2023年高考数学(理数)一轮复习课时14《导数与函数的单调性》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时14

《导数与函数的单调性》达标练习

一 、选择题

1.函数f(x)=3＋xlnx的单调递减区间是(　 　)

A.(,e)       B.(0,)      C.(-∞,)        D.(,+∞)

【答案解析】答案为：B.

解析：因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)=lnx＋x·=lnx＋1，

令f′(x)<0，解得0<x<，故f(x)的单调递减区间是(0,).

2.已知a≥0，函数f(x)=(x2－2ax)ex.若f(x)在[－1,1]上单调递减，则a的取值范围是(　　)

A.　      B.       C.      D.

【答案解析】答案为：C

解析：f ′(x)=(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex=[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意可知，

当x∈[－1,1]时， f ′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立.

令g(x)=x2＋(2－2a)x－2a，则有

即解得a≥.

3.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为(　 　)

A.(0,1)        B.(0,+∞)        C.(1,+∞)              D.(-∞,0)∪(1,+∞)

【答案解析】答案为：A.

解析:函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-=,令f′(x)<0,解得0<x<1.

所以单调递减区间是(0,1).

4.已知定义在R上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)<0，若a<b，则一定有(　　)

A.af(a)<bf(b)        B.af(b)<bf(a)

C.af(a)>bf(b)        D.af(b)>bf(a)

【答案解析】答案为：C；

解析：[x·f(x)]′=x′f(x)＋x·f′(x)=f(x)＋x·f′(x)<0，

∴函数x·f(x)是R上的减函数，∵a<b，∴af(a)>bf(b).

5.下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　 　)

A.f(x)=sin2x     B.f(x)=xex      C.f(x)=x3－x     D.f(x)=－x＋lnx

【答案解析】答案为：B.

解析：对于A，f(x)=sin2x的单调递增区间是(k∈Z)；

对于B，f′(x)=ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，

∴函数f(x)=xex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)=3x2－1，

令f′(x)>0，得x>或x<－，

∴函数f(x)=x3－x在和上单调递增；

对于D，f′(x)=－1＋=－，令f′(x)>0，得0<x<1，

∴函数f(x)=－x＋lnx在区间(0,1)上单调递增.

综上所述，故选B.

6.已知f′(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数，满足f′(x)－2f(x)<0，且f(－1)=0，则f(x)>0的解集为(　　)

A.(－∞，－1)          B.(－1,1)

C.(－∞，0)          D.(－1，＋∞)

【答案解析】答案为：A

解析：设g(x)=，则g′(x)=<0在R上恒成立，

所以g(x)在R上递减，又因为g(－1)=0，f(x)>0⇔g(x)>0，所以x<－1.故选A.

7.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是(　　)

【答案解析】答案为：D；

解析：不妨设导函数y=f′(x)的零点依次为x1，x2，x3，其中x1＜0＜x2＜x3，由导函数图象可知，y=f(x)在(－∞，x1)上为减函数，在(x1，x2)上为增函数，在(x2，x3)上为减函数，在(x3，＋∞)上为增函数，从而排除A，C.y=f(x)在x=x1，x=x3处取到极小值，在x=x2处取到极大值，又x2＞0，排除B，故选D.

8.若函数y=在(1，＋∞)上单调递减，则称f(x)为P函数.

下列函数中为P函数的为(　 　)

①f(x)=1；②f(x)=x；③f(x)=；④f(x)=.

A.①②④        B.①③       C.①③④        D.②③

【答案解析】答案为：B.

解析：x∈(1，＋∞)时，lnx>0，x增大时，，都减小，

∴y=，y=在(1，＋∞)上都是减函数，∴f(x)=1和f(x)=都是P函数；

()′=，∴x∈(1，e)时，()′<0，x∈(e，＋∞)时，()′>0，

即y=在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴f(x)=x不是P函数；

()′=，∴x∈(1，e2)时，()′<0，x∈(e2，＋∞)时，()′>0，

即y=在(1，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增，

∴f(x)=不是P函数.故选B.

9.已知函数f(x)=x3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则函数y=log2(x2＋bx＋)的单调递减区间为(　　)

A.　    B.[3，＋∞)      C.[－2,3]　    D.(－∞，－2)

【答案解析】答案为：D

解析：因为f(x)=x3＋bx2＋cx＋d，所以f ′(x)=3x2＋2bx＋c，

由图可知f ′(－2)=f ′(3)=0，

所以解得

令g(x)=x2＋bx＋，则g(x)=x2－x－6，g′(x)=2x－1，

由g(x)=x2－x－6＞0，解得x＜－2或x＞3.令g′(x)＜0，解得x<，

所以g(x)=x2－x－6在(－∞，－2)上为减函数，

所以函数y=log2的单调递减区间为(－∞，－2).

10.已知f(x)是可导的函数，且f′(x)＜f(x)对于x∈R恒成立，则(　　)

A.f(1)＜ef(0)，f(2 020)＞e2 020f(0)

B.f(1)＞ef(0)，f(2 020)＞e2 020f(0)

C.f(1)＞ef(0)，f(2 020)＜e2 020f(0)

D.f(1)＜ef(0)，f(2 020)＜e2 020f(0)

【答案解析】答案为：D；解析：令g(x)=，

则g′(x)=()′==＜0，

所以函数g(x)=是单调减函数，

所以g(1)＜g(0)，g(2 020)＜g(0)，

即＜，＜，

故f(1)＜ef(0)，f(2 020)＜e2 020f(0).

11.定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(3)=0，且不等式f(x)>－xf′(x)在(0，＋∞)上恒成立，则函数g(x)=xf(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为(　　)

A.4        B.3       C.2        D.1

【答案解析】答案为：B；

解析：g(x)=0即xf(x)=－lg|x＋1|，[xf(x)]′=f(x)＋xf′(x)，由已知得xf(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为奇函数，所以xf(x)为偶函数且零点为3，－3，0，在同一坐标系中作出函数y=xf(x)和y=－lg|x＋1|的图象，易知交点有3个，故g(x)的零点个数为3.

12.设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，对任意的实数x都有f(x)=4x2－f(－x)，

当x∈(－∞，0)时，f′(x)＋<4x，若f(m＋1)≤f(－m)＋4m＋2，

则实数m的取值范围是(　　)

A.[－0.5，＋∞)     B.[－1.5，＋∞)    C.[－1，＋∞)    D.[－2，＋∞)

【答案解析】答案为：A.

解析：令F(x)=f(x)－2x2，因为F(－x)＋F(x)=f(－x)＋f(x)－4x2=0，

所以F(－x)=－F(x)，故F(x)=f(x)－2x2是奇函数.

则当x∈(－∞，0)时，F′(x)=f′(x)－4x<－<0，

故函数F(x)=f(x)－2x2在(－∞，0)上单调递减，故函数F(x)在R上单调递减.

不等式f(m＋1)≤f(－m)＋4m＋2等价于f(m＋1)－2(m＋1)2≤f(－m)－2m2，

即F(m＋1)≤F(－m)，由函数的单调性可得m＋1≥－m，即m≥－.故选A.

二 、填空题

13.已知f(x)是奇函数，且当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax(a>)，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值是1，则a＝________.

【答案解析】答案为：1

解析：由题意，得x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax(a>)有最大值－1，f′(x)＝－a，

由f′(x)＝0，得x＝∈(0,2)，且x∈(0,)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

x∈(,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，则f(x)max＝f()＝ln －1＝－1，解得a＝1.

14.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数y=f′(x)，满足f′(x)<f(x)，f(0)=1，

则不等式f(x)<ex的解集为         .

【答案解析】答案为：(0，＋∞).

解析：令F(x)=，则F(0)=1，

F′(x)==<0，

故F(x)为R上的减函数，有f(x)<ex等价于F(x)<1，即F(x)<F(0).

故不等式f(x)<ex的解集为(0，＋∞).

15.函数f(x)=ln x－x2＋x的单调增区间为________.

【答案解析】答案为：（0，）.

解析：因为f(x)=ln x－x2＋x，所以f′(x)=－x＋1=，x＞0，

由f′(x)＞0得x＞0且x＜，所以增区间为（0，）.

16.若函数f(x)=ax3+3x2-x恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围是　　　　. 

【答案解析】答案为：(-3,0)∪(0,+∞)

解析:由题意知f′(x)=3ax2+6x-1,由函数f(x)恰好有三个单调区间,得f′(x)有两个不相等的零点,所以3ax2+6x-1=0需满足a≠0,且Δ=36+12a>0,解得a>-3,所以实数a的取值范围是(-3,0)∪(0,+∞).