2023年高考数学(理数)一轮复习课时12《实际问题的函数建模》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时12

《实际问题的函数建模》达标练习

一 、选择题

1.用长度为24(单位：米)的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为(　　)

A.3米         B.4米        C.6米         D.12米

2.李冶(1192—1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)(　 　)

A.10步，50步     B.20步，60步    C.30步，70步     D.40步，80步

3.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.301 0)  (　　)

A.3　　          B.4           C.5　　　　D.6

4.在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH=－lg [H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)

A.        B.         C.        D.

5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为(　　)

A.x＝15，y＝12         B.x＝12，y＝15

C.x＝14，y＝10         D.x＝10，y＝14

6.世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)(　　)

A.1.5%         B.1.6%       C.1.7%         D.1.8%

7.一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么(　 　)

A.人可在7 s内追上汽车

B.人可在10 s内追上汽车

C.人追不上汽车，其间距最少为5 m

D.人追不上汽车，其间距最少为7 m

8.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　   　)

A.y=2x－2        B.y=(x2－1)        C.y=log2x         D.y=logx

9.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)

A.100台         B.120台        C.150台         D.180台

10.某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)

A.5 km处       B.4 km处         C.3 km处      D.2 km处

11.某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款.现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是(　 　)

A.不能确定        B.①②同样省钱    C.②省钱        D.①省钱

12.如图，矩形ABCD的周长为8，设AB=x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN=1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y=f(x)的图象大致为(　 　)

二 、填空题

13.某商店按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件.若要获得最大利润，销售价应定为每件________元.

14.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，

则该家具的进货价是      元.

15.为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元.设f(n)表示前n年的纯利润(f(n)=前n年的总收入－前n年的总费用支出－投资额)，则从第　　年开始盈利.

16.西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L=－(x＞0).则当年广告费投入　　万元时，该公司的年利润最大.

0.答案解析

1.答案为：A

解析：设隔墙的长为x(0＜x＜6)米，矩形的面积为y平方米，

则y＝x×＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，y取得最大值.

2.答案为：B.

解析：设圆池的半径为r步，则方田的边长为(2r＋40)步，由题意，

得(2r＋40)2－3r2=13.75×240，解得r=10或r=－170(舍)，

所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步.故选B.

3.答案为：B.

解析：设至少要洗x次，则（1- ）x≤，

∴x≥≈3.322，因此至少需要洗4次，故选B.]

4.答案为：C

解析：∵[H＋]·[OH－]=10－14，∴=[H＋]2×1014，∵7.35<－lg [H＋]<7.45，

∴10－7.45<[H＋]<10－7.35，∴10－0.9<=1014·[H＋]2<10－0.7，10－0.9=>，

lg(100.7)=0.7>lg 3>lg 2，∴100.7>3>2，10－0.7<<，∴<<.故选C.

5.答案为：A

解析：由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，由0＜x≤20得，8≤y＜24，

所以S＝xy＝－(y－12)2＋180，所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.

6.答案为：C

解析：由题意得(1＋x)40＝2，∴40lg(1＋x)＝lg 2，∴lg(1＋x)≈0.007 5，

∴1＋x＝100.007 5，∴x≈0.017＝1.7%.故选C.

7.答案为：D.

解析：设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s=t2，

车与人的间距d=(s＋25)－6t=t2－6t＋25=(t－6)2＋7，当t=6时，d取得最小值为7.

8.答案为：B；

解析：由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.

9.答案为：C；

解析：设利润为f(x)万元，则

f(x)=25x－(3 000＋20x－0.1x2)

=0.1x2＋5x－3 000(0＜x＜240，x∈N*).

令f(x)≥0，得x≥150，∴生产者不亏本时的最低产量是150台.

10.答案为：A

解析：设仓库与车站距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，于是y1＝，y2＝k2x，

∴解得k1＝20，k2＝.设总费用为y，则y＝＋≥2＝8.

当且仅当＝，即x＝5时取等号.故选A.

11.答案为：D.

解析：方法①用款为4×20＋26×5=80＋130=210(元)，

方法②用款为(4×20＋30×5)×92%=211.6(元)，

因为210<211.6，故方法①省钱.

12.答案为：D；

解析：由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为的扇形.

因为矩形ABCD的周长为8，AB=x，

则AD==4－x，所以y=x(4－x)－=－(x－2)2＋4－(1≤x≤3)，

显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x=2时，y=4－∈(3,4)，故选D.

二 、填空题

13.答案为：190 元

解析：设售价提高x元，则依题意y=(1 000－5x)×(20＋x)

=－5x2＋900x＋20 000=－5(x－90)2＋60 500.

故当x=90时，ymax=60 500，此时售价为每件190元.

14.答案为：108.

解析：设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a=10%·a，解得a=108.

15.答案为：5；

解析：由题知f(n)=26n－－60=－n2＋19n－60.

令f(n)＞0，即－n2＋19n－60＞0，

解得4＜n＜15，所以从第5年开始盈利.

16.答案为：4；

解析：由题意得L=－≤－2=21.5，

当且仅当=，即x=4时等号成立.此时L取得最大值21.5.

故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大.