,则函数f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:∵函数f(x)=x2+4x+X存在零点,

∴Δ=16-4X≥0,∴X≤4.

∵随机变量X服从二项分布X~B,

∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1-.

二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)

7.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处通行的概率分别为,则汽车在这三处停车一次的概率为　　　　　. 

答案:

解析:设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A,B,C,停车为,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,

停车一次即为事件(BC)∪(AC)∪(AB)发生,

故所求概率为.

8.在区间[0,1]上随机抽取两个数x,y,则事件“xy≥”发生的概率为　　　　　. 

答案:

解析:设P(x,y).

∵0≤x≤1,0≤y≤1,

∴点P落在正方形OABC内部(含边界),如图.

作曲线y=,交正方形OABC于D,E两点,则满足条件xy≥的点P落在区域BDE内(含边界),如图阴影部分所示.

由于S阴影=×1-dx=ln2.

因此“xy≥”发生的概率为ln2.

三、解答题(本大题共3小题,共44分)

9.(14分)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数.

(1)求X的分布列;

(2)求所选3人中最多有1名女生的概率.

解:(1)由题意知本题是一个超几何分布,随机变量X表示所选3人中女生的人数,

X的可能取值为0,1,2,且P(X=k)=,k=0,1,2,

P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

X的分布列为

(2)由(1)知所选3人中最多有1名女生的概率为P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=.

10.(15分)(2020广东汕尾期末)随着金融市场的发展,越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段,下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示.

(1)求图中a的值;

(2)求把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数以及平均数;(结果用小数表示,小数点后保留两位有效数字)

(3)以频率估计概率,现从所有投资者中随机抽取4人,记年龄在区间[20,40)内的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X).

解:(1)依题意,0.07+0.18+10a+0.25+0.2=1,解得a=0.03.

(2)平均数为25×0.07+35×0.18+45×0.3+55×0.25+65×0.2=48.30.

中位数为40+≈48.33.

(3)依题意,年龄在区间[20,40)内的概率为0.007×10+0.018×10=0.25=,以频率估计概率,则年龄在区间[20,40)内的概率为P=,现从所有投资者中随机抽取4人,年龄在区间[20,40)内的人数为X,则X的可能取值为0,1,2,3,4,

X~B,

故P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=,

P(X=4)=.

因此X的分布列为

故随机变量X的数学期望E(X)=4×=1.

11.(15分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校大学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:

(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;

(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数,求X的分布列和数学期望;

(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000 元的人数有变化?说明理由.

解:(1)由题意知,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人,仅使用B的学生有10+14+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.

故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.

所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率估计为=0.4.

(2)X的所有可能值为0,1,2.

记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”,事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”.

由题设知,事件C,D相互独立,

且P(C)==0.4,P(D)==0.6.

所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,

P(X=1)=P(CD)

=P(C)P()+P()P(D)

=0.4×(1-0.6)+(1-0.4)×0.6

=0.52,

P(X=0)=P()=P()P()=0.24.

所以X的分布列为

故X的数学期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.

(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2000元”.

假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于2000元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得P(E)=.

答案示例1:可以认为有变化.理由如下:

P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.

答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:

事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.