2020-2021学年江苏省镇江一中高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省镇江一中高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知向量，，，且，则　　

A．3 B． C． D．

2．（5分）已知为复数，且满足，其中为虚数单位，则的虚部是　　

A． B．1 C． D．

3．（5分）在中，如果，那么的形状为　　

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形

4．（5分）已知，则的值为　　

A． B． C． D．

5．（5分）平行四边形中，，，，为中点，点在对角线上，且，若，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术 “过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则约为　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知等边三角形的边长为6，点满足，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及共运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．在复平面内，复数是虚数单位，是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为　　

A． B．1 C． D．2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）已知向量，，则　　

A．若与垂直，则 B．若，则的值为 

C．若，则 D．若，则与的夹角为

10．（5分）如图，已知函数（其中，，的图象与轴交于点，，与轴交于点，，，，．则下列说法正确的有　　

A．的最小正周期为12 

B． 

C．的最大值为 

D．在区间上单调递增

11．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是　　

A． 

B．是钝角三角形 

C．的最大内角是最小内角的2倍 

D．若，则外接圆半径为

12．（5分）设，，为复数，，下列命题中错误的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知向量，，则向量在方向上的投影为　　．

14．（5分）某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形的半径为10，，，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当最长时，该奖杯比较美观，此时　　．

15．（5分）在中，，，，为边上的高，若，则　　．

16．（5分）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为．若，则　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知，为锐角，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

18．（12分）平面直角坐标系中，已知三点，，，为平面内一点，，且，．

（1）求的值；

（2）求的值．

19．（12分）为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和，间的距离，请设计一个方案，包括：

①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；

②用文字和公式写出计算，间的距离的步骤．

20．（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，，．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）求的值．

21．（12分）如图，在边长为1的正三角形中，，分别是边，上的点，若，，．设的中点为，的中点为．

（1）若，，三点共线，求证：；

（2）若，求的最小值．

22．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出其面积；若不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角，，所对的边分别为，，，且，，______？

2020-2021学年江苏省镇江一中高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【分析】利用，列出含的方程求解即可．

【解答】解：因为，又因为，

所以，解得，

故选：．

2．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，判断出复数的虚部即可．

【解答】解：，

，

的虚部为1．

故选：．

3．【分析】结合和余弦的两角和差公式，可将原不等式化简为，即，又，，所以与一正一负，故而得解．

【解答】解：，

，

，即与异号，

又，，

与一正一负，

为钝角三角形．

故选：．

4．【分析】先根据正弦的两角和公式对等式进行化简，再利用辅助角公式，即可得解．

【解答】解：，

，

，即，

．

故选：．

5．【分析】根据题意，由向量的线性运算法则用、表示、，由数量积的运算公式可得，变形求出的值，即可得答案．

【解答】解：根据题意，如图：

，

，

若，则，

变形可得：，

解可得：，

故选：．

6．【分析】由等差数列的通项公式求出六指的高度，再计算和的值．

【解答】解：由题意知六指为（厘米），

所以，

所以．

故选：．

7．【分析】由已知结合向量的加法三角形法则整理得，然后结合向量数量积的性质及模长公式可求．

【解答】解：因为，

所以，

整理得，，

由等边三角形的边长为6，得，

两边平方得，，

则．

故选：．

8．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得，可得，再由几何意义求解．

【解答】解：，

为纯虚数，，即．

，则，为曲线上的动点，

其轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆，

则与之间的最小距离为．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【分析】根据向量垂直、共线以及模长与夹角的计算公式，逐个计算判断即可．

【解答】解：对于，解得，故错；

对于，故，故，故正确；

对于得，故，故正确；

对于得，故，故错．

故选：．

10．【分析】由题意可得：，，可得，，，的坐标，根据，可得方程，进而解出，，．判断出结论．

【解答】解：由题意可得：，，，，．

，，

，，

，，

把代入上式可得：，．

解得，

，可得周期．

，，解得．可知：不对．

，，解得．

函数，

可知正确．

时，，，

可得：函数在单调递增．

综上可得：正确．

故选：．

11．【分析】由正弦定理可判断；由余弦定理可判断；由余弦定理和二倍角公式可判断；由正弦定理可判断．

【解答】解：，可设，，，

解得，，，，

可得，故正确；

由为最大边，可得，即为锐角，故错误；

由，由，

由，，可得，故正确；

若，可得，外接圆半径为，故正确．

故选：．

12．【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．

【解答】解：由，则，

，

故选项正确；

当时，有，

又，所以，

故选项正确；

由复数的形式易知，选项错误，

当时，则，

可得，，

故选项错误．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【分析】由已知结合向量数量积的定义及性质即可求解．

【解答】解：因为，，

所以，，

所以，

则向量在方向上的投影．

故答案为：．

14．【分析】作交于，交于，设，把，用含有的三角函数表示，设，作交于，交于，结合，求解三角形得到，进一步用含有的三角函数表示，，列式整理后可得．得到当，即时，最大，也就是最长时，．

【解答】解：作交于，交于，且，设

则，，

设，作交于，交于，

，，，

，，则，即，

，

．

，，当，即时，最大，

也就是最长时，．

故答案为：．

15．【分析】由题意得，由，，可求，所以，由向量加法的三角形法则可得，再利用平面向量基本定理求解．

【解答】解：由题意得，

，，，

，

，

，，

，

故答案为：．

16．【分析】利用已知求出，然后代入所求关系式，化简即可求解．

【解答】解：因为，，

所以，则，

所以，

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【分析】（1）由已知结合平方关系求得，的值，再由倍角公式得的值；

（2）由（1）求得，再由求得，利用，展开两角差的正切求解．

【解答】解：（1）由，解得，

；

（2）由（1）得，，则．

，，，

．

则．

．

18．【分析】（1）根据题意，求出、的坐标，由数量积的计算公式计算可得答案；

（2）根据题意，求出的坐标，由数量积的计算公式可得，解可得，整理变形可得答案．

【解答】解：（1）根据题意，，，，

则，，则；

（2）根据题意，，则，

若，．

即，解可得，

变形可得．

19．【分析】方案一：选择在三角形中，所以要用正弦定理求得，，再用余弦定理求解．

方案二：选择在三角形中，所以要用正弦定理求得，，再用余弦定理求解．

【解答】方案一：①需要测量的数据有：点到、点的俯角、；点到、点的俯角、；、的距离，如图所示：

②第一步：计算．由正弦定理

第二步：计算．由正弦定理

第三步：计算．由余弦定理

方案二：①需要测量的数据有：点到、点的俯角、；点到、点的俯角、；、的距离（如图所示）．

②第一步：计算．由正弦定理

第二步：计算．由正弦定理

第三步：计算．由余弦定理

20．【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得，再由余弦定理求得，利用正弦定理求得；

（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得，再由倍角公式求得，，展开两角和的正弦得答案．

【解答】解：（Ⅰ）在中，，

故由，可得．

由已知及余弦定理，有，

．

由正弦定理，得．

，；

（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得，，

．

故．

21．【分析】（1）利用向量共线的充要条件得到，据三角形的中线对应的向量等于相邻两边对应向量和的一半，将已知条件代入得到要证的结论．

（2）利用向量的运算法则：三角形法则将用三角形的边对应的向量表示，利用向量模的平方等于向量的平方，将表示成的二次函数，求出二次函数的最值．

【解答】解：（1）由，，三点共线，得，

设，

即，

所以，

所以．

（2）因为，

又，

所以，

所以

故当时，．

22．【分析】若选择条件①，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，由，可得，由余弦定理结合已知可求，的值，根据三角形的面积公式即可求解．

若选择条件②，利用二倍角的正弦公式化简已知等式，结合，可得的值，由余弦定理可得，由△，可得方程组无解，可知不存在满足条件的．

若选择条件③，化简已知等式可得，解方程可得，结合，可得，由余弦定理结合已知可求，的值，根据三角形的面积公式即可求解．

【解答】解：若选择条件①，，

由正弦定理可得，

由于，可得，化简可得，即，

因为，可得，

由余弦定理，解得，

从而解答，

所以．

若选择条件②，因为，即，

利用二倍角的正弦公式可得：，

由于，可得，

因为，可得，即，

由余弦定理，解得，

由，可得，由△，可得方程组无解，即不存在满足条件的．

若选择条件③，因为，

所以，解答或（舍去），

因为，可得，

由余弦定理，解得，

从而解答，

所以．

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日期：2022/3/11 19:19:39；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367