高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案，共34页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，知识梳理，学习过程，达标检测等内容，欢迎下载使用。
直线的交点坐标与距离公式
2.3.1两条直线的交点坐标

【学习目标】
1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。
2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系。
【学习重难点】
重点：能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
难点：会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系。
【知识梳理】
一、自主导学
两条直线的交点
1．已知两条直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上。所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0，也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0，即点P的坐标就是方程组A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0的解。
2．
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1和l2公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1和l2的位置关系
相交
重合
平行

点睛：如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即交点
坐标是两直线方程所组成方程组的解。
二、小试牛刀
1．直线x+y=5与直线x-y=3交点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（4，1） C．（3，2） D．（2，1）
【学习过程】
一、问题导学
在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题等。

二、典例解析
例1．直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程。
求过两直线交点的直线方程的方法
(1)解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解。
(2)过两条相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含直线l2)。
跟踪训练1．三条直线ax＋2y＋7＝0，4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值。

例2．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点。
（1）l1：2x-y=7和l2：3x+2y-7=0；
（2）l1：2x-6y+4=0和l2：4x-12y+8=0；
（3）l1：4x+2y+4=0和l2：y=-2x+3．

跟踪训练2已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限，则a的取值范围是 。


例3（1）求经过点P（1，0）和两直线l1：x+2y-2=0，l2：3x-2y+2=0交点的直线方程；
（2）无论实数a取何值，方程（a-1）x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点，试求该定点。


利用直线系方程求直线的方程
经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（它不能表示直线l2）。反之，当直线的方程写为A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0时，直线一定过直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0的交点。
跟踪训练3 已知直线l经过原点，且经过另两条直线2x+3y+8=0，
x-y-1=0的交点，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y=0 B．2x-y=0 C．x+2y=0 D．x-2y=0


例4光线通过点A（2，3）在直线l：x+y+1=0上反射，反射光线经过点B（1，1），试求入射光线和反射光线所在直线的方程。



点关于直线的对称点的求法
点P（x，y）关于直线Ax+By+C=0的对称点P0（x0，y0），满足关系A·x+x02+B·y+y02+C=0，y-y0x-x0=BA，解方程组可得点P0的坐标。

跟踪训练4 直线y=2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线，若A，B两点的坐标分别为A（-4，2），B（3，1），求点C的坐标。


金题典例 过点P（3，0）作一直线分别交直线2x-y-2=0和x+y+3=0于点A，B，且点P恰好为线段AB的中点，求此直线的方程。


【达标检测】
1．直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是（ ）
A．（-9，-10） B．（-9，10） C．（9，10） D．（9，-10）
2．直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上，则k的值为（ ）
A．-24 B．24 C．6 D．±6
3．已知直线l1：ax+y-6=0与l2：x+（a-2）y+a-1=0相交于点P，若l1⊥l2，则点P的坐标为 。
4．求证：不论m为何值，直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5都通过一定点。
5．已知两直线l1：x＋8y＋7＝0和l2：2x＋y－1＝0.
（1）求l1与l2的交点坐标；
（2）求过l1与l2交点且与直线x＋y＋1＝0平行的直线方程。
课堂小结


参考答案：
知识梳理
二、小试牛刀
1．解析：解方程组x+y=5，x-y=3，得x=4，y=1．因此交点坐标为（4，1）。
答案：B
【学习过程】
例1．[解] 法一：联立方程解得即直线l过点（－1，3）。
因为直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y－3＝（x＋1），即3x－2y＋9＝0.
法二：因为直线x＋y－2＝0不与3x－2y＋4＝0平行，
所以可设直线l的方程为x－y＋4＋λ（x＋y－2）＝0，
整理得（1＋λ）x＋（λ－1）y＋4－2λ＝0，
因为直线l与直线3x－2y＋4＝0平行，
所以＝≠，解得λ＝，
所以直线l的方程为x－y＋＝0，即3x－2y＋9＝0.
跟踪训练1．[解] 解方程组
得
所以两条直线的交点坐标为（4，－2）。
由题意知点（4，－2）在直线ax＋2y＋7＝0上，将（4，－2）代入，
得a×4＋2×（－2）＋7＝0，解得a＝－。
例2．思路分析：直接将两直线方程联立方程组，根据方程组解的个数判断两直线是否相交。
解：（1）方程组2x-y-7=0，3x+2y-7=0的解为x=3，y=-1．
因此直线l1和l2相交，交点坐标为（3，-1）。
（2）方程组2x-6y+4=0，4x-12y+8=0有无数个解，
这表明直线l1和l2重合。
（3）方程组4x+2y+4=0，y=-2x+3无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2．
跟踪训练2解析：由5x+4y=2a+1，2x+3y=a，得x=2a+37，y=a-27，
由2a+37>0，a-27-32，a