广西专用高考数学一轮复习单元质检3导数及其应用含解析新人教A版理

这是一份广西专用高考数学一轮复习单元质检3导数及其应用含解析新人教A版理，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元质检三　导数及其应用
(时间:100分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.如果一个物体运动的位移s与时间t的关系为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在3 s末的瞬时速度是(　　)
A.7 m/s B.6 m/s
C.5 m/s D.8 m/s
2.(2021湖北黄冈模拟)已知f(x)的导函数f'(x)的大致图象如图所示,那么f(x)的大致图象最有可能是图中的(　　)


3.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是(　　)
A.m>0 B.m1 D.m0
C.x12-x22>0 D.x12-x220时,xf'(x)-f(x)>0.已知a=flog214,b=f(31.5),c=f(21.5),则(　　)
A.a0,从而得f(x)有两个极值点,极小值点为-2,极大值点为0,且f(x)在区间(-∞,-2),(0,+∞)上单调递减,在区间(-2,0)上单调递增,只有选项A符合要求.
3.B
4.D　解析由已知得y'=-sinx+a≥0在区间-π2,π2上恒成立,即a≥sinx在区间-π2,π2上恒成立,
∴a≥1.
5.A
6.D　解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.
由f'(x)=3x2+1,得曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.
7.A　解析令f(x)=1-xx+lnx,
则f'(x)=x-1x2.
当x∈12,1时,f'(x)0时,xf'(x)-f(x)>0,
∴f(x)x'=xf'(x)-f(x)x2>0,
∴f(x)x在区间(0,+∞)内单调递增,
又f(x)是奇函数,且f(-1)=0,
∴f(1)=0,
∴当x∈(0,1)时,f(x)0,
∴a=flog214=f(-2)=-f(2)21.5>1,
∴f(31.5)>0,f(21.5)>0,
且f(31.5)31.5>f(21.5)21.5,
∴f(31.5)f(21.5)>321.5>1,
∴b=f(31.5)>f(21.5)=c>0.
∴a0),不妨令g(x)=lnx+x+1(x>0),由g'(x)=1x+1,当x∈(0,+∞)时,有g'(x)>0总成立,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且g1e=1e>0,又x0是函数f(x)的极值点,所以f'(x0)=g(x0)=0,即g1e>g(x0),所以00,
所以φ'(x)≤0,
所以φ(x)在区间(0,1]上单调递减,φ(1)=4-e>0,
即φ(x)>0在区间(0,1]上恒成立,
所以h'(x)>0在区间(0,1]上恒成立,
所以h(x)=ex-2x2在区间(0,1]上单调递增,所以h(x)max=h(1)=e-2,
所以m≤h(x)max=e-2.
综上,m的取值范围为(-∞,e-2].
19.(1)解函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-a2x=(x+a)(x-a)x.
当x∈(0,a)时,f'(x)0,f(x)单调递增;
当x∈12,+∞时,f'(x)0时,令f'(x)=0,则-2ax2-2x+1=0.因为Δ=(-2)2-4×(-2a)=4+8a>0,x>0,所以x=-1+1+2a2a.
故函数f(x)在区间0,-1+1+2a2a内单调递增,
在区间-1+1+2a2a,+∞内单调递减.
综上,当a=0时,函数f(x)的单调递增区间为0,12,单调递减区间为12,+∞;
当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为0,-1+1+2a2a,单调递减区间为-1+1+2a2a,+∞.
(2)由题意可知,函数h(x)=lnx+2ax2+x,
所以h'(x)=1x+4ax+1=4ax2+x+1x(x>0).
①当a≥0时,h'(x)>0,可知函数h(x)在区间(0,+∞)内单调递增,无极值,不符合题意;
②当a0.
又4ax22+x2+1=0,
所以lnx2+x2-12>0.
构造函数g(x)=lnx+x-12(x>0),
则g'(x)=1x+12>0,
所以函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
又g(1)=0,所以由g(x)>0,
解得x>1,
即x2=-1-1-16a8a>1,
解得-120,故b=2a29+3a.
因为f(x)有极值,故f'(x)=0有实根,从而b-a23=19a(27-a3)≤0,即a≥3.
当a=3时,f'(x)≥0且f'(x)不恒等于0,故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;
当a>3时,f'(x)=0有两个相异的实根x1=-a-a2-3b3,
x2=-a+a2-3b3.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:
x
(-∞,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增↗
极大值
单调递减↘
极小值
单调递增↗
故f(x)的极值点是x1,x2.
从而a>3.
因此b=2a29+3a,定义域为(3,+∞).
(2)证明由(1)知,ba=2aa9+3aa.
设g(t)=2t9+3t,则g'(t)=29-3t2=2t2-279t2.
当t∈362,+∞时,g'(t)>0,从而g(t)在区间362,+∞内单调递增.
因为a>3,所以aa>33,故g(aa)>g(33)=3,即ba>3.
因此b2>3a.
(3)解由(1)知,f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-23a,x12+x22=4a2-6b9.
从而f(x1)+f(x2)=x13+ax12+bx1+1+x23+ax22+bx2+1=x13(3x12+2ax1+b)+x23(3x22+2ax2+b)+13a(x12+x22)+23b(x1+x2)+2=4a3-6ab27-4ab9+2=0.
记f(x),f'(x)所有极值之和为h(a),因为f'(x)的极值为b-a23=-19a2+3a,
所以h(a)=-19a2+3a,a>3.
因为h'(a)=-29a-3a2