【小升初专练】容斥原理 （试题） 2021-2022学年小学数学六年级下册小升初专项提升练习

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（容斥原理）一．选择题（共3小题）1．某班同学积极参加跳绳比赛，参加集体比赛的有10人、参加个人比赛的有19人，两项都参加的有8人，这个班共有　　人参加跳绳比赛．A．21 B．27 C．29 D．372．三（1）班有30人，订阅《少儿书画》的有20人，订阅《少年博览》的有25人，每人至少订阅一种刊物，两种刊物都订阅的有　　人．A．15 B．25 C．353．同学们去秋游，休息时玩了2个游戏．玩贴鼻子的有27人，玩抢椅子的有34人，两个游戏都玩的有11人，参加秋游的同学共　　人．A．72 B．61 C．50二．填空题（共12小题）4．三年级（1）班有12人参加了数学竞赛，有15人参加了语文竞赛，有4人两项竞赛都参加了，三年级（1）班参加数学和语文竞赛的一共有 　　人．5．同学们去动物园参观，参观熊猫馆的有10人，参观大象馆的有18人，两个馆都参观的8人．一共有 　　人参观动物园．6．三年级同学参加朗诵比赛的有52人，参加绘画比赛的有49人，两项都参加的有15人，三年级有 　　人参加了比赛．7．北街小学三（1）班有55个同学，一次半期测试后统计语文成绩达到优秀的有39人，数学成绩达到优秀的有41人，语文和数学成绩都达到优秀的有 　　人．8．兴趣小组有9人参加跳绳比赛、6人参加踢毽子比赛，其中有3人两项比赛都参加了，没有不参赛的，这个兴趣小组一共 　　人．9．三（3）班有25人订阅了《趣味数学》，有19人订阅了《科学画报》，有11人两种刊物都订阅了，订阅这两种刊物的共 　　人．10．学校艺术团开始报名了三（2）班参加鼓号队的有14人，参加合唱队的有21人，两个队都参加的有7人．三（2）班参加鼓号队和合唱队的一共有 　　人．11．三（1）班有32人，校运会上，参加跳绳的有22人，参加踢毽子的有16人，其中两项都参加的有8人，两项都没参加的有 　　人．12．学校乐队招收了若干名新学员，其中会拉小提琴的有25名，会弹电子琴的有22名，两项都会的有3名．学校乐队共有 　　名新学员．13．元旦联欢的时候，三一班一共有36人表演了三项节目，其中18人表演了团体操，15人表演了舞蹈，6人只表演了唱歌．团体操和舞蹈两项都表演的有 　　人．14．三年级有学生100人，喜欢数学的有72人，喜欢语文的有53人．这两科都喜欢的有 　　人．15．四年级（2）班参加绘画兴趣小组有38人，参加唱歌兴趣小组的有27人，每人至少参加一样，两样都参加的有9人，四年级（2）班有 　　人．三．应用题（共1小题）16．三年级一班有45人，他们去学习书法和绘画，每人至少学一门．学习书法的有26人，学习绘画的有25人．书法和绘画都学习的有多少人？
2022年小学数学解题模型（容斥原理）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．某班同学积极参加跳绳比赛，参加集体比赛的有10人、参加个人比赛的有19人，两项都参加的有8人，这个班共有　　人参加跳绳比赛．A．21 B．27 C．29 D．37【考点】容斥原理【分析】根据容斥原理，用参加集体比赛的10人加参加个人比赛的19人，求出和，然后再减去两项都参加的8人（重复计算了1次），即得总人数．【解答】解：（人答：这个班共有21人参加跳绳比赛．故选：。【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解两项都参加的人数是既参加集体比赛又参加个人比赛的重叠部分，知识点是：总人数既又．2．三（1）班有30人，订阅《少儿书画》的有20人，订阅《少年博览》的有25人，每人至少订阅一种刊物，两种刊物都订阅的有　　人．A．15 B．25 C．35【考点】容斥原理【分析】把20和25相加求出两者的人数和，因为两种刊物都订阅了的是重叠部分的人数，重复计算了一次，所以根据容斥原理，用两者的人数和，减去总人数30就是两种刊物都订阅的人数；据此解答．【解答】解：（人答：两种刊物都订阅的有15人．故选：。【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：类类元素个数总和属于类元素个数属于类元素个数既是类又是类的元素个数．3．同学们去秋游，休息时玩了2个游戏．玩贴鼻子的有27人，玩抢椅子的有34人，两个游戏都玩的有11人，参加秋游的同学共　　人．A．72 B．61 C．50【考点】容斥原理【分析】参加玩贴鼻子的和玩抢椅子的中有11人是重复的，所以用，求出参加秋游的同学共多少人即可【解答】解：（人答：参加秋游的同学共50人．故选：。【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出至少参加一种的人数，知识点是容斥原理一：总人数既又．二．填空题（共12小题）4．三年级（1）班有12人参加了数学竞赛，有15人参加了语文竞赛，有4人两项竞赛都参加了，三年级（1）班参加数学和语文竞赛的一共有 　23　人．【考点】容斥原理【分析】由题意，用就是只参加了数学竞赛、只参加了语文竞赛以及两项竞赛都参加的人数的2倍，再减去重叠的4人，就是三年级（1）班参加数学和语文竞赛的总人数．【解答】解：（人答：三年级（1）班参加数学和语文竞赛的一共有23人．故答案为：23．【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数既又．5．同学们去动物园参观，参观熊猫馆的有10人，参观大象馆的有18人，两个馆都参观的8人．一共有 　20　人参观动物园．【考点】容斥原理【分析】由题意，用就是只参观熊猫馆、只参观大象馆以及两个馆都参观的人数的2倍，再减去重复计算的两个馆都参观的人数人），即得去动物园的总人数．【解答】解：（人答：一共有 20人参观动物园．故答案为：20．【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数既又．6．三年级同学参加朗诵比赛的有52人，参加绘画比赛的有49人，两项都参加的有15人，三年级有 　86　人参加了比赛．【考点】容斥原理【分析】由题意，用求出至少参加一个比赛项目的同学的总人数，再减去两项都参加的人数就是三年级参加比赛的总人数．【解答】解：（人答：三年级有86人参加了比赛．故答案为：86．【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题．7．北街小学三（1）班有55个同学，一次半期测试后统计语文成绩达到优秀的有39人，数学成绩达到优秀的有41人，语文和数学成绩都达到优秀的有 　25　人．【考点】容斥原理【分析】由题意，用就是只有语文成绩达到优秀的、只有数学成绩达到优秀的以及两科都达到优秀的人数的2倍，再减总人数55，即得语文和数学成绩都达到优秀的人数．【解答】解：（人答：语文和数学成绩都达到优秀的有 25人．故答案为：25．【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数既又．8．兴趣小组有9人参加跳绳比赛、6人参加踢毽子比赛，其中有3人两项比赛都参加了，没有不参赛的，这个兴趣小组一共 　12　人．【考点】容斥原理【分析】根据容斥原理“类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数既是类又是类的元素个数”，用即可求出这个兴趣小组一共有多少人．【解答】解：（人答：这个兴趣小组一共有12人．故答案为：12．【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题．9．三（3）班有25人订阅了《趣味数学》，有19人订阅了《科学画报》，有11人两种刊物都订阅了，订阅这两种刊物的共 　33　人．【考点】容斥原理【分析】因为有11人两种刊物都订阅了是的重叠部分的人数，所以根据容斥原理求至少参加订阅一种的人数是：（人，然后加上10就是总人数；据此解答．【解答】解：（人；答：订阅这两种刊物的共 33人．故答案为：33．【点评】本题依据了容斥原理公式之一：类类元素个数总和属于类元素个数属于类元素个数既是类又是类的元素个数．10．学校艺术团开始报名了三（2）班参加鼓号队的有14人，参加合唱队的有21人，两个队都参加的有7人．三（2）班参加鼓号队和合唱队的一共有 　28　人．【考点】容斥原理【分析】根据“参加鼓号队的有14人，参加合唱队的有21人”可知：人包括三部分：只参加合唱队的人数、只参加鼓号队的人数、两种都参加的人数的2倍，所以参加合唱队和参加鼓号队的总人数是：人，据此解答．【解答】解：（人答：三（2）班参加鼓号队和合唱队的一共有 28人．故答案为：28．【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数既又．11．三（1）班有32人，校运会上，参加跳绳的有22人，参加踢毽子的有16人，其中两项都参加的有8人，两项都没参加的有 　2　人．【考点】容斥原理【分析】根据容斥原理“既又总人数”，用参加跳绳的22人加参加踢毽子的16人求出和，减去两项都参加的8人即得参加的人数，然后用总人数32减去参加的人数就是两项都没参加的人数．【解答】解：（人（人答：两项都没参加的有 2人．故答案为：2．【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解两项都参加的人数是既参加跳绳比赛又参加踢毽子的重叠部分，知识点是：总人数既又．12．学校乐队招收了若干名新学员，其中会拉小提琴的有25名，会弹电子琴的有22名，两项都会的有3名．学校乐队共有 　44　名新学员．【考点】容斥原理【分析】根据“其中会拉小提琴的有25名，会弹电子琴的有22名，”可知：人包括三部分，只会拉小提琴的人数、只会弹电子琴的人数、两种都会的人数，所以两项都会的总人数是：（人，据此解答．【解答】解：（名答：学校乐队共有 44名新学员．故答案为：44．【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出至少会一种的人数，知识点是容斥原理一：总人数既又．13．元旦联欢的时候，三一班一共有36人表演了三项节目，其中18人表演了团体操，15人表演了舞蹈，6人只表演了唱歌．团体操和舞蹈两项都表演的有 　3　人．【考点】容斥原理【分析】三一班一共有36人表演了三项节目，6人只表演了唱歌，所以团体操和舞蹈两项的人数是（人，再用其中18加上15求出两者的总人数（团体操和舞蹈两项都表演的重复计算了1次），然后再减去30人就是团体操和舞蹈两项都表演的人数．【解答】解：（人（人答：团体操和舞蹈两项都表演的有3人．故答案为：3．【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出团体操和舞蹈至少表演一种的人数，知识点是容斥原理一：总人数既又．14．三年级有学生100人，喜欢数学的有72人，喜欢语文的有53人．这两科都喜欢的有 　25　人．【考点】容斥原理【分析】根据两量重叠问题：类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数既是类又是类的元素个数可得：用72加上53求出两者的人数和，再减去总人数100人，就是重叠的人数，即这两科都喜欢的人数．【解答】解：（人答：这两科都喜欢的有 25人．故答案为：25．【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题．15．四年级（2）班参加绘画兴趣小组有38人，参加唱歌兴趣小组的有27人，每人至少参加一样，两样都参加的有9人，四年级（2）班有 　56　人．【考点】容斥原理【分析】由于参加唱歌兴趣小组的有27人和参加绘画兴趣小组的有38人，都包含两样都参加的有9人，所以从“参加唱歌兴趣小组的27人和参加绘画兴趣小组的38人”中减去9人，就是总人数，据此解答．【解答】解：（人答：四年级（2）班有56人．故答案为：56．【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解总人数包括三部分的人数，知识点是：总人数既又．三．应用题（共1小题）16．三年级一班有45人，他们去学习书法和绘画，每人至少学一门．学习书法的有26人，学习绘画的有25人．书法和绘画都学习的有多少人？【考点】容斥原理【分析】由题意，用就是只学习书法、只绘画以及书法和绘画都学习的人数的2倍，再减去总人数，即得重复计算的书法和绘画都学习的人数．【解答】解：（人答：书法和绘画都学习的有6人．【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出至少参加一种的人数，知识点是容斥原理一：总人数既又．
考点卡片1．容斥原理【知识点归纳】在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．一般方法：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．容斥原理1：两量重叠问题A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B＝A+B﹣A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．容斥原理2：三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A∪B∪C＝A+B+C﹣A∩B﹣B∩C﹣A∩C+A∩B∩C 【命题方向】经典例题：例1：聚会时，有5人喝可乐，有6人喝果汁，有4人喝茶水，其中有3人既喝果汁又喝茶水，有（　　）人参加聚会．A、18          B、12         C、10分析：由题意可知，聚会人数＝喝可乐的人数+喝果汁的人数+喝茶水的人数﹣既喝果汁又喝茶水的人数即可．解：5+6+4﹣3＝12（人）答：共有12人参加聚会．故选：B点评：此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题 例2：用圆圈表示星球上的空气，各星球上的空气所含的不同气体用不同的字母表示，相同的气体用相同的字母表示（如图）．已知天王星与海王星上的空气中都含有氦气，冥王星上没有．那么图中字母（　　）表示氦气．A、X         B、Y         C、Z         D、W分析：根据“不同气体用不同的字母表示，相同的气体用相同的字母表示”，得出Z是三个星球都含有的气体，W是只有天王星含有的气体，Y是只有冥王星含有的气体，而X是海王星和天王星含有的气体，而冥王星不含有该气体，由此即可得出答案．解：根据题意和所给出的图知道，Z是三个星球都含有的气体，W是只有天王星含有的气体，Y是只有冥王星含有的气体，X是海王星和天王星含有的气体，而冥王星不含有该气体，而天王星与海王星上的空气中都含有氦气，冥王星上没有，所以，图中字母X表示氮气．故选：A．点评：解答此题的关键是，在理解题意的基础上，要会看韦恩图（即利用容斥原理的表示图）．