专题02 复数-大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（新高考卷与全国理科）

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）

专题02复数

1．【2022年全国甲卷理科01】若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

故选 ：C

2．【2022年全国乙卷理科02】已知，且，其中a，b为实数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由,得,即

故选:

3．【2022年新高考1卷02】若，则（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【解析】

由题设有，故，故，

故选：D

4．【2022年新高考2卷02】（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

，

故选：D.

5．【2021年全国甲卷理科3】已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

，

.

故选：B.

6．【2021年新高考1卷2】已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

因为，故，故

故选：C.

7．【2021年全国乙卷理科1】设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

设，则，则，

所以，，解得，因此，.

故选：C.

8．【2021年新高考2卷1】复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

，所以该复数对应的点为，

该点在第一象限，

故选：A.

9．【2020年全国1卷理科01】若z=1+i，则|z2–2z|=（    ）

A．0 B．1 C． D．2

【答案】D

【解析】

由题意可得：，则.

故.

故选：D.

10．【2020年全国3卷理科02】复数的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

因为，

所以复数的虚部为.

故选：D.

11．【2020年山东卷02】（    ）

A．1 B．−1

C．i D．−i

【答案】D

【解析】

故选：D

12．【2020年海南卷02】（    ）

A．1 B．−1

C．i D．−i

【答案】D

【解析】

故选：D

13．【2019年新课标3理科02】若z（1+i）＝2i，则z＝（　　）

A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i

【答案】解：由z（1+i）＝2i，得

z

＝1+i．

故选：D．

14．【2019年全国新课标2理科02】设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】解：∵z＝﹣3+2i，

∴，

∴在复平面内对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限．

故选：C．

15．【2019年新课标1理科02】设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（　　）

A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1 

C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝1

【答案】解：∵z在复平面内对应的点为（x，y），

∴z＝x+yi，

∴z﹣i＝x+（y﹣1）i，

∴|z﹣i|，

∴x2+（y﹣1）2＝1，

故选：C．

16．【2018年新课标1理科01】设z2i，则|z|＝（　　　　）

A．0 B． C．1 D．

【答案】解：z2i2i＝﹣i+2i＝i，

则|z|＝1．

故选：C．

17．【2018年新课标2理科01】（　　　　）

A．i B． C． D．

【答案】解：．

故选：D．

18．【2018年新课标3理科02】（1+i）（2﹣i）＝（　　　　）

A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i

【答案】解：（1+i）（2﹣i）＝3+i．

故选：D．

19．【2017年新课标1理科03】设有下面四个命题

p1：若复数z满足∈R，则z∈R；

p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；

p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1；

p4：若复数z∈R，则∈R．

其中的真命题为（　　　　）

A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4

【答案】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；

p2：复数z＝i满足z2＝﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；

p3：若复数z1＝i，z2＝2i满足z1z2∈R，但z1，故命题p3为假命题；

p4：若复数z∈R，则z∈R，故命题p4为真命题．

故选：B．

20．【2017年新课标2理科01】（　　　　）

A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i

【答案】解：2﹣i，

故选：D．

21．【2017年新课标3理科02】设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（　　　　）

A． B． C． D．2

【答案】解：∵（1+i）z＝2i，∴（1﹣i）（1+i）z＝2i（1﹣i），z＝i+1．

则|z|．

故选：C．

22．【2016年新课标1理科02】设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝（　　）

A．1 B． C． D．2

【答案】解：∵（1+i）x＝1+yi，

∴x+xi＝1+yi，

即，解得，即|x+yi|＝|1+i|，

故选：B．

23．【2016年新课标2理科01】已知z＝（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（　　　　）

A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）

【答案】解：z＝（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，

可得：，解得﹣3＜m＜1．

故选：A．

24．【2016年新课标3理科02】若z＝1+2i，则（　　　　）

A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i

【答案】解：z＝1+2i，则i．

故选：C．

25．【2015年新课标1理科01】设复数z满足i，则|z|＝（　　　　）

A．1 B． C． D．2

【答案】解：∵复数z满足i，

∴1+z＝i﹣zi，

∴z（1+i）＝i﹣1，

∴zi，

∴|z|＝1，

故选：A．

26．【2015年新课标2理科02】若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）＝﹣4i，则a＝（　　　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【答案】解：因为（2+ai）（a﹣2i）＝﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i＝﹣4i，

4a＝0，并且a2﹣4＝﹣4，

所以a＝0；

故选：B．

27．【2014年新课标1理科02】（　　　　）

A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i

【答案】解：（1+i）＝﹣1﹣i，

故选：D．

28．【2014年新课标2理科02】设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2+i，则z1z2＝（　　　　）

A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i

【答案】解：z1＝2+i对应的点的坐标为（2，1），

∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，

∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），

则对应的复数，z2＝﹣2+i，

则z1z2＝（2+i）（﹣2+i）＝i2﹣4＝﹣1﹣4＝﹣5，

故选：A．

29．【2013年新课标1理科02】若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（　　　　）

A．﹣4 B． C．4 D．

【答案】解：∵复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，∴zi，

故z的虚部等于，

故选：D．

30．【2013年新课标2理科02】设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z＝（　　　　）

A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i

【答案】解：∵复数z满足z（1﹣i）＝2i，

∴z1+i

故选：A．

31．【2020年全国2卷理科15】设复数，满足，，则=__________.

【答案】

【解析】

，可设，，

，

，两式平方作和得：，

化简得：

.

故答案为：.

1．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】

∵，∴，

∴ ，∴复数z在复平面内对应的点为，

故复数z在复平面内对应的点在第一象限，

故选：A.

2．已知（i为虚数单位），则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由题设，则，

所以，故.

故选：D

3．已知复数是纯虚数（i为虚数单位），则（       ）

A．2或 B．2 C． D．0

【答案】C

【解析】

因为复数是纯虚数，

所以且，

所以．

故选：C.

4．已知复数，则（       ）

A． B．4 C． D．10

【答案】A

【解析】

复数，则，

故，

故选：A

5．在复平面内，复数对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】

，

所以复数在复平面上的对应点为，该点在第三象限.

故选：C.

6．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由题意得，

所以.

故选：D.

7．设为复数，分别是的共轭复数，满足，则下列一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

设，

则，所以C错

，

当时，，，A错，D错，

，B对，

故选：B.

8．已知为虚数单位，a为实数，复数在复平面内对应的点在y轴上，则a的值是（       ）

A．-2 B． C． D．2

【答案】A

【解析】

由，

因为复数在复平面内对应的点在y轴上，所以

则

故选：A

9．已知复数，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

因为，所以，

所似．

故选A．

10．在复平面上表示复数的点在直线上，若是实系数一元二次方程的根，则=（       ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】C

【解析】

设，则，

化简，即，

所以，解得或，

故选：C.

11．已知复数，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【解析】

对于A，若，则满足，而不满足，所以A错误，

对于B，由，得，

所以或，所以或，所以，所以B正确，

对于C，因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误，

对于D，由，得，所以，所以D正确，

故选：BD

12．在复数范围内，下列命题不正确的是（       ）

A．若是非零复数，则不一定是纯虚数

B．若复数满足，则是纯虚数

C．若，则且

D．若，为两个复数，则一定是实数

【答案】BCD

【解析】

对于A，设(，)，，，但有可能，就不一定是纯虚数，故A正确；

对于B，设(，)，，，

由条件可知，即，所以 ，

因为，可同时为0，所以z不一定是纯虚数，故B错误；

对于C，若，，，故C错误；

对于D，设，（，，，)，则，

所以不一定是实数，故D不正确．

故选:BCD．

13．已知，均为复数，则下列结论中正确的有（       ）

A．若，则 B．若，则是实数

C． D．若，则是实数

【答案】BD

【解析】

，，而，A错．

令，则，为实数，B对．

，，，，则，C错．

令，则，，

为实数，D对，

故选：BD

14．欧拉公式（本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（       ）

A．复数为纯虚数

B．复数对应的点位于第二象限

C．复数的共轭复数为

D．复数在复平面内对应的点的轨迹是圆

【答案】ABD

【解析】

解：对A：因为复数为纯虚数，故选项A正确；

对B：复数，因为，所以复数对应的点为位于第二象限，B正确；

对C：复数的共轭复数为，故选项C错误；

对D：复数在复平面内对应的点为，

因为，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D正确.

故选：ABD.

15．已知复数z满足方程，则（       ）

A．z可能为纯虚数 B．方程各根之和为4 C．z可能为 D．方程各根之积为

【答案】BCD

【解析】

由，得或，

即或，

解得：或，显然A错误，C正确；

各根之和为，B正确；

各根之积为，D正确

故选：BCD.

16．复数满足（其中为虚数单位），则__________．

【答案】

【解析】

由已知可得.

故答案为：.

17．已知i为虚数单位，则复数___________.

【答案】.

【解析】

，

故答案为：.

18．已知复数，则＝________．

【答案】##

【解析】

，故

故答案为：

19．若（i是虚数单位）是关于x的实系数方程的一个复数根，则_________．

【答案】##

【解析】

∵实系数一元二次方程的一个虚根为，

∴其共轭复数也是方程的根.

由根与系数的关系知，，

∴ ，.

∴

故答案为：

20．如果复数z满足，那么的最大值是______ ．

【答案】2＃＃＋2

【解析】

设复数z在复平面中对应的点为

∵，则点到点的距离为2，即点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆

表示点到点的距离，结合图形可得

故答案为：．

21．i是虚数单位，则的虚部为__________．

【答案】

【解析】

，则虚部为.

故答案为：.

22．已知是虚数单位，复数满足，则________．

【答案】

【解析】

因为，所以．

故答案为：．

23．已知i为虚数单位，则复数的实部为______．

【答案】##0.5

【解析】

，

所以实部为.

故答案为：

24．设复数，若复数对应的点在直线上， 则的最小值为___________

【答案】9

【解析】

故复数对应的点的坐标为 ，又因为点在直线

，整理得：

当且仅当 时，即 时等号成立，即的最小值为9

故答案为：9

25．若复数，则z在复平面内对应的点在第______象限．

【答案】一

【解析】

因为，

所以z在复平面内对应的点在第一象限.

故答案为：一.