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北师大版八年级下册数学同步课时练习题（全册分章节、课时，含答案）
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这是一份北师大版八年级下册数学同步课时练习题（全册分章节、课时，含答案）
北师大版八年级下册数学同步课时练习题
第一章 三角形的证明
第二章 1．1 等腰三角形
第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
01 基础题
知识点1 全等三角形的性质与判定
1．如图，△ABC≌△BAD.若AB＝6，AC＝4，BC＝5，则AD的长为(B)
A．4 B．5
C．6 D．以上都不对
2．如图，若能用AAS来判定△ACD≌△ABE，则需要添加的条件是(B)
A．∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠B
B．∠ADC＝∠AEB，CD＝BE
C．AC＝AB，AD＝AE
D．AC＝AB，∠C＝∠B
3．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．
4．(2017·怀化)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：AB＝DE(答案不唯一)，使得△ABC≌△DEC.
5．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝6．
6．(2016·宜宾)如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.
证明：∵∠CAB＝∠DBA，∠DAC＝∠CBD，
∴∠DAB＝∠CBA.
在△ADB和△BCA中，
∴△ADB≌△BCA(ASA)．
∴AD＝BC.
7．(2017·黄冈)已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证：∠B＝∠ANM.
证明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAM＝∠DAC＋∠NAM，
∴∠BAD＝∠NAM.
在△BAD和△NAM中，
∴△BAD≌△NAM(SAS)．
∴∠B＝∠ANM.
知识点2 等腰三角形的性质
8．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角度数为(D)
A．40° B．50° C．60° D．65°
9．(2017·平顶山市宝丰县期末)等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，则此三角形的周长为(D)
A．13 B．14 C．15 D．13或14
10．(2017·江西)如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA＝OB.若剪刀张开的角为30°，则∠A＝75度．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是20．
02 中档题
12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝CD，则下列结论错误的是(C)
A．AB＝AC B．AD平分∠BAC
C．AB＝BC D．∠BAC＝90°
13．(2017·朝阳市建平县期末)若等腰三角形的一个内角等于15°，则这个三角形为(D)
A．钝角等腰三角形
B．直角等腰三角形
C．锐角等腰三角形
D．钝角等腰三角形或锐角等腰三角形
14．(2016·泰安)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(D)
A．44° B．66°
C．88° D．92°
15．如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.
(1)从图中任找两组全等三角形；
(2)从(1)中任选一组进行证明．
解：(1)答案不唯一，如：△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA.
(2)答案不唯一，如选择证明△ABE≌△CDF，证明如下：
∵AF＝CE，
∴AE＝CF.
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF.
又∵∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
16．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：
(1)△AEF≌△CEB；
(2)AF＝2CD.
证明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEF＝∠CEB＝∠ADC＝90°.
∴∠AFE＋∠EAF＝∠CFD＋∠ECB＝90°.
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠EAF＝∠ECB.
在△AEF和△CEB中，
∴△AEF≌△CEB(ASA)．
(2)∵△AEF≌△CEB，
∴AF＝BC.
在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，BC＝2CD.
∴AF＝2CD.
03 综合题
17．(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在边AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数；
(2)如图2，在△ABC中，∠ACB＝40°，点D，E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE＝110°；
(3)在△ABC中，∠ACB＝n°(0＜n＜180)，点D，E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数(直接写出答案，用含n的式子表示)．
解：(1)∵AD＝AC，BC＝BE，
∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC.
∴∠ACD＝(180°－∠A)÷2，
∠BCE＝(180°－∠B)÷2.
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝180°－(∠A＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°.
∴∠DCE＝∠ACD＋∠BCE－∠ACB＝135°－90°＝45°.
(3)①如图1，∠DCE＝90°－n°；
②如图2，∠DCE＝90°＋n°；
③如图3，∠DCE＝n°；
④如图4，∠DCE＝n°.
第2课时 等边三角形的性质
01 基础题
知识点1 等腰三角形相关线段的性质
1．在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为边AC，AB上的中线．若BD＝5，则CE＝5．
2．证明：等腰三角形两腰上的高相等．
解：已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D.
求证：BD＝CE.
证明：∵CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°.
又∵AC＝AB，∠A＝∠A，
∴△ACE≌△ABD(AAS)．
∴CE＝BD.
知识点2 等边三角形的性质
3．如图，△ABC是等边三角形，则∠1＋∠2＝(C)
A．60° B．90°
C．120° D．180°
4．(2017·南充)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(D)
A．(1，1) B．(，1)
C．(，) D．(1，)
5．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD＝120°．
6．如图，等边△ABC中，AD为高，若AB＝6，则CD的长度为3．
7．等边△ABC的边长如图所示，则y＝3．
8．如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，延长AC，交直线m于点D.若∠1＝20°，求∠2的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°.
∴在△BCD中，∠CDB＝∠ACB－∠1＝60°－20°＝40°.
∵l∥m，
∴∠2＝∠CDB＝40°.
9．如图，△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE＝BD.
证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线，
∴AE＝AD，AD为∠BAC的平分线．
∴∠CAD＝∠BAD＝30°.
∴∠BAE＝∠BAD＝30°.
在△ABE和△ABD中，
∴△ABE≌△ABD(SAS)．
∴BE＝BD.
02 中档题
10．下列说法：①等边三角形的每一个内角都等于60°；②等边三角形三条边上的高都相等；③等腰三角形两底角的平分线相等；④等边三角形任意一边上的高与这条边上的中线互相重合；⑤等腰三角形一腰上的高与这条腰上的中线互相重合．其中正确的有(D)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
11．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，垂足为D，点E是AC上一点，且AD＝AE，则∠CDE等于(C)
A．30° B．20°
C．15° D．10°
12．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝15度．
13．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，CD，BE交于点O，则∠BOC的度数是120°．
14．如图，已知等边△ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝45°．
15．如图，在等边△ABC中，D是BC上的一点，延长AD至E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O.求∠E的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，BF是△ABC的高，
∴∠ABO＝∠ABC＝30°，
AB＝AC.
∵AE＝AC，∴AB＝AE.
∵AO为∠BAE的平分线，
∴∠BAO＝∠EAO.
在△ABO和△AEO中，
∴△ABO≌△AEO(SAS)．
∴∠E＝∠ABO＝30°.
16．如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q.
(1)求证：AM＝BN；
(2)求∠BQM的度数．
解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
在△AMB和△BNC中，
∴△AMB≌△BNC(SAS)．∴AM＝BN.
(2)∵△AMB≌△BNC，
∴∠MAB＝∠NBC.
∴∠BQM＝∠MAB＋∠ABQ＝∠NBC＋∠ABQ＝∠ABC＝60°.
03 综合题
17．已知，如图所示，P为等边△ABC内的一点，它到三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM＝h，则h与h1，h2，h3有何数量关系？写出你的猜想并加以证明．
解：猜想：h1＋h2＋h3＝h.
证明如下：连接PA，PB，PC.
∵S△PAB＝AB·h1，
S△PAC＝AC·h2，
S△PBC＝BC·h3，
S△ABC＝BC·h，
S△PAB＋S△PAC＋S△PBC＝S△ABC，
∴AB·h1＋AC·h2＋BC·h3＝BC·h.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC.
∴h1＋h2＋h3＝h.
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
01 基础题
知识点1 等腰三角形的判定
1．在△ABC中，已知∠B＝∠C，则(B)
A．AB＝BC B．AB＝AC
C．BC＝AC D．∠A＝60°
2．如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是(C)
A．任意三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
3．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是(C)
A．OA＝OD B．AB＝CD
C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB
4．(易错题)下列能判定△ABC为等腰三角形的是(B)
A．∠A＝30°，∠B＝60°
B．∠A＝50°，∠B＝80°
C．AB＝AC＝2，BC＝4
D．AB＝3，BC＝7，周长为10
5．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD＝3cm.
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，若添加下列条件中的一个：①BD＝CD；②AD平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三角形的有①②．
7．已知：如图，AB＝BC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形．
证明：∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C.
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C.
∴∠BDE＝∠BED.
∴BD＝BE.
∴△DBE是等腰三角形．
知识点2 反证法
8．(2017·西安期中)用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角是直角．
9．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．
已知：等腰△ABC，AB＝AC.
求证：∠B，∠C必定是锐角．
证明：①假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是直角，即∠B＋∠C＝180°，
则∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°，
这与三角形内角和等于180°矛盾；
②假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，即∠B＋∠C＞180°，
则∠A＋∠B＋∠C＞180°，
这与三角形内角和等于180°矛盾．
综上所述，假设①，②错误，
所以∠B，∠C只能为锐角．
故等腰三角形的底角必定为锐角．
10．用反证法证明：已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b.
证明：假设a与b相交于点M，则过M点有两条直线平行于直线c，
这与“过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条”相矛盾，
所以假设不成立，即a∥b.
02 中档题
11．(2017·郑州月考)已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若BD＋CE＝5，则线段DE的长为(A)
A．5 B．6 C．7 D．8
12．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.若用反证法证这个结论，应首先假设∠B≥90°．
13．如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得到△ABC的形状一定是等腰三角形．
14．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东70°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东50°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝7海里．
15．(2017·内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．
证明：∵DE∥AC，
∴∠DAC＝∠EDA.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠EAD.
∴∠EAD＝∠EDA.
∵AD⊥BD，
∴∠EAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°.
∴∠B＝∠BDE.
∴△BDE是等腰三角形．
16．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC，延长BC到E，使CE＝CD，连接DE.
(1)成逸同学说：BD＝DE，她说得对吗？请你说明理由；
(2)小敏同学说：把“BD平分∠ABC”改成其他条件，也能得到同样的结论，你认为应该如何改呢？
解：(1)BD＝DE是正确的．
理由：∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∠ACB＝60°.
∴∠DCE＝180°－∠ACB＝120°.
又∵CE＝CD，
∴∠E＝30°.
∴∠DBC＝∠E.
∴BD＝DE.
(2)可改为：BD⊥AC(或点D为AC中点)．
理由：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°.
∴∠DBC＝30°.
由(1)可知∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E.
∴BD＝DE.
03 综合题
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.
(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝25°，∠DEC＝115°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小(填“大”或“小”)；
(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
解：(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE.
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC＋∠EDC＝140°.
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB＋∠EDC＝140°.
∴∠ADB＝∠DEC.
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE(AAS)．
(3)可以，∠BDA的度数为110°或80°.
理由：当∠BDA＝110°时，∠ADC＝70°.
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－70°－40°＝70°.
∴∠AED＝180°－∠DAC－∠ADE＝180°－70°－40°＝70°.
∴∠AED＝∠DAE.
∴AD＝ED.
∴△ADE是等腰三角形．
当∠BDA＝80°时，∠ADC＝100°.
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°.
∴∠DAE＝∠ADE.
∴AE＝DE.
∴△ADE是等腰三角形．
第4课时 等边三角形的判定
01 基础题
知识点1 等边三角形的判定
1．△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是(B)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．不能确定
2．下列说法不正确的是(D)
A．有两个角分别为60°的三角形是等边三角形
B．顶角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．底角为60°的等腰三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的三角形是等边三角形
3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC等于(B)
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是等边三角形．
5．如图，已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝a时，△AOP为等边三角形．
6．如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE为等边三角形．
证明：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC.
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
∴AD＝AE.
又∵∠ADB＝120°，
∴∠ADE＝60°.
∴△ADE为等边三角形．
知识点2 含30°角的直角三角形的性质
7．(2017·平顶山市宝丰县期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝9，则AB＝18．
8．(2017·郑州月考)如图，∠C＝90°，∠ABC＝75°，∠CDB＝30°.若BC＝3 cm，则AD＝6cm.
9．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为26秒．
10．如图，铁路AC与铁路AD相交于车站A，B区在∠CAD的平分线上，且距车站A为20千米，∠DAC＝60°，则B区距铁路AC的距离为10千米．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，BC＝8 cm，求AD的长．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8 cm，
∴∠B＝60°，AB＝2BC＝16 cm.
又∵CD⊥AB于D，
∴∠BDC＝90°.
∴∠DCB＝30°.
∴DB＝BC＝4 cm.
∴AD＝AB－DB＝12 cm.
02 中档题
12．在下列三角形中：①三边都相等的三角形；②有一个角是60°且是轴对称图形的三角形；③三个外角(每个顶点处各取1个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(D)
A．①②③ B．①②④
C．①③ D．①②③④
13．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知CD＝1，∠B＝30°，则BD的长是(B)
A．1 B．2 C. D．2
14．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是(D)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
15．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝(C)
A．3 B．4 C．5 D．6
16．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，CA边上一点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是等边三角形．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边的中线，点E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF.
(1)求证：△AED是等边三角形；
(2)若AB＝2，则四边形AEDF的周长是4．
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°.
∵AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC.
∴∠BAD＝60°.
∴AD＝AB.
∵点E为AB的中点，
∴AE＝AB.
∴AE＝AD.
∴△ADE是等边三角形．
03 综合题
18．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.
(1)如图1，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF.求证：
①△ABE≌△ACF；
②△AEF是等边三角形；
(2)若点E在BC的延长线上，则在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论(图2备用)．
解：(1)证明：①∵AB＝BC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．∴AB＝AC.
同理，△ADC也是等边三角形，
∴∠B＝∠ACF＝60°.
又∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF(SAS)．
②∵△ABE≌△ACF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.
∵∠BAE＋∠CAE＝60°，
∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°.
∴△AEF是等边三角形．
(2)存在．
证明：在CD延长线上取点F，在BC延长线上取点E，使CF＝BE，连接AE，EF，AF.
与(1)①同理，可证△ABE≌△ACF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.
∴∠BAE－∠CAE＝∠CAF－∠CAE.
∴∠BAC＝∠EAF＝60°.
∴△AEF是等边三角形．
(注：若在CD延长线上取点F，使CE＝DF也可)
小专题(一) 等腰三角形中常见的数学思想
类型1 方程思想
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，求∠A的度数．
解：设∠A＝x°，
∵BC＝BD＝ED＝EA，
∴∠ADE＝∠A＝x°.
∴∠DEA＝∠DBE＝2x°.
∴∠BDC＝∠C＝3x°.
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝3x°.
在△ABC中，∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，
即x＋3x＋3x＝180.
∴x＝.
∴∠A为.
类型2 分类讨论思想
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件在点P共有(B)
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
3．若实数x，y满足|x－5|＋＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为25．
4．如图，∠BOC＝60°，点A是BO延长线上的一点，OA＝10 cm，动点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t＝或10s时，△POQ是等腰三角形．
5．已知O为等边△ABD的边BD的中点，AB＝4，E，F分别为射线AB，DA上一动点，且∠EOF＝120°，若AF＝1，求BE的长．
解：当F点在线段DA的延长线上，如图1，作OM∥AB交AD于M，
∵O为等边△ABD的边BD的中点，
∴OB＝2，∠D＝∠ABD＝60°.
∴△ODM为等边三角形．
∴OM＝MD＝2，∠OMD＝60°.
∴FM＝FA＋AM＝3，∠FMO＝∠BOM＝120°.
∵∠EOF＝120°，
∴∠BOE＝∠FOM.
而∠EBO＝180°－∠ABD＝120°，
∴△OMF≌△OBE(ASA)．
∴BE＝MF＝3.
当F点在线段AD上时，如图2，
同理可证明△OMF≌△OBE，
则BE＝MF＝AM－AF＝2－1＝1.
类型3 整体思想
6．已知△ABC中，∠A＝α，点D，E，F分别在BC，AB，AC上．
(1)如图1，若BE＝BD，CD＝CF，则∠EDF＝90°－α；
(2)如图2，若BD＝DE，DC＝DF，则∠EDF＝180°－2α；
(3)如图3，若BD＝CF，CD＝BE，AB＝AC，则∠EDF＝(180°－α)；
(4)如图4，若DE⊥AB，DF⊥BC，AB＝AC，则∠EDF＝(180°－α)．
1．2 直角三角形
第1课时 勾股定理及其逆定理
01 基础题
知识点1 直角三角形的性质及其判定
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D)
A．120° B．90°
C．60° D．30°
2．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C)
A．∠A＝37°，∠C＝53°
B．∠A－∠C＝∠B
C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5
3．(2017·安徽)直角三角板和直尺如图放置．若∠1＝20°，则∠2的度数为(C)
A．60° B．50° C．40° D．30°
知识点2 勾股定理及其逆定理
4．(2017·西安期中)下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是(D)
A．2，4，5 B．6，8，11
C．5，12，12 D．1，1，
5．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(D)
A．1 B．2 C．3 D．4
6．(2017·阿坝)直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为6．
7．(2017·成都)如图，数轴上点A表示的实数是－1．
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AC⊥CD，求四边形ABCD的面积．
解：∵AC⊥CD，CD＝12，AD＝13，
∴AC＝＝＝5.
又∵AB＝3，BC＝4，
∴AB2＋BC2＝32＋42＝52＝AC2.
∴∠B＝90°.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD
＝AB·BC＋AC·CD
＝×3×4＋×5×12
＝6＋30
＝36.
知识点3 命题(逆命题)与定理(逆定理)
9．下列命题中，其逆命题成立的是①④．(只填写序号)
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a，b，c(c为最长边)满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
10．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题．
(1)两直线平行，同位角相等；
(2)如果a是偶数，b是偶数，那么a＋b是偶数．
解：(1)同位角相等，两直线平行．真命题．
(2)如果a＋b是偶数，那么a是偶数，b是偶数．假命题．
02 中档题
11．已知下列命题：
①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(A)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(A)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
13．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)
A．3 B．6
C．3 D.
14．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为(D)
A．2 B．2 C.＋1 D.＋1
15．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(C)
A．10 B．8
C．6或10 D．8或10
16．如图，圆柱形容器高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20cm.
17．(2016·益阳)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则CD＝14－x.
由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，
故152－x2＝132－(14－x)2，
解得x＝9.
∴AD＝＝＝12.
∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84.
03 综合题
18．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.你能发现什么规律，根据你发现的规律，请写出：
(1)当a＝19时，则b，c的值是多少？
(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．你能证明所发现的规律吗？
解：(1)当a＝19时，设b＝k，则c＝k＋1，观察有如下规律：192＋k2＝(k＋1)2.
解得k＝180.
故b＝180，c＝181.
(2)当a＝2n＋1时，设b＝k，则c＝k＋1，根据勾股定理a2＋b2＝c2得(2n＋1)2＋k2＝(k＋1)2，
解得k＝2n(n＋1)．
∴b＝2n(n＋1)，c＝2n(n＋1)＋1.
证明：∵a2＋b2＝(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，[2n(n＋1)＋1]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，
∴a2＋b2＝c2.
∴(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝[2n(n＋1)＋1]2.
第2课时 直角三角形全等的判定
01 基础题
知识点1 用HL判定直角三角形全等
1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则直接得到△PEA≌△PFA的理由是(A)
A．HL B．ASA
C．AAS D．SAS
2．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是(A)
A．AB＝AC B．∠BAC＝90°
C．BD＝AC D．∠B＝45°
3．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝(B)
A．40° B．50°
C．60° D．75°
4．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.若BD＝3，CE＝5，则DE＝8．
5．如图所示，AD⊥BE于点C，C是BE的中点，AB＝DE，求证：AB∥DE.
证明：∵AD⊥BE，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°.
∵C是BE的中点，
∴BC＝EC.
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)．
∴∠A＝∠D.
∴AB∥DE.
知识点2 用其他方法证明直角三角形全等
6．(2017·平顶山市宝丰县期中)下列条件不能判断两个直角三角形全等的是(C)
A．两条直角边分别对应相等
B．斜边和一个锐角分别对应相等
C．两个锐角对应相等
D．斜边和一直角边分别对应相等
7．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件：答案不唯一，如：∠BAC＝∠ABD．(只需写出一种情况)
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，使DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.
证明：∵EF⊥AC，
∴∠F＋∠C＝90°.
∵∠A＋∠C＝90°，
∴∠A＝∠F.
又∵DB＝BC，∠FBD＝∠ABC，
∴△FBD≌△ABC(AAS)．
∴AB＝BF.
知识点3 HL在实际问题中的应用
9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于A，EB⊥AB于B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？
解：∵DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，
∴△ADC和△BEC为直角三角形．
∵点C是路段AB的中点，
∴AC＝BC.
∵小明和小红同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，
∴CD＝CE.
∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL)．
∴BE＝AD＝50米．
答：小红到路段AB的距离是50米．
02 中档题
10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是(A)
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有(D)
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
12．如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为点E，F.若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等．
14．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．
解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°.
∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.
由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°.
∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.
03 综合题
15．如图1，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于点M.
(1)求证：AE＝CF，MB＝MD；
(2)当E，F两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
解：(1)证明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．
∴AF＝CE.
∴AF－EF＝CE－EF，
即AE＝CF.
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEM＝∠BFM＝90°.
在△DEM和△BFM中，
∴△DEM≌△BFM(AAS)．
∴MD＝MB.
(2)AE＝CF，MB＝MD仍然成立．证明：
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．
∴AF＝CE.
∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.
在△DEM和△BFM中，
∴△DEM≌△BFM(AAS)．
∴MD＝MB.
周周练(1.1～1.2)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，则∠A的度数是(C)
A．70° B．55° C．50° D．40°
2．若△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，则必有(D)
A．∠A＝2∠B＝3∠C
B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A＝∠B＋∠C
D．∠A＋∠B＝∠C
3．下列命题的逆命题不正确的是(D)
A．若a2＝b2，则a＝b
B．两直线平行，内错角相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．对顶角相等
4．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是(D)
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
5．(2017·平顶山市宝丰县期中)若等边三角形的一条高为，其边长为(A)
A．2 B．1 C．3 D．4
6．(2017·陕西西北大学附属学校期中)如图，△ABC中，AC＝3，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(D)
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
7．(2017·西安期中)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有(D)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，在Rt△ABE中，∠B＝90°，延长BE到C，使EC＝AB，分别过点C，E作BC，AE的垂线，两线相交于点D，连接AD.若AB＝3，DC＝4，则AD的长是(C)
A．5 B．7 C．5 D．无法确定
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边(HL)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件答案不唯一，如：BC＝FE．
10．在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于60°”成立时，我们利用反证法，先假设三角形的三个内角都大于60°，则可推出三个内角之和大于180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
11．如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝3．
12．如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需7米．
13．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为4．
14．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(3，0)，B(8，0)，若点P在y轴上，且△PAB是等腰三角形，则点P的坐标为(0，4)或(0，－4)．
三、解答题(共44分)
15．(8分)(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O.
(1)求证：△ABC≌△DCB；
(2)△OBC是何种三角形？证明你的结论．
解：(1)证明：∵在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，
∴△ABC和△DCB都为直角三角形．
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)．
(2)△OBC是等腰三角形．
证明：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC.
∴OB＝OC.
∴△OBC是等腰三角形．
16．(10分)(2017·苏州)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．
解：(1)证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE.
∵∠A＝∠B，
∴∠BEO＝∠2.
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO.
∴∠1＋∠AED＝∠BEO＋∠AED，即∠AEC＝∠BED.
在△AEC和△BED中，
∴△AEC≌△BED(ASA)．
(2)∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝42°，
∴∠C＝∠EDC＝69°.
∴∠BDE＝∠C＝69°.
17．(12分)如图，已知A，B，C，D四个城镇(除B，C外)都有笔直的公路相接，公共汽车行驶于城镇之间，公共汽车票价与路程成正比，已知各城镇间公共汽车票价如下：
为了B，C间的交通方便，打算在B，C之间建一条笔直公路，请按上述标准预算出B，C之间的公共汽车票价．
解：AD为16，AB为20，BD为12，∵122＋162＝202，
∴∠ADB＝90°.
∵AC＝25，AD＝16，CD＝9，即AC＝AD＋DC，
∴A，D，C三个点在一条直线上，可知∠BDC＝90°.
又∵BD＝12，DC＝9，
∴BC＝＝15.
故B，C之间的公共汽车票价为15元．
18．(14分)如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
(1)求证：△ODE是等边三角形；
(2)线段BD，DE，EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程；
(3)数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题．(只要提出问题，不需要解答)
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，
∠OED＝∠ACB＝60°.
∴△ODE是等边三角形．
(2)BD＝DE＝EC.
理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝∠OBD＝30°.
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠ABO＝30°.
∴∠OBD＝∠BOD.
∴DB＝DO.
同理，EC＝EO.
由(1)知，△ODE是等边三角形，
∴DE＝OD＝OE.
∴BD＝DE＝EC.
(3)答案不唯一，如：①连接AO，并延长交BC于点F，求证：△ABF是直角三角形；
②若等边△ABC的边长为1，求BC边上的高．
1.3 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
01 基础题
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为(D)
A．6 cm B．5 cm
C．4 cm D．3 cm
2．如图，AB是CD的垂直平分线，若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是(B)
A．3.9 cm B．7.8 cm
C．4 cm D．4.6 cm
3．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(C)
A．AB＝AD B．AC平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
4．(2017·西安期中)如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝(B)
A．50° B．100°
C．120° D．130°
5．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3，则CE的长为6．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.
证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB.
∴∠EAB＝∠B.
∵∠C＝90°，
∴∠CAB＋∠B＝90°.
又∵∠AED＋∠EAB＝90°，
∴∠CAB＝∠AED.
知识点2 线段的垂直平分线的判定
7．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(A)
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ACB
8．如图，D是△ABC的边BC的延长线上一点，且BD＝BC＋AC，则点C在线段AD的垂直平分线上．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D在AB的垂直平分线上．
证明：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°－30°＝60°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°.
∴∠A＝∠ABD.
∴DA＝DB.
∴点D在AB的垂直平分线上．
02 中档题
10．平面直角坐标系中，已知A(－1，3)，B(－1，－1)．下列四个点中，在线段AB的垂直平分线上的点是(B)
A．(0，2) B．(－3，1)
C．(1，2) D．(1，0)
11．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE是线段AB的垂直平分线；③若EA＝EB，则直线EP是线段AB的垂直平分线；④若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．其中正确的有(C)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，与AC，BC分别交于点D，E，连接AE，则：
(1)∠ADE＝90°；
(2)AE＝EC；(填“＝”“＞”或“＜”)
(3)当AB＝3，AC＝5时，△ABE的周长＝7．
13．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC.若∠AOC＝125°，则∠ABC＝70°．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝30°．
15．(2017·朝阳市建平县期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．
证明：∵E是BD的垂直平分线上的一点，
∴EB＝ED.
∴∠B＝∠D.
又∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D.
∵∠B＝∠D，
∴∠CFD＝∠A.
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠AFE＝∠A.
∴EF＝EA.
∴点E在AF的垂直平分线上．
03 综合题
17．(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交直线BC于点M，∠A＝40°，求∠NMB的大小；
(2)如果将(1)中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；
(3)你发现了什么样的规律？试证明；
(4)将(1)中的∠A改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改．
解：(1)∵∠B＝(180°－∠A)＝70°，
∴∠NMB＝90°－∠B＝20°.
(2)同理得∠NMB＝35°.
(3)发现的规律是∠NMB＝∠A.
证明：设∠A＝α，则有∠B＝(180°－α)．
∴∠NMB＝90°－∠B＝90°－(180°－α)＝α
＝∠A.
(4)∠A改为钝角后，∠NMB＝∠A这个规律仍成立．上述规律为：等腰三角形一腰上的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半．
第2课时 三角形三边的垂直平分线
01 基础题
知识点1 三角形三边的垂直平分线的性质
1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定(D)
A．是边AB的中点 B．在边AB的中线上
C．在边AB的高上 D．在边AB的垂直平分线上
2．(2017·郑州期末)在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形(C)
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
3．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是(B)
A．20° B．40° C．50° D．60°
4．△ABC中，AB，AC的垂直平分线相交于点P，那么P点必定在BC的垂直平分线上，且PA＝PB＝PC．
5．如图，O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为5 cm，则AO＋BO＋CO＝15_cm．
6．如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，BC＝6 cm，请计算出∠DAE的度数和△ADE的周长．
解：∵AB和AC的垂直平分线交BC于点D，E，
∴BD＝AD，CE＝AE.
∴∠DAB＝∠B＝32°，∠EAC＝∠C＝48°.
∴∠ADE＝∠B＋∠DAB＝64°，
∠AED＝∠C＋∠EAC＝96°.
∴∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝20°，
△ADE的周长为AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6 cm.
知识点2 作图
7．在同一平面内，过直线上一点作已知直线的垂线，能作(A)
A．1条 B．2条
C．3条 D．无数条
8．下列作图语句正确的是(D)
A．过点P作线段AB的中垂线
B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝AC
C．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥b
D．过点P作直线AB的垂线
9．如图，已知线段a，h，作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法是：①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；③在直线MN上截取线段h；④连接AB，AC，则△ABC为所求的等腰三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是(C)
A．① B．② C．③ D．④
10．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇A村，B村，C村所属的村委会所在地的距离都相等(A，B，C不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
解：已知：A，B，C三点不在同一直线上．
求作：作一点P，使PA＝PB＝PC.
如图所示，点P即为所求的点．
02 中档题
11．在平面内，到三点A，B，C距离相等的点(D)
A．只有一个 B．有两个 C．有三个或三个以上 D．有一个或没有
12．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则(B)
A．点P在三角形内
B．点P在三角形外
C．点P在三角形底边上
D．点P的位置与三角形的边长有关
13．(2017·西安期中)如图，已知点O为△ABC三边垂直平分线的交点，∠BAC＝80°，则∠BOC＝160°.
14．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝76°，EF，MN分别是AB，AC的垂直平分线，点E，M在BC上，则∠EAM＝28°．
15．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案③．
16．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保留作图痕迹)．
解：作法：(1)作线段AD＝a；
(2)过点D作直线MN⊥AD于点D；
(3)以点A为圆心，b为半径画弧，交MN于B，C两点，连接AB，AC，△ABC即为所求，如图所示．
17．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.
(1)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；
(2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
解：(1)∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN.
∴△CMN的周长＝CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.
∵△CMN的周长为15 cm，
∴AB＝15 cm.
(2)∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD＋∠BNE＝∠MNF＋∠NMF＝110°.
∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE
＝180°－110°＝70°.
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.
∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)
＝180°－2×70°＝40°.
03 综合题
18．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为(B)
A．130° B．120° C．110° D．100°
提示：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于点M，交CD于点N，则A′A″的长度即为△AMN周长的最小值．
1．4 角平分线
第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理
01 基础题
知识点1 角平分线的性质
1．(2017·台州)如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OA的距离是(A)
A．2 B．3 C. D．4
2．下列各图中，OP是∠MON的平分线，点E，F，G分别在射线OM，ON，OP上，则可以解释定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是(D)
3．(2016·怀化)如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(B)
A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP
C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
4．如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.若OD＝8，OP＝10，则PE的长为(B)
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
6．(2017·西安期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AD＝5，AC＝4，则D点到AB的距离是3．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.
(1)求DE的长；
(2)求△ADB的面积．
解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC⊥CD.
又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DE＝CD.
又∵CD＝3，
∴DE＝3.
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10.
∴S△ADB＝AB·DE＝×10×3＝15.
(或S△ADB＝BD·AC＝×(8－3)×6＝15.)
知识点2 角平分线的判定
8．如图，DA⊥AC，DE⊥BC，若AD＝5 cm，DE＝5 cm，∠ACD＝30°，则∠DCE为(A)
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF.求证：
(1)PE＝PF；
(2)点P在∠BAC的平分线上．
证明：(1)连接AP.
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°.
又∵AE＝AF，AP＝AP，
∴Rt△AEP≌Rt△AFP(HL)．
∴PE＝PF.
(2)∵PE＝PF，且PE⊥AB，PF⊥AC，
∴点P在∠BAC的平分线上．
02 中档题
10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A)
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D.如果∠A＝30°，AE＝6 cm，那么CE等于(C)
A. cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
12．(2017·朝阳市建平县期末)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，对于结论：①DE＝DF；②BD＝CD；③AD上任一点到AB，AC的距离相等；④AD上任一点到B，C的距离相等．其中正确的是(D)
A．仅①② B．仅③④
C．仅①②③ D．①②③④
13．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，P是∠AOB的平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB交OA于点C.若∠AOB＝30°，PD＝2 cm，则PC＝4cm.
14．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.
(1)求证：AM⊥DM；
(2)若BC＝8，求点M到AD的距离．
解：(1)证明：∵AM平分∠BAD，OM平分∠ADC，
∴∠MAD＝∠BAD，∠ADM＝∠ADC.
∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°.
∴∠MAD＋∠ADM＝(∠BAD＋∠ADC)＝90°.
又∵∠AMD＋∠MAD＋∠ADM＝180°，
∴∠AMD＝90°.
∴AM⊥DM.
(2)过M作MN⊥AD于点N.
∵AB∥CD，∠B＝90°，
∴∠C＝90°.
即BM⊥AB，MC⊥DC.
又∵AM，DM分别平分∠BAD，∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝MC.
∴MN＝BC＝4.
∴M到AD的距离为4.
15．已知：如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
解：(1)证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
又∵∠EOB＝∠DOC，
∴∠ABD＝∠ACE.
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
∴∠ABC＝∠ACB.
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形．
(2)点O在∠BAC的平分线上．
理由：∵∠BOE＝∠COD，∠BOE＋∠EBO＝90°，
∠COD＋∠DCO＝90°，
∴∠EBO＝∠DCO.
又∵∠BEO＝∠CDO＝90°，OB＝OC，
∴△BOE≌△COD(AAS)．
∴OE＝OD.
又∵OD⊥AC，OE⊥AB，
∴点O在∠BAC的平分线上．
03 综合题
16．(2017·西安交大二附中期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝，若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC的最小值是．
第2课时 三角形三个内角的平分线
01 基础题
知识点 三角形的角平分线的性质
1．(2017·西安交大二附中期中)与三角形三边距离相等的点，是这个三角形的(B)
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三边的垂直平分线的交点
2．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(C)
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3
C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
3．(2017·郑州月考)如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(C)
A．△ABC三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
4．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC＝120°，则∠A为60°.
02 中档题
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于点F，则下列说法错误的是(D)
A．BF＝CF B．点F到∠BAC两边的距离相等
C．CE＝BD D．点F到点A，B，C三点的距离相等
6．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，直线l，l′，l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
7．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，求证：∠BPC＝90°＋∠BAC.
证明：∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，
∴点P是△ABC三个内角平分线的交点．
∴CP平分∠ACB，BP平分∠ABC.
∴∠PCB＝∠ACB，∠PBC＝∠ABC.
∴∠BPC＝180°－∠PCB－∠PBC
＝180°－∠ACB－∠ABC
＝180°－(∠ACB＋∠ABC)
＝180°－(180°－∠BAC)
＝90°＋∠BAC.
03 综合题
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；
(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
解：(1)证明：过点O作OM⊥AB于点M.
∵四边形OECF为正方形，
∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴OE＝OM.
∴OM＝OF.
∴AO平分∠BAC，即点O在∠BAC的平分线上．
(2)∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝13.
易证：BE＝BM，AM＝AF.
∵BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，且CE＝CF＝OE，
∴BE＝12－OE，AF＝5－OE.
∵BM＋AM＝AB，即BE＋AF＝13，
∴12－OE＋5－OE＝13.解得OE＝2.
章末复习(一) 三角形的证明
01 基础题
知识点1 三角形全等
1．如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点．如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于(A)
A．4 B．6
C．5 D．无法确定
2．(2017·黔东南)如图，点B，F，C，E在一条直线上，已知FB＝CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件∠A＝∠D(答案不唯一)，使得△ABC≌△DEF.
知识点2 等腰三角形
3．(2016·赤峰)等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是(B)
A．30°，60° B．45°，45°
C．45°，90° D．20°，70°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为55°．
5．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则DC＝1．
知识点3 直角三角形
6．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C＝55°，则∠ABC的度数是(D)
A．35° B．55° C．60° D．70°
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为(D)
A.－1 B.＋1
C.－1 D.＋1
8．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“HL”．
知识点4 线段的垂直平分线和角平分线
9．(2017·西安期中)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是(A)
A．7 B．8 C．9 D．10
10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝2，则△ABD的面积为8．
11．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，EF垂直平分BD.求证：∠ABD＝∠BDF.
证明：∵EF垂直平分BD，
∴FB＝FD.
∴∠FBD＝∠BDF.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠FBD.
∴∠ABD＝∠BDF.
02 中档题
12．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是(A)
A．∠A B．∠B
C．∠C D．∠B或∠C
13．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B)
A．CD，EF，GH B．AB，EF，GH
C．AB，CD，EF D．AB，CD，GH
14．(2016·枣庄)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为(A)
A．15° B．17.5°
C．20° D．22.5°
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD的长为正整数，则点D的个数共有(C)
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
16．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠CBD＝30°，∠BCD＝45°.若AB＝2，则四边形ABCD的面积为6＋2．
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：
(1)FC＝AD；
(2)AB＝BC＋AD.
证明：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE.
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE.
又∵∠AED＝∠FEC，
∴△ADE≌△FCE(ASA)．
∴FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE，AD＝FC.
又∵BE⊥AE，
∴BE是线段AF的垂直平分线．
∴AB＝BF＝BC＋FC.
∵AD＝FC，
∴AB＝BC＋AD.
03 综合题
18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若DC＝4，∠DAC＝30°，求AD的长．
解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∵BD＝CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．
∴∠B＝∠C.
∴AB＝AC.
(2)∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC.
在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，
∴AC＝2DC＝8，
AD＝＝＝4.
北师大版八年级下册数学 第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 同步课时练习题
2．1 不等关系
01 基础题
知识点1 不等式的意义
1．(2017·太原期中)学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x＋30y≥500”表示的实际意义是(A)
A．两种客车总的载客量不少于500人
B．两种客车总的载客量不超过500人
C．两种客车总的载客量不足500人
D．两种客车总的载客量恰好等于500人
2．有下列数学表达式：①3<0；②4x＋5>0；③x＝3；④x2＋x；⑤x≠－4；⑥x＋2>x＋1.其中是不等式的有4个．
知识点2 列不等式
3．某电梯标明“载客不超过13人”，若载客人数为x，x为自然数，则“载客不超过13人”用不等式表示为(C)
A．x＜13 B．x＞13
C．x≤13 D．x≥13
4．如图为一隧道入口处的指示标志牌，图1表示汽车的高度不能超过3.5 m，由此可知图2表示汽车的宽度l(m)应满足的关系为l≤3．
限制高度 限制宽度
图1 图2
5．用适当符号表示下列关系：
(1)x的绝对值是非负数；
解：|x|≥0.
(2)a的3倍与b的的和不大于3；
解：3a＋b≤3.
(3)x与17的和比它的5倍小．
解：x＋17<5x.
02 中档题
6．小新买了一罐八宝粥，看到外包装标明：净含量为330±10 g，那么这罐八宝粥的净含量x的范围是(D)
A．320＜x＜340 B．320≤x＜340
C．320＜x≤340 D．320≤x≤340
7．下列叙述：①a是非负数，则a≥0；②“a2减去10不大于2”可表示为a2－10＜2；③“x的倒数超过10”可表示为＞10；④“a，b两数的平方和为正数”可表示为a2＋b2＞0.其中正确的个数是(C)
A．1 B．2
C．3 D．4
8．在数轴上，点A表示2，点B表示－0.6，点C在线段AB上，点C表示的数为a，则用不等关系表示为－0.6≤a≤2．
9．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90分，设她答对了n道题，则根据题意可列不等式为10n－5(20－n)＞90．
03 综合题
10．请设计不同的实际背景来表示下列不等式：
(1)x>y；(2)2.0≤x≤2.6；(3)3a＋4b≤560.
解：答案不唯一，如：
(1)八年级(1)班的男生比女生多，其中男生x人，女生y人．
(2)某班级男生立定跳远成绩x在2.0米到2.6米之间．
(3)3条长裤和4件上衣的总价不超过560元，其中长裤单价a元，上衣单价b元．
2.2 不等式的基本性质
01 基础题
知识点1 不等式的基本性质
1．若a
2．(2017·成都期末)若x>y，则下列式子中错误的是(D)
A．x－3>y－3 B.>
C．x＋3>y＋3 D．－3x>－3y
3．(2017·株洲)已知实数a，b满足a＋1＞b＋1，则下列选项错误的为(D)
A．a＞b B．a＋2＞b＋2
C．－a＜－b D．2a＞3b
4．下列说法不一定成立的是(C)
A．若a＞b，则a＋c＞b＋c
B．若a＋c＞b＋c，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2
D．若ac2＞bc2，则a＞b
5．由不等式a＞b得到am＜bm的条件是m＜0.
6．已知m＜n，下列关于m，n的命题：①6m＞6n；②－3m＜－3n；③m－5＜n－5；④2m＋5＞2n＋5.其中正确命题的序号是③．
7．小燕子竟然推导出了0＞5的错误结论．请你仔细阅读她的推导过程，指出问题到底出在哪里．
已知x＞y，
两边都乘5，得5x＞5y.①
两边都减去5x，得0＞5y－5x.②
即0＞5(y－x)．③
两边都除以(y－x)，得0＞5.④
解：错在第④步．
∵x＞y，∴y－x＜0.
不等式两边同时除以负数(y－x)，不等号应改变方向才能成立．
知识点2 将不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式
8．(2017·太原期中)下列不等式的变形过程中，正确的是(D)
A．不等式－2x＞4的两边同时除以－2，得x＞2
B．不等式1－x＞3的两边同时减去1，得x＞2
C．不等式4x－2＜3－x移项，得4x＋x＜3－2
D．不等式＜1－去分母，得2x＜6－3x
9．将下列不等式化成“x>a”或“x
解：x<6. 解：x>－2.
(3)x>－3; (4)－5x<－2.
解：x>－6. 解：x>.
02 中档题
10．若点P(x－2，y－2)在第二象限，则x与y的关系正确的是(D)
A．x≥y B．x＞y
C．x≤y D．x＜y
11．设“▲”“●”“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲，●，■这三种物体按质量从大到小排列应为(C)
A．■●▲ B．▲■●
C．■▲● D．●▲■
12．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是(B)
A．a－c＞b－c B．a＋c＜b＋c
C．ac＞bc D.＜
13．已知x－y＝3，若y＜1，则x的取值范围是x＜4．
14．下列变形是怎样得到的？
(1)由x＞y，得x－3＞y－3；
解：两边都除以2，得x＞y.
两边都减去3，得x－3＞y－3.
(2)由x＞y，得(x－3)＞(y－3)；
解：两边都减去3，得x－3＞y－3.
两边都除以2，得(x－3)＞(y－3)．
(3)由x＞y，得2(3－x)＜2(3－y)．
解：两边都除以－1，得－x＜－y.
两边都加上3，得3－x＜3－y.
两边都乘2，得2(3－x)＜2(3－y)．
15．阅读下面的解题过程，再解题．
已知a＞b，试比较－2 018a＋1与－2 018b＋1的大小．
解：因为a＞b，①
所以－2 018a＞－2 018b.②
故－2 018a＋1＞－2 018b＋1.③
问：(1)上述解题过程中，从第②步开始出现错误；
(2)错误的原因是什么？
(3)请写出正确的解题过程．
解：(2)错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变．
(3)因为a＞b，
所以－2 018a＜－2 018b.
故－2 018a＋1＜－2 018b＋1.
03 综合题
16．比较大小：
(1)如果a－1>b＋2，那么a>b；
(2)试比较2a与3a的大小：
①当a>0时，2a<3a；
②当a＝0时，2a＝3a；
③当a<0时，2a>3a；
(3)试比较a＋b与a的大小；
(4)试判断x2－3x＋1与－3x＋1的大小．
解：(3)当b>0时，a＋b>a；
当b＝0时，a＋b＝a；
当b<0时，a＋b
∴x2－3x＋1≥－3x＋1.
2.3 不等式的解集
01 基础题
知识点1 不等式的解和解集
1．下列数值中不是不等式5x≥2x＋9的解的是(D)
A．5 B．4 C．3 D．2
2．下列说法中，错误的是(C)
A．不等式x＜2的正整数解只有一个
B．－2是不等式2x－1＜0的一个解
C．不等式－3x＞9的解集是x＞－3
D．不等式x＜10的整数解有无数个
3．(2016·安徽)不等式x－2≥1的解集是x≥3．
知识点2 用数轴表示不等式的解集
4．用不等式表示如图所示的解集，其中正确的是(C)
A．x＞－2 B．x＜－2
C．x≥－2 D．x≤－2
5．在数轴上表示不等式x－1＜0的解集，正确的是(B)
6．将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
(1)x≤2；
解：如图所示：
(2)x>－2.
解：如图所示：
02 中档题
7．(2017·太原期末)若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是(D)
8．如果关于x的不等式ax＋4＜0的解集在数轴上表示如图，那么(C)
A．a＞0 B．a＜0
C．a＝－2 D．a＝2
9．(2017·西安期中)若关于x的不等式(a＋1)x＞a＋1的解集为x＞1，则a的取值范围是a＞－1．
10．不等式2x≥－9有多少个负整数解？请全部写出来．
解：由题意，得x≥－，
所以不等式有4个负整数解：－1，－2，－3，－4.
03 综合题
11．小华在解不等式x＞2x－1时，发现所有的负数都满足不等式，于是他有理有据地说：“如果x<0，那么x>2x，而2x>2x－1，所以x>2x－1成立．”小华得到了这样的结论：x>2x－1的解集是x<0.小华说得对吗？说说你的观点．
解：小华前面说明负数是不等式x＞2x－1的解是对的，但结论不对．因为解集包含所有的解，如x＝是不等式x＞2x－1的解，但＞0，所以x<0不是x>2x－1的解集．
2.4 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的解法
01 基础题
知识点1 一元一次不等式的概念
1．(2017·西安月考)下列不等式中是一元一次不等式的是(D)
A.x－y＜1 B．x2＋5x－1≥0
C．x＋y2＞3 D．2x＜4－3x
2．若x2m－1－8＞5是关于x的一元一次不等式，则m的值为(B)
A．0 B．1 C．2 D．3
3．写出一个解集为x＞1的一元一次不等式：答案不唯一，如x＋2＞3．
知识点2 一元一次不等式的解法
4．不等式2x－6＞0的解集是(C)
A．x＞1 B．x＜－3
C．x＞3 D．x＜3
5．(2017·眉山)不等式－2x＞的解集是(A)
A．x＜－ B．x＜－1
C．x＞－ D．x＞－1
6．不等式3x≤2(x－1)的解集为(C)
A．x≤－1 B．x≥－1
C．x≤－2 D．x≥－2
7．下列不等式>的变形过程：①去分母，得5(2＋x)>3(2x－1)；②去括号，得10＋5x>6x－3；③移项，得5x－6x>－3－10；④系数化为1，得x>13.其中错误的步骤是(D)
A．① B．② C．③ D．④
8．(2017·成都月考)不等式3x＋2＜2x＋3的解集在数轴上表示正确的是(D)
9．不等式＞1的解集是x＞5．
10．(2017·西安期末)不等式3x－1≤2(x＋2)的最大整数解是5．
11．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来．
(1)2(x＋3)－4>0；
解：去括号，得2x＋6－4＞0.
合并同类项，得2x＋2＞0.
移项，得2x＞－2.
系数化为1，得x＞－1.
这个不等式的解集在数轴上表示为：
(2)＜x－1.
解：去分母，得1＋x＜3x－3.
移项，得x－3x＜－3－1.
合并同类项，得－2x＜－4.
系数化为1，得x＞2.
将解集在数轴上表示为：
02 中档题
12．(2017·遵义)不等式6－4x≥3x－8的非负整数解为(B)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc，例如＝1×4－2×3＝－2.若＞0，则(A)
A．x＞1 B．x＜－1
C．x＞3 D．x＜－3
14．当k≥时，代数式(k－1)的值不小于代数式1－的值．
15．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
(1)2x－1＞；
解：去分母，得4x－2＞3x－1.
移项，得4x－3x＞2－1.
合并同类项，得x＞1.
将不等式的解集在数轴上表示为：
(2)x－1≤x－；
解：去分母，得3x－6≤4x－3.
移项，得3x－4x≤6－3.
合并同类项，得－x≤3.
系数化为1，得x≥－3.
这个不等式的解集在数轴上表示为：
(3)≤－1.
解：去分母，得4(2x－1)≤3(3x＋2)－12.
去括号，得8x－4≤9x＋6－12.
移项，得8x－9x≤4＋6－12.
合并同类项，得－x≤－2.
系数化为1，得x≥2.
解集在数轴上表示为：
16．(1)解不等式：5(x－2)＋8<6(x－1)＋7；
(2)若(1)中的不等式的最小整数解是方程2x－ax＝3的解，求a的值．
解：(1)去括号，得5x－10＋8<6x－6＋7.
移项、合并同类项，得－x<3.
系数化为1，得x>－3.
(2)由(1)得，最小整数解为x＝－2，
由题意，得2×(－2)－a×(－2)＝3，
解得a＝.
03 综合题
17．请你与小明、小华一起研究：小明在学习时，遇到以下两题，被难住了，于是就和小华一起研究起来．
(1)不等式a(x－1)>x＋1－2a的解集是x<－1，请确定a的值；
(2)如果不等式4x－3a>－1与不等式2(x－1)＋3>5的解集相同，请确定a的值．
解：(1)不等式a(x－1)>x＋1－2a可变形为(a－1)x>1－a.
∵原不等式的解集为x<－1，
∴a－1<0，即a<1.
(2)解不等式2(x－1)＋3>5，得x>2.
解不等式4x－3a>－1，得x>.
∵两个不等式的解集相同，
∴＝2.
解得a＝3.
第2课时 一元一次不等式的应用
01 基础题
知识点 一元一次不等式的应用
1．小明准备用节省的零花钱买一台随身音响，他已存有45元，计划从现在起以后每月节省30元，直到他至少有300元．设x月后他至少有300元，则符合题意的不等式是(B)
A．30x－45≥300 B．30x＋45≥300
C．30x－45≤300 D．30x＋45≤300
2．电脑公司销售一批计算机，第一个月以3 500元/台的价格售出40台，从第二个月起降价，以3 000元/台的价格将这批计算机全部售出，销售总额超过30万元，则这批计算机最少有多少台？若设这批计算机有x台，则下列不等式表示正确的是(C)
A．3 500×40＋3 000(x－40)＞30
B．3 500×40＋3 000(x－40)≥30
C．3 500×40＋3 000(x－40)＞300 000
D．3 500×40＋3 000(x－40)≥300 000
3．小美将某服饰店的促销活动内容告诉小明后，小明假设某一商品的定价为x元，并列出关系式为0.3(2x－100)＜1 000，则小美告诉小明的内容可能是(A)
A．买两件等值的商品可减100元，再打3折，最后不到1 000元
B．买两件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1 000元
C．买两件等值的商品可打3折，再减100元，最后不到1 000元
D．买两件等值的商品可打7折，再减100元，最后不到1 000元
4．某品牌自行车进价是每辆800元，标价是每辆1 200元，店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润不低于5%，则最多可打几折(C)
A．5 B．6
C．7 D．8
5．(2017·西安期中)小颖准备用21元钱买笔和笔记本，已知每支笔3元，每个笔记本2元，她买了4个笔记本，则她最多还可以买________支笔(D)
A．1 B．2 C．3 D．4
6．有10名菜农，每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩可收入0.5万元，辣椒每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排4人种茄子．
7．(2017·台州)商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为10元/千克．
8．某校八年级社会实践小组开展课外活动，调查快餐营养情况，他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图)．若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，这份快餐最多含有多少克的蛋白质？
解：设这份快餐含有x克的蛋白质．根据题意，得
x＋4x≤400×70%.
解得x≤56.
答：这份快餐最多含有56克的蛋白质．
02 中档题
9．某矿泉水每瓶售价1.5元，现甲、乙两家商场给出优惠政策：甲商场全部9折，乙商场20瓶以上的部分8折．老师要小明去买一些矿泉水，小明想了想觉得到乙商场购买比较优惠．则小明需要购买的矿泉水的数量x的取值范围是(B)
A．x＞20 B．x＞40
C．x≥40 D．x＜40
10．(2017·齐齐哈尔)为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3 000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买(A)
A．16个 B．17个
C．33个 D ．34个
11．(2017·沈阳)小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？
解：设小明答对了x题，根据题意，得
(25－x)×(－2)＋6x＞90，
解得x＞17.
∵x为非负整数，
∴x最小为18.
答：小明至少答对18道题才能获得奖品．
12．(2017·贵港)某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．
(1)已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
(2)如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
解：(1)设甲队胜了x场，则负了(10－x)场，根据题意，得
2x＋10－x＝18，
解得x＝8.
则10－x＝2.
答：甲队胜了8场，负了2场．
(2)设乙队在初赛阶段胜a场，根据题意，得
2a＋(10－a)＞15，
解得a＞5.
答：乙队在初赛阶段至少要胜6场．
13．某工程队现有大量的沙石需要运输，工程队下属车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石．
(1)求该车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？
(2)随着工程的进展，车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．
解：(1)设该车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有x辆、y辆，根据题意，得
解得
答：该车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆．
(2)设载重量为8吨的卡车增加了z辆，依题意，得
8(5＋z)＋10(7＋6－z)＞165，
解得z＜.
∵z≥0且为整数，
∴z＝0，1，2.
∴车队共有3种购车方案：
①载重量为8吨的卡车不购买，10吨的卡车购买6辆；
②载重量为8吨的卡车购买1辆，10吨的卡车购买5辆；
③载重量为8吨的卡车购买2辆，10吨的卡车购买4辆．
03 综合题
14．现有一批设备需由景德镇运往相距300千米的南昌，甲、乙两车分别以80千米/时和60千米/时的速度同时出发，甲车在距南昌130千米的A处发现有部分设备丢在B处，立即以原速返回到B处取回设备，为了还能比乙车提前到达南昌，开始加速以100千米/时的速度向南昌前进，设AB的距离为a千米．
(1)写出甲车将设备从景德镇运到南昌所经过的路程(用含a的代数式表示)；
(2)若甲车还能比乙车提前到达南昌，则a应小于多少？(不考虑其他因素)
解：(1)300－130＋a＋a＋130＝300＋2a(千米)．
(2)由题意，得
＋＜.
解得a＜70.
答：a应小于70.
周周练(2.1～2.4)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．下列不等式中，是一元一次不等式的是(C)
A．5＋4＞8 B．2x－1
C．2x≤5 D.－3x≥0
2．(2017·平顶山月考)若m＞n，下列不等式不一定成立的是(D)
A．m＋2＞n＋2 B．2m＞2n
C.＞ D．m2＞n2
3．有一道这样的题：“由★x>1得到x<”，则题中★表示的是(D)
A．非正数 B．正数
C．非负数 D．负数
4．(2017·西安期中)不等式5x－1>2x＋5的解集在数轴上表示正确的是(A)
5．(2017·大庆)若实数3是不等式2x－a－2＜0的一个解，则a可取的正整数为(D)
A．2 B．3
C．4 D．5
6．小明身高1.5米，小明爸爸身高1.8米，小明走上一处每级高a米、共10级的平台说：“爸爸，现在两个你的身高都比不上我了！”由此可得关于a的不等式是(C)
A．10a＞1.8×2
B．1.5＋a＋10＞1.8×2
C．10a＋1.5＞1.8×2
D．1.8×2＞10a＋15
7．(2016·遵义)三个连续正整数的和小于39，这样的正整数中，最大一组的和是(B)
A．39 B．36 C．35 D．34
8．已知A地在B地的西方，且有一条以A，B两地为端点的东西向直线道路，其全长为400公里．今在此道路上距离A地12公里处设置第一个广告牌，之后每往东27公里就设置一个广告牌，如图所示．若某车从此道路上距离A地19公里处出发，往东直行320公里后才停止，则此车在停止前经过的最后一个广告牌距离A地多少公里？(C)
A．309 B．316 C．336 D．339
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．用不等号“＞，＜，≥，≤”填空：a2＋1＞0.
10．小明坐着爸爸新买的小车，在闹市区街道边发现一块标志牌(如图所示)，小明知道这表示车速不超过这个数字，请你用式子表示在该车道上车辆行驶速度v(km/h)的数值范围：v≤10．
11．(2017·海南)不等式2x＋1＞0的解集是x>－．
12．已知关于x的方程2x＋4＝m－x的解为负数，则m的取值范围是m<4．
13．某商场推出一种购物“金卡”，凭卡在该商场购物可按商品价格的八折优惠，但办理金卡时每张要收100元购卡费．设按标价累计购物金额为x(元)，当x>500时，办理金卡购物省钱．
14．定义一种新的运算：a※b＝2a＋b，已知关于x的不等式x※k≥1的解集在数轴上表示如图，则k＝3．
三、解答题(共52分)
15．(8分)(2017·绍兴)解不等式：4x＋5≤2(x＋1)．
解：去括号，得4x＋5≤2x＋2.
移项，得4x－2x≤2－5.
合并同类项，得2x≤－3.
系数化为1，得x≤－.
16．(10分)解不等式：－1＞，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母，得x－6＞2(x－2)．
去括号，得x－6＞2x－4.
移项，得x－2x＞－4＋6.
合并同类项，得－x＞2.
系数化为1，得x＜－2.
解集在数轴上表示如图所示．
17．(10分)阅读对话后，完成下面的要求：
教师：王芳，你怎么哭了？
王芳：老师，李明把这道题后面的擦掉了．
教师：啊！是这么回事呀！如果我告诉你这道题的答案是x≥7，且后面擦掉的是一个常数，你能把这个常数补上吗？
王芳：…，我知道了，谢谢老师(笑)．
根据以上信息，你能否完成这个任务？试试看！
≥＋？
解：设擦去的常数是a，则
≥＋a.
整理，得x≥13＋6a.
∵这个不等式的解集是x≥7，
∴13＋6a＝7.
解得a＝－1.
故擦去的是－1.
18．(10分)(2017·邵阳)某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．
(1)求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
(2)由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．
解：(1)设每辆小客车的乘客座位数是x个，大客车的乘客座位数是y个，则
解得
答：每辆大客车的乘客座位数为35个，每辆小客车的乘客座位数为18个．
(2)设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则
18a＋35(11－a)≥300＋30，解得a≤3.
∴符合条件的a的最大整数为3.
答：租用小客车数量的最大值为3.
19．(14分)王老师所在的学校为加强学生的体育锻炼，需要购买若干个足球和篮球．他曾三次在某商场购买过足球和篮球，其中有一次购买时，遇到商场打折销售，其余两次均按标价购买．三次购买足球和篮球的数量和费用如下表：
足球数量(个)
篮球数量(个)
总费用(元)
第一次
6
5
700
第二次
3
7
710
第三次
7
8
693
(1)王老师是第三次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售的；
(2)求足球和篮球的标价；
(3)如果现在商场均以标价的6折对足球和篮球进行促销，王老师决定从该商场一次性购买足球和篮球60个，且总费用不能超过2 500元，那么最多可以购买多少个篮球？
解：(2)设足球的标价为x元，篮球的标价为y元．根据题意，得
解得
答：足球的标价为50元，篮球的标价为80元．
(3)设购买a个篮球，依题意，得
0．6×50(60－a)＋0.6×80a≤2 500，
解得a≤38.
答：最多可以买38个篮球．
2.5 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式与一次函数
01 基础题
知识点 一元一次不等式与一次函数
1．(2017·湘潭)一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解集是(B)
A．x≥2 B．x≤2
C．x≥4 D．x≤4
2．如图是一次函数y＝kx＋b的图象，当y＜2时，x的取值范围是(C)
A．x＜1 B．x＞1
C．x＜3 D．x＞3
3．如图，已知直线y1＝x＋b与y2＝kx－1相交于点P，点P的横坐标为－1，则关于x的不等式x＋b
A．x>－1
B．x≥－1
C．x<－1
D．x≤－1
02 中档题
4．已知一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0)，x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式kx＋b<0的解集是(D)
x
－2
－1
0
1
2
3
y
3
2
1
0
－1
－2
A.x<0 B．x>0 C．x<1 D．x>1
5．如图所示，函数y1＝|x|和y2＝x＋的图象相交于(－1，1)，(2，2)两点．当y1>y2时，x的取值范围是(D)
A．x＜－1 B．－1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜－1或x＞2
6．(2017·平顶山期中)画出函数y＝－x＋3的图象，根据图象回答下列问题：
(1)求方程－x＋3＝0的解；
(2)求不等式－x＋3＜0的解集；
(3)当x取何值时，y≥0.
解：如图．
(1)观察图象可知，方程－x＋3＝0的解为x＝2.
(2)观察图象可知，不等式－x＋3＜0的解集为x＞2.
(3)当x≤2时，y≥0.
7．赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲、乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点A驶向终点B，在整个行程中，龙舟离开起点的距离y(米)与时间x(分钟)的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？
(2)分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式；
(3)何时乙龙舟队划到甲龙舟队前面？
解：(1)由图可得，甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点．
(2)设甲龙舟队的y与x函数关系式为y＝kx，
把(25，3 000)代入，可得3 000＝25k，
解得k＝120.
∴甲龙舟队的y与x函数关系式为y＝120x(0≤x≤25)．
设乙龙舟队的y与x函数关系式为y＝ax＋b，
把(5，0)，(20，3 000)代入，可得
解得
∴乙龙舟队的y与x函数关系式为y＝200x－1 000(5≤x≤20)．
(3)由题意得200x－1 000＞120x，解得x＞12.5.
故12.5分后乙龙舟队划到甲龙舟队前面．
第2课时 一元一次不等式与一次函数的应用
01 基础题
知识点 一元一次不等式与一次函数的实际应用
1．已知甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体x(kg)之间的函数表达式分别是y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，其图象如图所示，当所挂物体质量均为2 kg时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为(A)
A．y1＞y2 B．y1＝y2
C．y1＜y2 D．不能确定
2．暑假期间，李老师计划带领该校若干名“三好学生”到北京旅游，他联系了报价均为240元的甲、乙两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师买一张全票，学生可享受半价优惠；乙旅行社的优惠条件是：老师、学生都按六折优惠．设李老师带领x名“三好学生”去旅游，甲旅行社的收费为y1元，乙旅行社的收费为y2元．
(1)y1＝120x＋240；y2＝144x＋144；
(2)当学生人数多于4人时，选择甲旅行社更划算；
(3)当学生人数少于4人时，选择乙旅行社更划算．
02 中档题
3．(2017·衡阳)为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y(元)与骑行时间x(时)之间的函数关系，根据图象回答下列问题：
(1)求手机支付金额y(元)与骑行时间x(时)的函数关系式；
(2)李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算．
解：(1)当0≤x＜0.5时，y＝0；
当x≥0.5时，设手机支付金额y(元)与骑行时间x(时)的函数关系式是y＝kx＋b，则
解得
即当x≥0.5时， y＝x－0.5.
∴手机支付金额y(元)与骑行时间x(时)的函数关系式是y＝
(2)设会员卡支付对应的函数关系式为y＝ax，
则0.75＝a×1，得a＝0.75，
即会员卡支付对应的函数关系式为y＝0.75x.
令0.75x＝x－0.5，解得x＝2.
由图象可知，
当0＜x＜2时，李老师选择手机支付比较合算；
当x＝2时，李老师选择两种支付一样；
当x＞2时，李老师选择会员卡支付比较合算．
03 综合题
4．某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折(按标价的90%)销售；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA(元)，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB(元)．请解答下列问题：
(1)分别写出yA和yB与x之间的关系式；
(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
(3)若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．
解：(1)yA＝27x＋270，yB＝30x＋240.
(2)当yA＝yB时，27x＋270＝30x＋240，解得x＝10；
当yA＞yB时，27x＋270＞30x＋240，解得x＜10；
当yA＜yB时，27x＋270＜30x＋240，解得x＞10.
∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算；
当x＝10时，两家超市都一样；
当x＞10时，到A超市购买划算．
(3)∵x＝15＞10，
∴①选择在A超市购买，yA＝27×15＋270＝675(元)；
②可先在B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，再在A超市购买剩下的羽毛球10×15－20＝130(个)，
则共需费用：10×30＋130×3×0.9＝651(元)．
∵651＜675，
∴最省钱的购买方案是：先在B超市购买10副羽毛球拍，再在A超市购买130个羽毛球．
小专题(二) 一元一次不等式的应用
类型1 一元一次不等式与方程(组)的应用
1．某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元.
(1)若公司可投入的购车款不超过55万元，求最多购买轿车多少辆？
(2)若购买的面包车多于购买轿车的2倍，求至少购买面包车多少辆？
解：(1)设购买轿车x辆，则购买面包车(10－x)辆，根据题意，得
7x＋4(10－x)≤55，
解得x≤5.
答：最多购买轿车5辆．
(2)设购买面包车y辆，则购买轿车(10－y)辆，根据题意，得
y＞2(10－y)，
解得y＞.
∵y为整数，
∴y≥7.
答：至少购买面包车7辆．
2．光伏发电惠民生，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月(按30天计)共发电550度．
(1)求这个月晴天的天数；
(2)已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本．(不计其他费用，结果取整数)
信息链接：根据国家相关规定，凡是屋顶光伏发电站生产的电，家庭用电后剩余部分可以0.45元/度卖给电力公司，同时可获得政府补贴0.52元/度．
解：(1)设这个月有x个晴天，由题意，得
30x＋5(30－x)＝550，
解得x＝16.
答：这个月有16个晴天．
(2)设需要y年才可以收回成本，由题意，得
(550－150)·(0.52＋0.45)·12y≥40 000，
解得y≥8.6.
∵y是整数，
∴至少需要9年才能收回成本．
3．(2017·铁岭)某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作2 h，乙机器人工作4 h，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作3 h，乙机器人工作2 h，一共可以分拣650件包裹．
(1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹；
(2)“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，要让甲、乙两机器人每天分拣包裹的总数量不低于2 250件，它们每天至少要一起工作多少小时？
解：(1)设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹，根据题意，得
解得
答：甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹．
(2)设它们每天要一起工作t小时，根据题意，得
(150＋100)t≥2 250，
解得t≥9.
答：它们每天至少要一起工作9小时．
4．(2017·怀化)为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．
(1)求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
(2)若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过1 480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
解：(1)设1副乒乓球拍和1副羽毛球拍的价格分别为x元和y元，根据题意，得
解得
答：购买1副乒乓球拍需28元，1副羽毛球拍需60元．
(2)设购买羽毛球拍的数量为z副，则购买乒乓球拍的数量为(30－z)副．根据题意，得
28(30－z)＋60z≤1 480.
解得z≤20.
答：最多能购买20副羽毛球拍．
类型2 一元一次不等式与一次函数的应用
5．(2017·大庆)某快递公司的每位“快递小哥”日收入与每日的派送量成一次函数关系，如图所示．
(1)求每位“快递小哥”的日收入y(元)与日派送量x(件)之间的函数关系式；
(2)已知某“快递小哥”的日收入不少于110元，则他至少要派送多少件？
解：(1)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，
将(0，70)，(30，100)代入，得
解得
∴所求函数表达式为y＝x＋70.
(2)根据题意，得x＋70≥110，
解得x≥40.
答：某“快递小哥”的日收入不少于110元，则他至少要派送40件．
6．(2017·连云港)某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完，直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤(不计损耗)．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤，设安排x名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓．
(1)若基地一天的总销售收入为y元，求y与x之间的函数表达式；
(2)试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值．
解：(1)根据题意，得y＝[70x－(20－x)×35]×40＋(20－x)×35×130＝－350x＋63 000.
即y与x之间的函数表达式为y＝－350x＋63 000.
(2)由题意，得70x≥35(20－x)，
解得x≥.
∵x为正整数，且x≤20，
∴7≤x≤20.
∵－350＜0，
∴y的值随x的值增大而减小．
∴当x＝7时，y取最大值，最大值为－350×7＋63 000＝60 550.
答：安排7名工人进行采摘，13名工人进行加工，才能使一天的收入最大，最大收入为60 550元．
7．(2017·西安期中)某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据下表提供的信息，解答下列问题：
物资种类
食品
药品
生活用品
每辆汽车运载量(吨)
6
5
4
每吨所需运费(元/吨)
120
160
100
(1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x的函数关系式；
(2)如果装运食品的车辆数不少于7辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？采用哪种安排方案使总运费最少，最少总运费为多少？
解：(1)由题意知装运生活用品的车辆数为(20－x－y)，
则有6x＋5y＋4(20－x－y)＝100，
整理得y＝－2x＋20.
(2)由题意得－2x＋20≥4，
解得x≤8，
又∵x≥7，且x为整数，
∴x的值为7，8.
∴安排方案有2种：
①装运食品7辆，药品6辆，生活用品7辆；
②装运食品8辆，药品4辆，生活用品8辆．
当x＝7时，总运费为7×6×120＋6×5×160＋7×4×100＝12 640(元)；
当x＝8时，总运费为8×6×120＋4×5×160＋8×4×100＝12 160(元)．
故选②，最少总运费为12 160元．
2.6 一元一次不等式组
第1课时 解较简单的一元一次不等式组
01 基础题
知识点1 一元一次不等式组及相关概念
1．下列各式中不是一元一次不等式组的是(B)
A. B.
C. D.
2．(2017·湘潭)不等式组的解集在数轴上表示为(B)
3．(2017·西安期中)如图，数轴上表示的是两个不等式的解集，由它们组成的不等式组的解集为(A)
A．－1
知识点2 解较简单的一元一次不等式组
4．(2017·长春)不等式组的解集为(C)
A．x<－2 B．x≤－1
C．x≤1 D．x<3
5．(2017·山西)将不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是(A)
6．(2017·河南)不等式组的解集是－1＜x≤2．
02 中档题
7．不等式组的整数解的个数为(B)
A．3个 B．5个 C．7个 D．无数个
8．(2017·黑龙江)不等式组的解集是x＞－1，则a的取值范围是a≤－．
9．(2017·天津)解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得x≥1；
(2)解不等式②，得x≤3；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为1≤x≤3．
10．(2017·河池)解不等式组：
解：解不等式①，得x＞0.5.
解不等式②，得x＜2.
∴不等式组的解集为0.5＜x＜2.
03 综合题
11．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式组则m的取值范围是什么？
解：在方程组中，
①＋②，得3x＋3y＝3＋m，∴x＋y＝.
①－②，得x－y＝－1＋3m，
∵
∴
解得0＜m＜3.
第2课时 解较复杂的一元一次不等式组
01 基础题
知识点 解较复杂的一元一次不等式组
1．(2017·德州)不等式组的解集是(B)
A．x≥－3 B．－3≤x＜4
C．－3≤x＜2 D．x＞4
2．不等式组的解集在数轴上可表示为(A)
3．不等式组的整数解是－1，0，1．
4．解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
(1)(2017·长沙)
解：解不等式①，得x≥－3.
解不等式②，得x＞2.
则不等式组的解集为x＞2.
解集表示在数轴上如图：
(2)(2017·黔东南)
解：解不等式①，得x≤1.
解不等式②，得x＞－7.
∴不等式组的解集为－7＜x≤1.
解集表示在数轴上如图：
02 中档题
5．(2016·滨州)对于不等式组下列说法正确的是(B)
A．此不等式组无解
B．此不等式组有7个整数解
C．此不等式组的负整数解是－3，－2，－1
D．此不等式组的解集是－＜x≤2
6．(2017·西安期中)不等式组的解集是x>4，那么m的取值范围是(A)
A．m≤4 B．m＜4
C．m≥4 D．m＞4
7．解不等式组并写出它的所有非负整数解．
解：解不等式①，得x≥－2.
解不等式②，得x<.
所以原不等式组的解集为－2≤x<.
所以它的非负整数解为0，1，2，3.
8．若不等式组的整数解是关于x的方程2x－4＝ax的根，求a的值．
解：解不等式组得－3
2×(－2)－4＝a·(－2)．
解得a＝4.
小专题(三) 一元一次不等式(组)的解法
类型1 解一元一次不等式
1．解不等式：5＋x≥3(x－1)．
解：去括号，得5＋x≥3x－3.
移项，得x－3x≥－3－5.
合并同类项，得－2x≥－8.
系数化为1，得x≤4.
2．(2017·镇江)解不等式：>1－.
解：去分母，得2x＞6－3(x－2)．
去括号，得2x＞6－3x＋6.
移项，得2x＋3x＞6＋6.
合并同类项，得5x＞12.
系数化为1，得x＞.
3．求不等式2x－7＜5－2x的正整数解．
解：移项，得2x＋2x＜5＋7.
合并同类项，得4x<12.
系数化为1，得x＜3.
∴不等式的正整数解为1，2.
4．解不等式2(x＋1)＜3x，并把解集在数轴上表示出来．
解：去括号，得2x＋2＜3x.
移项、合并同类项，得－x＜－2.
系数化为1，得x＞2.
其解集在数轴上表示为：
5．解不等式≤5－x，并把解集在数轴上表示出来．
解：去分母，得x－1≤15－3x.
移项，得x＋3x≤15＋1.
合并同类项，得4x≤16.
系数化为1，得x≤4.
其解集在数轴上表示为：
6．解不等式－≥，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母，得3(3x＋1)－8≥2(2x－5)．
去括号，得9x＋3－8≥4x－10.
移项，得9x－4x≥－10＋8－3.
合并同类项，得5x≥－5.
系数化为1，得x≥－1.
将解集表示在数轴上如下：
7．已知不等式x＋8＞4x＋m(m是常数)的解集是x＜3，求m.
解：移项，得x－4x＞m－8.
合并同类项，得－3x＞m－8.
系数化为1，得x＜－(m－8)．
∵不等式的解集为x＜3，
∴－(m－8)＝3.
解得m＝－1.
类型2 解一元一次不等式组
8．(2017·苏州)解不等式组：
解：由x＋1≥4，解得x≥3.
由2(x－1)＞3x－6，解得x＜4.
∴不等式组的解集是3≤x＜4.
9．(2017·成都)解不等式组：
解：解不等式①，得x＞－4.
解不等式②，得x≤－1.
则不等式组的解集是－4＜x≤－1.
10．解不等式组并把它的解集表示在数轴上．
解：解不等式①，得x＞4.
解不等式②，得x＞－2.
∴原不等式组的解集为x＞4.
不等式组的解集在数轴上表示为：
11．解不等式组并将它的解集在数轴上表示出来．
解：解不等式①，得x＜－1.
解不等式②，得x≤2.
故此不等式组的解集为x＜－1.
其解集在数轴上表示为：
12．解不等式组并在数轴上表示出该不等式组的解集．
解：解不等式①，得x＞.
解不等式②，得x≤3.
∴不等式组的解集是＜x≤3.
其解集在数轴上表示为：
13．(2016·扬州)解不等式组并写出该不等式组的最大整数解．
解：解不等式①，得x≥－2.
解不等式②，得x＜1.
∴不等式组的解集为－2≤x＜1.
∴不等式组的最大整数解为0.
14．若关于x的不等式组有解，求实数a的取值范围．
解：解不等式①，得x＞2.
解不等式②，得x＜.
∵不等式组有解，
∴2＜x＜.
∴＞2.∴a＞4.
15．已知2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，且a≤4＜b，求x的取值范围．
解：由2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，得
a＝，b＝.
∵a≤4＜b，
∴
解不等式①，得x≤3.
解不等式②，得x＞－2.
∴x的取值范围是－2＜x≤3.
小专题(四) 解含参不等式(组)
——教材P62T10的变式与应用
教材母题：(教材P62T10)如果不等式组的解集是x>3，那么m的取值范围是(B)
A．m≥3 B．m≤3
C．m＝3 D．m<3
【思路点拨】 由不等式组中两个不等式的形式，结合不等式组解集的同大取大法则，可得a的取值范围，但应注意范围中是否包含取等号的情况，这里容易出错．
解决含有参数的不等式需要按以下几个步骤：
(1)解不等式或不等式组，含有参数的也要解，把参数当已知数来解，这是必不可少的步骤；
(2)借助于数轴，形象准确地把握不等式组有解、无解以及有几个整数解的问题；
(3)注意端点值，这类问题一般都与端点有关，一是用数轴来说明是哪个端点，二是进行检验，有无端点是不是满足题意．
1．如果不等式组的解集是x＞1，那么n的取值范围是(C)
A．n≥1 B．n＝1
C．n≤1 D．n＜1
2．若不等式组无解，则m的取值范围是(C)
A．m＜11 B．m＞11
C．m≤11 D．m≥1
3．(2017·泰安)不等式组的解集为x<2，则k的取值范围为(C)
A．k>1 B．k<1
C．k≥1 D．k≤1
4．已知关于x的不等式组有解，求实数a的取值范围．
解：解不等式①，得x≥.
解不等式②，得x＜－2.
由题意，得＜－2，
解得a＜－6.
5．(2017·黄石)已知关于x的不等式组恰有两个整数解，求实数a的取值范围．
解：解不等式①，得x＞－2.
解不等式②，得x≤4＋a.
∵原不等式组有解，
∴不等式组的解集为－2＜x≤4＋a.
∵原不等式组恰有两个整数解，
∴0≤4＋a＜1.
∴－4≤a＜－3.
6．关于x的不等式组
(1)若a＝2，求这个不等式组的解集；
(2)若这个不等式组无解，求a的取值范围；
(3)若这个不等式组的整数解有3个，求a的取值范围．
解：(1)解不等式①，得x≤6－a.
解不等式②，得x＞－2.
当a＝2时，不等式组的解集是－2＜x≤4.
(2)∵不等式组无解，
∴6－a≤－2.∴a≥8.
∴a的取值范围是a≥8.
(3)∵不等式组的整数解有3个，
∴1≤6－a＜2.
∴a的取值范围是4＜a≤5.
章末复习(二) 一元一次不等式与一元一次不等式组
01 基础题
知识点1 不等式的基本性质
1．(2017·西安期中)若a>b，则下列各等式中一定成立的是(B)
A．a－1”“<”或“＝”)
知识点2 解一元一次不等式(组)
3．在数轴上表示不等式3x＋1≥4的解集，正确的是(D)
A. B.
C. D.
4．(2017·绥化)不等式组的解集是(B)
A．x≤4 B．2＜x≤4
C．2≤x≤4 D．x＞2
5．不等式3(x－1)≤5－x的非负整数解有(C)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6．(2017·淄博)解不等式：≤.
解：去分母，得3(x－2)≤2(7－x)．
去括号，得3x－6≤14－2x.
移项、合并同类项，得5x≤20.
解得x≤4.
7．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
解：解不等式①，得x＜3.
解不等式②，得x≥－2.
则不等式组的解集是－2≤x＜3.
解集在数轴上表示如下：
知识点3 一元一次不等式与一次函数
8．一次函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象如图所示，其交点为P(－2，－5)，则不等式3x＋b＞ax－3的解集在数轴上表示正确的是(C)
A. B.
C. D.
9．如图，直线y1＝k1x＋b和直线y2＝k2x＋b交于y轴上一点，则不等式k1x＋b＞k2x＋b的解集为x＞0．
知识点4 一元一次不等式的应用
10．(2016·西宁)某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有(C)
A．103块 B．104块
C．105块 D．106块
11．甲、乙两队进行足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，两队一共比赛了10场，甲队保持不败，得分不低于24分，则甲队至少胜了多少场？
解：设甲队胜了x场，则平了(10－x)场．由题意，得
3x＋(10－x)≥24.解得x≥7.
答：甲队至少胜了7场．
02 中档题
12．(2016·泰安)当1≤x≤4时，mx－4＜0，则m的取值范围是(B)
A．m＞1 B．m＜1
C．m＞4 D．m＜4
13．如图，函数y＝－2x和y＝kx＋b的图象相交于点A(m，3)，则关于x的不等式－kx－b－2x＞0的解集为x<－．
14．为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗摞起来的高度为15 cm，9只饭碗摞起来的高度为20 cm，李老师家的碗橱每格的高度为28 cm，则里面一摞碗最多只能放13只．
15．当a，b满足条件a＞b＞0时，＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆．若＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是3＜m＜8．
16．已知关于x的不等式组恰有两个整数解，求实数a的取值范围.
解：解不等式①，得x＞－.
解不等式②，得x＜2a.
则原不等式组的解集为－
∴这两个整数解是0和1.
根据题意，得1＜2a≤2，
解得＜a≤1.
17．关于x的两个不等式＜1①与1－3x＞0②.
(1)若两个不等式的解集相同，求a的值；
(2)若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．
解：(1)由①，得x＜.
由②，得x＜.
∵两个不等式的解集相同，
∴＝.解得a＝1.
(2)∵不等式①的解都是②的解，
∴≤.解得a≥1.
18．某大型企业为了保护环境，准备购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．
(1)求出A型、B型污水处理设备的单价；
(2)经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理不低于1 565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．
解：(1)设A型污水处理设备的单价为x万元，B型污水处理设备的单价为y万元．根据题意，得
解得
答：A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的单价为10万元．
(2)设购进a台A型污水处理设备，根据题意，得
220a＋190(8－a)≥1 565.
解得a≥1.5.
∵A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高，
∴A型污水处理设备买越少，越省钱．
∴购进2台A型污水处理设备，6台B型污水处理设备最省钱．
03 综合题
19．如果关于x的方程a－3(x＋1)＝1－x有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x<－2，那么符合条件的所有整数a的积是(D)
A．－3 B．0 C．3 D．9
北师大版八年级下册数学 第三章 图形的平移与旋转 同步课时练习题
3．1 图形的平移
第1课时 平移的认识
01 基础题
知识点1 平移的认识
1．下列现象中属于平移的是(A)
A．升降电梯从一楼升到五楼
B．闹钟的钟摆运动
C．树叶从树上随风飘落
D．汽车方向盘的转动
2．下列选项中能由左图平移得到的是(C)
3．如图，由△ABC平移得到的三角形有(B)
A．15个 B．5个 C．10个 D．8个
知识点2 平移的性质
4．如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1＝50°，则∠2的度数是(B)
A．40° B．50° C．90° D．130°
5．下列说法：①图形平移，对应点所连的线段互相平分；②确定一个图形平移后的位置需要知道平移的方向和距离；③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置；④一个图形和它经过平移所得的图形的对应线段平行(或在一条直线上)且相等．其中正确的有(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，△ABC沿着点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC＝5，EC＝3，那么平移的距离为(A)
A．2 B．3 C．5 D．7
7．如图，已知线段DE是由线段AB平移而得，AB＝DC＝4 cm，EC＝5 cm，则△DCE的周长是13cm.
8．如图，△ABC经过一次平移到△DFE的位置，请回答下列问题：
(1)点C的对应点是点E，∠D＝∠A，BC＝FE；
(2)连接CE，那么平移的方向就是点C到点E的方向，平移的距离就是线段CE的长度；
(3)连接AD，BF，BE，与线段CE相等的线段有AD，BF．
知识点3 平移作图
9．下列平移作图错误的是(C)
10．如图，经过平移，四边形ABCD的顶点A移到了点A′.
(1)指出平移的方向和平移的距离；
(2)画出平移后的四边形A′B′C′D′.
解：(1)如图，连接AA′，平移的方向是点A到点A′的方向，平移的距离是线段AA′的长度．
(2)如图，四边形A′B′C′D′即为所求．
02 中档题
11．如图，已知△ABC平移后得到△DEF，则下列说法中，不正确的是(C)
A．AB＝DE
B．BC∥EF
C．平移的距离是线段BD的长
D．平移的距离是线段AD的长
12．(2017·西安期中)如图，在两个重叠的直角三角形中，将其中的一个直角三角形沿着BC方向平移BE距离得到此图形，其中AB＝6，BE＝5，DH＝3，则四边形DHCF的面积为(C)
A．35 B. C. D．31
13．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位长度后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为12．
14．(2016·安徽)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC.
(1)试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；
(2)将四边形ABCD向下平移5个单位长度，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′.
解：(1)点D以及四边形ABCD另两条边如图所示．
(2)得到的四边形A′B′C′D′如图所示．
15．如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草．
(1)请利用平移的知识求出种花草的面积；
(2)若空白的部分种植花草共花费了4 620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？
解：(1)(8－2)×(8－1)＝6×7＝42(平方米)．
答：种花草的面积为42平方米．
(2)4 620÷42＝110(元)．
答：每平方米种植花草的费用是110元．
03 综合题
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置．
(1)若平移距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积；
(2)若平移距离为x(0≤x≤4)，用含x的代数式表示△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积．
解：(1)由题意，得CC′＝3，BB′＝3，
∴BC′＝1.
又由题意易得，重叠部分是一个等腰直角三角形，
∴重叠部分的面积为×1×1＝.
(2)当平移的距离是x时，CC′＝BB′＝x，
则BC′＝4－x.
∴重叠部分面积为(4－x)2.
第2课时 沿x轴或y轴方向平移的坐标变化
01 基础题
知识点 沿x轴或y轴方向平移的坐标变化
1．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，在平面直角坐标系中，将点A(－2，3)向右平移3个单位长度后对应的点A′的坐标是(C)
A．(－2，－3) B．(－2，6) C．(1，3) D．(－2，1)
2．在平面直角坐标系中，将点(2，3)向上平移1个单位长度，所得到的点的坐标是(C)
A．(1，3) B．(2，2)
C．(2，4) D．(3，3)
3．在平面直角坐标系中，将线段OA向下平移2个单位长度，平移后，点O，A的对应点分别为点O1，A1.若点O(0，0)，A(1，4)，则点O1，A1的坐标分别是(B)
A．(0，－2)，(－1，4) B．(0，－2)，(1，2)
C．(－2，0)，(1，4) D．(－2，0)，(－1，4)
4．(2017·郴州)在平面直角坐标系中，把点A(2，3)向左平移1个单位长度得到点A′，则点A′的坐标为(1，3)．
5．如图所示的平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是A(1，2)，B(3，－2)，C(5，1)，D(4，4)，画出将四边形ABCD向左平移3个单位长度后得到的四边形A1B1C1D1，并写出平移后四边形各个顶点的坐标．
解：如图所示．
由图可知，A1(－2，2)，B1(0，－2)，C1(2，1)，D1(1，4)．
02 中档题
6．将△ABC各顶点的纵坐标加“－3”，连接这三点所成的三角形是由△ABC(B)
A．向上平移3个单位长度得到的
B．向下平移3个单位长度得到的
C．向左平移3个单位长度得到的
D．向右平移3个单位长度得到的
7．若将点P(m＋2，2m＋1)向右平移1个单位长度后，点P的对应点正好落在y轴上，则m＝－3．
8．如图，把“QQ”笑脸放在平面直角坐标系中，已知左眼A的坐标是(－2，3)，嘴唇C的坐标为(－1，1)，则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位长度后，右眼B的坐标是(3，3)．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，－1)，点B(－2，1)，平移线段AB，使点A落在A1(0，－1)，点B落在点B1，则点B1的坐标为(1，1)．
10．观察下图，与图1中的鱼相比，图2中的鱼发生了一些变化，若图1中鱼上点P的坐标为(4，3.2)，则这个点在图2中的对应点P1的坐标应为(4，2.2)．
11．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
(1)点A的坐标为(2，7)，点C的坐标为(6，5)；
(2)将△ABC向下平移7个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；
(3)如果M为△ABC内的一点，其坐标为(a，b)，那么平移后点M的对应点M1的坐标为(a，b－7)．
解：平移后的△A1B1C1如图所示．
第3课时 沿x轴，y轴方向两次平移的坐标变化
01 基础题
知识点 沿x轴，y轴方向两次平移的坐标变化
1．将点(1，2)先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的点的坐标是(A)
A．(－2，3) B．(4，3)
C．(－2，1) D．(4，1)
2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的对应点A1的坐标为(D)
A．(4，3) B．(2，4)
C．(3，1) D．(2，5)
3．在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的四边形ABCD，点A的坐标是(0，2)．现将这张胶片平移，使点A落在点A′(5，－1)处，则此平移可以是(B)
A．先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度
4．将点P(－4，y)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点Q(x，－1)，则x＝－6，y＝2．
5．(2017·西安高新区期中)在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－3，1)，(－1，－2)，将线段AB沿某一方向平移后，得到点A的对应点A′的坐标为(－1，0)，则点B的对应点B′的坐标为(1，－3)．
6．如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图中鱼的各个顶点A，B，C，D都在格点上．
(1)把鱼先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，请你画出平移后得到的图形；
(2)写出A，B，C，D四点平移后的对应点A′，B′，C′，D′的坐标．
解：(1)如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求．
(2)A′(4，2)，B′(0，6)，C′(2，2)，D′(1，1)．
02 中档题
7．如图，线段AB经过平移得到线段A1B1，其中A，B的对应点分别为A1，B1，这四个点都在格点上，若线段AB上有一个点P(a，b)，则点P在A1B1上的对应点P1的坐标为(A)
A．(a－4，b＋2) B．(a－4，b－2)
C．(a＋4，b＋2) D．(a＋4，b－2)
8．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A(－2，6)，B(－3，2)，C(0，3)，将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△DEF.
(1)画出△DEF，并分别写出△DEF各顶点的坐标；
(2)如果将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离．
解：(1)△DEF如图所示，其各顶点的坐标分别为D(2，9)，E(1，5)，F(4，6)．
(2)连接AD.
由图可知，AD＝＝5.
∴如果将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由A到D的方向，平移的距离是5个单位长度．
03 综合题
9．在平面直角坐标系中，把点向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度记为一次“跳跃”．点A(－6，－2)经过第一次“跳跃”后的位置记为A1，点A1再经过一次“跳跃”后的位置记为A2，…，以此类推．
(1)写出点A3的坐标：A3(0，1)；
(2)写出点An的坐标：An(－6＋2n，－2＋n)(用含n的代数式表示)．
3.2 图形的旋转
第1课时 旋转的认识
01 基础题
知识点1 旋转的有关概念
1．下面生活中的实例，不是旋转的是(A)
A．传送带传送货物 B．螺旋桨的运动
C．风车风轮的运动 D．自行车车轮的运动
2．(2017·西安期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，若点C的对应点C′落在AB边上，则旋转角为(B)
A．40° B．70° C．80° D．140°
3．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的中点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，那么：
(1)旋转中心是点A；
(2)点B，D的对应点分别是点C，E；
(3)线段AB，BD，DA的对应线段分别是线段AC，CE，EA；
(4)∠B的对应角是∠ACE；
(5)旋转角度为60°．
知识点2 旋转的性质
4．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是(C)
A．15 ° B．60° C．45° D．75°
5．(2017·平顶山市宝丰县期末)如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－2，0)和(2，0)．月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A′的坐标为(B)
A．(2，2) B．(2，4)
C．(4，2) D．(1，2)
6．如图，△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE，AB＝5 cm，BC＝8 cm，∠BAC＝130°，则AD＝AB＝5cm，DE＝BC＝8cm，∠EAC＝∠BAD＝30°，∠DAC＝100°．
02 中档题
7．(2016·大连)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，则BD＝．
8．(2017·西安期中)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为2．
9．(2017·朝阳市建平县期末)如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求∠ACE的度数．
解：(1)证明：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，
∴∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE.
又∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝AD＝AE.
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
(2)∵∠CAE＝100°，AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC.
∴∠ACE＝×(180°－∠CAE)＝×(180°－100°)＝40°.
03 综合题
10．(2017·陕西蓝田县期末)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接AE，则AE的长为＋．
第2课时 旋转作图
01 基础题
知识点 旋转作图
1．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是(C)
2．(2017·广州)如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为(A)
3．(2017·枣庄)将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是(B)
A．96 B．69 C．66 D．99
4．如图，在正方形网格中，以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△AB1C1.
解：如图.
5．如图，△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为A′，试确定旋转后的三角形．
解：如图所示．
02 中档题
6．同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．如图看到的是万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的平行四边形AEFG可以看成是把平行四边形ABCD以A为中心(D)
A．顺时针旋转60°得到
B．顺时针旋转120°得到
C．逆时针旋转60°得到
D．逆时针旋转120°得到
7．如图，已知Rt△ABC和三角形外一点P，按要求完成图形．
(1)将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转90°，得△A′B′C′；
(2)将△ABC绕点P沿逆时针方向旋转60°，得△A″B″C″.
解：(1)△A′B′C′如图所示．
(2)△A″B″C″如图所示．
8．(2017·平顶山市宝丰县期末)如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在格点上，点A(－4，2)，点D(0，5)．
(1)画出△ABC绕点D逆时针方向旋转90°后的△EFG；
(2)写出点E，F，G的坐标．
解：(1)如图所示，△EFG即为所求．
(2)如图所示，E(3，1)，F(1，2)，G(3，4)．
小专题(五) 教材P89T12的变式与应用
教材母题：(教材P89T12)如图，△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？
解：∵△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝42°，AB＝AC，AD＝AE.
∵∠BAD＝∠BAC－∠DAC，∠CAE＝∠DAE－∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
∴△ABD与△ACE可通过旋转相互得到，
△ABD以点A为旋转中心，逆时针旋转42°，使△ABD与△ACE重合．
1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形．
(1)求证：BD＝CE；
(2)△ABD可以看作是由△ACE逆时针旋转90°得到的．
证明：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°.
∴∠BAD＝∠CAE.
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
∴BD＝CE.
2．如图，点P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝3，PC＝5.线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ.
(1)求PQ的长．
(2)求∠APB的度数．
解：(1)∵AP＝AQ，∠PAQ＝60°
∴△APQ是等边三角形．
∴PQ＝AP＝4.
(2)连接QC.
∵△ABC，△APQ都是等边三角形，
∴∠BAC＝∠PAQ＝60°.
∴∠BAP＝∠CAQ＝60°－∠PAC.
在△ABP和△ACQ中，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)．
∴BP＝CQ＝3，∠APB＝∠AQC.
∵在△PQC中，PQ2＋CQ2＝PC2，
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC＝90°.
∵△APQ是等边三角形，
∴∠AQP＝60°.
∴∠APB＝∠AQC＝60°＋90°＝150°.
3．如图1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB＝AC，AD＝AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图2，将BD，CE分别延长至M，N，使DM＝BD，EN＝CE，得到图3，请解答下列问题：
(1)在图2中，BD与CE的数量关系是BD＝CE；
(2)在图3中，判断△AMN的形状，及∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想．
解：△AMN为等腰三角形，∠MAN＝∠BAC.
证明：易证△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.
又∵DM＝BD，EN＝CE，
∴BM＝CN.
在△ABM和△ACN中，
∴△ABM≌△ACN(SAS)．
∴AM＝AN，∠BAM＝∠CAN，即∠BAC＋∠CAM＝∠CAM＋∠MAN.
∴△AMN为等腰三角形，∠MAN＝∠BAC.
3.3 中心对称
01 基础题
知识点1 中心对称的有关概念及性质
1．下列说法正确的是(B)
A．全等的两个图形一定成中心对称
B．关于某个点中心对称的两个图形一定全等
C．关于某个点中心对称的两个图形不一定全等
D．不全等的两个图形有可能关于某点中心对称
2．如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列说法不正确的是(B)
A．∠ABC＝∠A′B′C′
B．∠BOC＝∠B′A′C′
C．AB＝A′B′
D．OA＝OA′
3．如图所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有(C)
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
4．如图，线段AB和CD关于点O中心对称，若∠B＝40°，则∠D的度数为40°．
5．如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转180°后得到的，那么△ABC与△ADE关于A点中心对称，A点叫做对称中心．
6．小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距4公里．
知识点2 画中心对称的图形
7．如图，已知四边形ABCD和点O，画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A′B′C′D′.
解：四边形A′B′C′D′如图所示．
知识点3 中心对称图形
8．(2017·陕西师范大学附属中学期中)下列四个图形中是中心对称图形的是(D)
9．(2017·成都)下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(D)
10．(2017·玉林)五星红旗上的每一个五角星(A)
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
11．请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：正方形(答案不唯一)．
02 中档题
12．(2017·河北)图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是(C)
A．① B．② C．③ D．④
13．如图是一个以点O为对称中心的中心对称图形，若∠A＝30°，∠C＝90°，OC＝1，则AB的长为(A)
A．4 B.
C. D.
14．如图，△ABC与△DEF关于O点中心对称，则线段BC与EF的关系是平行且相等．
15．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE.求证：DF＝BE.
证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，
∴OB＝OD，OA＝OC.
∵AF＝CE，
∴OF＝OE.
在△DOF和△BOE中，
∴△DOF≌△BOE(SAS)．
∴DF＝BE.
16．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．
(1)求对称中心的坐标；
(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标．
解：(1)根据中心对称的性质，可得：对称中心是D1D的中点．
∵点D1，D的坐标分别是(0，3)，(0，2)，
∴对称中心的坐标是(0，2.5)．
(2)∵点A，D的坐标分别是(0，4)，(0，2)，
∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是4－2＝2.
∴点B，C的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)．
∵A1D1＝2，点D1的坐标是(0，3)，
∴点A1的坐标是(0，1)．
∴点B1，C1的坐标分别是(2，1)，(2，3)．
综上可得：顶点B，C，B1，C1的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)，(2，1)，(2，3)．
03 综合题
17．如图，已知四边形ABCD.
(1)画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN对称；
(2)画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O中心对称；
(3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2成轴对称或中心对称吗？若是，请在图上画出对称轴或对称中心．
解：(1)(2)如图所示．
(3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2成轴对称，对称轴是直线EF，如图．
周周练(3.1～3.3)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．下列现象是数学中的平移的是(D)
A．骑自行车时的轮胎滚动
B．碟片在光驱中运行
C．“神舟”十号宇宙飞船绕地球运动
D．生产中传送带上的电视机的移动过程
2．(2017·西安期中)下列图形是中心对称图形的是(C)
3．平面直角坐标系中，将正方形向上平移3个单位长度后，得到的正方形各顶点与原正方形各顶点坐标相比(A)
A．横坐标不变，纵坐标加3
B．纵坐标不变，横坐标加3
C．横坐标不变，纵坐标乘3
D．纵坐标不变，横坐标乘3
4．将如图所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是(D)
5．(2016·长春)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为(A)
A．42° B．48°
C．52° D．58°
6．△ABO与△A1B1O在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点O成中心对称，其中点A(4，2)，则点A1的坐标是(A)
A．(－4，－2) B．(4，－2)
C．(－2，－3) D．(－2，－4)
7．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是(D)
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
8．(2017·西安高新区期中)如图，△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转的度数分别为(B)
A．4，30° B．2，60° C．1，30° D．3，30°
二、填空题(每小题5分，共30分)
9．(2017·黔东南)在平面直角坐标系中有一点A(－2，1)，将点A先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后点A的坐标为(1，－1)．
10．如图所示，在正方形网格中，图①经过平移变换可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点A(填“A”“B”或“C”)．
11．(2017·平顶山市宝丰县期中)正三角形绕其中心至少旋转120度能与原三角形重合．
12．(2017·宜宾)如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是60°．
13．(2017·太原)如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，4)，B(－1，1)，C(－2，2)，将△ABC向右平移4个单位长度，得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′，再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，点A′，B′，C′的对应点分别为A″，B″，C″，则点A″的坐标为(6，0)．
14．如图是两张全等的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，至少旋转60度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形．
三、解答题(共38分)
15．(12分)如图，△ABC沿直线l向右平移3 cm得到△FDE，且BC＝6 cm，∠B＝40°.
(1)求BE；
(2)求∠FDB的度数；
(3)找出图中相等的线段(不另外添加线段)；
(4)找出图中互相平行的线段(不另外添加线段)．
解：(1)∵△ABC沿直线l向右平移了3 cm，
∴CE＝BD＝3 cm.
∴BE＝BC＋CE＝6＋3＝9(cm)．
(2)∵∠FDE＝∠B＝40°，
∴∠FDB＝140°.
(3)相等的线段有AB＝FD，AC＝FE，BC＝DE，BD＝CE＝CD.
(4)平行的线段有AB∥FD，AC∥FE.
16．(12分)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
(2)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
解：(1)如图所示．
(2)旋转中心的坐标为(，－1)．
17．(14分)如图，固定一块三角板，另一块三角板按图示开始平移至两条较大直角边重合时停止．(两个同学为一组，利用30°角的三角板作图形的平移运动)
(1)观察平移过程中的重叠部分是什么图形？你能把它画出来吗？
(2)分别求出平移距离为4 cm或10 cm时，重叠部分的面积．
解：(1)平移过程中的重叠部分是三角形或五边形，如图：
(2)当平移距离为4 cm时，重叠部分是三角形OAA′，如图1，此时AA′＝4 cm.
∵∠OAA′＝∠OA′A＝60°，
∴△OAA′是等边三角形．
∴S△OAA′＝4 cm2.
当平移距离为10 cm时，重叠部分是五边形ODC′CE，如图2，此时AA′＝10 cm.
∵AC＝A′C′＝7 cm，
∴A′C＝AC′＝3 cm.
∵∠A＝∠A′＝60°，∠AC′D＝∠A′CE＝90°，
∴C′D＝CE＝3 cm.
∴S五边形ODC′CE＝S△OAA′－S△AC′D－S△A′CE
＝×10×5－×3×3×2
＝16(cm2).
3.4 简单的图案设计
01 基础题
知识点1 分析图案的形成过程
1．在图示的四个汽车标志图案中，能用平移交换来分析其形成过程的图案是(C)
2．如图，国旗上的四个小五角星，通过怎样的变化可以相互得到(D)
A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．平移或旋转
3．在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是(C)
4．如图所示的图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是(B)
A. B. C. D.
5．右边的图案是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是(D)
A．①⑤ B．②④ C．③⑤ D．②⑤
知识点2 利用平移、旋转、轴对称等方式设计图案
6．下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到如图所示图案的是(C)
A. B.
C. D.
7．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是②．
8．(2017·西安期中)如图，在4×3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案(注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同)．
(1)是轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)是中心对称图形，但不是轴对称图形；
(3)既是轴对称图形，又是中心对称图形．
解：如图所示．
(1)
(2)
(3)
02 中档题
9．下列能通过基本图形旋转得到的有(D)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，它们旋转的角度均是60°．
11．如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法将该图形绕O点顺时针依次旋转90°，180°，270°，你会得到一个什么样的立体图形？
解：得到的是一个星星图案，如图．
12．定义：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形．如图，四边形ABCD是筝形，其中AB＝AD，CB＝CD，请仿照图2的画法，在图3所示的8×8网格中重新设计一个由四个全等的筝形组成的新图案，具体要求如下：
①顶点都在格点上；
②所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；
③将新图案中的四个筝形都涂上阴影．
解：如图所示：答案不唯一．
13．请运用平移、轴对称和旋转分析下面图案的设计过程．
解：若从原图中提取的基本图案如图所示，则可按下面的两种几何变换(不唯一)得到整个图案：
形成方式一：
形成方式二：
03 综合题
14．已知每个网格中小正方形的边长都是1，图1中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成．请你在图2中以图1为基本图案，借助轴对称、平移或旋转设计一个完整的花边图案(要求至少含有两种图形变换)．
图1
图2
解：答案不唯一，以下提供三种图案．
章末复习(三) 图形的平移与旋转
01 基础题
知识点1 平移
1．下列图形中，可由左图经过平移得到的是(C)
A B C D
2．(2016·安顺)如图，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是(A)
A．(－2，－4) B．(－2，4)
C．(2，－3) D．(－1，－3)
3．如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′＝5．
4．如图，△A1B1C1是△ABC向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点的坐标分别为A1(1，1)，B1(4，2)，C1(3，4)．
(1)请画出△ABC，并写出点A，B，C的坐标；
(2)求出△AOA1的面积．
解：(1)如图所示，A(－3，1)，B(0，2)，C(－1，4)．
(2)S△AOA1＝×4×1＝2.
知识点2 旋转
5．(2016·新疆)如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是(D)
A．60° B．90° C．120° D．150°
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，若点A，B的对应点分别是点D，E，画出旋转后的三角形，并求点A与点D之间的距离．(不要求尺规作图)
解：如图．连接AD.
在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝3.
由旋转的性质，得CD＝AC＝3，∠ACD＝90°.
∴AD＝＝3.
知识点3 中心对称
7．(2017·郑州月考)下列图形中，是中心对称图形的是(A)
8．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是(A)
A．(3，－1) B．(0，0)
C．(2，－1) D．(－1，3)
知识点4 图案设计
9．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有4种．
02 中档题
10．如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是(C)
A．30° B．60° C．72° D．90°
11．如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE.若点C的坐标为(0，1)，AC＝2，则这种变换可以是(A)
A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3 个单位长度
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1 个单位长度
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1 个单位长度
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3 个单位长度
12．(2017·西安高新区期中)某景点拟在如图的长方形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为100米，则荷塘周长为200米．
13．如图是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：
①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；
②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4.
解：如图所示：答案不唯一．
14．(2017·郑州月考)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为(－6，1)，点B的坐标为(－3，1)，点C的坐标为(－3，3)．
(1)将Rt△ABC沿x轴正方向平移8个单位长度得到Rt△A1B1C1，试在图上画出Rt△A1B1C1的图形，并写出点A1的坐标(2，1)；
(2)若Rt△ABC内部一点P的坐标为(a，b)，则平移后点P的对应点P1的坐标是(a＋8，b)；
(3)将原来的Rt△ABC绕着点O顺时针旋转180°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形．
解：(1)Rt△A1B1C1如图所示．
(3)Rt△A2B2C2如图所示．
03 综合题
15．将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC＝∠B1A1C＝30°，AB＝2BC.
(1)固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C，A1B1分别交于点D，E，AC与A1B1交于点F.
①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1＝160°；
②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由；
(2)将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D＝CD.
解：(1)②当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直．理由：
∵AB⊥A1B1，∴∠A1ED＝90°.
∴∠A1DE＝90°－∠A1＝90°－30°＝60°.
∴∠CDB＝∠A1DE＝60°.
∴∠BCD＝180°－∠CDB－∠B＝60°.
∴∠ACA1＝30°，
即当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直．
(2)∵AB∥CB1，∠A1CB1＝90°，
∴∠CDB＝90°，即CD是△ABC的高．
设BC＝a，AC＝b，则AB＝2a，A1C＝b.
∵S△ABC＝BC·AC＝AB·CD，
即ab＝·2a·CD，
∴CD＝b，即CD＝A1C.
∴A1D＝CD.
北师大版八年级下册数学 第四章 因式分解 同步课时练习题
4．1 因式分解
01 基础题
知识点1 因式分解的意义
1．(2017·常德)下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是(C)
A．a(m＋n)＝am＋an
B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
2．(2017·西安高新区期中)把多项式x2＋ax＋b因式分解得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是(A)
A．a＝－2，b＝－3 B．a＝－2，b＝3
C．a＝2，b＝－3 D．a＝2，b＝3
3．小明在解答“因式分解：(1)3x2－9x＋3；(2)4x2－9.”时，是这样做的：
解：(1)3x2－9x＋3＝3(x2－6x＋1)．
(2)4x2－9＝(2x＋3)(2x－3)．
请你利用因式分解与整式乘法的关系，判断他分解得对不对．
解：(1)∵3(x2－6x＋1)＝3x2－18x＋3，
∴分解不正确．
(2)∵(2x＋3)(2x－3)＝(2x)2－9＝4x2－9，
∴分解正确．
知识点2 因式分解的简单应用
4．利用因式分解简便计算57×99＋44×99－99正确的是(B)
A．99×(57＋44)＝99×101＝9 999
B．99×(57＋44－1)＝99×100＝9 900
C．99×(57＋44＋1)＝99×102＝10 098
D．99×(57＋44－99)＝99×2＝198
5．如图是由一个边长为a的小正方形和两个长、宽分别为a，b的小长方形组成的大长方形，则整个图形可表达出几个有关多项式因式分解的等式，其中错误的是(B)
A．a2＋2ab＝a(a＋2b)
B．a(a＋2b)＝a2＋2ab
C．a(a＋b)＋ab＝a(a＋2b)
D．a(a＋2b)－ab＝a(a＋b)
02 中档题
6．下列因式分解错误的是(C)
A．2a－2b＝2(a－b)
B．x2－9＝(x＋3)(x－3)
C．a2＋4a－4＝(a＋2)2
D．x2＋x－2＝(x－1)(x＋2)
7．如图，将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边)拼接成一个梯形，请根据拼接前后面积的关系写出一个多项式的因式分解：ab＋(a2＋b2)＝(a＋b)2．
8．通过计算说明255＋511能被30整除吗？
解：∵255＋511＝510＋511
＝510×(1＋5)
＝59×30，
∴255＋511能被30整除．
9．已知多项式x2－4x＋m因式分解的结果为(x＋a)(x－6)，求2a－m的值．
解：由题意可知，x2－4x＋m＝(x＋a)(x－6)，
即x2－4x＋m＝x2＋(a－6)x－6a.
∴解得
∴2a－m＝2×2－(－12)＝16.
4.2 提公因式法
第1课时 提单项式因式分解
01 基础题
知识点1 公因式
1．多项式8m2n＋2mn中各项的公因式是(A)
A．2mn B．mn C．2 D．8m2n
2．指出下列多项式中各项的公因式：
(1)3a2y－3ay＋6y；
(2)πr2h＋πr3；
(3)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
解：(1)3a2y－3ay＋6y的公因式是：3y.
(2)πr2h＋πr3的公因式是：πr2.
(3)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b的公因式是：9a2b.
知识点2 提单项式因式分解
3．下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是(B)
A．x2－y B．x2＋2x
C．x2＋y2 D．x2－xy＋y2
4．(2016·自贡)把多项式a2－4a因式分解，结果正确的是(A)
A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2)
C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4
5．因式分解：
(1)(2017·沈阳)3a2＋a＝a(3a＋1)；
(2)(2017·日照)2m2－8m＝2m(m－4)．
6．若4x3－6x2＝2x2(2x＋k)，则k＝－3.
7．把下列各式因式分解：
(1)3x3＋6x4；
解：原式＝3x3(1＋2x)．
(2)4a3b2－10ab3c.
解：原式＝2ab2(2a2－5bc)．
02 中档题
8．下列各组代数式中，没有公因式的是(C)
A．5m(a－b)和b－a
B．(a＋b)2和－a－b
C．mx＋y和x＋y
D．－a2＋ab和a2b－ab2
9．数学课上，老师讲了提公因式法因式分解，放学后，小丽回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，她突然发现一道题：－12xy2＋6x2y＋3xy＝－3xy·(4y－________)，横线上的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写(C)
A．2x B．－2x
C．2x－1 D．－2x－1
10．若a＝49，b＝109，则ab－9a的值为4_900．
11．把下列各式因式分解：
(1)28x4－21x3＋7xy；
解：原式＝7x(4x3－3x2＋y)．
(2)－10m4n2＋8m4n－2m3n.
解：原式＝－2m3n(5mn－4m＋1)．
03 综合题
12．利用因式分解进行计算：
5×34＋4×34＋9×32.
解：原式＝5×34＋4×34＋34
＝(5＋4＋1)×34
＝10×81
＝810.
第2课时 提多项式因式分解
01 基础题
知识点1 提多项式因式分解
1．下列多项式中可以用提公因式法因式分解的有(B)
①11a2b－7b2；②5a2(m－n)－10b2(n－m)；③x3－x＋1；④(a＋b)2－4(a－b)2.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．若(x＋y)3－xy(x＋y)＝(x＋y)·A，则A为(D)
A．x2＋y2 B．x2－xy＋y2
C．x2－3xy＋y2 D．x2＋xy＋y2
3．把下列各式因式分解：
(1)2a(b＋c)－3(b＋c)；
解：原式＝(b＋c)(2a－3)．
(2)(2017·西安期末)6(x－3)＋x(3－x)；
解：原式＝6(x－3)－x(x－3)
＝(x－3)(6－x)．
(3)9a(x－y)2＋3b(y－x)2.
解：原式＝3(3a＋b)(x－y)2.
知识点2 提公因式法因式分解的应用
4．先因式分解，再计算求值：
4a(x＋7)－3(x＋7)，其中a＝－5，x＝3.
解：原式＝(x＋7)(4a－3)．
当a＝－5，x＝3时，
原式＝(3＋7)×(－20－3)＝－230.
02 中档题
5．下列因式分解正确的是(A)
A．mn(m－n)－m(n－m)＝－m(n－m)(n＋1)
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
6．若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是(A)
A．3 B．2 C．1 D．－1
7．已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)·(x－13)可因式分解为(3x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则a＋3b＝－31．
8．把下列各式因式分解：
(1)(x＋1)2－(x＋1)；
解：原式＝(x＋1)(x＋1－1)
＝x(x＋1)．
(2)ab(a＋2)2－a(a＋2)；
解：原式＝a(a＋2)[b(a＋2)－1]
＝a(a＋2)(ab＋2b－1)．
(3)x(x2－xy)－(4x2－4xy)；
解：原式＝x2(x－y)－4x(x－y)
＝x(x－y)(x－4)．
(4)2a(x－2y)2－3b(2y－x)3.
解：原式＝2a(x－2y)2＋3b(x－2y)3
＝(x－2y)2[2a＋3b(x－2y)]
＝(x－2y)2(2a＋3bx－6by)．
03 综合题
9．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2
＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)]
＝(1＋x)2(1＋x)
＝(1＋x)3.
(1)上述因式分解的方法是提公因式法；
(2)因式分解：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)2 018＝(1＋x)2_019；
(3)猜想：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n因式分解的结果是(1＋x)n＋1．(n为正整数)
4.3 公式法
第1课时 运用平方差公式因式分解
01 基础题
知识点1 直接运用平方差公式因式分解
1．(2017·成都锦江区期末)下列多项式中能用平方差公式因式分解的是(D)
A．a2＋(－b)2 B．3m2－12m
C．－m2－n2 D．－x2＋1
2．已知多项式x2＋a能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a可以等于(C)
A．9 B．4
C．－1 D．－2
3．把多项式(x－1)2－9因式分解的结果是(B)
A．(x＋8)(x＋1)
B．(x＋2)(x－4)
C．(x－2)(x＋4)
D．(x－10)(x＋8)
4．因式分解：
(1)(2017·金华)x2－4＝(x＋2)(x－2)；
(2)(2017·镇江)9－b2＝(3－b)(3＋b)；
(3)x2－25y2＝(x＋5y)(x－5y)．
5．把下列各式因式分解：
(1)(2017·榆林期末)4a2－b2；
解：原式＝(2a＋b)(2a－b)．
(2)－16＋a2b2；
解：原式＝(ab＋4)(ab－4)．
(3)(x－2y)2－4y2.
解：原式＝(x－2y＋2y)(x－2y－2y)
＝x(x－4y)．
知识点2 先提公因式后运用平方差公式因式分解
6．(2016·梅州)对a2b－b3因式分解，结果正确的是(A)
A．b(a＋b)(a－b) B．b(a－b)2
C．b(a2－b2) D．b(a＋b)2
7．(2017·宜宾)因式分解：xy2－4x＝x(y＋2)(y－2)．
8．把下列各式因式分解：
(1)16m3－mn2；
解：原式＝m(4m＋n)(4m－n)．
(2)(2017·朝阳期末)m2(a－2)＋(2－a)．
解：原式＝m2(a－2)－(a－2)
＝(a－2)(m2－1)
＝(m＋1)(m－1)(a－2)．
知识点3 用平方差公式因式分解的应用
9．如图，在边长为6.75 cm的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm的小正方形，则图中阴影部分的面积为(D)
A．3.5 cm2 B．12.25 cm2 C．27 cm2 D．35 cm2
10．若m2－n2＝6，且m－n＝2，则m＋n＝3．
11．简便计算：13.32－11.72＝40．
12．已知长方形的面积是9a2－16(a>)，若一边长为3a＋4，则另一边长为3a－4.
02 中档题
13．为了应用平方差公式计算(a－b＋c)(a＋b－c)，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是(D)
A．[(a＋c)－b][(a－c)＋b]
B．[(a－b)＋c][(a＋b)－c]
C．[(b＋c)－a][(b－c)＋a]
D．[a－(b－c)][a＋(b－c)]
14．(2017·宁夏)如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(D)
A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
B．a(a－b)＝a2－ab
C．(a－b)2＝a2－b2
D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
15．对于任意整数n，多项式(n＋7)2－(n－3)2的值都能(A)
A．被20整除
B．被7整除
C．被21整除
D．被(n＋4)整除
16．因式分解：
(1)(2016·株洲)(x－8)(x＋2)＋6x＝(x＋4)(x－4)；
(2)－9x2＋(x－y)2＝－(4x－y)(2x＋y)．
17．把下列各式因式分解：
(1)9m2－4n2；
解：原式＝(3m＋2n)(3m－2n)．
(2)a3b－16ab；
解：原式＝ab(a2－16)
＝ab(a＋4)(a－4)．
(3)3m4－48；
解：原式＝3(m4－16)
＝3(m2＋4)(m2－4)
＝3(m2＋4)(m＋2)(m－2)．
(4)xn－xn＋2；
解：原式＝xn(1－x2)
＝xn(1＋x)(1－x)．
(5)(2017·山西)(y＋2x)2－(x＋2y)2；
解：原式＝[(y＋2x)＋(x＋2y)][(y＋2x)－(x＋2y)]
＝(y＋2x＋x＋2y)(y＋2x－x－2y)
＝(3x＋3y)(x－y)
＝3(x＋y)(x－y)．
(6)a2(a－b)＋b2(b－a)．
解：原式＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a2－b2)(a－b)
＝(a－b)2(a＋b)．
18．(2017·成都期末)已知x＋2y＝3，x－2y＝－5，求x2－4y2－8的值．
解：x2－4y2－8＝(x＋2y)(x－2y)－8.
∵x＋2y＝3，x－2y＝－5，
∴原式＝3×(－5)－8
＝－15－8
＝－23.
03 综合题
19．观察下列算式：
22－12＝(2－1)(2＋1)＝2＋1；
32－22＝(3－2)(3＋2)＝3＋2；
42－32＝(4－3)(4＋3)＝4＋3；
…
(1)可以得到：152－142＝(15)＋(14)；
(2)可以发现：(n＋1)2－n2＝(n＋1)＋(n)；
(3)请你证明你的发现．
证明： (n＋1)2－n2
＝[(n＋1)－n][(n＋1)＋n]
＝(n＋1)＋n.
第2课时 运用完全平方公式因式分解
01 基础题
知识点1 完全平方式
1．下列式子中是完全平方式的是(D)
A．a2＋ab＋b2 B．a2＋2a＋2
C．a2－2b＋b2 D．a2＋2a＋1
2．(1)若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；
(2)若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；
(3)若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．
知识点2 直接运用完全平方公式因式分解
3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(D)
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－1 D．x2－2x＋1
4．把下列多项式因式分解，结果正确的是(A)
A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1)2
B．a2－2a＋4＝(a－2)2
C．a2－2a－1＝(a－1)2
D．a2－b2＝(a－b)2
5．(2017·岳阳)因式分解：x2－6x＋9＝(x－3)2．
6．把下列完全平方式因式分解：
(1)y2＋y＋；
解：原式＝(y＋)2.
(2)4x2＋y2－4xy；
解：原式＝(2x)2＋y2－2·2x·y
＝(2x－y)2.
(3)9－12a＋4a2；
解：原式＝32－2×3·2a＋(2a)2
＝(3－2a)2.
(4)(2017·西安高新区期中)(m－n)2＋6(n－m)＋9.
解：原式＝(m－n)2－6(m－n)＋9
＝(m－n－3)2.
知识点3 先提公因式后运用完全平方公式因式分解
7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是(D)
A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2
C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2
8．多项式mx2－m和多项式x2－2x＋1的公因式是(A)
A．x－1 B．x＋1
C．x2－1 D．(x－1)2
9．分解因式：
(1)(2016·泸州)2a2＋4a＋2＝2(a＋1)2；
(2)(2017·安徽)a2b－4ab＋4b＝b(a－2)2．
10．把下列各式因式分解：
(1)－x2＋6xy－9y2；
解：原式＝－(x2－6xy＋9y2)
＝－(x－3y)2.
(2)a3＋9ab2－6a2b.
解：原式＝a(a2＋9b2－6ab)
＝a[a2－2·a·3b＋(3b)2]
＝a(a－3b)2.
02 中档题
11．将(x－1)2－2(x－1)＋1因式分解的结果是(D)
A．(x－1)(x－2) B．x2
C．(x＋1)2 D．(x－2)2
12．在多项式4x2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是答案不唯一，如：±4x或4x4.(写出一个即可)
13．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有①②④⑤．
①－a2＋b2；②4x2＋4x＋1；③－x2－y2；④－x2＋8x－16；⑤x4－1；⑥m2＋4m－4.
14．若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是1．
15．把下列各式因式分解：
(1)(a－b)2＋4ab；
解：原式＝a2－2ab＋b2＋4ab
＝a2＋2ab＋b2
＝(a＋b)2.
(2)－2a3b2＋8a2b2－8ab2；
解：原式＝－2ab2(a2－4a＋4)
＝－2ab2(a2－2·a·2＋22)
＝－2ab2(a－2)2.
(3)16x2－(x2＋4)2；
解：原式＝(4x＋x2＋4)(4x－x2－4)
＝－(x＋2)2(x－2)2.
(4)(x2－2xy＋y2)＋(－2x＋2y)＋1.
解：原式＝(x－y)2－2(x－y)＋1
＝(x－y－1)2.
16．在三个整式x2＋2xy，y2＋2xy，x2中，请你选出两个进行加(或减)运算，使所得结果是一个多项式且可以因式分解，并将结果进行因式分解．
解：(x2＋2xy)＋x2＝2x2＋2xy＝2x(x＋y)；
(y2＋2xy)＋x2＝x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2；
(x2＋2xy)－(y2＋2xy)＝x2－y2
＝(x＋y)(x－y)；
(y2＋2xy)－(x2＋2xy)＝y2－x2
＝(y＋x)(y－x)．
17．若a＋b＝－3，ab＝1，求a3b＋a2b2＋ab3的值．
解：当a＋b＝－3，ab＝1时，
原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2
＝×1×(－3)2＝.
18．你知道数学中的整体思想吗？解题中，若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获得解决．
你能用整体的思想方法把下列式子因式分解吗？
(1)(x＋2y)2－2(x＋2y)＋1；
(2)(a＋b)2－4(a＋b－1)．
解：(1)原式＝(x＋2y－1)2.
(2)原式＝(a＋b)2－4(a＋b)＋4
＝(a＋b－2)2.
03 综合题
19．对于二次三项式x2＋2ax＋a2，可以直接用公式法因式分解为(x＋a)2的形式，但对于二次三项式x2＋2ax－3a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变．于是有x2＋2ax－3a2＝x2＋2ax－3a2＋a2－a2＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2＝(x＋a)2－(2a)2＝(x＋3a)(x－a)．
像上面这样把二次三项式因式分解的方法叫做添(拆)项法．
(1)请用上述方法把x2－4x＋3因式分解；
(2)多项式x2＋2x＋2有最小值吗？如果有，那么当它有最小值时x的值是多少？
解：(1)原式＝x2－4x＋4－4＋3
＝(x－2)2－1
＝(x－2＋1)(x－2－1)
＝(x－1)(x－3)．
(2)原式＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1.
因为(x＋1)2≥0，
所以原式有最小值，此时x＝－1.
小专题(六) 因式分解
类型1 只提不套型
1．因式分解：
(1)3ab2＋a2b；
解：原式＝ab(3b＋a)．
(2)4a3－6a2－2a；
解：原式＝2a(2a2－3a－1)．
(3)a(3x－y)－2b(3x－y)；
解：原式＝(3x－y)(a－2b)．
(4)5x(x－2y)3－20y(2y－x)3.
解：原式＝5(x－2y)3(x＋4y)．
类型2 只套不提型
2．因式分解：
(1)4x2－25；
解：原式＝(2x＋5)(2x－5)．
(2)a2＋4a＋4；
解：原式＝(a＋2)2.
(3)(a＋3)2－(a＋b)2；
解：原式＝(2a＋b＋3)(3－b)．
(4)(x－1)2－6(x－1)＋9；
解：原式＝(x－4)2.
(5)(a＋b)2－4(a＋b)＋4；
解：原式＝(a＋b－2)2.
(6)(x2＋9)2－36x2；
解：原式＝[(x2＋9)＋6x][(x2＋9)－6x]
＝(x2＋6x＋9)(x2－6x＋9)
＝(x＋3)2(x－3)2.
(7)x4－y4；
解：原式＝(x2)2－(y2)2
＝(x2＋y2)(x2－y2)
＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)．
(8)x4－8x2y2＋16y4.
解：原式＝(x2－4y2)2
＝(x＋2y)2(x－2y)2.
类型3 先提后套型
3．因式分解：
(1)x2y－9y；
解：原式＝y(x2－9)
＝y(x＋3)(x－3)．
(2)16x3－4x；
解：原式＝4x(4x2－1)
＝4x(2x＋1)(2x－1)．
(3)3x3－6x2y＋3xy2；
解：原式＝3x(x2－2xy＋y2)
＝3x(x－y)2.
(4)－2x2＋2x－；
解：原式＝－(4x2－4x＋1)
＝－(2x－1)2.
(5)3m(2x－y)2－3mn2；
解：原式＝3m(2x－y＋n)(2x－y－n)．
(6)x2(m－n)＋y2(n－m)．
解：原式＝x2(m－n)－y2(m－n)
＝(m－n)(x2－y2)
＝(m－n)(x＋y)(x－y)．
类型4 先破后立型(根据实际情况选做)
4．因式分解：
(1)x(x－1)－3x＋4；
解：原式＝x2－x－3x＋4
＝x4－4x＋4
＝(x－2)2.
(2)(x－2y)2＋8xy；
解：原式＝(x＋2y)2.
(3)(x＋3)(x＋5)＋x2－25；
解：原式＝(x＋3)(x＋5)＋(x＋5)(x－5)
＝(x＋5)(x＋3＋x－5)
＝(x＋5)(2x－2)
＝2(x＋5)(x－1)．
(4)(c＋b)(c－b)－a(a－2b)；
解：原式＝c2－b2－a2＋2ab
＝c2－(a2－2ab＋b2)
＝c2－(a－b)2
＝(c＋a－b)(c－a＋b)．
(5)x(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋1.
解：原式＝x(x＋3)(x＋1)(x＋2)＋1
＝(x2＋3x)(x2＋3x＋2)＋1
＝(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)＋1
＝(x2＋3x＋1)2.
章末复习(四) 因式分解
01 基础题
知识点1 因式分解的意义
1．(2017·盘锦)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(C)
A．x2＋2x－1＝(x－1)2
B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
C．x2＋4x＋4＝(x＋2)2
D．ax2－a＝a(x2－1)
2．若x2＋kx－15能分解为(x＋5)(x－3)，则k的值是(B)
A．－2 B．2 C．－8 D．8
知识点2 因式分解
3．将－a2b－ab2提公因式后，另一个因式是(A)
A．a＋2b B．－a＋2b
C．－a－b D．a－2b
4．下列多项式在实数范围内不能因式分解的是(B)
A．x3＋2x B．a2＋b2
C．y2＋y＋ D．m2－4n2
5．下列因式分解中，正确的有(C)
①x3＋2xy＋x＝x(x2＋2y)；②x2＋6x＋9＝(x＋2)3；③－x2＋y2＝(x＋y)(x－y)．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
6．把下列各式因式分解：
(1)6x2y3－3x2y4；
解：原式＝3x2y3·2－3x2y3·y
＝3x2y3(2－y)．
(2)x3－4x；
解：原式＝x(x2－4)
＝x(x＋2)(x－2)．
(3)2x2－12xy＋18y2；
解：原式＝2(x2－6xy＋9y2)
＝2(x－3y)2.
(4)(m＋n)2－4m(m＋n)＋4m2.
解：原式＝(m＋n)2－2·2m(m＋n)＋(2m)2
＝(m＋n－2m)2
＝(n－m)2.
知识点3 因式分解的应用
7．利用因式分解计算：992＋198＋1.
解：992＋198＋1＝992＋2×99×1＋1
＝(99＋1)2
＝1002
＝10 000.
8．(2017·西安蓝田县期末)已知a＋b＝5，ab＝6，求多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解：原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
∵a＋b＝5，ab＝6，
∴原式＝6×25＝150.
02 中档题
9．把(－2)2 017＋(－2)2 018因式分解的结果是(D)
A．22 018 B．－22 018
C．－22 017 D．22 017
10．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x－y，a－b，2，x2－y2，a，x＋y，分别对应下列六个字：校、爱、我、课、堂、名，现将2a(x2－y2)－2b(x2－y2)因式分解，结果呈现的密码信息可能是(C)
A．我爱课 B．名校课堂
C．我爱名校 D．我校名课
11．(2017·平顶山期末)已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式(a－b)2－c2的值(B)
A．大于零 B．小于零
C．等于零 D．不能确定
12．若多项式x2＋2(m－3)x＋16是完全平方式，则m的值为7或－1．
13．把下列各式因式分解：
(1)a2(a－b)3＋b2(b－a)3；
解：原式＝a2(a－b)3－b2(a－b)3
＝(a－b)3(a2－b2)
＝(a－b)3(a－b)(a＋b)
＝(a－b)4(a＋b)．
(2)(a＋3)(a－7)＋25；
解：原式＝a2－4a－21＋25
＝a2－4a＋4
＝(a－2)2.
(3)(x2＋y2)2－4x2y2；
解：原式＝(x2＋y2－2xy)(x2＋y2＋2xy)
＝(x－y)2(x＋y)2.
(4)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
解：原式＝(x2＋6x＋9)2
＝(x＋3)4.
14．先因式分解，再求值：3(a＋1)2－(a＋1)(2a－1)，其中a＝1.
解：原式＝(a＋1)[3(a＋1)－2a＋1]
＝(a＋1)(a＋4)．
当a＝1时，原式＝(1＋1)×(1＋4)＝10.
15．小马虎在一次因式分解练习中，一不小心弄脏了一部分，x2＋x－6＝(x＋3)(x－■)，你能帮他确定污染部分是多少吗？
解：设污染部分为a，由整式乘法，得
(x＋3)(x－a)
＝x2＋3x－ax－3a
＝x2＋(3－a)x－3a.
由题意可知：－3a＝－6，
∴a＝2，
即污染部分为2.
03 综合题
16．观察：
22－12＝(2＋1)(2－1)＝2＋1＝＝3；
42－32＋22－12＝(4＋3)(4－3)＋(2＋1)(2－1)＝4＋3＋2＋1＝＝10；
62－52＋42－32＋22－12＝(6＋5)(6－5)＋(4＋3)(4－3)＋(2＋1)(2－1)＝6＋5＋4＋3＋2＋1＝＝21.
探究：
(1)82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝36(直接写答案)；
(2)(2n)2－(2n－1)2＋(2n－2)2－(2n－3)2＋…＋22－12＝n(2n＋1)(直接写答案)；
应用：
(3)如图，2 018个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为2 018 cm，向里依次为2 017 cm，2 016 cm，…，1 cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？(结果保留π)
解：2 0182π－2 0172π＋…－32π＋22π－π
＝(2 0182－2 0172＋…－32＋22－1)π
＝(2 018＋2 017＋…＋3＋2＋1)π
＝2 037 171π(cm2)．
北师大版八年级下册数学 第五章 分式与分式方程 同步课时练习题
5．1 认识分式
第1课时 认识分式
01 基础题
知识点1 分式的概念
1．(2017·贺州)下列式子中是分式的是(C)
A. B. C. D.
2．下列判断正确的是(C)
A．分式包含分数
B．分式的分子中一定含有字母
C．分母中含有字母的式子是分式
D．分数一定是分式
知识点2 分式有(无)意义的条件及分式的值
3．(2017·成都温江区期末)分式有意义，则x的取值范围是(A)
A．x≠3 B．x≠0
C．x≠2 D．x＝3
4．当x＝1时，分式的值为(D)
A．4 B．3 C．2 D．1
5．(2017·陕西师大附中期中)若分式的值为0，则x的值为(C)
A．－1 B．0
C．2 D．－1或2
知识点3 列分式
6．一个圆柱的体积为V，底面半径为r，则它的高为(B)
A. B. C. D.
7．王老师骑自行车用了m小时到达距离家n千米的学校，则王老师的平均速度是千米/小时；若乘公共汽车则可少用0.2小时，则公共汽车的平均速度是千米/小时．
02 中档题
8．(2017·陕西西安交大附中期中)在，，，，，a＋中，分式有(B)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
9．写出一个含x的分式，使得当x＝2时，分式的值是3.这个分式可以是：(答案不唯一)．
10．(2017·平顶山期末)当x＝－2时，分式的值为0.
11．有一大捆粗细均匀的钢筋，现在确定其长度，首先称出这捆钢筋的总质量为m千克，再从中截取5米长的钢筋，称出它的质量为n千克，那么这捆钢筋的总长度为米．
12．当x＝2，y＝－1时，求分式的值．
解：当x＝2，y＝－1时，原式＝＝＝1.
03 综合题
13．给定下列分式：，－，，－，…，其中x≠0.
(1)请你根据发现的规律，试写出给定的这列分式的第5个分式；
(2)你能否写出第n个分式？
解：(1).
(2)当n为奇数时，第n个分式为；
当n为偶数时，第n个分式为－.
第2课时 分式的基本性质及约分
01 基础题
知识点1 分式的基本性质
1．使得等式＝成立的m的取值范围为(D)
A．m＝0 B．m＝1
C．m＝0或m＝1 D．m≠0
2．下列各式中，与分式相等的是(B)
A. B. C. D.
3．若分式中的x，y的值均扩大为原来的2倍，则分式的值(A)
A．不变
B．扩大到原来的2倍
C．扩大到原来的倍
D．扩大到原来的3倍
4．分式－可变形为(D)
A．－ B.
C．－ D.
5．填空：
(1)＝；
(2)＝；
(3)＝；
(4)＝；
(5)＝(x≠0)；
(6)＝.
6．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号：
(1)；
解：＝.
(2).
解：＝.
知识点2 约分及最简分式
7．下列分式是最简分式的是(C)
A. B.
C. D.
8．下列约分正确的是(C)
A.＝x3 B.＝0
C.＝ D.＝2
9．计算的结果是(B)
A．x－2 B．x＋2
C. D.
10．将下列各式约分的结果填在横线上．
(1)－＝－；
(2)＝x；
(3)＝x－3；
(4)＝．
11．化简下列分式：
(1)；
解：原式＝＝－.
(2)；
解：原式＝＝ab＋2.
(3)；
解：原式＝＝.
(4).
解：原式＝＝.
02 中档题
12．(2017·朝阳期末)下列变形正确的是(B)
A.＝ B.＝－
C.＝ D.＝－1
13．计算的结果为(A)
A．1 B. C. D．0
14．已知＝，则x的取值范围是x＜2．
15．先约分，再求值：
(1)，其中x＝－2；
解：原式＝＝.
当x＝－2时，原式＝＝＝－.
(2)，其中x＝，y＝－.
解：原式＝＝.
当x＝，y＝－时，
原式＝÷(3×＋)
＝.
16．在给出的三个多项式：x2＋4xy＋4y2，x2－4y2，x2＋2xy中，请你任选出两个分别作为分子和分母组成分式，并进行化简运算．
解：答案不唯一，选择x2＋4xy＋4y2，x2－4y2，则
＝
＝.
17．已知：x＝＋1，y＝－1，求的值．
解：原式＝＝.
当x＝＋1，y＝－1时，
原式＝＝＝.
03 综合题
18．已知＝1，＝2，＝3，则x的值是(B)
A．1 B. C. D．－1
19．已知－＝3，求分式的值．
解：由已知条件可知，xy≠0.
原式＝
＝，
因为－＝3，
所以原式＝＝9.
5.2 分式的乘除法
01 基础题
知识点1 分式的乘法
1．计算·的结果是(B)
A．ax B．bx C. D.
2．计算：·＝．
3．(2017·沈阳)计算：·＝．
4．计算：
(1)·；
解：原式＝＝.
(2)(2017·连云港)·.
解：原式＝·＝.
知识点2 分式的除法
5．计算3ab÷的结果是(D)
A．b2 B．18a C．9a D．9a2
6．(2017·咸宁)化简：÷＝x－1．
7．计算：
(1)÷；
解：原式＝·＝.
(2)÷；
解：原式＝·＝.
(3)÷(x＋1)．
解：原式＝·＝.
知识点3 分式乘除法的应用
8．甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修(a2－4)米，乙工程队每天修(a－2)2米(其中a>2)，则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？
解：÷＝.
答：甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍．
02 中档题
9．下列计算中正确的是(D)
A.·＝－
B.÷＝
C.÷·＝
D．()2÷()－1＝
10．现有A，B两个圆，A圆的半径为(a＞6)，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的(B)
A.倍 B.倍
C. D.
11．(2017·成都温江区期末)已知()2÷(－)2＝6，则x8y4的值为(B)
A．6 B．36 C．12 D．3
12．计算：
(1)()2·；
解：原式＝·
＝
＝.
(2)(a2＋3a)÷；
解：原式＝a(a＋3)·
＝a.
(3)÷·.
解：原式＝··
＝.
13．(2016·黄石)先化简，再求值：÷·，其中a＝2 016.
解：原式＝··
＝a＋1.
当a＝2 016时，原式＝2 016＋1＝2 017.
14．已知x－3y＝0，求·(x－y)的值．
解：原式＝·(x－y)
＝.
当x－3y＝0时，x＝3y.
原式＝＝＝.
15．许老师讲完了分式的乘除法一节后，给同学们出了这样一道题：
若x＝－2 018，求代数式÷·的值．
一会儿，小林说：“老师这道题目中的x＝－2 018是多余的．”请你判断小林的说法是否正确，并说明你的理由．
解：小林的说法是正确的．
理由：
÷·
＝··
＝1.
∵结果不含x，即与x无关，
∴x＝－2 018是多余的．
03 综合题
16．有甲、乙两筐水果，甲筐水果重(x－1)2千克，乙筐水果重(x2－1)千克(其中x>1)，售完后，两筐水果都卖了50元．
(1)哪筐水果的单价低？
(2)高的单价是低的单价的多少倍？
解：(1)由题可知，甲筐水果的单价为，
乙筐水果的单价为.
∵x＞1，
∴0<(x－1)2
答：乙筐水果的单价低．
(2)÷
＝·
＝.
答：高的单价是低的单价的倍．
5.3 分式的加减法
第1课时 同分母分式的加减法
01 基础题
知识点 同分母分式的加减法
1．在分式①；②；③；④中，分母相同的分式是(C)
A．①③④ B．②④
C．②③ D．①④
2．(2017·天津)计算＋的结果为(A)
A．1 B．a
C．a＋1 D.
3．(2017·丽水)化简＋的结果是(A)
A．x＋1 B．x－1
C．x－1 D.
4．计算：＋＝2．
5．计算：－＝．
6．计算：
(1)＋；
解：原式＝＝＝1.
(2)－；
解：原式＝
＝.
(3)＋.
解：原式＝－
＝
＝－1.
02 中档题
7．化简－的结果是(A)
A. B.
C. D.
8．(2017·河北)若＝( )＋，则( )中的数是(B)
A．－1 B．－2
C．－3 D．任意实数
9．计算：＋－.
解：原式＝－－
＝
＝
＝
＝－.
10．(2017·邵阳)先化简·＋，再在－3，－1，0，，2中任选一个合适的x值代入求值．
解：原式＝·＋
＝＋
＝
＝x.
∵分式中分母不能为0，
∴－3，0，2不可取，故只能取－1，.
当x＝－1时，原式＝－1；
当x＝时，原式＝.
03 综合题
11．当m≠0，且m－7n＝0时，求代数式－的值．
解：原式＝
＝
＝.
∵m≠0，且m－7n＝0，∴m＝7n.
∴原式＝＝＝.
第2课时 异分母分式的加减法
01 基础题
知识点1 分式的通分
1．分式与的最简公分母是(A)
A．10x7 B．7x7 C．10x11 D．7x11
2．分式经过通分后分母变为a2－b2，那么分子应变为(C)
A．3(a－b) B．3(a－b)2
C．3(a＋b) D．3(a2－b2)
3．(2017·成都温江区期末)分式－和的最简公分母是a(a＋b)．
4．通分：，.
解：最简公分母是12a2b2c.
＝，
＝.
知识点2 异分母分式的加减法
5.＋的运算结果正确的是(C)
A. B.
C. D．a＋b
6．化简－，可得(B)
A. B．－
C. D.
7．(2017·平顶山期末)分式＋的计算结果是(C)
A. B.
C. D.
8．已知x≠0，则＋＋＝.
9．计算：－＝．
10．下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题．
－
＝－第一步
＝2(x－2)－x－6第二步
＝2x－4－x＋6第三步
＝x＋2第四步
小明的解法从第二步开始出现错误，正确的化简结果是．
11．计算：
(1)－；
解：原式＝－
＝＝.
(2)－.
解：原式＝－
＝
＝.
知识点3 分式加减法的应用
12．国庆节期间，几名大学生包租了一辆车准备从市区到郊外游览，租金为300元，出发时，又增加了两名学生，总人数达到x名．
(1)原来平均每名学生需分摊车费元，现在平均每名学生需分摊车费元；
(2)开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊多少钱？
解：由题意，得
－＝＝.
答：开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊元钱．
02 中档题
13．(2017·山西)化简－的结果是(C)
A．－x2＋2x B．－x2＋6x
C．－ D.
14．计算：
(1)－；
解：原式＝－
＝
＝
＝.
(2)－－；
解：原式＝＋－
＝
＝
＝.
(3)－a－2.
解：原式＝－(a＋2)
＝－
＝.
15．已知代数式＋，回答下列问题：
(1)化简这个代数式；
(2)“当x＝1时，该代数式的值为0”，这个说法正确吗？请说明理由．
解：(1)原式＝＋
＝
＝
＝
＝.
(2)“当x＝1时，该代数式的值为0”，这个说法不正确．
理由：当x＝1时，代数式＋的分母为零，无意义．
16．现有大小两艘轮船，小船每天运x(x＞40)吨货物，大船比小船每天多运10吨货物．现在让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务．
(1)分别写出大船、小船完成任务所用的时间；
(2)试说明哪艘轮船完成任务所用的时间少？
解：(1)大船完成任务所用的时间为天；
小船完成任务所用的时间为天．
(2)－＝，
∵x＞40，
∴＞.
∴小船完成任务所用的时间少．
03 综合题
17．已知－＝(其中A，B为常数)，求A2 018B的值．
解：∵－＝
＝，
且－＝，
∴
解得
∴A2 018B＝－2.
第3课时 分式的加减混合运算
01 基础题
知识点1 分式的加减混合运算
1．化简＋－的结果是(D)
A. B.
C. D.
2．计算：－＋＝(C)
A. B.
C. D.
3．计算：
(1)－＋；
解：原式＝－＋
＝
＝.
(2)－＋.
解：原式＝
＝
＝.
知识点2 分式的化简与求值
4．(2016·沈阳)化简：(1－)·(m＋1)＝m．
5．先化简，再求值：
(1)＋，其中x＝3；
解：原式＝＋＝＝.
当x＝3时，原式＝1.
(2)－，其中x＝－2；
解：原式＝－
＝－
＝.
当x＝－2时，原式＝＝2.
(3)(2017·平顶山期末)÷(2＋)，其中x＝2.
解：原式＝÷＝.
当x＝2时，原式＝.
02 中档题
6．(2016·北京)如果a＋b＝2，那么代数式(a－)·的值是(A)
A．2 B．－2 C. D．－
7．若a2＋5ab－b2＝0，则－的值为5．
8．计算：
(1)－＋；
解：原式＝－－
＝
＝
＝
＝－.
(2)(2016·成都)(x－)÷；
解：原式＝·
＝x＋1.
(3)(2016·陕西)(x－5＋)÷.
解：原式＝·
＝(x－1)(x－3)
＝x2－4x＋3.
9．先化简，再求值：
(1)＋，其中a＝－2，b＝1；
解：原式＝＋
＝.
当a＝－2，b＝1时，原式＝＝2.
(2)(2017·朝阳期末)(1＋)÷，其中x＝－5.
解：原式＝÷
＝·
＝.
当x＝－5时，原式＝＝.
10．(2017·威海)先化简：÷(－x＋1)，然后从－＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
解：原式＝÷[－＋]
＝÷
＝·
＝－.
由题意，x可取2或－2.
∴当x＝2时，原式＝－；
当x＝－2时，原式＝.
03 综合题
11．化简求值：－＋－＋，其中x＝2.
解：原式＝(－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)
＝－
＝.
当x＝2时，原式＝－.
小专题(七) 分式的运算及化简求值
类型1 分式的运算
1．计算：
(1)＋；
解：原式＝＋
＝＋
＝
＝1.
(2)÷；
解：原式＝·
＝·
＝.
(3)(－)÷；
解：原式＝·
＝.
(4)－÷；
解：原式＝－·
＝－
＝.
(5)(2017·宜宾)(1－)÷；
解：原式＝(－)÷
＝·
＝.
(6)(a＋2－)÷；
解：原式＝·
＝·
＝·
＝.
(7)÷(x＋1－)；
解：原式＝÷
＝－·
＝－.
(8)(＋1)÷·.
解：原式＝··
＝.
类型2 分式的化简求值
2．(2017·郴州)先化简，再求值：－，其中a＝1.
解：原式＝－
＝
＝.
当a＝1时，原式＝＝.
3．先化简，再求值：(－)·(x－1)，其中x＝2.
解：原式＝·(x－1)＝.
当x＝2时，原式＝＝.
4．(2017·成都)化简求值：÷(1－)，其中x＝－1.
解：原式＝·＝，
∵x＝－1，
∴原式＝＝.
5．(2017·聊城)先化简，再求值：2－÷，其中x＝3，y＝－4.
解：原式＝2－·
＝2－
＝
＝.
当x＝3，y＝－4时，原式＝＝3.
6．先化简，再求值：(a＋)÷(a－2＋)，其中a满足a－2＝0.
解：原式＝÷
＝·
＝.
当a－2＝0，即a＝2时，原式＝3.
7．先化简，再求值：(1－)÷－，其中x满足x2－x－1＝0.
解：原式＝·－
＝x－
＝.
∵x2－x－1＝0，∴x2＝x＋1.
∴原式＝1.
8．(2017·遵义)化简分式：(－)÷，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．
解：原式＝[－]·
＝·
＝x＋2.
∵当x取2或3时，原式无意义，
∴x只能取1或4.
当x＝1时，原式＝3；
当x＝4时，原式＝6.
9．(2016·河南)先化简，再求值：(－1)÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
解：原式＝·
＝－·
＝.
解不等式组得－1≤x＜.
∴不等式组的整数解为－1，0，1，2.
∵当x＝0，－1或1时，原式无意义，
∴x只能取2.
当x＝2时，原式＝－2.
周周练(5.1～5.3)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．上复习课时，刘老师叫小聪举出一些分式的例子，他举出了：，，＋，，，请你判断一下其中正确的有(A)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．(2017·陕西蓝田县期末)要使分式有意义，则x的取值应满足(A)
A．x≠2 B．x≠－1
C．x＝2 D．x＝－1
3．分式，，，中，最简分式有(A)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．化简－的结果是(A)
A．m＋3 B．m－3
C. D.
5．若分式中的a，b的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值(A)
A．不变 B．是原来的3倍
C．是原来的6倍 D．是原来的
6．下列计算不正确的是(A)
A.＝ B.＝
C．3x2y÷＝ D.－＝
7．已知a＝＋2，b＝－2，则(－)÷的值为(B)
A．1 B. C. D.
8．甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，那么下列结论中正确的是(B)
A．甲、乙同时到达B地
B．甲先到达B地
C．乙先到达B地
D．谁先到达B地与速度v有关
二、填空题(每小题3分，共18分)
9．分式－与的最简公分母是12a3bc．
10．(2017·朝阳期末)当x＝－1时，分式值为0.
11．不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数是正数：．
12．(2017·榆林期末)化简：·＝．
13．已知＋＝4，则＝1．
14．某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树m棵，实际每小时植树的棵数比原计划每小时植树的棵数多10棵，那么实际比原计划提前了小时完成任务．(用含m的代数式表示)
三、解答题(共58分)
15．(20分)计算：
(1)3a2b·÷(－)；
解：原式＝·(－)
＝－1.
(2)÷；
解：原式＝·
＝.
(3)－；
解：原式＝－
＝
＝.
(4)·－.
解：原式＝·－
＝－
＝－
＝＝.
16．(8分)(2017·黔东南)先化简，再求值：(x－1－)÷，其中x＝＋1.
解：原式＝÷
＝·
＝x－1.
当x＝＋1时，原式＝.
17．(9分)按要求化简：(a－1)÷·，并选择你喜欢的整数a，b代入求值．
小聪计算这一题的过程如下：
解：原式＝(a－1)÷…①
＝(a－1)·…②
＝.…③
当a＝1，b＝1时，原式＝.…④
以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第①步(填序号)，原因：运算顺序错误；
还有第④步出错(填序号)，原因：a等于1时，原式无意义．
请你写出此题的正确解答过程．
解：原式＝(a－1)··
＝.
当a＝2，b＝1时，原式＝.(答案不唯一，只要a不等于0，1，－1，b不等于0，计算正确即可．)
18．(9分)在数学课上，老师对同学们说：“你们任意说出一个x的值(x≠－1，1，－2)，我立刻就知道式子(1＋)÷的结果．”请你说出其中的道理．
解：∵原式＝÷
＝·
＝x－1，
∴只要学生说出x的值，老师就可以说出答案．
19．(12分)阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．
解：由分母为－x2＋1，可设－x4－x2＋3＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b，则－x4－x2＋3＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b＝－x4－ax2＋x2＋a＋b＝－x4－(a－1)x2＋(a＋b)．
∵对于任意x，上述等式均成立，
∴∴
∴＝＝＋＝x2＋2＋.这样，分式被拆分成了一个整式x2＋2与一个分式的和．
请仿照上述过程将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．
解：设－x4－6x2＋8＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b＝－x4＋(1－a)x2＋a＋b，
可得解得
则原式＝x2＋7＋.
5.4 分式方程
第1课时 分式方程的概念及解法
01 基础题
知识点1 分式方程的概念
1．下列方程是分式方程的是(A)
A.＝ B.＝－2
C．2x2＋x－3＝0 D．2x－5＝
2．在关于x的方程：①＝＋；②－＝0；③mx＝x＋1(m，n均为常数)；④＝；⑤＝；⑥＋＝(a为常数)中，整式方程是②③④⑥，分式方程是①⑤.
知识点2 分式方程的解法
3．将分式方程＝去分母后得到整式方程，正确的是(A)
A．x－2＝2x B．x2－2x＝2x
C．x－2＝x D．x＝2x－4
4．(2016·成都)分式方程＝1的解为(B)
A．x＝－2 B．x＝－3
C．x＝2 D．x＝3
5．(2017·平顶山期末)分式方程＝的解为(C)
A．x＝1 B．x＝2
C．x＝3 D．x＝4
6．(2017·成都锦江区期末)解关于x的方程＝产生增根，则常数a的值等于(C)
A．2 B．－3
C．－4 D．－5
7．请你给x选择一个合适的值，使方程＝成立，你选择的x＝3．
8．(2017·朝阳期末)下面是解分式方程的过程，阅读完后请填空：
解方程：－＝45.
解：方程两边都乘2x，得960－600＝90x.
解这个方程，得x＝4.
经检验，x＝4是原方程的根．
第一步计算中的2x是分母x和2x的最简公分母；这个步骤用到的依据是等式的基本性质；解分式方程与解一元一次方程之间的联系是解分式方程就是利用等式的基本性质把分式方程转化为一元一次方程求解．
9．解方程：
(1)＝－1；
解：去分母，得－m＋3＝5.
解得m＝－2.
经检验，m＝－2是原方程的解．
(2)(2017·金华)＝；
解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得
2(x－1)＝x＋1.
解得x＝3.
经检验，x＝3是原方程的解．
∴原方程的解为x＝3.
(3)(2017·西安期中)＝1＋.
解：方程两边同乘(x－2)，得
1－x＝x－2－3.
解得x＝3.
检验：当x＝3时，x－2≠0.
∴原方程的解为x＝3.
02 中档题
10．(2017·成都)已知x＝3是分式方程－＝2的解，那么实数k的值为(D)
A．－1 B．0 C．1 D．2
11．(2017·泰安)分式与的和为4，则x的值为3．
12．(2017·陕西西安交大附中期中)若关于x的分式方程－＝1的解是非负数，则m的取值范围是m≥－4且m≠－3．
13．(2017·成都锦江区期末)对于非零的实数a，b，规定ab＝－.若2(2x－1)＝1，则x＝．
14．解方程：
(1)(2017·太原二模)＝－；
解：方程两边同时乘(9x－3)，得1＝3x－1＋6.
解得x＝－.
经检验，x＝－是原方程的解．
(2)(2017·陕西)－＝1；
解：(x＋3)2－2(x－3)＝(x－3)(x＋3)．
x2＋6x＋9－2x＋6＝x2－9.
x＝－6.
经检验，x＝－6是原方程的根．
(3)(2017·榆林期末)1－＝.
解：去分母，得x2－1－x2＋x＝2x＋3.
解得x＝－4.
经检验，x＝－4是原方程的解．
15．当x为何值时，分式的值比分式的值大3?
解：列方程得－＝3.解得x＝1.
经检验，x＝1是原方程的根．
所以x的值为1.
16．若分式方程－1＝有增根，求m的值．
解：将分式方程去分母，求出x＝m－2.
因为分式方程有增根，
所以增根可能是x＝1或x＝－2.
所以对应的m＝3或m＝0.
当m＝0时，分式方程变为－1＝0，此时，方程无意义，x＝－2不成立，前后矛盾．
所以m＝3.
03 综合题
17．若方程＋＝－1无解，求m的值．
解：方程无解，即解方程所得的根可能为增根，根据增根的意义，方程若有增根，增根为x＝3.
原方程去分母，得(3－2x)－(2＋mx)＝3－x.
整理，得(m＋1)x＝－2.
若m＋1＝0，即m＝－1时，方程(m＋1)x＝－2无解；
若m＋1≠0，则x＝－是增根．
此时－＝3.解得m＝－.
所以m的值为－1或－.
第2课时 分式方程的应用
01 基础题
知识点 分式方程的应用
1．为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A，B两类玩具，其中A类玩具的进价比B类玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同．设A类玩具的进价为m元/个，根据题意可列分式方程为(C)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
2．(2017·陕西师大附中期中)某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务，设原计划每天生产零件x个，依题意列方程为(A)
A.－＝5 B.－＝5
C.－＝5 D.＝1.5＋
3．为迎接2019年全国青运会，我市加紧城市建设的步伐，某城区对一条全长12 000 m的公路进行绿化带改造，计划每天完成绿化带改造任务x m，当x满足的方程为×＝时，下列对这一方程所反映的数量关系描述正确的是(A)
A．实际每天比计划多完成改造任务300 m，实际所用天数是计划的
B．实际每天比计划少完成改造任务300 m，计划所用天数是实际的
C．实际每天比计划多完成改造任务300 m，计划所用天数是实际的
D．实际每天比计划少完成改造任务300 m，实际所用天数是计划的
4．目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现：小琼步行13 500步与小刚步行9 000步消耗的能量相同，若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小刚多15步，则小刚每消耗1千卡能量需要行走30步．
5．某校学生利用双休时间去距学校20 km的白水寺参观，一部分学生骑自行车先走，过了40 min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，骑车学生的速度是15km/h.
6．(2017·宜宾)用A，B两种机器人搬运大米，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20袋大米，A型机器人搬运700袋大米与B型机器人搬运500袋大米所用时间相等．求A，B型机器人每小时分别搬运多少袋大米．
解：设A型机器人每小时搬运x袋大米，则B型机器人每小时搬运(x－20)袋大米．根据题意，得
＝.
解得x＝70.
经检验，x＝70是原分式方程的解，且符合题意．
则x－20＝50.
答：A型机器人每小时搬运70袋大米，B型机器人每小时搬运50袋大米．
7．(2016·威海)某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．
解：设乙班的达标率是x，则甲班的达标率为(x＋6%)．根据题意，得
＝.解得x＝0.9.
经检验，x＝0.9是所列方程的解，且符合题意．
答：乙班的达标率为90%.
02 中档题
8．某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：＋＝1，则方案③中被墨水污染的部分应该是(B)
A．甲先做了4天
B．甲、乙合做了4天
C．甲先做了工程的
D．甲、乙合做了工程的
9．(2017·通辽)一汽车从甲地出发开往相距240 km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快，比原计划提前24 min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．
解：设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/小时，根据题意，得
＝1＋＋.
解得x＝80.
经检验，x＝80是原方程的根，且符合题意．
答：汽车出发后第1小时内的行驶速度是80千米/小时．
10．(2017·日照)某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．
(1)问实际每年绿化面积为多少万平方米？
(2)为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
解：(1)设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米，根据题意，得
－＝4.
解得x＝33.75.
经检验，x＝33.75是原分式方程的解，且符合题意．
则1.6x＝1.6×33.75＝54.
答：实际每年绿化面积为54万平方米．
(2)设实际平均每年绿化面积增加a万平方米，根据题意，得
54×3＋2(54＋a)≥360.
解得a≥45.
答：实际平均每年绿化面积至少还要增加45万平方米．
03 综合题
11．为了充分利用雨水资源，幸福村的小明家和相邻的爷爷家采取了修建蓄水池、屋顶收集雨水的做法．已知小明和爷爷家的屋顶收集雨水的面积、蓄水池的容积和蓄水池已有水量如下表：
小明家
爷爷家
屋顶收集雨水面积(m2)
160
120
蓄水池容积(m3)
50
13
蓄水池已有水量(m3)
34
11.5
气象预报即将会下雨，为了收集尽可能多的雨水，下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取多少立方米的水注入小明家的
蓄水池？
解：设下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取x立方米的水注入小明家的蓄水池，由题意，得
＝.
解得x＝6.
经检验，x＝6是所列方程的解，且符合题意．
答：下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取6立方米的水注入小明家的蓄水池．
章末复习(五) 分式与分式方程
01 基础题
知识点1 分式及分式方程的有关概念
1．下列方程不是分式方程的是(D)
A.＝1 B.＋＝1
C.＋＝2 D.－＝x
2．(2017·陕西西安交大附中期中)(1)当x≠5时，分式有意义；
(2)当x＝－3时，分式的值为零．
知识点2 分式的基本性质
3．下列运算中，错误的是(D)
A.＝(c≠0) B.＝－1
C.＝ D.＝
4．通分：，.
解：最简公分母为x(x－2)2.
＝；
＝.
知识点3 分式的运算
5．(2017·陕西)化简－，结果正确的是(B)
A．1 B.
C. D．x2＋y2
6．化简：÷(－)＝．
7．计算：
(1)·；
解：原式＝·＝.
(2)(1＋)÷.
解：原式＝·＝.
知识点4 解分式方程
8．(2017·河南)解分式方程－2＝，去分母得(A)
A．1－2(x－1)＝－3 B．1－2(x－1)＝3
C．1－2x－2＝－3 D．1－2x＋2＝3
9．解方程：＝.
解：去分母，得2a＋2＝－a－4.
解得a＝－2.
经检验，a＝－2是分式方程的解．
知识点5 分式方程的应用
10．(2016·山西)甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600 kg，甲搬运5 000 kg所用的时间与乙搬运8 000 kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物．设甲每小时搬运x kg货物，则可列方程为(B)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
11．(2017·黄冈)黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元．已知学校用12 000元购买的科普类图书的本数与用9 000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
解：设科普类图书平均每本的价格为x元，则文学类图书平均每本的价格为(x－5)元．由题意，得
＝.解得x＝20.
经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意．
则20－5＝15.
答：学校购买科普类图书和文学类图书平均每本的价格分别是20元、15元．
02 中档题
12．(2016·河北)下列运算结果为x－1的是(B)
A．1－ B.·
C.÷ D.
13．观察下面一列有规律的数：，，，，，，…，根据其规律可知第n个数应是：(n为正整数)．
14．解方程：
(1)＝－1；
解：原方程可化为：
3(x－1)＝x(x＋1)－(x＋1)(x－1)．
解得x＝2.
检验：当x＝2时，(x＋1)(x－1)≠0，
∴原方程的解是x＝2.
(2)－＝.
解：方程两边同乘最简公分母x(x－2)，得
(x－2)(2x＋2)－x(x＋2)＝x2－2，解得x＝－.
检验：当x＝－时，x(x－2)≠0，
∴x＝－是原方程的解．
15．(2017·绵阳)先化简，再求值：(－)÷，其中x＝2，y＝.
解：原式＝[－]÷
＝(－)÷
＝·
＝.
当x＝2，y＝时，
原式＝＝－.
16．某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长3 600米道路的任务，按原计划完成总任务的后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．
(1)按原计划完成总任务的时，已抢修道路1_200米；
(2)原计划每小时抢修道路多少米？
解：设原计划每小时抢修道路x米，根据题意，得
＋＝10.
解得x＝280.
经检验，x＝280是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每小时抢修道路280米．
03 综合题
17．某饲养场为保障出品的猪肉不含任何激素，打算从源头——饲料抓起，于是派采购员去外地购买卫生饲料(不含激素)．现有甲、乙两位采购员两次去同一家饲料公司购买卫生饲料，两次卫生饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式不同，其中，甲每次购买1 000 kg，乙每次购买800元，设两次购买的卫生饲料的单价分别是x元/kg和y元/kg(x，y是正数，且x≠y)，那么甲、乙两人谁的购货方式更实惠？
解：甲两次购买卫生饲料的平均单价为
＝；
乙两次购买卫生饲料的平均单价为
1 600÷(＋)＝；
甲、乙所购卫生饲料的平均单价的差为
－＝＞0，
所以乙所购的卫生饲料的平均单价较低，乙的购货方式更实惠．
北师大版八年级下册数学 第六章 平行四边形 同步课时练习题
6．1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角的性质
01 基础题
知识点1 平行四边形的概念
1．在四边形ABCD中，若AB∥CD，BC∥AD，则四边形ABCD为平行四边形．
知识点2 平行四边形的对称性
2.如图，在▱ABCD中，点A关于点O的对称点是点C．
知识点3 平行四边形的边、角的性质
3．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，若∠A＝60°，则∠1的度数为(B)
A．120° B．60° C．45° D．30°
4．在▱ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，∠A＝30°，则CD＝3_cm，AD＝5_cm，∠B＝150°，∠C＝30°，∠D＝150°．
5．(2017·扬州)在▱ABCD中，∠B＋∠D＝200°，则∠A＝80°．
6．(2016·江西)如图，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为50°．
7．(2017·山西)已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF，连接EF，与对角线AC交于点O.求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵BE＝DF，
∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.
∵AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，∠E＝∠F.
∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴OE＝OF.
02 中档题
8．(2016·河北)如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(C)
A．66° B．104° C．114° D．124°
9．如图，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为(C)
A．3 B．6 C．12 D．24
10．(2017·绵阳)如图，将▱ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．若点A的坐标是(6，0)，点C的坐标是(1，4)，则点B的坐标是(7，4)．
11．(2017·陕西蓝田县期末)在▱ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH＝EH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BE∥CD.
∴∠E＝∠2.
∵CE平分∠BCD，
∴∠1＝∠2.
∴∠1＝∠E.
∴BE＝BC.
又∵BH⊥EC，
∴CH＝EH(三线合一)．
03 综合题
12．(2017·通辽)在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F.若AD＝11，EF＝5，则AB＝8或3．
提示：根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，得出AB＝BE＝CD＝CF，分两种情况，即可得到结论．
第2课时 平行四边形的对角线的性质
01 基础题
知识点 平行四边形的对角线互相平分
1．平行四边形的对角线一定具有的性质是(B)
A．相等 B．互相平分
C．互相垂直 D．互相垂直且相等
2．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是(C)
A．AB∥CD B．AB＝CD
C．AC＝BD D．OA＝OC
3．如图，在▱ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为(A)
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
4．若点O为▱ABCD的对角线AC与BD的交点，且AO＋BO＝11 cm，则AC＋BD＝22cm.
5．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是1＜OA＜4．
6．如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝18，且△AOB的周长为23，求AB的长．
解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝18，
∴AO＝AC＝6，
BO＝BD＝9.
又∵△AOB的周长为23，
∴AB＝23－(AO＋BO)＝23－(6＋9)＝8.
02 中档题
7．(2017·眉山)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为(C)
A．14 B．13 C．12 D．10
8．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10 cm，AD＝8 cm，AC⊥BC，则OB＝cm.
9．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为20．
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是AB边上一点，只用无刻度直尺在CD边上作点F，使得CF＝AE.
(1)作出满足题意的点F，简要说明你的作图过程；
(2)依据你的作图，证明：CF＝AE.
解：(1)连接EO并延长交CD于点F，则F点即为所求．
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AB∥CD.
∴∠BAO＝∠DCO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴AE＝CF.
03 综合题
11．如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内．若点B的落点记为B′，则DB′的长为．
6.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1、2
01 基础题
知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1．用两根长40 cm的木条，作为四边形的一组对边，再用两根长30 cm的木条作为四边形的另一组对边，拼成一个四边形，这个四边形是平行四边形，其根据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
2．已知四边形ABCD的四条边长依次为a，b，c，d，且满足(a－c)2＋(b－d)2＝0，求证：AB∥CD.
证明：∵(a－c)2＋(b－d)2＝0，
∴a－c＝0，b－d＝0.
∴a＝c，b＝d.
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥CD.
3．如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2.雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB＝CD且AD＝BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论．
证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC.
又∵EF⊥AD，
∴EF⊥BC.
知识点2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4．小李拿出两段长度相等的木棒平行摆放，然后顺次连接四个端点得到的图形一定是(C)
A．正方形 B．长方形
C．平行四边形 D．任意四边形
5．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：答案不唯一，如：AD＝BC(或AB∥DC)，使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线)．
6．如图，△ABC≌△A′B′C′，点B，C′，C，B′在同一直线上，且B与B′不重合，则以点A，B，A′，B′为顶点的四边形一定是平行四边形．(填某种特殊四边形的名称)
7．如图，在四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，BD⊥BC，AD＝11－x，BC＝x－5，则当x＝8时，四边形ABCD是平行四边形．
8．(2016·新疆)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD＝∠FCB＝90°.
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF.
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB(AAS)．
∴AD＝BC.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
02 中档题
9．不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(B)
A．AB∥CD，AD∥BC
B．AB∥CD，AD＝BC
C．AB∥CD，∠A＝∠C
D．AD∥BC，AD＝BC
10．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是(D)
A．AD＝BC B．CD＝BF
C．∠A＝∠C D．∠F＝∠CDE
11．如图，在平面直角坐标系中，以A(－1，0)，B(2，0)，C(0，1)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点的坐标的是(B)
A．(3，1) B．(－4，1)
C．(1，－1) D．(－3，1)
12．如图，▱ABCD中，点E，F分别为边AB，DC的中点，则图中平行四边形共有4个．
13．(2017·河南模拟改编)如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD.若∠ABC＋∠ADC＝120°，则∠A的度数是120°．
14．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝CB，
∠DAB＝∠BCD.
又∵△ADE和△BCF都是等边三角形，
∴DE＝BF，AE＝CF，∠DAE＝∠BCF＝60°.
∴∠BCD－∠BCF＝∠DAB－∠DAE，
即∠DCF＝∠BAE.
∴△DCF≌△BAE(SAS)．∴DF＝BE.
∴四边形BEDF是平行四边形．
03 综合题
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；同时，点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．求当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
解：由题意可知，AP＝t，CQ＝2t，CE＝BC＝8.∵AD∥BC，∴当PD＝EQ时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
①当2t＜8，即t＜4时，点Q在C，E之间，如图甲．
此时，PD＝AD－AP＝6－t，EQ＝CE－CQ＝8－2t，
由6－t＝8－2t，得t＝2.
图甲 图乙
②当8<2t<16且t<6，即4
由6－t＝2t－8，得t＝.
∴当运动时间t为2或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
第2课时 平行四边形的判定定理3
01 基础题
知识点 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1．下列能判定四边形是平行四边形的是(D)
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线互相垂直且相等
D．对角线互相平分
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(C)
A．AB∥CD，AD∥BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，AB∥CD
D．AB＝CD，AD＝BC
3．如图，AO＝OC，BD＝18 cm，则当OB＝9cm时，四边形ABCD是平行四边形．
4．要做一个平行四边形框架，只要将两根木条AC，BD的中点重叠并用钉子固定，这样四边形ABCD就是平行四边形，这种做法的依据是两条对角线分别平分的四边形是平行四边形．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO.
在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD(ASA)．
∴OB＝OD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
02 中档题
6．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有(B)
A．3种 B．4种
C．5种 D．6种
7．如图，AC，BD是相交的两条线段，点O为它们的中点．当BD绕点O旋转时，连接AB，BC，CD，DA，所得到的四边形ABCD始终为平行四边形．
8．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，AF＝CE，BH＝DG.求证：GF∥EH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
又∵AF＝CE，
∴AF－OA＝CE－OC，即OF＝OE.
同理：OG＝OH.
∴四边形EGFH是平行四边形．
∴GF∥EH.
03 综合题
9．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，点E在线段BO上从点B出发以1 cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O出发以2 cm/s的速度运动．若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，运动过程中是否存在某一时刻，使得四边形AECF为平行四边形？
解：要使四边形AECF为平行四边形，
则需AO＝OC，EO＝OF.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD＝6 cm.
∴EO＝6－t，OF＝2t.
由题意可得0≤t≤3.
∴6－t＝2t.
解得t＝2.满足0≤t≤3.
∴存在，当t为2时，四边形AECF是平行四边形．
第3课时 平行线之间的距离及平行四边形判定方法的选择
01 基础题
知识点1 平行线之间的距离
1．平行线之间的距离是指(B)
A．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段
B．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度
C．从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度
D．从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
2．如图，直线l1∥l2，△ABC的面积为10，则△DBC的面积(C)
A．大于10
B．小于10
C．等于10
D．不确定
3．如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB＝4 cm，S△ABC＝12 cm2，求△ABD中AB边上的高．
解：S△ABC＝AB·BC＝×4·BC＝12，
解得BC＝6.
∵AB∥CD，BC⊥AB，
∴点D到AB边的距离等于BC的长度．
∴△ABD中AB边上的高等于6 cm.
知识点2 平行四边形判定方法的选择
4．A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有4种．
5．如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，且AE＝CF，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H.求证：EF和GH互相平分．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
又∵AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∴AF∥CE.
同理可证：BE∥DF.
∴四边形GFHE是平行四边形，
∴EF与GH互相平分．
02 中档题
6．(2016·铜仁中考)已知直线a∥b∥c，a与b的距离为5 cm，b与c的距离为2 cm，则a与c的距离是(C)
A．3 cm B．7 cm
C．3 cm或7 cm D．以上都不对
7．如图，设M是▱ABCD一边上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则(A)
A．S＝S1＋S2 B．S＞S1＋S2
C．S＜S1＋S2 D．不能确定
8．如图，AF∥BD，AC＝BD，AE＝CF，下面给出四个结论：①AB＝CD；②BE＝DF；③S四边形ABDC＝S四边形BDFE；④ S△ABE＝S△CDF.其中正确的有(D)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是②③．
10．(2017·西安高新区期中)如图，将▱ABCD的AD边延长至点E，使DE＝AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD.
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)若AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵DE＝AD，F是BC边的中点，
∴DE＝FC，DE∥FC.
∴四边形CEDF是平行四边形．
(2)过点D作DN⊥BC于点N.
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝60°，
∴∠BCD＝∠A＝60°.∴∠NDC＝30°.
∵AB＝3，AD＝4.
∴DC＝3，NC＝DC＝，DN＝，
∴FN＝，则CE＝DF＝＝.
03 综合题
11．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B，C三点在格点上，格点△ABP的面积为△ABC的2倍，则格点P的个数有(D)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
小专题(八) 平行四边形的性质与判定的综合
1．如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形MNCD是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵M，N分别是AD，BC的中点，
∴MD＝NC，MD∥NC.
∴四边形MNCD是平行四边形．
2．(2017·大连)如图，在▱ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上．求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠BAC＝∠DCA.
∴180°－∠BAC＝180°－∠DCA，即∠EAB＝∠FCD.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°.
在△BEA和△DFC中，
∴△BEA≌△DFC(AAS)．
∴AE＝CF.
3．如图，已知四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，那么四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？
解：四边形ABCD是平行四边形．
理由如下：∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，且AD＝EF.
∵四边形EBCF是平行四边形，
∴EF∥BC，且EF＝BC.
∴AD∥BC，AD＝BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
4．如图，已知▱ABCD，AB＞AD，分别以点A，C为圆心，以AD，CB长为半径作弧，交AB，CD于点E，F，连接AF，CE.求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC.
根据题意，得AE＝AD，CF＝BC，
∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AF＝CE.
5．(2017·咸宁)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC.
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)连接AF，BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
证明：(1)∵BE＝FC，
∴BC＝FE.
在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE(SSS)．
(2)连接AF，BD，由(1)知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC＝∠DFE.
∴AB∥DF.
又∵AB＝DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
6．有一块形状如图所示的玻璃，AE∥CB，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB＝30 cm，BC＝70 cm，∠B＝60°，∠C＝150°，请根据测得的数据求出AD的长．
解：过点C作CG∥AB，交AD于点G.
∵AE∥BC，CG∥AB，
∴四边形ABCG是平行四边形．
∴CG＝AB＝30 cm，AG＝BC＝70 cm.
∵∠B＝60°，∴∠A＝180°－60°＝120°.
∴∠DGC＝∠A＝∠BCG＝120°.
∵∠BCD＝150°，
∴∠D＝180°－∠BCD＝30°，∠GCD＝∠BCD－∠BCG＝30°.
∴∠GCD＝∠D＝30°.
∴DG＝CG＝AB＝30 cm.
∴AD＝AG＋DG＝100 cm.
7．(2016·龙岩)如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上．
(1)给出以下条件：①OB＝OD；②∠1＝∠2；③OE＝OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；
(2)在(1)条件中你所选条件的前提下，添加AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：(1)答案不唯一，如：选取①②.证明如下：
在△BEO和△DFO中，
∴△BEO≌△DFO(ASA)．
(2)由(1)，得△BEO≌△DFO，
∴EO＝FO.
∵AE＝CF，
∴AO＝CO.
又∵BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
8．(2017·大庆)如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.
(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
解：(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C.
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴四边形CDEG是平行四边形．
∴∠DEG＝∠C.
∴∠ABC＝∠DEG.
∵BE＝BF，∴∠F＝∠BEF.
∵EG∥BC，∴∠AEG＝∠ABC.
∴∠DEG＝∠AEG.
又∵∠BEF＝∠AEG，
∴∠F＝∠DEG.
∴BF∥DE.
∴四边形BDEF为平行四边形．
(2)∵四边形BDEF为平行四边形，BD＝2，
∴EF＝BD＝2.
∵∠C＝45°，∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°.
∴△BDE，△BEF是等腰直角三角形．
∴BF＝BE＝BD＝.
作FM⊥DB于点M，连接DF.
则△BFM是等腰直角三角形，
∴FM＝BM＝BF＝1.∴DM＝3.
在Rt△DFM中，由勾股定理，得
DF＝＝，
即D，F两点间的距离为.
6.3 三角形的中位线
01 基础题
知识点1 三角形中位线定理
1．如图，在△ABC中，AB＝8，点D，E分别是BC，CA的中点，连接DE，则DE＝(B)
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图，等边△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则∠DEC的度数为(C)
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．(2017·张家界)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点．若△ADE的周长是6，则△ABC的周长是(B)
A．6 B．12 C．18 D．24
4．(2017·怀化)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为10cm.
5．如图，在△ABC中，点D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形．
证明：∵D，F分别是边AB，AC的中点，
∴DF∥BC.
同理：DE∥AC.
∴四边形DECF是平行四边形．
6．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，点E是AB的中点，连接DE.求线段DE的长．
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线．
∴点D是BC的中点．
又∵E是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE＝AC＝4.
7．(教材P152T3变式)如图，在四边形ABCD中，M，N，E，F分别为AD，BC，BD，AC的中点，求证：MN与EF互相平分．
证明：连接ME，EN，NF，MF.
在△ABD中，M，E分别为AD，BD的中点，
∴ME∥AB，ME＝AB.
在△ABC中，N，F分别为BC，AC的中点，
∴NF∥AB，NF＝AB.
∴ME∥NF，ME＝NF.
∴四边形MENF是平行四边形．
∴MN与EF互相平分．
知识点2 三角形中位线定理的应用
8．(2017·宜昌)如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝(B)
A．50 m B．48 m C．45 m D．35 m
9．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是(C)
A．15米 B．20米
C．25米 D．30米
02 中档题
10．(2016·陕西)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为(B)
A．7 B．8 C．9 D．10
11．如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE＝48°，则∠APD等于(B)
A．42° B．48°
C．52° D．58°
12．(2017·成都锦江区期末)如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，连接OA，点G，F分别为OC，OB的中点，BC＝7，AO＝5，则四边形DEFG的周长为(B)
A．10 B．12
C．14 D．24
13．如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1.若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′＝2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是(C)
A．h2＝2h1 B．h2＝1.5h1
C．h2＝h1 D．h2＝h1
14．如图，在长方形ABCD中，R为CD上一定点，P为BC上一动点，E，F分别是AP，RP的中点，当P从B向C移动时，线段EF的长度(C)
A．逐渐变小 B．逐渐变大
C．不变 D．无法确定
15．如图，AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，G，H分别为CF，CE的中点，则∠1＝145°．
16．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，求线段EF的长．
解：∵AF是△ABC的角平分线，
∴∠GAF＝∠CAF.
又∵CG⊥AD，
∴∠AFC＝∠AFG＝90°.
在△AGF和△ACF中，
∴△AGF≌△ACF(ASA)．
∴AG＝AC＝3，GF＝CF.
∴BG＝AB－AG＝4－3＝1.
又∵BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线．
∴EF＝BG＝.
03 综合题
17．如图，四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E，F分别为AD，BC的中点，延长BA，CD，分别交射线FE于P，Q两点．求证：∠P＝∠CQF.
证明：连接BD，作BD的中点M，连接EM，FM.
∵点E是AD的中点，
∴EM∥AB，EM＝AB，
∴∠MEF＝∠P.
同理可证：FM∥CD，FM＝CD.
∴∠MFE＝∠CQF.
又∵AB＝CD，
∴EM＝FM.
∴∠MEF＝∠MFE.
∴∠P＝∠CQF.
周周练(6.1～6.3)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．下面的性质中，平行四边形不一定具有的是(A)
A．对角互补 B．邻角互补
C．对角相等 D．对边相等
2．用一根6米长的绳子围成一个平行四边形，其中一边长1.6米，则其邻边长为(B)
A．1.2米 B．1.4米
C．1.6米 D．1.8米
3．(2017·陕西蓝田县期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，添加下列条件不能使四边形ABCD成为平行四边形的是(D)
A．AD＝BC
B．OA＝OC
C．∠ABC＋∠BCD＝180°
D．AB＝CD
4．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为(A)
A．9 B．10 C．11 D．12
5．(2017·平顶山市宝丰县期末)如图，▱ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，则∠DEA等于(D)
A．100° B．80°
C．60° D．40°
6．(2016·株洲)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是(D)
A．OE＝DC B．OA＝OC
C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE
7．(2017·青岛)如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为(D)
A. B. C. D.
8．如图所示，已知▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°.则下列结论：①四边形ABFE为平行四边形；②△ADE是等腰三角形；③▱ABCD与▱DCFE全等；④∠DAE＝25°.其中结论正确的个数为(B)
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．(2016·河南)如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E.若∠1＝20°，则∠2的度数为110°．
10．(2017·牡丹江)如图，点E，F分别放在▱ABCD的边BC，AD上，AC，EF交于点O，请你添加一个条件(只添一个即可)，使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是AF＝CE．
11．如图，在△ABC中，∠A＝∠B，D是AB上任意一点，DE∥BC，DF∥AC，AC＝4 cm，则四边形DECF的周长是8_cm．
12．如图，直线AE∥BD，点C在BD上．若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为8．
13．如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC＝50 cm，当跷跷板的一端B着地时，另一端A离地面的高度为100cm.
14．如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，∠BAC≠90°.将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形．若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出3种平行四边形．
三、解答题(共52分)
15．(10分)如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的∠1是65°，那么光线与纸板左上方所成的∠2是多少度？请说明理由．
解：∠2＝65°.
理由：由题意知AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴∠2＝∠1.
∵∠1＝65°，∴∠2＝65°.
16．(12分)如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF＝AB，连接EF.判断四边形ADEF的形状，并加以证明．
解：四边形ADEF是平行四边形．证明如下：
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE∥BF，DE＝AB.
∵AF＝AB，
∴DE＝AF.
∴四边形ADEF是平行四边形．
17．(14分)(2017·镇江)如图，点B，E分别在AC，DF上，AF分别交BD，CE于点M，N，∠A＝∠F，∠1＝∠2.
(1)求证：四边形BCED为平行四边形；
(2)已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
解：(1)证明：∵∠A＝∠F，
∴DF∥AC.
又∵∠1＝∠2，∠1＝∠DMF，
∴∠2＝∠DMF.
∴DB∥EC.
∴四边形BCED为平行四边形．
(2)∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠CBN.
∵BD∥EC，
∴∠DBN＝∠CNB.
∴∠CBN＝∠CNB.
∴BC＝CN.
∵四边形BCED为平行四边形，
∴BC＝DE＝2.
∴CN＝2.
18．(16分)已知，如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，试回答下列问题：
(1)求证：∠A＝∠C；
(2)如图2，若E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某点连接成一条线段，猜想并说明它与图中哪条已知线段相等(只需说明一组)；
(3)若E，F分别在AB，CD上，且DE＝BF，此时AE＝CF成立吗？若成立，说明理由；若不成立，也说明理由或画出示意图．
解：(1)证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠A＝∠C.
(2)猜想DE＝BF.
理由：连接BF.
∵AE＝CF，∠A＝∠C，AD＝CB，
∴△ADE≌△CBF(SAS)．∴DE＝BF.
(3)不成立．如图3.
从图上可以看出，在DC上可找到两点F和F′，分别和B连接得到的BF，BF′都和DE相等，但AE≠CF′.
6.4 多边形的内角和与外角和
第1课时 多边形的内角和
01 基础题
知识点 多边形的内角和
1．八边形的内角和为(C)
A．180° B．360°
C．1 080° D．1 440°
2．(2017·云南)已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是(C)
A．五边形 B．六边形
C．七边形 D．八边形
3．(n＋2)边形的内角和比n边形的内角和大(B)
A．180° B．360°
C．n·180° D．n·360°
4．(2017·北京)若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是(B)
A．6 B．12 C．16 D．18
5．一个多边形从一个顶点出发有4条对角线，这个多边形的内角和为(B)
A．720° B．900°
C．1 800° D．1 440°
6．已知两个多边形的内角和为1 800°，两个多边形的边数之比为1∶2，这两个多边形的边数分别为4和8．
7．(2017·邵阳)如图所示的正六边形ABCDEF，连接FD，则∠FDC的大小为90°．
8．小明想为校运动会设计一个内角和为2 018°的多边形图案标志，他的想法能实现吗？请你利用所学的知识加以说明
解：假设这样的多边形图案存在，其边数为n.
由(n－2)·180°＝2 018°，
解得n＝13.
因为求得的n不是整数，所以其想法不能实现．
02 中档题
9．(2017·宜昌)如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，那么下列四种剪法中，符合要求的是(B)
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
10．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为(C)
A．120° B．180° C．240° D．300°
11．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的和的大小为(B)
A．180° B．360° C．540° D．720°
12．如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝280°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是50°．
13．小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1 840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍．
(1)若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？
(2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
解：(1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，则
(n－2)·180°＝1 840°－x.
∵1 840°＝10×180°＋40°，内角和为180°的倍数，
∴x＝40°，n－2＝10.∴n＝12.
故这个多边形的边数是12.
(2)设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是x，则
(n－2)·180°＝1 840°＋x，
∵1 840°＝10×180°＋40°，内角和为180°的倍数，
∴x＝140°.
∴(n－2)×180°＝1 840°＋140°.
∴n＝13.
故漏算的那个内角是140°，这个多边形是十三边形．
第2课时 多边形的外角和
01 基础题
知识点 多边形的外角及外角和
1．五边形的外角和等于(B)
A．180° B．360°
C．540° D．720°
2．(2017·阿坝)已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是(C)
A．8 B．9
C．10 D．11
3．下列多边形中，内角和与外角和相等的是(A)
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．八边形
4．(2016·临沂)一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于(C)
A．108° B．90°
C．72° D．60°
5．(2017·遵义)正多边形的一个外角是30°，则这个多边形的内角和的度数是1_800°．
6．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的四个外角．若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝300°．
7．(2017·陕西蓝田县期末)一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，求这个多边形的边数．
解：设多边形的边数为n.由题意，得
(n－2)·180°＝5×360°.
解得n＝12.
∴这个多边形的边数为12.
02 中档题
8．一个n边形变成n＋1边形，外角和将(D)
A．减少180° B．增加90°
C．增加180° D．不变
9．若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是(A)
A．3 B．4
C．5 D．6
10．一块四边形绿化园地，四角向外都做有半径为6的扇形喷水池(阴影部分)，则这四个喷水池面积和为36π(结果保留π)．
11．已知一个多边形的每个内角都比相邻外角的3倍还多20°，求这个多边形的边数．
解：设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角等于(3α＋20)°，由题意，得
(3α＋20)＋α＝180.
解得α＝40，即多边形的每个外角为40°.
又∵多边形的外角和为360°，360÷40＝9，
∴多边形的边数为9.
03 综合题
12．如图所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时：
(1)整个行走路线是什么图形？
(2)一共走了多少米？
解：(1)设行走路线是正n边形，依题意，得n＝＝9.
所以行走路线是正九边形．
(2)8×9＝72(米)．
答：一共走了72米．
章末复习(六) 平行四边形
01 基础题
知识点1 平行四边形的性质与判定
1．下列说法错误的是(D)
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
2．(2016·丽水)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为(B)
A．13 B．17 C．20 D．26
3．(2017·抚顺)如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD＝3时，线段BC的长为3．
4．(2017·菏泽)如图，E是▱ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F.若CD＝6，求BF的长．
解：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AB∥CD.
∴∠F＝∠DCE.
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(AAS)．
∴AF＝CD＝6.
∴BF＝AB＋AF＝12.
5．(2016·张家界)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．
解：四边形ABFC是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠EFC ＝∠EAB.
∵E是BC的中点，
∴EB＝EC.
在△EFC和△EAB中，
∴△EFC≌△EAB(AAS)．
∴EF＝EA.
又∵EB＝EC，
∴四边形ABFC是平行四边形．
知识点2 三角形的中位线
6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F在BC上，DE是∠AEF的平分线．若∠C＝80°，则∠EFB的度数是(A)
A．100° B．110° C．115° D．120°
7．(2017·河北)如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离，于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200 m，则A，B之间的距离为100m.
8．如图，在△ABC中，点D在BC上，BD＝AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN.若AB＝5，BC
＝8，则MN＝1.5．
知识点3 多边形的内角和与外角和
9．内角和为540°的多边形是(C)
10．(2017·湖州)已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是5．
02 中档题
11．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.若▱ABCD的周长为48，DE＝5，DF＝10，则▱ABCD的面积等于(B)
A．87.5 B．80
C．75 D．72.5
12．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2 340°的新多边形，则原多边形的对角线条线为(A)
A．77 B．90 C．65 D．104
13．如图是由4个边长为1的正方形构成的网格．用没有刻度的直尺在这个网格中最多可以作出一组对边长度为的平行四边形的个数是(C)
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
14．(2017·武汉)如图，在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE＝AB，则∠EBC的度数为30°．
15．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1三边的中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2三边的中点，得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为1．
16．如图，Rt△ACB中，已知∠BAC＝30°，BC＝2，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
(1)求证：四边形ADFE是平行四边形；
(2)求四边形ADFE的周长．
解：(1)证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC.
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF.
∴AF＝BC.
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∴Rt△AFE≌Rt△BCA(HL)．
∴EF＝AC.
∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD.
∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°.∴AD⊥AB.
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD.
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD.
∴四边形ADFE是平行四边形．
(2)∵∠BAC＝30°，BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AB＝AE＝4.
∵AF＝BF＝AB＝2，
∴EF＝AD＝2.
故四边形ADFE的周长为4＋4＋2＋2＝8＋4.
03 综合题
17．如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)如果∠OBC＝45°，∠OCB＝30°，OC＝4，求EF的长．
解：(1)证明：∵AB，OB，OC，AC的中点分别为D，E，F，G，
∴DG∥BC，DG＝BC，EF∥BC，EF＝BC.
∴DG∥EF，DG＝EF.
∴四边形DEFG是平行四边形．
(2)过点O作OM⊥BC于点M，
在Rt△OCM中，∠OCM＝30°，OC＝4，
∴OM＝OC＝2.
∴CM＝2.
在Rt△OBM中，∠OBM＝∠BOM＝45°，
∴BM＝OM＝2.
∴BC＝BM＋CM＝2＋2.
∴EF＝BC＝1＋.
北师大版八年级下册数学同步课时练习题
第一章 三角形的证明
第二章 1．1 等腰三角形
第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
01 基础题
知识点1 全等三角形的性质与判定
1．如图，△ABC≌△BAD.若AB＝6，AC＝4，BC＝5，则AD的长为(B)
A．4 B．5
C．6 D．以上都不对
2．如图，若能用AAS来判定△ACD≌△ABE，则需要添加的条件是(B)
A．∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠B
B．∠ADC＝∠AEB，CD＝BE
C．AC＝AB，AD＝AE
D．AC＝AB，∠C＝∠B
3．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．
4．(2017·怀化)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：AB＝DE(答案不唯一)，使得△ABC≌△DEC.
5．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝6．
6．(2016·宜宾)如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.
证明：∵∠CAB＝∠DBA，∠DAC＝∠CBD，
∴∠DAB＝∠CBA.
在△ADB和△BCA中，
∴△ADB≌△BCA(ASA)．
∴AD＝BC.
7．(2017·黄冈)已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证：∠B＝∠ANM.
证明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAM＝∠DAC＋∠NAM，
∴∠BAD＝∠NAM.
在△BAD和△NAM中，
∴△BAD≌△NAM(SAS)．
∴∠B＝∠ANM.
知识点2 等腰三角形的性质
8．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角度数为(D)
A．40° B．50° C．60° D．65°
9．(2017·平顶山市宝丰县期末)等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，则此三角形的周长为(D)
A．13 B．14 C．15 D．13或14
10．(2017·江西)如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA＝OB.若剪刀张开的角为30°，则∠A＝75度．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是20．
02 中档题
12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝CD，则下列结论错误的是(C)
A．AB＝AC B．AD平分∠BAC
C．AB＝BC D．∠BAC＝90°
13．(2017·朝阳市建平县期末)若等腰三角形的一个内角等于15°，则这个三角形为(D)
A．钝角等腰三角形
B．直角等腰三角形
C．锐角等腰三角形
D．钝角等腰三角形或锐角等腰三角形
14．(2016·泰安)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(D)
A．44° B．66°
C．88° D．92°
15．如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.
(1)从图中任找两组全等三角形；
(2)从(1)中任选一组进行证明．
解：(1)答案不唯一，如：△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA.
(2)答案不唯一，如选择证明△ABE≌△CDF，证明如下：
∵AF＝CE，
∴AE＝CF.
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF.
又∵∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
16．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：
(1)△AEF≌△CEB；
(2)AF＝2CD.
证明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEF＝∠CEB＝∠ADC＝90°.
∴∠AFE＋∠EAF＝∠CFD＋∠ECB＝90°.
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠EAF＝∠ECB.
在△AEF和△CEB中，
∴△AEF≌△CEB(ASA)．
(2)∵△AEF≌△CEB，
∴AF＝BC.
在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，BC＝2CD.
∴AF＝2CD.
03 综合题
17．(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在边AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数；
(2)如图2，在△ABC中，∠ACB＝40°，点D，E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE＝110°；
(3)在△ABC中，∠ACB＝n°(0＜n＜180)，点D，E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数(直接写出答案，用含n的式子表示)．
解：(1)∵AD＝AC，BC＝BE，
∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC.
∴∠ACD＝(180°－∠A)÷2，
∠BCE＝(180°－∠B)÷2.
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝180°－(∠A＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°.
∴∠DCE＝∠ACD＋∠BCE－∠ACB＝135°－90°＝45°.
(3)①如图1，∠DCE＝90°－n°；
②如图2，∠DCE＝90°＋n°；
③如图3，∠DCE＝n°；
④如图4，∠DCE＝n°.
第2课时 等边三角形的性质
01 基础题
知识点1 等腰三角形相关线段的性质
1．在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为边AC，AB上的中线．若BD＝5，则CE＝5．
2．证明：等腰三角形两腰上的高相等．
解：已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D.
求证：BD＝CE.
证明：∵CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°.
又∵AC＝AB，∠A＝∠A，
∴△ACE≌△ABD(AAS)．
∴CE＝BD.
知识点2 等边三角形的性质
3．如图，△ABC是等边三角形，则∠1＋∠2＝(C)
A．60° B．90°
C．120° D．180°
4．(2017·南充)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(D)
A．(1，1) B．(，1)
C．(，) D．(1，)
5．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD＝120°．
6．如图，等边△ABC中，AD为高，若AB＝6，则CD的长度为3．
7．等边△ABC的边长如图所示，则y＝3．
8．如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，延长AC，交直线m于点D.若∠1＝20°，求∠2的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°.
∴在△BCD中，∠CDB＝∠ACB－∠1＝60°－20°＝40°.
∵l∥m，
∴∠2＝∠CDB＝40°.
9．如图，△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE＝BD.
证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线，
∴AE＝AD，AD为∠BAC的平分线．
∴∠CAD＝∠BAD＝30°.
∴∠BAE＝∠BAD＝30°.
在△ABE和△ABD中，
∴△ABE≌△ABD(SAS)．
∴BE＝BD.
02 中档题
10．下列说法：①等边三角形的每一个内角都等于60°；②等边三角形三条边上的高都相等；③等腰三角形两底角的平分线相等；④等边三角形任意一边上的高与这条边上的中线互相重合；⑤等腰三角形一腰上的高与这条腰上的中线互相重合．其中正确的有(D)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
11．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，垂足为D，点E是AC上一点，且AD＝AE，则∠CDE等于(C)
A．30° B．20°
C．15° D．10°
12．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝15度．
13．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，CD，BE交于点O，则∠BOC的度数是120°．
14．如图，已知等边△ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝45°．
15．如图，在等边△ABC中，D是BC上的一点，延长AD至E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O.求∠E的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，BF是△ABC的高，
∴∠ABO＝∠ABC＝30°，
AB＝AC.
∵AE＝AC，∴AB＝AE.
∵AO为∠BAE的平分线，
∴∠BAO＝∠EAO.
在△ABO和△AEO中，
∴△ABO≌△AEO(SAS)．
∴∠E＝∠ABO＝30°.
16．如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q.
(1)求证：AM＝BN；
(2)求∠BQM的度数．
解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
在△AMB和△BNC中，
∴△AMB≌△BNC(SAS)．∴AM＝BN.
(2)∵△AMB≌△BNC，
∴∠MAB＝∠NBC.
∴∠BQM＝∠MAB＋∠ABQ＝∠NBC＋∠ABQ＝∠ABC＝60°.
03 综合题
17．已知，如图所示，P为等边△ABC内的一点，它到三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM＝h，则h与h1，h2，h3有何数量关系？写出你的猜想并加以证明．
解：猜想：h1＋h2＋h3＝h.
证明如下：连接PA，PB，PC.
∵S△PAB＝AB·h1，
S△PAC＝AC·h2，
S△PBC＝BC·h3，
S△ABC＝BC·h，
S△PAB＋S△PAC＋S△PBC＝S△ABC，
∴AB·h1＋AC·h2＋BC·h3＝BC·h.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC.
∴h1＋h2＋h3＝h.
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
01 基础题
知识点1 等腰三角形的判定
1．在△ABC中，已知∠B＝∠C，则(B)
A．AB＝BC B．AB＝AC
C．BC＝AC D．∠A＝60°
2．如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是(C)
A．任意三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
3．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是(C)
A．OA＝OD B．AB＝CD
C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB
4．(易错题)下列能判定△ABC为等腰三角形的是(B)
A．∠A＝30°，∠B＝60°
B．∠A＝50°，∠B＝80°
C．AB＝AC＝2，BC＝4
D．AB＝3，BC＝7，周长为10
5．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD＝3cm.
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，若添加下列条件中的一个：①BD＝CD；②AD平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三角形的有①②．
7．已知：如图，AB＝BC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形．
证明：∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C.
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C.
∴∠BDE＝∠BED.
∴BD＝BE.
∴△DBE是等腰三角形．
知识点2 反证法
8．(2017·西安期中)用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角是直角．
9．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．
已知：等腰△ABC，AB＝AC.
求证：∠B，∠C必定是锐角．
证明：①假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是直角，即∠B＋∠C＝180°，
则∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°，
这与三角形内角和等于180°矛盾；
②假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，即∠B＋∠C＞180°，
则∠A＋∠B＋∠C＞180°，
这与三角形内角和等于180°矛盾．
综上所述，假设①，②错误，
所以∠B，∠C只能为锐角．
故等腰三角形的底角必定为锐角．
10．用反证法证明：已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b.
证明：假设a与b相交于点M，则过M点有两条直线平行于直线c，
这与“过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条”相矛盾，
所以假设不成立，即a∥b.
02 中档题
11．(2017·郑州月考)已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若BD＋CE＝5，则线段DE的长为(A)
A．5 B．6 C．7 D．8
12．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.若用反证法证这个结论，应首先假设∠B≥90°．
13．如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得到△ABC的形状一定是等腰三角形．
14．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东70°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东50°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝7海里．
15．(2017·内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．
证明：∵DE∥AC，
∴∠DAC＝∠EDA.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠EAD.
∴∠EAD＝∠EDA.
∵AD⊥BD，
∴∠EAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°.
∴∠B＝∠BDE.
∴△BDE是等腰三角形．
16．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC，延长BC到E，使CE＝CD，连接DE.
(1)成逸同学说：BD＝DE，她说得对吗？请你说明理由；
(2)小敏同学说：把“BD平分∠ABC”改成其他条件，也能得到同样的结论，你认为应该如何改呢？
解：(1)BD＝DE是正确的．
理由：∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∠ACB＝60°.
∴∠DCE＝180°－∠ACB＝120°.
又∵CE＝CD，
∴∠E＝30°.
∴∠DBC＝∠E.
∴BD＝DE.
(2)可改为：BD⊥AC(或点D为AC中点)．
理由：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°.
∴∠DBC＝30°.
由(1)可知∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E.
∴BD＝DE.
03 综合题
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.
(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝25°，∠DEC＝115°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小(填“大”或“小”)；
(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
解：(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE.
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC＋∠EDC＝140°.
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB＋∠EDC＝140°.
∴∠ADB＝∠DEC.
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE(AAS)．
(3)可以，∠BDA的度数为110°或80°.
理由：当∠BDA＝110°时，∠ADC＝70°.
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－70°－40°＝70°.
∴∠AED＝180°－∠DAC－∠ADE＝180°－70°－40°＝70°.
∴∠AED＝∠DAE.
∴AD＝ED.
∴△ADE是等腰三角形．
当∠BDA＝80°时，∠ADC＝100°.
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°.
∴∠DAE＝∠ADE.
∴AE＝DE.
∴△ADE是等腰三角形．
第4课时 等边三角形的判定
01 基础题
知识点1 等边三角形的判定
1．△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是(B)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．不能确定
2．下列说法不正确的是(D)
A．有两个角分别为60°的三角形是等边三角形
B．顶角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．底角为60°的等腰三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的三角形是等边三角形
3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC等于(B)
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是等边三角形．
5．如图，已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝a时，△AOP为等边三角形．
6．如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE为等边三角形．
证明：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC.
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
∴AD＝AE.
又∵∠ADB＝120°，
∴∠ADE＝60°.
∴△ADE为等边三角形．
知识点2 含30°角的直角三角形的性质
7．(2017·平顶山市宝丰县期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝9，则AB＝18．
8．(2017·郑州月考)如图，∠C＝90°，∠ABC＝75°，∠CDB＝30°.若BC＝3 cm，则AD＝6cm.
9．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为26秒．
10．如图，铁路AC与铁路AD相交于车站A，B区在∠CAD的平分线上，且距车站A为20千米，∠DAC＝60°，则B区距铁路AC的距离为10千米．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，BC＝8 cm，求AD的长．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8 cm，
∴∠B＝60°，AB＝2BC＝16 cm.
又∵CD⊥AB于D，
∴∠BDC＝90°.
∴∠DCB＝30°.
∴DB＝BC＝4 cm.
∴AD＝AB－DB＝12 cm.
02 中档题
12．在下列三角形中：①三边都相等的三角形；②有一个角是60°且是轴对称图形的三角形；③三个外角(每个顶点处各取1个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(D)
A．①②③ B．①②④
C．①③ D．①②③④
13．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知CD＝1，∠B＝30°，则BD的长是(B)
A．1 B．2 C. D．2
14．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是(D)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
15．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝(C)
A．3 B．4 C．5 D．6
16．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，CA边上一点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是等边三角形．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边的中线，点E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF.
(1)求证：△AED是等边三角形；
(2)若AB＝2，则四边形AEDF的周长是4．
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°.
∵AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC.
∴∠BAD＝60°.
∴AD＝AB.
∵点E为AB的中点，
∴AE＝AB.
∴AE＝AD.
∴△ADE是等边三角形．
03 综合题
18．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.
(1)如图1，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF.求证：
①△ABE≌△ACF；
②△AEF是等边三角形；
(2)若点E在BC的延长线上，则在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论(图2备用)．
解：(1)证明：①∵AB＝BC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．∴AB＝AC.
同理，△ADC也是等边三角形，
∴∠B＝∠ACF＝60°.
又∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF(SAS)．
②∵△ABE≌△ACF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.
∵∠BAE＋∠CAE＝60°，
∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°.
∴△AEF是等边三角形．
(2)存在．
证明：在CD延长线上取点F，在BC延长线上取点E，使CF＝BE，连接AE，EF，AF.
与(1)①同理，可证△ABE≌△ACF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.
∴∠BAE－∠CAE＝∠CAF－∠CAE.
∴∠BAC＝∠EAF＝60°.
∴△AEF是等边三角形．
(注：若在CD延长线上取点F，使CE＝DF也可)
小专题(一) 等腰三角形中常见的数学思想
类型1 方程思想
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，求∠A的度数．
解：设∠A＝x°，
∵BC＝BD＝ED＝EA，
∴∠ADE＝∠A＝x°.
∴∠DEA＝∠DBE＝2x°.
∴∠BDC＝∠C＝3x°.
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝3x°.
在△ABC中，∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，
即x＋3x＋3x＝180.
∴x＝.
∴∠A为.
类型2 分类讨论思想
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件在点P共有(B)
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
3．若实数x，y满足|x－5|＋＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为25．
4．如图，∠BOC＝60°，点A是BO延长线上的一点，OA＝10 cm，动点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t＝或10s时，△POQ是等腰三角形．
5．已知O为等边△ABD的边BD的中点，AB＝4，E，F分别为射线AB，DA上一动点，且∠EOF＝120°，若AF＝1，求BE的长．
解：当F点在线段DA的延长线上，如图1，作OM∥AB交AD于M，
∵O为等边△ABD的边BD的中点，
∴OB＝2，∠D＝∠ABD＝60°.
∴△ODM为等边三角形．
∴OM＝MD＝2，∠OMD＝60°.
∴FM＝FA＋AM＝3，∠FMO＝∠BOM＝120°.
∵∠EOF＝120°，
∴∠BOE＝∠FOM.
而∠EBO＝180°－∠ABD＝120°，
∴△OMF≌△OBE(ASA)．
∴BE＝MF＝3.
当F点在线段AD上时，如图2，
同理可证明△OMF≌△OBE，
则BE＝MF＝AM－AF＝2－1＝1.
类型3 整体思想
6．已知△ABC中，∠A＝α，点D，E，F分别在BC，AB，AC上．
(1)如图1，若BE＝BD，CD＝CF，则∠EDF＝90°－α；
(2)如图2，若BD＝DE，DC＝DF，则∠EDF＝180°－2α；
(3)如图3，若BD＝CF，CD＝BE，AB＝AC，则∠EDF＝(180°－α)；
(4)如图4，若DE⊥AB，DF⊥BC，AB＝AC，则∠EDF＝(180°－α)．
1．2 直角三角形
第1课时 勾股定理及其逆定理
01 基础题
知识点1 直角三角形的性质及其判定
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D)
A．120° B．90°
C．60° D．30°
2．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C)
A．∠A＝37°，∠C＝53°
B．∠A－∠C＝∠B
C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5
3．(2017·安徽)直角三角板和直尺如图放置．若∠1＝20°，则∠2的度数为(C)
A．60° B．50° C．40° D．30°
知识点2 勾股定理及其逆定理
4．(2017·西安期中)下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是(D)
A．2，4，5 B．6，8，11
C．5，12，12 D．1，1，
5．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(D)
A．1 B．2 C．3 D．4
6．(2017·阿坝)直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为6．
7．(2017·成都)如图，数轴上点A表示的实数是－1．
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AC⊥CD，求四边形ABCD的面积．
解：∵AC⊥CD，CD＝12，AD＝13，
∴AC＝＝＝5.
又∵AB＝3，BC＝4，
∴AB2＋BC2＝32＋42＝52＝AC2.
∴∠B＝90°.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD
＝AB·BC＋AC·CD
＝×3×4＋×5×12
＝6＋30
＝36.
知识点3 命题(逆命题)与定理(逆定理)
9．下列命题中，其逆命题成立的是①④．(只填写序号)
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a，b，c(c为最长边)满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
10．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题．
(1)两直线平行，同位角相等；
(2)如果a是偶数，b是偶数，那么a＋b是偶数．
解：(1)同位角相等，两直线平行．真命题．
(2)如果a＋b是偶数，那么a是偶数，b是偶数．假命题．
02 中档题
11．已知下列命题：
①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(A)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(A)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
13．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)
A．3 B．6
C．3 D.
14．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为(D)
A．2 B．2 C.＋1 D.＋1
15．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(C)
A．10 B．8
C．6或10 D．8或10
16．如图，圆柱形容器高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20cm.
17．(2016·益阳)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则CD＝14－x.
由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，
故152－x2＝132－(14－x)2，
解得x＝9.
∴AD＝＝＝12.
∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84.
03 综合题
18．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.你能发现什么规律，根据你发现的规律，请写出：
(1)当a＝19时，则b，c的值是多少？
(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．你能证明所发现的规律吗？
解：(1)当a＝19时，设b＝k，则c＝k＋1，观察有如下规律：192＋k2＝(k＋1)2.
解得k＝180.
故b＝180，c＝181.
(2)当a＝2n＋1时，设b＝k，则c＝k＋1，根据勾股定理a2＋b2＝c2得(2n＋1)2＋k2＝(k＋1)2，
解得k＝2n(n＋1)．
∴b＝2n(n＋1)，c＝2n(n＋1)＋1.
证明：∵a2＋b2＝(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，[2n(n＋1)＋1]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，
∴a2＋b2＝c2.
∴(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝[2n(n＋1)＋1]2.
第2课时 直角三角形全等的判定
01 基础题
知识点1 用HL判定直角三角形全等
1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则直接得到△PEA≌△PFA的理由是(A)
A．HL B．ASA
C．AAS D．SAS
2．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是(A)
A．AB＝AC B．∠BAC＝90°
C．BD＝AC D．∠B＝45°
3．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝(B)
A．40° B．50°
C．60° D．75°
4．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.若BD＝3，CE＝5，则DE＝8．
5．如图所示，AD⊥BE于点C，C是BE的中点，AB＝DE，求证：AB∥DE.
证明：∵AD⊥BE，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°.
∵C是BE的中点，
∴BC＝EC.
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)．
∴∠A＝∠D.
∴AB∥DE.
知识点2 用其他方法证明直角三角形全等
6．(2017·平顶山市宝丰县期中)下列条件不能判断两个直角三角形全等的是(C)
A．两条直角边分别对应相等
B．斜边和一个锐角分别对应相等
C．两个锐角对应相等
D．斜边和一直角边分别对应相等
7．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件：答案不唯一，如：∠BAC＝∠ABD．(只需写出一种情况)
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，使DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.
证明：∵EF⊥AC，
∴∠F＋∠C＝90°.
∵∠A＋∠C＝90°，
∴∠A＝∠F.
又∵DB＝BC，∠FBD＝∠ABC，
∴△FBD≌△ABC(AAS)．
∴AB＝BF.
知识点3 HL在实际问题中的应用
9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于A，EB⊥AB于B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？
解：∵DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，
∴△ADC和△BEC为直角三角形．
∵点C是路段AB的中点，
∴AC＝BC.
∵小明和小红同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，
∴CD＝CE.
∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL)．
∴BE＝AD＝50米．
答：小红到路段AB的距离是50米．
02 中档题
10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是(A)
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有(D)
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
12．如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为点E，F.若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等．
14．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．
解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°.
∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.
由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°.
∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.
03 综合题
15．如图1，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于点M.
(1)求证：AE＝CF，MB＝MD；
(2)当E，F两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
解：(1)证明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．
∴AF＝CE.
∴AF－EF＝CE－EF，
即AE＝CF.
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEM＝∠BFM＝90°.
在△DEM和△BFM中，
∴△DEM≌△BFM(AAS)．
∴MD＝MB.
(2)AE＝CF，MB＝MD仍然成立．证明：
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．
∴AF＝CE.
∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.
在△DEM和△BFM中，
∴△DEM≌△BFM(AAS)．
∴MD＝MB.
周周练(1.1～1.2)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，则∠A的度数是(C)
A．70° B．55° C．50° D．40°
2．若△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，则必有(D)
A．∠A＝2∠B＝3∠C
B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A＝∠B＋∠C
D．∠A＋∠B＝∠C
3．下列命题的逆命题不正确的是(D)
A．若a2＝b2，则a＝b
B．两直线平行，内错角相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．对顶角相等
4．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是(D)
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
5．(2017·平顶山市宝丰县期中)若等边三角形的一条高为，其边长为(A)
A．2 B．1 C．3 D．4
6．(2017·陕西西北大学附属学校期中)如图，△ABC中，AC＝3，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(D)
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
7．(2017·西安期中)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有(D)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，在Rt△ABE中，∠B＝90°，延长BE到C，使EC＝AB，分别过点C，E作BC，AE的垂线，两线相交于点D，连接AD.若AB＝3，DC＝4，则AD的长是(C)
A．5 B．7 C．5 D．无法确定
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边(HL)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件答案不唯一，如：BC＝FE．
10．在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于60°”成立时，我们利用反证法，先假设三角形的三个内角都大于60°，则可推出三个内角之和大于180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
11．如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝3．
12．如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需7米．
13．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为4．
14．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(3，0)，B(8，0)，若点P在y轴上，且△PAB是等腰三角形，则点P的坐标为(0，4)或(0，－4)．
三、解答题(共44分)
15．(8分)(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O.
(1)求证：△ABC≌△DCB；
(2)△OBC是何种三角形？证明你的结论．
解：(1)证明：∵在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，
∴△ABC和△DCB都为直角三角形．
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)．
(2)△OBC是等腰三角形．
证明：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC.
∴OB＝OC.
∴△OBC是等腰三角形．
16．(10分)(2017·苏州)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．
解：(1)证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE.
∵∠A＝∠B，
∴∠BEO＝∠2.
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO.
∴∠1＋∠AED＝∠BEO＋∠AED，即∠AEC＝∠BED.
在△AEC和△BED中，
∴△AEC≌△BED(ASA)．
(2)∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝42°，
∴∠C＝∠EDC＝69°.
∴∠BDE＝∠C＝69°.
17．(12分)如图，已知A，B，C，D四个城镇(除B，C外)都有笔直的公路相接，公共汽车行驶于城镇之间，公共汽车票价与路程成正比，已知各城镇间公共汽车票价如下：
为了B，C间的交通方便，打算在B，C之间建一条笔直公路，请按上述标准预算出B，C之间的公共汽车票价．
解：AD为16，AB为20，BD为12，∵122＋162＝202，
∴∠ADB＝90°.
∵AC＝25，AD＝16，CD＝9，即AC＝AD＋DC，
∴A，D，C三个点在一条直线上，可知∠BDC＝90°.
又∵BD＝12，DC＝9，
∴BC＝＝15.
故B，C之间的公共汽车票价为15元．
18．(14分)如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
(1)求证：△ODE是等边三角形；
(2)线段BD，DE，EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程；
(3)数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题．(只要提出问题，不需要解答)
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，
∠OED＝∠ACB＝60°.
∴△ODE是等边三角形．
(2)BD＝DE＝EC.
理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝∠OBD＝30°.
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠ABO＝30°.
∴∠OBD＝∠BOD.
∴DB＝DO.
同理，EC＝EO.
由(1)知，△ODE是等边三角形，
∴DE＝OD＝OE.
∴BD＝DE＝EC.
(3)答案不唯一，如：①连接AO，并延长交BC于点F，求证：△ABF是直角三角形；
②若等边△ABC的边长为1，求BC边上的高．
1.3 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
01 基础题
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为(D)
A．6 cm B．5 cm
C．4 cm D．3 cm
2．如图，AB是CD的垂直平分线，若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是(B)
A．3.9 cm B．7.8 cm
C．4 cm D．4.6 cm
3．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(C)
A．AB＝AD B．AC平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
4．(2017·西安期中)如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝(B)
A．50° B．100°
C．120° D．130°
5．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3，则CE的长为6．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.
证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB.
∴∠EAB＝∠B.
∵∠C＝90°，
∴∠CAB＋∠B＝90°.
又∵∠AED＋∠EAB＝90°，
∴∠CAB＝∠AED.
知识点2 线段的垂直平分线的判定
7．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(A)
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ACB
8．如图，D是△ABC的边BC的延长线上一点，且BD＝BC＋AC，则点C在线段AD的垂直平分线上．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D在AB的垂直平分线上．
证明：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°－30°＝60°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°.
∴∠A＝∠ABD.
∴DA＝DB.
∴点D在AB的垂直平分线上．
02 中档题
10．平面直角坐标系中，已知A(－1，3)，B(－1，－1)．下列四个点中，在线段AB的垂直平分线上的点是(B)
A．(0，2) B．(－3，1)
C．(1，2) D．(1，0)
11．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE是线段AB的垂直平分线；③若EA＝EB，则直线EP是线段AB的垂直平分线；④若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．其中正确的有(C)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，与AC，BC分别交于点D，E，连接AE，则：
(1)∠ADE＝90°；
(2)AE＝EC；(填“＝”“＞”或“＜”)
(3)当AB＝3，AC＝5时，△ABE的周长＝7．
13．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC.若∠AOC＝125°，则∠ABC＝70°．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝30°．
15．(2017·朝阳市建平县期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．
证明：∵E是BD的垂直平分线上的一点，
∴EB＝ED.
∴∠B＝∠D.
又∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D.
∵∠B＝∠D，
∴∠CFD＝∠A.
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠AFE＝∠A.
∴EF＝EA.
∴点E在AF的垂直平分线上．
03 综合题
17．(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交直线BC于点M，∠A＝40°，求∠NMB的大小；
(2)如果将(1)中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；
(3)你发现了什么样的规律？试证明；
(4)将(1)中的∠A改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改．
解：(1)∵∠B＝(180°－∠A)＝70°，
∴∠NMB＝90°－∠B＝20°.
(2)同理得∠NMB＝35°.
(3)发现的规律是∠NMB＝∠A.
证明：设∠A＝α，则有∠B＝(180°－α)．
∴∠NMB＝90°－∠B＝90°－(180°－α)＝α
＝∠A.
(4)∠A改为钝角后，∠NMB＝∠A这个规律仍成立．上述规律为：等腰三角形一腰上的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半．
第2课时 三角形三边的垂直平分线
01 基础题
知识点1 三角形三边的垂直平分线的性质
1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定(D)
A．是边AB的中点 B．在边AB的中线上
C．在边AB的高上 D．在边AB的垂直平分线上
2．(2017·郑州期末)在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形(C)
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
3．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是(B)
A．20° B．40° C．50° D．60°
4．△ABC中，AB，AC的垂直平分线相交于点P，那么P点必定在BC的垂直平分线上，且PA＝PB＝PC．
5．如图，O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为5 cm，则AO＋BO＋CO＝15_cm．
6．如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，BC＝6 cm，请计算出∠DAE的度数和△ADE的周长．
解：∵AB和AC的垂直平分线交BC于点D，E，
∴BD＝AD，CE＝AE.
∴∠DAB＝∠B＝32°，∠EAC＝∠C＝48°.
∴∠ADE＝∠B＋∠DAB＝64°，
∠AED＝∠C＋∠EAC＝96°.
∴∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝20°，
△ADE的周长为AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6 cm.
知识点2 作图
7．在同一平面内，过直线上一点作已知直线的垂线，能作(A)
A．1条 B．2条
C．3条 D．无数条
8．下列作图语句正确的是(D)
A．过点P作线段AB的中垂线
B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝AC
C．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥b
D．过点P作直线AB的垂线
9．如图，已知线段a，h，作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法是：①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；③在直线MN上截取线段h；④连接AB，AC，则△ABC为所求的等腰三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是(C)
A．① B．② C．③ D．④
10．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇A村，B村，C村所属的村委会所在地的距离都相等(A，B，C不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
解：已知：A，B，C三点不在同一直线上．
求作：作一点P，使PA＝PB＝PC.
如图所示，点P即为所求的点．
02 中档题
11．在平面内，到三点A，B，C距离相等的点(D)
A．只有一个 B．有两个 C．有三个或三个以上 D．有一个或没有
12．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则(B)
A．点P在三角形内
B．点P在三角形外
C．点P在三角形底边上
D．点P的位置与三角形的边长有关
13．(2017·西安期中)如图，已知点O为△ABC三边垂直平分线的交点，∠BAC＝80°，则∠BOC＝160°.
14．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝76°，EF，MN分别是AB，AC的垂直平分线，点E，M在BC上，则∠EAM＝28°．
15．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案③．
16．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保留作图痕迹)．
解：作法：(1)作线段AD＝a；
(2)过点D作直线MN⊥AD于点D；
(3)以点A为圆心，b为半径画弧，交MN于B，C两点，连接AB，AC，△ABC即为所求，如图所示．
17．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.
(1)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；
(2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
解：(1)∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN.
∴△CMN的周长＝CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.
∵△CMN的周长为15 cm，
∴AB＝15 cm.
(2)∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD＋∠BNE＝∠MNF＋∠NMF＝110°.
∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE
＝180°－110°＝70°.
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.
∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)
＝180°－2×70°＝40°.
03 综合题
18．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为(B)
A．130° B．120° C．110° D．100°
提示：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于点M，交CD于点N，则A′A″的长度即为△AMN周长的最小值．
1．4 角平分线
第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理
01 基础题
知识点1 角平分线的性质
1．(2017·台州)如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OA的距离是(A)
A．2 B．3 C. D．4
2．下列各图中，OP是∠MON的平分线，点E，F，G分别在射线OM，ON，OP上，则可以解释定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是(D)
3．(2016·怀化)如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(B)
A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP
C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
4．如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.若OD＝8，OP＝10，则PE的长为(B)
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
6．(2017·西安期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AD＝5，AC＝4，则D点到AB的距离是3．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.
(1)求DE的长；
(2)求△ADB的面积．
解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC⊥CD.
又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DE＝CD.
又∵CD＝3，
∴DE＝3.
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10.
∴S△ADB＝AB·DE＝×10×3＝15.
(或S△ADB＝BD·AC＝×(8－3)×6＝15.)
知识点2 角平分线的判定
8．如图，DA⊥AC，DE⊥BC，若AD＝5 cm，DE＝5 cm，∠ACD＝30°，则∠DCE为(A)
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF.求证：
(1)PE＝PF；
(2)点P在∠BAC的平分线上．
证明：(1)连接AP.
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°.
又∵AE＝AF，AP＝AP，
∴Rt△AEP≌Rt△AFP(HL)．
∴PE＝PF.
(2)∵PE＝PF，且PE⊥AB，PF⊥AC，
∴点P在∠BAC的平分线上．
02 中档题
10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A)
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D.如果∠A＝30°，AE＝6 cm，那么CE等于(C)
A. cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
12．(2017·朝阳市建平县期末)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，对于结论：①DE＝DF；②BD＝CD；③AD上任一点到AB，AC的距离相等；④AD上任一点到B，C的距离相等．其中正确的是(D)
A．仅①② B．仅③④
C．仅①②③ D．①②③④
13．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，P是∠AOB的平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB交OA于点C.若∠AOB＝30°，PD＝2 cm，则PC＝4cm.
14．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.
(1)求证：AM⊥DM；
(2)若BC＝8，求点M到AD的距离．
解：(1)证明：∵AM平分∠BAD，OM平分∠ADC，
∴∠MAD＝∠BAD，∠ADM＝∠ADC.
∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°.
∴∠MAD＋∠ADM＝(∠BAD＋∠ADC)＝90°.
又∵∠AMD＋∠MAD＋∠ADM＝180°，
∴∠AMD＝90°.
∴AM⊥DM.
(2)过M作MN⊥AD于点N.
∵AB∥CD，∠B＝90°，
∴∠C＝90°.
即BM⊥AB，MC⊥DC.
又∵AM，DM分别平分∠BAD，∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝MC.
∴MN＝BC＝4.
∴M到AD的距离为4.
15．已知：如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
解：(1)证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
又∵∠EOB＝∠DOC，
∴∠ABD＝∠ACE.
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
∴∠ABC＝∠ACB.
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形．
(2)点O在∠BAC的平分线上．
理由：∵∠BOE＝∠COD，∠BOE＋∠EBO＝90°，
∠COD＋∠DCO＝90°，
∴∠EBO＝∠DCO.
又∵∠BEO＝∠CDO＝90°，OB＝OC，
∴△BOE≌△COD(AAS)．
∴OE＝OD.
又∵OD⊥AC，OE⊥AB，
∴点O在∠BAC的平分线上．
03 综合题
16．(2017·西安交大二附中期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝，若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC的最小值是．
第2课时 三角形三个内角的平分线
01 基础题
知识点 三角形的角平分线的性质
1．(2017·西安交大二附中期中)与三角形三边距离相等的点，是这个三角形的(B)
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三边的垂直平分线的交点
2．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(C)
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3
C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
3．(2017·郑州月考)如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(C)
A．△ABC三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
4．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC＝120°，则∠A为60°.
02 中档题
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于点F，则下列说法错误的是(D)
A．BF＝CF B．点F到∠BAC两边的距离相等
C．CE＝BD D．点F到点A，B，C三点的距离相等
6．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，直线l，l′，l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
7．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，求证：∠BPC＝90°＋∠BAC.
证明：∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，
∴点P是△ABC三个内角平分线的交点．
∴CP平分∠ACB，BP平分∠ABC.
∴∠PCB＝∠ACB，∠PBC＝∠ABC.
∴∠BPC＝180°－∠PCB－∠PBC
＝180°－∠ACB－∠ABC
＝180°－(∠ACB＋∠ABC)
＝180°－(180°－∠BAC)
＝90°＋∠BAC.
03 综合题
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；
(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
解：(1)证明：过点O作OM⊥AB于点M.
∵四边形OECF为正方形，
∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴OE＝OM.
∴OM＝OF.
∴AO平分∠BAC，即点O在∠BAC的平分线上．
(2)∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝13.
易证：BE＝BM，AM＝AF.
∵BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，且CE＝CF＝OE，
∴BE＝12－OE，AF＝5－OE.
∵BM＋AM＝AB，即BE＋AF＝13，
∴12－OE＋5－OE＝13.解得OE＝2.
章末复习(一) 三角形的证明
01 基础题
知识点1 三角形全等
1．如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点．如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于(A)
A．4 B．6
C．5 D．无法确定
2．(2017·黔东南)如图，点B，F，C，E在一条直线上，已知FB＝CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件∠A＝∠D(答案不唯一)，使得△ABC≌△DEF.
知识点2 等腰三角形
3．(2016·赤峰)等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是(B)
A．30°，60° B．45°，45°
C．45°，90° D．20°，70°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为55°．
5．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则DC＝1．
知识点3 直角三角形
6．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C＝55°，则∠ABC的度数是(D)
A．35° B．55° C．60° D．70°
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为(D)
A.－1 B.＋1
C.－1 D.＋1
8．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“HL”．
知识点4 线段的垂直平分线和角平分线
9．(2017·西安期中)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是(A)
A．7 B．8 C．9 D．10
10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝2，则△ABD的面积为8．
11．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，EF垂直平分BD.求证：∠ABD＝∠BDF.
证明：∵EF垂直平分BD，
∴FB＝FD.
∴∠FBD＝∠BDF.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠FBD.
∴∠ABD＝∠BDF.
02 中档题
12．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是(A)
A．∠A B．∠B
C．∠C D．∠B或∠C
13．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B)
A．CD，EF，GH B．AB，EF，GH
C．AB，CD，EF D．AB，CD，GH
14．(2016·枣庄)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为(A)
A．15° B．17.5°
C．20° D．22.5°
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD的长为正整数，则点D的个数共有(C)
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
16．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠CBD＝30°，∠BCD＝45°.若AB＝2，则四边形ABCD的面积为6＋2．
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：
(1)FC＝AD；
(2)AB＝BC＋AD.
证明：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE.
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE.
又∵∠AED＝∠FEC，
∴△ADE≌△FCE(ASA)．
∴FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE，AD＝FC.
又∵BE⊥AE，
∴BE是线段AF的垂直平分线．
∴AB＝BF＝BC＋FC.
∵AD＝FC，
∴AB＝BC＋AD.
03 综合题
18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若DC＝4，∠DAC＝30°，求AD的长．
解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∵BD＝CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．
∴∠B＝∠C.
∴AB＝AC.
(2)∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC.
在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，
∴AC＝2DC＝8，
AD＝＝＝4.
北师大版八年级下册数学 第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 同步课时练习题
2．1 不等关系
01 基础题
知识点1 不等式的意义
1．(2017·太原期中)学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x＋30y≥500”表示的实际意义是(A)
A．两种客车总的载客量不少于500人
B．两种客车总的载客量不超过500人
C．两种客车总的载客量不足500人
D．两种客车总的载客量恰好等于500人
2．有下列数学表达式：①3<0；②4x＋5>0；③x＝3；④x2＋x；⑤x≠－4；⑥x＋2>x＋1.其中是不等式的有4个．
知识点2 列不等式
3．某电梯标明“载客不超过13人”，若载客人数为x，x为自然数，则“载客不超过13人”用不等式表示为(C)
A．x＜13 B．x＞13
C．x≤13 D．x≥13
4．如图为一隧道入口处的指示标志牌，图1表示汽车的高度不能超过3.5 m，由此可知图2表示汽车的宽度l(m)应满足的关系为l≤3．
限制高度 限制宽度
图1 图2
5．用适当符号表示下列关系：
(1)x的绝对值是非负数；
解：|x|≥0.
(2)a的3倍与b的的和不大于3；
解：3a＋b≤3.
(3)x与17的和比它的5倍小．
解：x＋17<5x.
02 中档题
6．小新买了一罐八宝粥，看到外包装标明：净含量为330±10 g，那么这罐八宝粥的净含量x的范围是(D)
A．320＜x＜340 B．320≤x＜340
C．320＜x≤340 D．320≤x≤340
7．下列叙述：①a是非负数，则a≥0；②“a2减去10不大于2”可表示为a2－10＜2；③“x的倒数超过10”可表示为＞10；④“a，b两数的平方和为正数”可表示为a2＋b2＞0.其中正确的个数是(C)
A．1 B．2
C．3 D．4
8．在数轴上，点A表示2，点B表示－0.6，点C在线段AB上，点C表示的数为a，则用不等关系表示为－0.6≤a≤2．
9．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90分，设她答对了n道题，则根据题意可列不等式为10n－5(20－n)＞90．
03 综合题
10．请设计不同的实际背景来表示下列不等式：
(1)x>y；(2)2.0≤x≤2.6；(3)3a＋4b≤560.
解：答案不唯一，如：
(1)八年级(1)班的男生比女生多，其中男生x人，女生y人．
(2)某班级男生立定跳远成绩x在2.0米到2.6米之间．
(3)3条长裤和4件上衣的总价不超过560元，其中长裤单价a元，上衣单价b元．
2.2 不等式的基本性质
01 基础题
知识点1 不等式的基本性质
1．若a
2．(2017·成都期末)若x>y，则下列式子中错误的是(D)
A．x－3>y－3 B.>
C．x＋3>y＋3 D．－3x>－3y
3．(2017·株洲)已知实数a，b满足a＋1＞b＋1，则下列选项错误的为(D)
A．a＞b B．a＋2＞b＋2
C．－a＜－b D．2a＞3b
4．下列说法不一定成立的是(C)
A．若a＞b，则a＋c＞b＋c
B．若a＋c＞b＋c，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2
D．若ac2＞bc2，则a＞b
5．由不等式a＞b得到am＜bm的条件是m＜0.
6．已知m＜n，下列关于m，n的命题：①6m＞6n；②－3m＜－3n；③m－5＜n－5；④2m＋5＞2n＋5.其中正确命题的序号是③．
7．小燕子竟然推导出了0＞5的错误结论．请你仔细阅读她的推导过程，指出问题到底出在哪里．
已知x＞y，
两边都乘5，得5x＞5y.①
两边都减去5x，得0＞5y－5x.②
即0＞5(y－x)．③
两边都除以(y－x)，得0＞5.④
解：错在第④步．
∵x＞y，∴y－x＜0.
不等式两边同时除以负数(y－x)，不等号应改变方向才能成立．
知识点2 将不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式
8．(2017·太原期中)下列不等式的变形过程中，正确的是(D)
A．不等式－2x＞4的两边同时除以－2，得x＞2
B．不等式1－x＞3的两边同时减去1，得x＞2
C．不等式4x－2＜3－x移项，得4x＋x＜3－2
D．不等式＜1－去分母，得2x＜6－3x
9．将下列不等式化成“x>a”或“x
解：x<6. 解：x>－2.
(3)x>－3; (4)－5x<－2.
解：x>－6. 解：x>.
02 中档题
10．若点P(x－2，y－2)在第二象限，则x与y的关系正确的是(D)
A．x≥y B．x＞y
C．x≤y D．x＜y
11．设“▲”“●”“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲，●，■这三种物体按质量从大到小排列应为(C)
A．■●▲ B．▲■●
C．■▲● D．●▲■
12．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是(B)
A．a－c＞b－c B．a＋c＜b＋c
C．ac＞bc D.＜
13．已知x－y＝3，若y＜1，则x的取值范围是x＜4．
14．下列变形是怎样得到的？
(1)由x＞y，得x－3＞y－3；
解：两边都除以2，得x＞y.
两边都减去3，得x－3＞y－3.
(2)由x＞y，得(x－3)＞(y－3)；
解：两边都减去3，得x－3＞y－3.
两边都除以2，得(x－3)＞(y－3)．
(3)由x＞y，得2(3－x)＜2(3－y)．
解：两边都除以－1，得－x＜－y.
两边都加上3，得3－x＜3－y.
两边都乘2，得2(3－x)＜2(3－y)．
15．阅读下面的解题过程，再解题．
已知a＞b，试比较－2 018a＋1与－2 018b＋1的大小．
解：因为a＞b，①
所以－2 018a＞－2 018b.②
故－2 018a＋1＞－2 018b＋1.③
问：(1)上述解题过程中，从第②步开始出现错误；
(2)错误的原因是什么？
(3)请写出正确的解题过程．
解：(2)错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变．
(3)因为a＞b，
所以－2 018a＜－2 018b.
故－2 018a＋1＜－2 018b＋1.
03 综合题
16．比较大小：
(1)如果a－1>b＋2，那么a>b；
(2)试比较2a与3a的大小：
①当a>0时，2a<3a；
②当a＝0时，2a＝3a；
③当a<0时，2a>3a；
(3)试比较a＋b与a的大小；
(4)试判断x2－3x＋1与－3x＋1的大小．
解：(3)当b>0时，a＋b>a；
当b＝0时，a＋b＝a；
当b<0时，a＋b
∴x2－3x＋1≥－3x＋1.
2.3 不等式的解集
01 基础题
知识点1 不等式的解和解集
1．下列数值中不是不等式5x≥2x＋9的解的是(D)
A．5 B．4 C．3 D．2
2．下列说法中，错误的是(C)
A．不等式x＜2的正整数解只有一个
B．－2是不等式2x－1＜0的一个解
C．不等式－3x＞9的解集是x＞－3
D．不等式x＜10的整数解有无数个
3．(2016·安徽)不等式x－2≥1的解集是x≥3．
知识点2 用数轴表示不等式的解集
4．用不等式表示如图所示的解集，其中正确的是(C)
A．x＞－2 B．x＜－2
C．x≥－2 D．x≤－2
5．在数轴上表示不等式x－1＜0的解集，正确的是(B)
6．将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
(1)x≤2；
解：如图所示：
(2)x>－2.
解：如图所示：
02 中档题
7．(2017·太原期末)若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是(D)
8．如果关于x的不等式ax＋4＜0的解集在数轴上表示如图，那么(C)
A．a＞0 B．a＜0
C．a＝－2 D．a＝2
9．(2017·西安期中)若关于x的不等式(a＋1)x＞a＋1的解集为x＞1，则a的取值范围是a＞－1．
10．不等式2x≥－9有多少个负整数解？请全部写出来．
解：由题意，得x≥－，
所以不等式有4个负整数解：－1，－2，－3，－4.
03 综合题
11．小华在解不等式x＞2x－1时，发现所有的负数都满足不等式，于是他有理有据地说：“如果x<0，那么x>2x，而2x>2x－1，所以x>2x－1成立．”小华得到了这样的结论：x>2x－1的解集是x<0.小华说得对吗？说说你的观点．
解：小华前面说明负数是不等式x＞2x－1的解是对的，但结论不对．因为解集包含所有的解，如x＝是不等式x＞2x－1的解，但＞0，所以x<0不是x>2x－1的解集．
2.4 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的解法
01 基础题
知识点1 一元一次不等式的概念
1．(2017·西安月考)下列不等式中是一元一次不等式的是(D)
A.x－y＜1 B．x2＋5x－1≥0
C．x＋y2＞3 D．2x＜4－3x
2．若x2m－1－8＞5是关于x的一元一次不等式，则m的值为(B)
A．0 B．1 C．2 D．3
3．写出一个解集为x＞1的一元一次不等式：答案不唯一，如x＋2＞3．
知识点2 一元一次不等式的解法
4．不等式2x－6＞0的解集是(C)
A．x＞1 B．x＜－3
C．x＞3 D．x＜3
5．(2017·眉山)不等式－2x＞的解集是(A)
A．x＜－ B．x＜－1
C．x＞－ D．x＞－1
6．不等式3x≤2(x－1)的解集为(C)
A．x≤－1 B．x≥－1
C．x≤－2 D．x≥－2
7．下列不等式>的变形过程：①去分母，得5(2＋x)>3(2x－1)；②去括号，得10＋5x>6x－3；③移项，得5x－6x>－3－10；④系数化为1，得x>13.其中错误的步骤是(D)
A．① B．② C．③ D．④
8．(2017·成都月考)不等式3x＋2＜2x＋3的解集在数轴上表示正确的是(D)
9．不等式＞1的解集是x＞5．
10．(2017·西安期末)不等式3x－1≤2(x＋2)的最大整数解是5．
11．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来．
(1)2(x＋3)－4>0；
解：去括号，得2x＋6－4＞0.
合并同类项，得2x＋2＞0.
移项，得2x＞－2.
系数化为1，得x＞－1.
这个不等式的解集在数轴上表示为：
(2)＜x－1.
解：去分母，得1＋x＜3x－3.
移项，得x－3x＜－3－1.
合并同类项，得－2x＜－4.
系数化为1，得x＞2.
将解集在数轴上表示为：
02 中档题
12．(2017·遵义)不等式6－4x≥3x－8的非负整数解为(B)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc，例如＝1×4－2×3＝－2.若＞0，则(A)
A．x＞1 B．x＜－1
C．x＞3 D．x＜－3
14．当k≥时，代数式(k－1)的值不小于代数式1－的值．
15．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
(1)2x－1＞；
解：去分母，得4x－2＞3x－1.
移项，得4x－3x＞2－1.
合并同类项，得x＞1.
将不等式的解集在数轴上表示为：
(2)x－1≤x－；
解：去分母，得3x－6≤4x－3.
移项，得3x－4x≤6－3.
合并同类项，得－x≤3.
系数化为1，得x≥－3.
这个不等式的解集在数轴上表示为：
(3)≤－1.
解：去分母，得4(2x－1)≤3(3x＋2)－12.
去括号，得8x－4≤9x＋6－12.
移项，得8x－9x≤4＋6－12.
合并同类项，得－x≤－2.
系数化为1，得x≥2.
解集在数轴上表示为：
16．(1)解不等式：5(x－2)＋8<6(x－1)＋7；
(2)若(1)中的不等式的最小整数解是方程2x－ax＝3的解，求a的值．
解：(1)去括号，得5x－10＋8<6x－6＋7.
移项、合并同类项，得－x<3.
系数化为1，得x>－3.
(2)由(1)得，最小整数解为x＝－2，
由题意，得2×(－2)－a×(－2)＝3，
解得a＝.
03 综合题
17．请你与小明、小华一起研究：小明在学习时，遇到以下两题，被难住了，于是就和小华一起研究起来．
(1)不等式a(x－1)>x＋1－2a的解集是x<－1，请确定a的值；
(2)如果不等式4x－3a>－1与不等式2(x－1)＋3>5的解集相同，请确定a的值．
解：(1)不等式a(x－1)>x＋1－2a可变形为(a－1)x>1－a.
∵原不等式的解集为x<－1，
∴a－1<0，即a<1.
(2)解不等式2(x－1)＋3>5，得x>2.
解不等式4x－3a>－1，得x>.
∵两个不等式的解集相同，
∴＝2.
解得a＝3.
第2课时 一元一次不等式的应用
01 基础题
知识点 一元一次不等式的应用
1．小明准备用节省的零花钱买一台随身音响，他已存有45元，计划从现在起以后每月节省30元，直到他至少有300元．设x月后他至少有300元，则符合题意的不等式是(B)
A．30x－45≥300 B．30x＋45≥300
C．30x－45≤300 D．30x＋45≤300
2．电脑公司销售一批计算机，第一个月以3 500元/台的价格售出40台，从第二个月起降价，以3 000元/台的价格将这批计算机全部售出，销售总额超过30万元，则这批计算机最少有多少台？若设这批计算机有x台，则下列不等式表示正确的是(C)
A．3 500×40＋3 000(x－40)＞30
B．3 500×40＋3 000(x－40)≥30
C．3 500×40＋3 000(x－40)＞300 000
D．3 500×40＋3 000(x－40)≥300 000
3．小美将某服饰店的促销活动内容告诉小明后，小明假设某一商品的定价为x元，并列出关系式为0.3(2x－100)＜1 000，则小美告诉小明的内容可能是(A)
A．买两件等值的商品可减100元，再打3折，最后不到1 000元
B．买两件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1 000元
C．买两件等值的商品可打3折，再减100元，最后不到1 000元
D．买两件等值的商品可打7折，再减100元，最后不到1 000元
4．某品牌自行车进价是每辆800元，标价是每辆1 200元，店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润不低于5%，则最多可打几折(C)
A．5 B．6
C．7 D．8
5．(2017·西安期中)小颖准备用21元钱买笔和笔记本，已知每支笔3元，每个笔记本2元，她买了4个笔记本，则她最多还可以买________支笔(D)
A．1 B．2 C．3 D．4
6．有10名菜农，每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩可收入0.5万元，辣椒每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排4人种茄子．
7．(2017·台州)商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为10元/千克．
8．某校八年级社会实践小组开展课外活动，调查快餐营养情况，他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图)．若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，这份快餐最多含有多少克的蛋白质？
解：设这份快餐含有x克的蛋白质．根据题意，得
x＋4x≤400×70%.
解得x≤56.
答：这份快餐最多含有56克的蛋白质．
02 中档题
9．某矿泉水每瓶售价1.5元，现甲、乙两家商场给出优惠政策：甲商场全部9折，乙商场20瓶以上的部分8折．老师要小明去买一些矿泉水，小明想了想觉得到乙商场购买比较优惠．则小明需要购买的矿泉水的数量x的取值范围是(B)
A．x＞20 B．x＞40
C．x≥40 D．x＜40
10．(2017·齐齐哈尔)为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3 000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买(A)
A．16个 B．17个
C．33个 D ．34个
11．(2017·沈阳)小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？
解：设小明答对了x题，根据题意，得
(25－x)×(－2)＋6x＞90，
解得x＞17.
∵x为非负整数，
∴x最小为18.
答：小明至少答对18道题才能获得奖品．
12．(2017·贵港)某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．
(1)已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
(2)如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
解：(1)设甲队胜了x场，则负了(10－x)场，根据题意，得
2x＋10－x＝18，
解得x＝8.
则10－x＝2.
答：甲队胜了8场，负了2场．
(2)设乙队在初赛阶段胜a场，根据题意，得
2a＋(10－a)＞15，
解得a＞5.
答：乙队在初赛阶段至少要胜6场．
13．某工程队现有大量的沙石需要运输，工程队下属车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石．
(1)求该车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？
(2)随着工程的进展，车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．
解：(1)设该车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有x辆、y辆，根据题意，得
解得
答：该车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆．
(2)设载重量为8吨的卡车增加了z辆，依题意，得
8(5＋z)＋10(7＋6－z)＞165，
解得z＜.
∵z≥0且为整数，
∴z＝0，1，2.
∴车队共有3种购车方案：
①载重量为8吨的卡车不购买，10吨的卡车购买6辆；
②载重量为8吨的卡车购买1辆，10吨的卡车购买5辆；
③载重量为8吨的卡车购买2辆，10吨的卡车购买4辆．
03 综合题
14．现有一批设备需由景德镇运往相距300千米的南昌，甲、乙两车分别以80千米/时和60千米/时的速度同时出发，甲车在距南昌130千米的A处发现有部分设备丢在B处，立即以原速返回到B处取回设备，为了还能比乙车提前到达南昌，开始加速以100千米/时的速度向南昌前进，设AB的距离为a千米．
(1)写出甲车将设备从景德镇运到南昌所经过的路程(用含a的代数式表示)；
(2)若甲车还能比乙车提前到达南昌，则a应小于多少？(不考虑其他因素)
解：(1)300－130＋a＋a＋130＝300＋2a(千米)．
(2)由题意，得
＋＜.
解得a＜70.
答：a应小于70.
周周练(2.1～2.4)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．下列不等式中，是一元一次不等式的是(C)
A．5＋4＞8 B．2x－1
C．2x≤5 D.－3x≥0
2．(2017·平顶山月考)若m＞n，下列不等式不一定成立的是(D)
A．m＋2＞n＋2 B．2m＞2n
C.＞ D．m2＞n2
3．有一道这样的题：“由★x>1得到x<”，则题中★表示的是(D)
A．非正数 B．正数
C．非负数 D．负数
4．(2017·西安期中)不等式5x－1>2x＋5的解集在数轴上表示正确的是(A)
5．(2017·大庆)若实数3是不等式2x－a－2＜0的一个解，则a可取的正整数为(D)
A．2 B．3
C．4 D．5
6．小明身高1.5米，小明爸爸身高1.8米，小明走上一处每级高a米、共10级的平台说：“爸爸，现在两个你的身高都比不上我了！”由此可得关于a的不等式是(C)
A．10a＞1.8×2
B．1.5＋a＋10＞1.8×2
C．10a＋1.5＞1.8×2
D．1.8×2＞10a＋15
7．(2016·遵义)三个连续正整数的和小于39，这样的正整数中，最大一组的和是(B)
A．39 B．36 C．35 D．34
8．已知A地在B地的西方，且有一条以A，B两地为端点的东西向直线道路，其全长为400公里．今在此道路上距离A地12公里处设置第一个广告牌，之后每往东27公里就设置一个广告牌，如图所示．若某车从此道路上距离A地19公里处出发，往东直行320公里后才停止，则此车在停止前经过的最后一个广告牌距离A地多少公里？(C)
A．309 B．316 C．336 D．339
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．用不等号“＞，＜，≥，≤”填空：a2＋1＞0.
10．小明坐着爸爸新买的小车，在闹市区街道边发现一块标志牌(如图所示)，小明知道这表示车速不超过这个数字，请你用式子表示在该车道上车辆行驶速度v(km/h)的数值范围：v≤10．
11．(2017·海南)不等式2x＋1＞0的解集是x>－．
12．已知关于x的方程2x＋4＝m－x的解为负数，则m的取值范围是m<4．
13．某商场推出一种购物“金卡”，凭卡在该商场购物可按商品价格的八折优惠，但办理金卡时每张要收100元购卡费．设按标价累计购物金额为x(元)，当x>500时，办理金卡购物省钱．
14．定义一种新的运算：a※b＝2a＋b，已知关于x的不等式x※k≥1的解集在数轴上表示如图，则k＝3．
三、解答题(共52分)
15．(8分)(2017·绍兴)解不等式：4x＋5≤2(x＋1)．
解：去括号，得4x＋5≤2x＋2.
移项，得4x－2x≤2－5.
合并同类项，得2x≤－3.
系数化为1，得x≤－.
16．(10分)解不等式：－1＞，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母，得x－6＞2(x－2)．
去括号，得x－6＞2x－4.
移项，得x－2x＞－4＋6.
合并同类项，得－x＞2.
系数化为1，得x＜－2.
解集在数轴上表示如图所示．
17．(10分)阅读对话后，完成下面的要求：
教师：王芳，你怎么哭了？
王芳：老师，李明把这道题后面的擦掉了．
教师：啊！是这么回事呀！如果我告诉你这道题的答案是x≥7，且后面擦掉的是一个常数，你能把这个常数补上吗？
王芳：…，我知道了，谢谢老师(笑)．
根据以上信息，你能否完成这个任务？试试看！
≥＋？
解：设擦去的常数是a，则
≥＋a.
整理，得x≥13＋6a.
∵这个不等式的解集是x≥7，
∴13＋6a＝7.
解得a＝－1.
故擦去的是－1.
18．(10分)(2017·邵阳)某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．
(1)求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
(2)由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．
解：(1)设每辆小客车的乘客座位数是x个，大客车的乘客座位数是y个，则
解得
答：每辆大客车的乘客座位数为35个，每辆小客车的乘客座位数为18个．
(2)设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则
18a＋35(11－a)≥300＋30，解得a≤3.
∴符合条件的a的最大整数为3.
答：租用小客车数量的最大值为3.
19．(14分)王老师所在的学校为加强学生的体育锻炼，需要购买若干个足球和篮球．他曾三次在某商场购买过足球和篮球，其中有一次购买时，遇到商场打折销售，其余两次均按标价购买．三次购买足球和篮球的数量和费用如下表：
足球数量(个)
篮球数量(个)
总费用(元)
第一次
6
5
700
第二次
3
7
710
第三次
7
8
693
(1)王老师是第三次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售的；
(2)求足球和篮球的标价；
(3)如果现在商场均以标价的6折对足球和篮球进行促销，王老师决定从该商场一次性购买足球和篮球60个，且总费用不能超过2 500元，那么最多可以购买多少个篮球？
解：(2)设足球的标价为x元，篮球的标价为y元．根据题意，得
解得
答：足球的标价为50元，篮球的标价为80元．
(3)设购买a个篮球，依题意，得
0．6×50(60－a)＋0.6×80a≤2 500，
解得a≤38.
答：最多可以买38个篮球．
2.5 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式与一次函数
01 基础题
知识点 一元一次不等式与一次函数
1．(2017·湘潭)一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解集是(B)
A．x≥2 B．x≤2
C．x≥4 D．x≤4
2．如图是一次函数y＝kx＋b的图象，当y＜2时，x的取值范围是(C)
A．x＜1 B．x＞1
C．x＜3 D．x＞3
3．如图，已知直线y1＝x＋b与y2＝kx－1相交于点P，点P的横坐标为－1，则关于x的不等式x＋b
A．x>－1
B．x≥－1
C．x<－1
D．x≤－1
02 中档题
4．已知一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0)，x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式kx＋b<0的解集是(D)
x
－2
－1
0
1
2
3
y
3
2
1
0
－1
－2
A.x<0 B．x>0 C．x<1 D．x>1
5．如图所示，函数y1＝|x|和y2＝x＋的图象相交于(－1，1)，(2，2)两点．当y1>y2时，x的取值范围是(D)
A．x＜－1 B．－1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜－1或x＞2
6．(2017·平顶山期中)画出函数y＝－x＋3的图象，根据图象回答下列问题：
(1)求方程－x＋3＝0的解；
(2)求不等式－x＋3＜0的解集；
(3)当x取何值时，y≥0.
解：如图．
(1)观察图象可知，方程－x＋3＝0的解为x＝2.
(2)观察图象可知，不等式－x＋3＜0的解集为x＞2.
(3)当x≤2时，y≥0.
7．赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲、乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点A驶向终点B，在整个行程中，龙舟离开起点的距离y(米)与时间x(分钟)的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？
(2)分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式；
(3)何时乙龙舟队划到甲龙舟队前面？
解：(1)由图可得，甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点．
(2)设甲龙舟队的y与x函数关系式为y＝kx，
把(25，3 000)代入，可得3 000＝25k，
解得k＝120.
∴甲龙舟队的y与x函数关系式为y＝120x(0≤x≤25)．
设乙龙舟队的y与x函数关系式为y＝ax＋b，
把(5，0)，(20，3 000)代入，可得
解得
∴乙龙舟队的y与x函数关系式为y＝200x－1 000(5≤x≤20)．
(3)由题意得200x－1 000＞120x，解得x＞12.5.
故12.5分后乙龙舟队划到甲龙舟队前面．
第2课时 一元一次不等式与一次函数的应用
01 基础题
知识点 一元一次不等式与一次函数的实际应用
1．已知甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体x(kg)之间的函数表达式分别是y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，其图象如图所示，当所挂物体质量均为2 kg时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为(A)
A．y1＞y2 B．y1＝y2
C．y1＜y2 D．不能确定
2．暑假期间，李老师计划带领该校若干名“三好学生”到北京旅游，他联系了报价均为240元的甲、乙两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师买一张全票，学生可享受半价优惠；乙旅行社的优惠条件是：老师、学生都按六折优惠．设李老师带领x名“三好学生”去旅游，甲旅行社的收费为y1元，乙旅行社的收费为y2元．
(1)y1＝120x＋240；y2＝144x＋144；
(2)当学生人数多于4人时，选择甲旅行社更划算；
(3)当学生人数少于4人时，选择乙旅行社更划算．
02 中档题
3．(2017·衡阳)为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y(元)与骑行时间x(时)之间的函数关系，根据图象回答下列问题：
(1)求手机支付金额y(元)与骑行时间x(时)的函数关系式；
(2)李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算．
解：(1)当0≤x＜0.5时，y＝0；
当x≥0.5时，设手机支付金额y(元)与骑行时间x(时)的函数关系式是y＝kx＋b，则
解得
即当x≥0.5时， y＝x－0.5.
∴手机支付金额y(元)与骑行时间x(时)的函数关系式是y＝
(2)设会员卡支付对应的函数关系式为y＝ax，
则0.75＝a×1，得a＝0.75，
即会员卡支付对应的函数关系式为y＝0.75x.
令0.75x＝x－0.5，解得x＝2.
由图象可知，
当0＜x＜2时，李老师选择手机支付比较合算；
当x＝2时，李老师选择两种支付一样；
当x＞2时，李老师选择会员卡支付比较合算．
03 综合题
4．某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折(按标价的90%)销售；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA(元)，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB(元)．请解答下列问题：
(1)分别写出yA和yB与x之间的关系式；
(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
(3)若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．
解：(1)yA＝27x＋270，yB＝30x＋240.
(2)当yA＝yB时，27x＋270＝30x＋240，解得x＝10；
当yA＞yB时，27x＋270＞30x＋240，解得x＜10；
当yA＜yB时，27x＋270＜30x＋240，解得x＞10.
∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算；
当x＝10时，两家超市都一样；
当x＞10时，到A超市购买划算．
(3)∵x＝15＞10，
∴①选择在A超市购买，yA＝27×15＋270＝675(元)；
②可先在B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，再在A超市购买剩下的羽毛球10×15－20＝130(个)，
则共需费用：10×30＋130×3×0.9＝651(元)．
∵651＜675，
∴最省钱的购买方案是：先在B超市购买10副羽毛球拍，再在A超市购买130个羽毛球．
小专题(二) 一元一次不等式的应用
类型1 一元一次不等式与方程(组)的应用
1．某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元.
(1)若公司可投入的购车款不超过55万元，求最多购买轿车多少辆？
(2)若购买的面包车多于购买轿车的2倍，求至少购买面包车多少辆？
解：(1)设购买轿车x辆，则购买面包车(10－x)辆，根据题意，得
7x＋4(10－x)≤55，
解得x≤5.
答：最多购买轿车5辆．
(2)设购买面包车y辆，则购买轿车(10－y)辆，根据题意，得
y＞2(10－y)，
解得y＞.
∵y为整数，
∴y≥7.
答：至少购买面包车7辆．
2．光伏发电惠民生，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月(按30天计)共发电550度．
(1)求这个月晴天的天数；
(2)已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本．(不计其他费用，结果取整数)
信息链接：根据国家相关规定，凡是屋顶光伏发电站生产的电，家庭用电后剩余部分可以0.45元/度卖给电力公司，同时可获得政府补贴0.52元/度．
解：(1)设这个月有x个晴天，由题意，得
30x＋5(30－x)＝550，
解得x＝16.
答：这个月有16个晴天．
(2)设需要y年才可以收回成本，由题意，得
(550－150)·(0.52＋0.45)·12y≥40 000，
解得y≥8.6.
∵y是整数，
∴至少需要9年才能收回成本．
3．(2017·铁岭)某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作2 h，乙机器人工作4 h，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作3 h，乙机器人工作2 h，一共可以分拣650件包裹．
(1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹；
(2)“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，要让甲、乙两机器人每天分拣包裹的总数量不低于2 250件，它们每天至少要一起工作多少小时？
解：(1)设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹，根据题意，得
解得
答：甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹．
(2)设它们每天要一起工作t小时，根据题意，得
(150＋100)t≥2 250，
解得t≥9.
答：它们每天至少要一起工作9小时．
4．(2017·怀化)为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．
(1)求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
(2)若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过1 480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
解：(1)设1副乒乓球拍和1副羽毛球拍的价格分别为x元和y元，根据题意，得
解得
答：购买1副乒乓球拍需28元，1副羽毛球拍需60元．
(2)设购买羽毛球拍的数量为z副，则购买乒乓球拍的数量为(30－z)副．根据题意，得
28(30－z)＋60z≤1 480.
解得z≤20.
答：最多能购买20副羽毛球拍．
类型2 一元一次不等式与一次函数的应用
5．(2017·大庆)某快递公司的每位“快递小哥”日收入与每日的派送量成一次函数关系，如图所示．
(1)求每位“快递小哥”的日收入y(元)与日派送量x(件)之间的函数关系式；
(2)已知某“快递小哥”的日收入不少于110元，则他至少要派送多少件？
解：(1)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，
将(0，70)，(30，100)代入，得
解得
∴所求函数表达式为y＝x＋70.
(2)根据题意，得x＋70≥110，
解得x≥40.
答：某“快递小哥”的日收入不少于110元，则他至少要派送40件．
6．(2017·连云港)某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完，直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤(不计损耗)．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤，设安排x名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓．
(1)若基地一天的总销售收入为y元，求y与x之间的函数表达式；
(2)试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值．
解：(1)根据题意，得y＝[70x－(20－x)×35]×40＋(20－x)×35×130＝－350x＋63 000.
即y与x之间的函数表达式为y＝－350x＋63 000.
(2)由题意，得70x≥35(20－x)，
解得x≥.
∵x为正整数，且x≤20，
∴7≤x≤20.
∵－350＜0，
∴y的值随x的值增大而减小．
∴当x＝7时，y取最大值，最大值为－350×7＋63 000＝60 550.
答：安排7名工人进行采摘，13名工人进行加工，才能使一天的收入最大，最大收入为60 550元．
7．(2017·西安期中)某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据下表提供的信息，解答下列问题：
物资种类
食品
药品
生活用品
每辆汽车运载量(吨)
6
5
4
每吨所需运费(元/吨)
120
160
100
(1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x的函数关系式；
(2)如果装运食品的车辆数不少于7辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？采用哪种安排方案使总运费最少，最少总运费为多少？
解：(1)由题意知装运生活用品的车辆数为(20－x－y)，
则有6x＋5y＋4(20－x－y)＝100，
整理得y＝－2x＋20.
(2)由题意得－2x＋20≥4，
解得x≤8，
又∵x≥7，且x为整数，
∴x的值为7，8.
∴安排方案有2种：
①装运食品7辆，药品6辆，生活用品7辆；
②装运食品8辆，药品4辆，生活用品8辆．
当x＝7时，总运费为7×6×120＋6×5×160＋7×4×100＝12 640(元)；
当x＝8时，总运费为8×6×120＋4×5×160＋8×4×100＝12 160(元)．
故选②，最少总运费为12 160元．
2.6 一元一次不等式组
第1课时 解较简单的一元一次不等式组
01 基础题
知识点1 一元一次不等式组及相关概念
1．下列各式中不是一元一次不等式组的是(B)
A. B.
C. D.
2．(2017·湘潭)不等式组的解集在数轴上表示为(B)
3．(2017·西安期中)如图，数轴上表示的是两个不等式的解集，由它们组成的不等式组的解集为(A)
A．－1
知识点2 解较简单的一元一次不等式组
4．(2017·长春)不等式组的解集为(C)
A．x<－2 B．x≤－1
C．x≤1 D．x<3
5．(2017·山西)将不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是(A)
6．(2017·河南)不等式组的解集是－1＜x≤2．
02 中档题
7．不等式组的整数解的个数为(B)
A．3个 B．5个 C．7个 D．无数个
8．(2017·黑龙江)不等式组的解集是x＞－1，则a的取值范围是a≤－．
9．(2017·天津)解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得x≥1；
(2)解不等式②，得x≤3；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为1≤x≤3．
10．(2017·河池)解不等式组：
解：解不等式①，得x＞0.5.
解不等式②，得x＜2.
∴不等式组的解集为0.5＜x＜2.
03 综合题
11．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式组则m的取值范围是什么？
解：在方程组中，
①＋②，得3x＋3y＝3＋m，∴x＋y＝.
①－②，得x－y＝－1＋3m，
∵
∴
解得0＜m＜3.
第2课时 解较复杂的一元一次不等式组
01 基础题
知识点 解较复杂的一元一次不等式组
1．(2017·德州)不等式组的解集是(B)
A．x≥－3 B．－3≤x＜4
C．－3≤x＜2 D．x＞4
2．不等式组的解集在数轴上可表示为(A)
3．不等式组的整数解是－1，0，1．
4．解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
(1)(2017·长沙)
解：解不等式①，得x≥－3.
解不等式②，得x＞2.
则不等式组的解集为x＞2.
解集表示在数轴上如图：
(2)(2017·黔东南)
解：解不等式①，得x≤1.
解不等式②，得x＞－7.
∴不等式组的解集为－7＜x≤1.
解集表示在数轴上如图：
02 中档题
5．(2016·滨州)对于不等式组下列说法正确的是(B)
A．此不等式组无解
B．此不等式组有7个整数解
C．此不等式组的负整数解是－3，－2，－1
D．此不等式组的解集是－＜x≤2
6．(2017·西安期中)不等式组的解集是x>4，那么m的取值范围是(A)
A．m≤4 B．m＜4
C．m≥4 D．m＞4
7．解不等式组并写出它的所有非负整数解．
解：解不等式①，得x≥－2.
解不等式②，得x<.
所以原不等式组的解集为－2≤x<.
所以它的非负整数解为0，1，2，3.
8．若不等式组的整数解是关于x的方程2x－4＝ax的根，求a的值．
解：解不等式组得－3
2×(－2)－4＝a·(－2)．
解得a＝4.
小专题(三) 一元一次不等式(组)的解法
类型1 解一元一次不等式
1．解不等式：5＋x≥3(x－1)．
解：去括号，得5＋x≥3x－3.
移项，得x－3x≥－3－5.
合并同类项，得－2x≥－8.
系数化为1，得x≤4.
2．(2017·镇江)解不等式：>1－.
解：去分母，得2x＞6－3(x－2)．
去括号，得2x＞6－3x＋6.
移项，得2x＋3x＞6＋6.
合并同类项，得5x＞12.
系数化为1，得x＞.
3．求不等式2x－7＜5－2x的正整数解．
解：移项，得2x＋2x＜5＋7.
合并同类项，得4x<12.
系数化为1，得x＜3.
∴不等式的正整数解为1，2.
4．解不等式2(x＋1)＜3x，并把解集在数轴上表示出来．
解：去括号，得2x＋2＜3x.
移项、合并同类项，得－x＜－2.
系数化为1，得x＞2.
其解集在数轴上表示为：
5．解不等式≤5－x，并把解集在数轴上表示出来．
解：去分母，得x－1≤15－3x.
移项，得x＋3x≤15＋1.
合并同类项，得4x≤16.
系数化为1，得x≤4.
其解集在数轴上表示为：
6．解不等式－≥，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母，得3(3x＋1)－8≥2(2x－5)．
去括号，得9x＋3－8≥4x－10.
移项，得9x－4x≥－10＋8－3.
合并同类项，得5x≥－5.
系数化为1，得x≥－1.
将解集表示在数轴上如下：
7．已知不等式x＋8＞4x＋m(m是常数)的解集是x＜3，求m.
解：移项，得x－4x＞m－8.
合并同类项，得－3x＞m－8.
系数化为1，得x＜－(m－8)．
∵不等式的解集为x＜3，
∴－(m－8)＝3.
解得m＝－1.
类型2 解一元一次不等式组
8．(2017·苏州)解不等式组：
解：由x＋1≥4，解得x≥3.
由2(x－1)＞3x－6，解得x＜4.
∴不等式组的解集是3≤x＜4.
9．(2017·成都)解不等式组：
解：解不等式①，得x＞－4.
解不等式②，得x≤－1.
则不等式组的解集是－4＜x≤－1.
10．解不等式组并把它的解集表示在数轴上．
解：解不等式①，得x＞4.
解不等式②，得x＞－2.
∴原不等式组的解集为x＞4.
不等式组的解集在数轴上表示为：
11．解不等式组并将它的解集在数轴上表示出来．
解：解不等式①，得x＜－1.
解不等式②，得x≤2.
故此不等式组的解集为x＜－1.
其解集在数轴上表示为：
12．解不等式组并在数轴上表示出该不等式组的解集．
解：解不等式①，得x＞.
解不等式②，得x≤3.
∴不等式组的解集是＜x≤3.
其解集在数轴上表示为：
13．(2016·扬州)解不等式组并写出该不等式组的最大整数解．
解：解不等式①，得x≥－2.
解不等式②，得x＜1.
∴不等式组的解集为－2≤x＜1.
∴不等式组的最大整数解为0.
14．若关于x的不等式组有解，求实数a的取值范围．
解：解不等式①，得x＞2.
解不等式②，得x＜.
∵不等式组有解，
∴2＜x＜.
∴＞2.∴a＞4.
15．已知2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，且a≤4＜b，求x的取值范围．
解：由2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，得
a＝，b＝.
∵a≤4＜b，
∴
解不等式①，得x≤3.
解不等式②，得x＞－2.
∴x的取值范围是－2＜x≤3.
小专题(四) 解含参不等式(组)
——教材P62T10的变式与应用
教材母题：(教材P62T10)如果不等式组的解集是x>3，那么m的取值范围是(B)
A．m≥3 B．m≤3
C．m＝3 D．m<3
【思路点拨】 由不等式组中两个不等式的形式，结合不等式组解集的同大取大法则，可得a的取值范围，但应注意范围中是否包含取等号的情况，这里容易出错．
解决含有参数的不等式需要按以下几个步骤：
(1)解不等式或不等式组，含有参数的也要解，把参数当已知数来解，这是必不可少的步骤；
(2)借助于数轴，形象准确地把握不等式组有解、无解以及有几个整数解的问题；
(3)注意端点值，这类问题一般都与端点有关，一是用数轴来说明是哪个端点，二是进行检验，有无端点是不是满足题意．
1．如果不等式组的解集是x＞1，那么n的取值范围是(C)
A．n≥1 B．n＝1
C．n≤1 D．n＜1
2．若不等式组无解，则m的取值范围是(C)
A．m＜11 B．m＞11
C．m≤11 D．m≥1
3．(2017·泰安)不等式组的解集为x<2，则k的取值范围为(C)
A．k>1 B．k<1
C．k≥1 D．k≤1
4．已知关于x的不等式组有解，求实数a的取值范围．
解：解不等式①，得x≥.
解不等式②，得x＜－2.
由题意，得＜－2，
解得a＜－6.
5．(2017·黄石)已知关于x的不等式组恰有两个整数解，求实数a的取值范围．
解：解不等式①，得x＞－2.
解不等式②，得x≤4＋a.
∵原不等式组有解，
∴不等式组的解集为－2＜x≤4＋a.
∵原不等式组恰有两个整数解，
∴0≤4＋a＜1.
∴－4≤a＜－3.
6．关于x的不等式组
(1)若a＝2，求这个不等式组的解集；
(2)若这个不等式组无解，求a的取值范围；
(3)若这个不等式组的整数解有3个，求a的取值范围．
解：(1)解不等式①，得x≤6－a.
解不等式②，得x＞－2.
当a＝2时，不等式组的解集是－2＜x≤4.
(2)∵不等式组无解，
∴6－a≤－2.∴a≥8.
∴a的取值范围是a≥8.
(3)∵不等式组的整数解有3个，
∴1≤6－a＜2.
∴a的取值范围是4＜a≤5.
章末复习(二) 一元一次不等式与一元一次不等式组
01 基础题
知识点1 不等式的基本性质
1．(2017·西安期中)若a>b，则下列各等式中一定成立的是(B)
A．a－1
知识点2 解一元一次不等式(组)
3．在数轴上表示不等式3x＋1≥4的解集，正确的是(D)
A. B.
C. D.
4．(2017·绥化)不等式组的解集是(B)
A．x≤4 B．2＜x≤4
C．2≤x≤4 D．x＞2
5．不等式3(x－1)≤5－x的非负整数解有(C)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6．(2017·淄博)解不等式：≤.
解：去分母，得3(x－2)≤2(7－x)．
去括号，得3x－6≤14－2x.
移项、合并同类项，得5x≤20.
解得x≤4.
7．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
解：解不等式①，得x＜3.
解不等式②，得x≥－2.
则不等式组的解集是－2≤x＜3.
解集在数轴上表示如下：
知识点3 一元一次不等式与一次函数
8．一次函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象如图所示，其交点为P(－2，－5)，则不等式3x＋b＞ax－3的解集在数轴上表示正确的是(C)
A. B.
C. D.
9．如图，直线y1＝k1x＋b和直线y2＝k2x＋b交于y轴上一点，则不等式k1x＋b＞k2x＋b的解集为x＞0．
知识点4 一元一次不等式的应用
10．(2016·西宁)某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有(C)
A．103块 B．104块
C．105块 D．106块
11．甲、乙两队进行足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，两队一共比赛了10场，甲队保持不败，得分不低于24分，则甲队至少胜了多少场？
解：设甲队胜了x场，则平了(10－x)场．由题意，得
3x＋(10－x)≥24.解得x≥7.
答：甲队至少胜了7场．
02 中档题
12．(2016·泰安)当1≤x≤4时，mx－4＜0，则m的取值范围是(B)
A．m＞1 B．m＜1
C．m＞4 D．m＜4
13．如图，函数y＝－2x和y＝kx＋b的图象相交于点A(m，3)，则关于x的不等式－kx－b－2x＞0的解集为x<－．
14．为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗摞起来的高度为15 cm，9只饭碗摞起来的高度为20 cm，李老师家的碗橱每格的高度为28 cm，则里面一摞碗最多只能放13只．
15．当a，b满足条件a＞b＞0时，＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆．若＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是3＜m＜8．
16．已知关于x的不等式组恰有两个整数解，求实数a的取值范围.
解：解不等式①，得x＞－.
解不等式②，得x＜2a.
则原不等式组的解集为－
∴这两个整数解是0和1.
根据题意，得1＜2a≤2，
解得＜a≤1.
17．关于x的两个不等式＜1①与1－3x＞0②.
(1)若两个不等式的解集相同，求a的值；
(2)若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．
解：(1)由①，得x＜.
由②，得x＜.
∵两个不等式的解集相同，
∴＝.解得a＝1.
(2)∵不等式①的解都是②的解，
∴≤.解得a≥1.
18．某大型企业为了保护环境，准备购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．
(1)求出A型、B型污水处理设备的单价；
(2)经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理不低于1 565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．
解：(1)设A型污水处理设备的单价为x万元，B型污水处理设备的单价为y万元．根据题意，得
解得
答：A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的单价为10万元．
(2)设购进a台A型污水处理设备，根据题意，得
220a＋190(8－a)≥1 565.
解得a≥1.5.
∵A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高，
∴A型污水处理设备买越少，越省钱．
∴购进2台A型污水处理设备，6台B型污水处理设备最省钱．
03 综合题
19．如果关于x的方程a－3(x＋1)＝1－x有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x<－2，那么符合条件的所有整数a的积是(D)
A．－3 B．0 C．3 D．9
北师大版八年级下册数学 第三章 图形的平移与旋转 同步课时练习题
3．1 图形的平移
第1课时 平移的认识
01 基础题
知识点1 平移的认识
1．下列现象中属于平移的是(A)
A．升降电梯从一楼升到五楼
B．闹钟的钟摆运动
C．树叶从树上随风飘落
D．汽车方向盘的转动
2．下列选项中能由左图平移得到的是(C)
3．如图，由△ABC平移得到的三角形有(B)
A．15个 B．5个 C．10个 D．8个
知识点2 平移的性质
4．如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1＝50°，则∠2的度数是(B)
A．40° B．50° C．90° D．130°
5．下列说法：①图形平移，对应点所连的线段互相平分；②确定一个图形平移后的位置需要知道平移的方向和距离；③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置；④一个图形和它经过平移所得的图形的对应线段平行(或在一条直线上)且相等．其中正确的有(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，△ABC沿着点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC＝5，EC＝3，那么平移的距离为(A)
A．2 B．3 C．5 D．7
7．如图，已知线段DE是由线段AB平移而得，AB＝DC＝4 cm，EC＝5 cm，则△DCE的周长是13cm.
8．如图，△ABC经过一次平移到△DFE的位置，请回答下列问题：
(1)点C的对应点是点E，∠D＝∠A，BC＝FE；
(2)连接CE，那么平移的方向就是点C到点E的方向，平移的距离就是线段CE的长度；
(3)连接AD，BF，BE，与线段CE相等的线段有AD，BF．
知识点3 平移作图
9．下列平移作图错误的是(C)
10．如图，经过平移，四边形ABCD的顶点A移到了点A′.
(1)指出平移的方向和平移的距离；
(2)画出平移后的四边形A′B′C′D′.
解：(1)如图，连接AA′，平移的方向是点A到点A′的方向，平移的距离是线段AA′的长度．
(2)如图，四边形A′B′C′D′即为所求．
02 中档题
11．如图，已知△ABC平移后得到△DEF，则下列说法中，不正确的是(C)
A．AB＝DE
B．BC∥EF
C．平移的距离是线段BD的长
D．平移的距离是线段AD的长
12．(2017·西安期中)如图，在两个重叠的直角三角形中，将其中的一个直角三角形沿着BC方向平移BE距离得到此图形，其中AB＝6，BE＝5，DH＝3，则四边形DHCF的面积为(C)
A．35 B. C. D．31
13．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位长度后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为12．
14．(2016·安徽)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC.
(1)试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；
(2)将四边形ABCD向下平移5个单位长度，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′.
解：(1)点D以及四边形ABCD另两条边如图所示．
(2)得到的四边形A′B′C′D′如图所示．
15．如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草．
(1)请利用平移的知识求出种花草的面积；
(2)若空白的部分种植花草共花费了4 620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？
解：(1)(8－2)×(8－1)＝6×7＝42(平方米)．
答：种花草的面积为42平方米．
(2)4 620÷42＝110(元)．
答：每平方米种植花草的费用是110元．
03 综合题
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置．
(1)若平移距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积；
(2)若平移距离为x(0≤x≤4)，用含x的代数式表示△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积．
解：(1)由题意，得CC′＝3，BB′＝3，
∴BC′＝1.
又由题意易得，重叠部分是一个等腰直角三角形，
∴重叠部分的面积为×1×1＝.
(2)当平移的距离是x时，CC′＝BB′＝x，
则BC′＝4－x.
∴重叠部分面积为(4－x)2.
第2课时 沿x轴或y轴方向平移的坐标变化
01 基础题
知识点 沿x轴或y轴方向平移的坐标变化
1．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，在平面直角坐标系中，将点A(－2，3)向右平移3个单位长度后对应的点A′的坐标是(C)
A．(－2，－3) B．(－2，6) C．(1，3) D．(－2，1)
2．在平面直角坐标系中，将点(2，3)向上平移1个单位长度，所得到的点的坐标是(C)
A．(1，3) B．(2，2)
C．(2，4) D．(3，3)
3．在平面直角坐标系中，将线段OA向下平移2个单位长度，平移后，点O，A的对应点分别为点O1，A1.若点O(0，0)，A(1，4)，则点O1，A1的坐标分别是(B)
A．(0，－2)，(－1，4) B．(0，－2)，(1，2)
C．(－2，0)，(1，4) D．(－2，0)，(－1，4)
4．(2017·郴州)在平面直角坐标系中，把点A(2，3)向左平移1个单位长度得到点A′，则点A′的坐标为(1，3)．
5．如图所示的平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是A(1，2)，B(3，－2)，C(5，1)，D(4，4)，画出将四边形ABCD向左平移3个单位长度后得到的四边形A1B1C1D1，并写出平移后四边形各个顶点的坐标．
解：如图所示．
由图可知，A1(－2，2)，B1(0，－2)，C1(2，1)，D1(1，4)．
02 中档题
6．将△ABC各顶点的纵坐标加“－3”，连接这三点所成的三角形是由△ABC(B)
A．向上平移3个单位长度得到的
B．向下平移3个单位长度得到的
C．向左平移3个单位长度得到的
D．向右平移3个单位长度得到的
7．若将点P(m＋2，2m＋1)向右平移1个单位长度后，点P的对应点正好落在y轴上，则m＝－3．
8．如图，把“QQ”笑脸放在平面直角坐标系中，已知左眼A的坐标是(－2，3)，嘴唇C的坐标为(－1，1)，则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位长度后，右眼B的坐标是(3，3)．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，－1)，点B(－2，1)，平移线段AB，使点A落在A1(0，－1)，点B落在点B1，则点B1的坐标为(1，1)．
10．观察下图，与图1中的鱼相比，图2中的鱼发生了一些变化，若图1中鱼上点P的坐标为(4，3.2)，则这个点在图2中的对应点P1的坐标应为(4，2.2)．
11．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
(1)点A的坐标为(2，7)，点C的坐标为(6，5)；
(2)将△ABC向下平移7个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；
(3)如果M为△ABC内的一点，其坐标为(a，b)，那么平移后点M的对应点M1的坐标为(a，b－7)．
解：平移后的△A1B1C1如图所示．
第3课时 沿x轴，y轴方向两次平移的坐标变化
01 基础题
知识点 沿x轴，y轴方向两次平移的坐标变化
1．将点(1，2)先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的点的坐标是(A)
A．(－2，3) B．(4，3)
C．(－2，1) D．(4，1)
2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的对应点A1的坐标为(D)
A．(4，3) B．(2，4)
C．(3，1) D．(2，5)
3．在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的四边形ABCD，点A的坐标是(0，2)．现将这张胶片平移，使点A落在点A′(5，－1)处，则此平移可以是(B)
A．先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度
4．将点P(－4，y)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点Q(x，－1)，则x＝－6，y＝2．
5．(2017·西安高新区期中)在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－3，1)，(－1，－2)，将线段AB沿某一方向平移后，得到点A的对应点A′的坐标为(－1，0)，则点B的对应点B′的坐标为(1，－3)．
6．如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图中鱼的各个顶点A，B，C，D都在格点上．
(1)把鱼先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，请你画出平移后得到的图形；
(2)写出A，B，C，D四点平移后的对应点A′，B′，C′，D′的坐标．
解：(1)如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求．
(2)A′(4，2)，B′(0，6)，C′(2，2)，D′(1，1)．
02 中档题
7．如图，线段AB经过平移得到线段A1B1，其中A，B的对应点分别为A1，B1，这四个点都在格点上，若线段AB上有一个点P(a，b)，则点P在A1B1上的对应点P1的坐标为(A)
A．(a－4，b＋2) B．(a－4，b－2)
C．(a＋4，b＋2) D．(a＋4，b－2)
8．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A(－2，6)，B(－3，2)，C(0，3)，将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△DEF.
(1)画出△DEF，并分别写出△DEF各顶点的坐标；
(2)如果将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离．
解：(1)△DEF如图所示，其各顶点的坐标分别为D(2，9)，E(1，5)，F(4，6)．
(2)连接AD.
由图可知，AD＝＝5.
∴如果将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由A到D的方向，平移的距离是5个单位长度．
03 综合题
9．在平面直角坐标系中，把点向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度记为一次“跳跃”．点A(－6，－2)经过第一次“跳跃”后的位置记为A1，点A1再经过一次“跳跃”后的位置记为A2，…，以此类推．
(1)写出点A3的坐标：A3(0，1)；
(2)写出点An的坐标：An(－6＋2n，－2＋n)(用含n的代数式表示)．
3.2 图形的旋转
第1课时 旋转的认识
01 基础题
知识点1 旋转的有关概念
1．下面生活中的实例，不是旋转的是(A)
A．传送带传送货物 B．螺旋桨的运动
C．风车风轮的运动 D．自行车车轮的运动
2．(2017·西安期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，若点C的对应点C′落在AB边上，则旋转角为(B)
A．40° B．70° C．80° D．140°
3．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的中点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，那么：
(1)旋转中心是点A；
(2)点B，D的对应点分别是点C，E；
(3)线段AB，BD，DA的对应线段分别是线段AC，CE，EA；
(4)∠B的对应角是∠ACE；
(5)旋转角度为60°．
知识点2 旋转的性质
4．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是(C)
A．15 ° B．60° C．45° D．75°
5．(2017·平顶山市宝丰县期末)如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－2，0)和(2，0)．月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A′的坐标为(B)
A．(2，2) B．(2，4)
C．(4，2) D．(1，2)
6．如图，△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE，AB＝5 cm，BC＝8 cm，∠BAC＝130°，则AD＝AB＝5cm，DE＝BC＝8cm，∠EAC＝∠BAD＝30°，∠DAC＝100°．
02 中档题
7．(2016·大连)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，则BD＝．
8．(2017·西安期中)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为2．
9．(2017·朝阳市建平县期末)如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求∠ACE的度数．
解：(1)证明：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，
∴∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE.
又∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝AD＝AE.
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
(2)∵∠CAE＝100°，AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC.
∴∠ACE＝×(180°－∠CAE)＝×(180°－100°)＝40°.
03 综合题
10．(2017·陕西蓝田县期末)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接AE，则AE的长为＋．
第2课时 旋转作图
01 基础题
知识点 旋转作图
1．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是(C)
2．(2017·广州)如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为(A)
3．(2017·枣庄)将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是(B)
A．96 B．69 C．66 D．99
4．如图，在正方形网格中，以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△AB1C1.
解：如图.
5．如图，△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为A′，试确定旋转后的三角形．
解：如图所示．
02 中档题
6．同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．如图看到的是万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的平行四边形AEFG可以看成是把平行四边形ABCD以A为中心(D)
A．顺时针旋转60°得到
B．顺时针旋转120°得到
C．逆时针旋转60°得到
D．逆时针旋转120°得到
7．如图，已知Rt△ABC和三角形外一点P，按要求完成图形．
(1)将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转90°，得△A′B′C′；
(2)将△ABC绕点P沿逆时针方向旋转60°，得△A″B″C″.
解：(1)△A′B′C′如图所示．
(2)△A″B″C″如图所示．
8．(2017·平顶山市宝丰县期末)如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在格点上，点A(－4，2)，点D(0，5)．
(1)画出△ABC绕点D逆时针方向旋转90°后的△EFG；
(2)写出点E，F，G的坐标．
解：(1)如图所示，△EFG即为所求．
(2)如图所示，E(3，1)，F(1，2)，G(3，4)．
小专题(五) 教材P89T12的变式与应用
教材母题：(教材P89T12)如图，△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？
解：∵△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝42°，AB＝AC，AD＝AE.
∵∠BAD＝∠BAC－∠DAC，∠CAE＝∠DAE－∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
∴△ABD与△ACE可通过旋转相互得到，
△ABD以点A为旋转中心，逆时针旋转42°，使△ABD与△ACE重合．
1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形．
(1)求证：BD＝CE；
(2)△ABD可以看作是由△ACE逆时针旋转90°得到的．
证明：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°.
∴∠BAD＝∠CAE.
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
∴BD＝CE.
2．如图，点P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝3，PC＝5.线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ.
(1)求PQ的长．
(2)求∠APB的度数．
解：(1)∵AP＝AQ，∠PAQ＝60°
∴△APQ是等边三角形．
∴PQ＝AP＝4.
(2)连接QC.
∵△ABC，△APQ都是等边三角形，
∴∠BAC＝∠PAQ＝60°.
∴∠BAP＝∠CAQ＝60°－∠PAC.
在△ABP和△ACQ中，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)．
∴BP＝CQ＝3，∠APB＝∠AQC.
∵在△PQC中，PQ2＋CQ2＝PC2，
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC＝90°.
∵△APQ是等边三角形，
∴∠AQP＝60°.
∴∠APB＝∠AQC＝60°＋90°＝150°.
3．如图1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB＝AC，AD＝AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图2，将BD，CE分别延长至M，N，使DM＝BD，EN＝CE，得到图3，请解答下列问题：
(1)在图2中，BD与CE的数量关系是BD＝CE；
(2)在图3中，判断△AMN的形状，及∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想．
解：△AMN为等腰三角形，∠MAN＝∠BAC.
证明：易证△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.
又∵DM＝BD，EN＝CE，
∴BM＝CN.
在△ABM和△ACN中，
∴△ABM≌△ACN(SAS)．
∴AM＝AN，∠BAM＝∠CAN，即∠BAC＋∠CAM＝∠CAM＋∠MAN.
∴△AMN为等腰三角形，∠MAN＝∠BAC.
3.3 中心对称
01 基础题
知识点1 中心对称的有关概念及性质
1．下列说法正确的是(B)
A．全等的两个图形一定成中心对称
B．关于某个点中心对称的两个图形一定全等
C．关于某个点中心对称的两个图形不一定全等
D．不全等的两个图形有可能关于某点中心对称
2．如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列说法不正确的是(B)
A．∠ABC＝∠A′B′C′
B．∠BOC＝∠B′A′C′
C．AB＝A′B′
D．OA＝OA′
3．如图所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有(C)
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
4．如图，线段AB和CD关于点O中心对称，若∠B＝40°，则∠D的度数为40°．
5．如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转180°后得到的，那么△ABC与△ADE关于A点中心对称，A点叫做对称中心．
6．小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距4公里．
知识点2 画中心对称的图形
7．如图，已知四边形ABCD和点O，画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A′B′C′D′.
解：四边形A′B′C′D′如图所示．
知识点3 中心对称图形
8．(2017·陕西师范大学附属中学期中)下列四个图形中是中心对称图形的是(D)
9．(2017·成都)下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(D)
10．(2017·玉林)五星红旗上的每一个五角星(A)
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
11．请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：正方形(答案不唯一)．
02 中档题
12．(2017·河北)图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是(C)
A．① B．② C．③ D．④
13．如图是一个以点O为对称中心的中心对称图形，若∠A＝30°，∠C＝90°，OC＝1，则AB的长为(A)
A．4 B.
C. D.
14．如图，△ABC与△DEF关于O点中心对称，则线段BC与EF的关系是平行且相等．
15．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE.求证：DF＝BE.
证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，
∴OB＝OD，OA＝OC.
∵AF＝CE，
∴OF＝OE.
在△DOF和△BOE中，
∴△DOF≌△BOE(SAS)．
∴DF＝BE.
16．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．
(1)求对称中心的坐标；
(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标．
解：(1)根据中心对称的性质，可得：对称中心是D1D的中点．
∵点D1，D的坐标分别是(0，3)，(0，2)，
∴对称中心的坐标是(0，2.5)．
(2)∵点A，D的坐标分别是(0，4)，(0，2)，
∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是4－2＝2.
∴点B，C的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)．
∵A1D1＝2，点D1的坐标是(0，3)，
∴点A1的坐标是(0，1)．
∴点B1，C1的坐标分别是(2，1)，(2，3)．
综上可得：顶点B，C，B1，C1的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)，(2，1)，(2，3)．
03 综合题
17．如图，已知四边形ABCD.
(1)画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN对称；
(2)画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O中心对称；
(3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2成轴对称或中心对称吗？若是，请在图上画出对称轴或对称中心．
解：(1)(2)如图所示．
(3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2成轴对称，对称轴是直线EF，如图．
周周练(3.1～3.3)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．下列现象是数学中的平移的是(D)
A．骑自行车时的轮胎滚动
B．碟片在光驱中运行
C．“神舟”十号宇宙飞船绕地球运动
D．生产中传送带上的电视机的移动过程
2．(2017·西安期中)下列图形是中心对称图形的是(C)
3．平面直角坐标系中，将正方形向上平移3个单位长度后，得到的正方形各顶点与原正方形各顶点坐标相比(A)
A．横坐标不变，纵坐标加3
B．纵坐标不变，横坐标加3
C．横坐标不变，纵坐标乘3
D．纵坐标不变，横坐标乘3
4．将如图所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是(D)
5．(2016·长春)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为(A)
A．42° B．48°
C．52° D．58°
6．△ABO与△A1B1O在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点O成中心对称，其中点A(4，2)，则点A1的坐标是(A)
A．(－4，－2) B．(4，－2)
C．(－2，－3) D．(－2，－4)
7．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是(D)
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
8．(2017·西安高新区期中)如图，△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转的度数分别为(B)
A．4，30° B．2，60° C．1，30° D．3，30°
二、填空题(每小题5分，共30分)
9．(2017·黔东南)在平面直角坐标系中有一点A(－2，1)，将点A先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后点A的坐标为(1，－1)．
10．如图所示，在正方形网格中，图①经过平移变换可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点A(填“A”“B”或“C”)．
11．(2017·平顶山市宝丰县期中)正三角形绕其中心至少旋转120度能与原三角形重合．
12．(2017·宜宾)如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是60°．
13．(2017·太原)如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，4)，B(－1，1)，C(－2，2)，将△ABC向右平移4个单位长度，得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′，再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，点A′，B′，C′的对应点分别为A″，B″，C″，则点A″的坐标为(6，0)．
14．如图是两张全等的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，至少旋转60度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形．
三、解答题(共38分)
15．(12分)如图，△ABC沿直线l向右平移3 cm得到△FDE，且BC＝6 cm，∠B＝40°.
(1)求BE；
(2)求∠FDB的度数；
(3)找出图中相等的线段(不另外添加线段)；
(4)找出图中互相平行的线段(不另外添加线段)．
解：(1)∵△ABC沿直线l向右平移了3 cm，
∴CE＝BD＝3 cm.
∴BE＝BC＋CE＝6＋3＝9(cm)．
(2)∵∠FDE＝∠B＝40°，
∴∠FDB＝140°.
(3)相等的线段有AB＝FD，AC＝FE，BC＝DE，BD＝CE＝CD.
(4)平行的线段有AB∥FD，AC∥FE.
16．(12分)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
(2)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
解：(1)如图所示．
(2)旋转中心的坐标为(，－1)．
17．(14分)如图，固定一块三角板，另一块三角板按图示开始平移至两条较大直角边重合时停止．(两个同学为一组，利用30°角的三角板作图形的平移运动)
(1)观察平移过程中的重叠部分是什么图形？你能把它画出来吗？
(2)分别求出平移距离为4 cm或10 cm时，重叠部分的面积．
解：(1)平移过程中的重叠部分是三角形或五边形，如图：
(2)当平移距离为4 cm时，重叠部分是三角形OAA′，如图1，此时AA′＝4 cm.
∵∠OAA′＝∠OA′A＝60°，
∴△OAA′是等边三角形．
∴S△OAA′＝4 cm2.
当平移距离为10 cm时，重叠部分是五边形ODC′CE，如图2，此时AA′＝10 cm.
∵AC＝A′C′＝7 cm，
∴A′C＝AC′＝3 cm.
∵∠A＝∠A′＝60°，∠AC′D＝∠A′CE＝90°，
∴C′D＝CE＝3 cm.
∴S五边形ODC′CE＝S△OAA′－S△AC′D－S△A′CE
＝×10×5－×3×3×2
＝16(cm2).
3.4 简单的图案设计
01 基础题
知识点1 分析图案的形成过程
1．在图示的四个汽车标志图案中，能用平移交换来分析其形成过程的图案是(C)
2．如图，国旗上的四个小五角星，通过怎样的变化可以相互得到(D)
A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．平移或旋转
3．在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是(C)
4．如图所示的图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是(B)
A. B. C. D.
5．右边的图案是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是(D)
A．①⑤ B．②④ C．③⑤ D．②⑤
知识点2 利用平移、旋转、轴对称等方式设计图案
6．下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到如图所示图案的是(C)
A. B.
C. D.
7．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是②．
8．(2017·西安期中)如图，在4×3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案(注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同)．
(1)是轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)是中心对称图形，但不是轴对称图形；
(3)既是轴对称图形，又是中心对称图形．
解：如图所示．
(1)
(2)
(3)
02 中档题
9．下列能通过基本图形旋转得到的有(D)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，它们旋转的角度均是60°．
11．如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法将该图形绕O点顺时针依次旋转90°，180°，270°，你会得到一个什么样的立体图形？
解：得到的是一个星星图案，如图．
12．定义：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形．如图，四边形ABCD是筝形，其中AB＝AD，CB＝CD，请仿照图2的画法，在图3所示的8×8网格中重新设计一个由四个全等的筝形组成的新图案，具体要求如下：
①顶点都在格点上；
②所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；
③将新图案中的四个筝形都涂上阴影．
解：如图所示：答案不唯一．
13．请运用平移、轴对称和旋转分析下面图案的设计过程．
解：若从原图中提取的基本图案如图所示，则可按下面的两种几何变换(不唯一)得到整个图案：
形成方式一：
形成方式二：
03 综合题
14．已知每个网格中小正方形的边长都是1，图1中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成．请你在图2中以图1为基本图案，借助轴对称、平移或旋转设计一个完整的花边图案(要求至少含有两种图形变换)．
图1
图2
解：答案不唯一，以下提供三种图案．
章末复习(三) 图形的平移与旋转
01 基础题
知识点1 平移
1．下列图形中，可由左图经过平移得到的是(C)
A B C D
2．(2016·安顺)如图，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是(A)
A．(－2，－4) B．(－2，4)
C．(2，－3) D．(－1，－3)
3．如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′＝5．
4．如图，△A1B1C1是△ABC向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点的坐标分别为A1(1，1)，B1(4，2)，C1(3，4)．
(1)请画出△ABC，并写出点A，B，C的坐标；
(2)求出△AOA1的面积．
解：(1)如图所示，A(－3，1)，B(0，2)，C(－1，4)．
(2)S△AOA1＝×4×1＝2.
知识点2 旋转
5．(2016·新疆)如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是(D)
A．60° B．90° C．120° D．150°
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，若点A，B的对应点分别是点D，E，画出旋转后的三角形，并求点A与点D之间的距离．(不要求尺规作图)
解：如图．连接AD.
在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝3.
由旋转的性质，得CD＝AC＝3，∠ACD＝90°.
∴AD＝＝3.
知识点3 中心对称
7．(2017·郑州月考)下列图形中，是中心对称图形的是(A)
8．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是(A)
A．(3，－1) B．(0，0)
C．(2，－1) D．(－1，3)
知识点4 图案设计
9．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有4种．
02 中档题
10．如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是(C)
A．30° B．60° C．72° D．90°
11．如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE.若点C的坐标为(0，1)，AC＝2，则这种变换可以是(A)
A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3 个单位长度
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1 个单位长度
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1 个单位长度
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3 个单位长度
12．(2017·西安高新区期中)某景点拟在如图的长方形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为100米，则荷塘周长为200米．
13．如图是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：
①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；
②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4.
解：如图所示：答案不唯一．
14．(2017·郑州月考)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为(－6，1)，点B的坐标为(－3，1)，点C的坐标为(－3，3)．
(1)将Rt△ABC沿x轴正方向平移8个单位长度得到Rt△A1B1C1，试在图上画出Rt△A1B1C1的图形，并写出点A1的坐标(2，1)；
(2)若Rt△ABC内部一点P的坐标为(a，b)，则平移后点P的对应点P1的坐标是(a＋8，b)；
(3)将原来的Rt△ABC绕着点O顺时针旋转180°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形．
解：(1)Rt△A1B1C1如图所示．
(3)Rt△A2B2C2如图所示．
03 综合题
15．将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC＝∠B1A1C＝30°，AB＝2BC.
(1)固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C，A1B1分别交于点D，E，AC与A1B1交于点F.
①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1＝160°；
②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由；
(2)将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D＝CD.
解：(1)②当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直．理由：
∵AB⊥A1B1，∴∠A1ED＝90°.
∴∠A1DE＝90°－∠A1＝90°－30°＝60°.
∴∠CDB＝∠A1DE＝60°.
∴∠BCD＝180°－∠CDB－∠B＝60°.
∴∠ACA1＝30°，
即当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直．
(2)∵AB∥CB1，∠A1CB1＝90°，
∴∠CDB＝90°，即CD是△ABC的高．
设BC＝a，AC＝b，则AB＝2a，A1C＝b.
∵S△ABC＝BC·AC＝AB·CD，
即ab＝·2a·CD，
∴CD＝b，即CD＝A1C.
∴A1D＝CD.
北师大版八年级下册数学 第四章 因式分解 同步课时练习题
4．1 因式分解
01 基础题
知识点1 因式分解的意义
1．(2017·常德)下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是(C)
A．a(m＋n)＝am＋an
B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
2．(2017·西安高新区期中)把多项式x2＋ax＋b因式分解得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是(A)
A．a＝－2，b＝－3 B．a＝－2，b＝3
C．a＝2，b＝－3 D．a＝2，b＝3
3．小明在解答“因式分解：(1)3x2－9x＋3；(2)4x2－9.”时，是这样做的：
解：(1)3x2－9x＋3＝3(x2－6x＋1)．
(2)4x2－9＝(2x＋3)(2x－3)．
请你利用因式分解与整式乘法的关系，判断他分解得对不对．
解：(1)∵3(x2－6x＋1)＝3x2－18x＋3，
∴分解不正确．
(2)∵(2x＋3)(2x－3)＝(2x)2－9＝4x2－9，
∴分解正确．
知识点2 因式分解的简单应用
4．利用因式分解简便计算57×99＋44×99－99正确的是(B)
A．99×(57＋44)＝99×101＝9 999
B．99×(57＋44－1)＝99×100＝9 900
C．99×(57＋44＋1)＝99×102＝10 098
D．99×(57＋44－99)＝99×2＝198
5．如图是由一个边长为a的小正方形和两个长、宽分别为a，b的小长方形组成的大长方形，则整个图形可表达出几个有关多项式因式分解的等式，其中错误的是(B)
A．a2＋2ab＝a(a＋2b)
B．a(a＋2b)＝a2＋2ab
C．a(a＋b)＋ab＝a(a＋2b)
D．a(a＋2b)－ab＝a(a＋b)
02 中档题
6．下列因式分解错误的是(C)
A．2a－2b＝2(a－b)
B．x2－9＝(x＋3)(x－3)
C．a2＋4a－4＝(a＋2)2
D．x2＋x－2＝(x－1)(x＋2)
7．如图，将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边)拼接成一个梯形，请根据拼接前后面积的关系写出一个多项式的因式分解：ab＋(a2＋b2)＝(a＋b)2．
8．通过计算说明255＋511能被30整除吗？
解：∵255＋511＝510＋511
＝510×(1＋5)
＝59×30，
∴255＋511能被30整除．
9．已知多项式x2－4x＋m因式分解的结果为(x＋a)(x－6)，求2a－m的值．
解：由题意可知，x2－4x＋m＝(x＋a)(x－6)，
即x2－4x＋m＝x2＋(a－6)x－6a.
∴解得
∴2a－m＝2×2－(－12)＝16.
4.2 提公因式法
第1课时 提单项式因式分解
01 基础题
知识点1 公因式
1．多项式8m2n＋2mn中各项的公因式是(A)
A．2mn B．mn C．2 D．8m2n
2．指出下列多项式中各项的公因式：
(1)3a2y－3ay＋6y；
(2)πr2h＋πr3；
(3)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
解：(1)3a2y－3ay＋6y的公因式是：3y.
(2)πr2h＋πr3的公因式是：πr2.
(3)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b的公因式是：9a2b.
知识点2 提单项式因式分解
3．下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是(B)
A．x2－y B．x2＋2x
C．x2＋y2 D．x2－xy＋y2
4．(2016·自贡)把多项式a2－4a因式分解，结果正确的是(A)
A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2)
C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4
5．因式分解：
(1)(2017·沈阳)3a2＋a＝a(3a＋1)；
(2)(2017·日照)2m2－8m＝2m(m－4)．
6．若4x3－6x2＝2x2(2x＋k)，则k＝－3.
7．把下列各式因式分解：
(1)3x3＋6x4；
解：原式＝3x3(1＋2x)．
(2)4a3b2－10ab3c.
解：原式＝2ab2(2a2－5bc)．
02 中档题
8．下列各组代数式中，没有公因式的是(C)
A．5m(a－b)和b－a
B．(a＋b)2和－a－b
C．mx＋y和x＋y
D．－a2＋ab和a2b－ab2
9．数学课上，老师讲了提公因式法因式分解，放学后，小丽回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，她突然发现一道题：－12xy2＋6x2y＋3xy＝－3xy·(4y－________)，横线上的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写(C)
A．2x B．－2x
C．2x－1 D．－2x－1
10．若a＝49，b＝109，则ab－9a的值为4_900．
11．把下列各式因式分解：
(1)28x4－21x3＋7xy；
解：原式＝7x(4x3－3x2＋y)．
(2)－10m4n2＋8m4n－2m3n.
解：原式＝－2m3n(5mn－4m＋1)．
03 综合题
12．利用因式分解进行计算：
5×34＋4×34＋9×32.
解：原式＝5×34＋4×34＋34
＝(5＋4＋1)×34
＝10×81
＝810.
第2课时 提多项式因式分解
01 基础题
知识点1 提多项式因式分解
1．下列多项式中可以用提公因式法因式分解的有(B)
①11a2b－7b2；②5a2(m－n)－10b2(n－m)；③x3－x＋1；④(a＋b)2－4(a－b)2.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．若(x＋y)3－xy(x＋y)＝(x＋y)·A，则A为(D)
A．x2＋y2 B．x2－xy＋y2
C．x2－3xy＋y2 D．x2＋xy＋y2
3．把下列各式因式分解：
(1)2a(b＋c)－3(b＋c)；
解：原式＝(b＋c)(2a－3)．
(2)(2017·西安期末)6(x－3)＋x(3－x)；
解：原式＝6(x－3)－x(x－3)
＝(x－3)(6－x)．
(3)9a(x－y)2＋3b(y－x)2.
解：原式＝3(3a＋b)(x－y)2.
知识点2 提公因式法因式分解的应用
4．先因式分解，再计算求值：
4a(x＋7)－3(x＋7)，其中a＝－5，x＝3.
解：原式＝(x＋7)(4a－3)．
当a＝－5，x＝3时，
原式＝(3＋7)×(－20－3)＝－230.
02 中档题
5．下列因式分解正确的是(A)
A．mn(m－n)－m(n－m)＝－m(n－m)(n＋1)
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
6．若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是(A)
A．3 B．2 C．1 D．－1
7．已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)·(x－13)可因式分解为(3x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则a＋3b＝－31．
8．把下列各式因式分解：
(1)(x＋1)2－(x＋1)；
解：原式＝(x＋1)(x＋1－1)
＝x(x＋1)．
(2)ab(a＋2)2－a(a＋2)；
解：原式＝a(a＋2)[b(a＋2)－1]
＝a(a＋2)(ab＋2b－1)．
(3)x(x2－xy)－(4x2－4xy)；
解：原式＝x2(x－y)－4x(x－y)
＝x(x－y)(x－4)．
(4)2a(x－2y)2－3b(2y－x)3.
解：原式＝2a(x－2y)2＋3b(x－2y)3
＝(x－2y)2[2a＋3b(x－2y)]
＝(x－2y)2(2a＋3bx－6by)．
03 综合题
9．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2
＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)]
＝(1＋x)2(1＋x)
＝(1＋x)3.
(1)上述因式分解的方法是提公因式法；
(2)因式分解：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)2 018＝(1＋x)2_019；
(3)猜想：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n因式分解的结果是(1＋x)n＋1．(n为正整数)
4.3 公式法
第1课时 运用平方差公式因式分解
01 基础题
知识点1 直接运用平方差公式因式分解
1．(2017·成都锦江区期末)下列多项式中能用平方差公式因式分解的是(D)
A．a2＋(－b)2 B．3m2－12m
C．－m2－n2 D．－x2＋1
2．已知多项式x2＋a能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a可以等于(C)
A．9 B．4
C．－1 D．－2
3．把多项式(x－1)2－9因式分解的结果是(B)
A．(x＋8)(x＋1)
B．(x＋2)(x－4)
C．(x－2)(x＋4)
D．(x－10)(x＋8)
4．因式分解：
(1)(2017·金华)x2－4＝(x＋2)(x－2)；
(2)(2017·镇江)9－b2＝(3－b)(3＋b)；
(3)x2－25y2＝(x＋5y)(x－5y)．
5．把下列各式因式分解：
(1)(2017·榆林期末)4a2－b2；
解：原式＝(2a＋b)(2a－b)．
(2)－16＋a2b2；
解：原式＝(ab＋4)(ab－4)．
(3)(x－2y)2－4y2.
解：原式＝(x－2y＋2y)(x－2y－2y)
＝x(x－4y)．
知识点2 先提公因式后运用平方差公式因式分解
6．(2016·梅州)对a2b－b3因式分解，结果正确的是(A)
A．b(a＋b)(a－b) B．b(a－b)2
C．b(a2－b2) D．b(a＋b)2
7．(2017·宜宾)因式分解：xy2－4x＝x(y＋2)(y－2)．
8．把下列各式因式分解：
(1)16m3－mn2；
解：原式＝m(4m＋n)(4m－n)．
(2)(2017·朝阳期末)m2(a－2)＋(2－a)．
解：原式＝m2(a－2)－(a－2)
＝(a－2)(m2－1)
＝(m＋1)(m－1)(a－2)．
知识点3 用平方差公式因式分解的应用
9．如图，在边长为6.75 cm的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm的小正方形，则图中阴影部分的面积为(D)
A．3.5 cm2 B．12.25 cm2 C．27 cm2 D．35 cm2
10．若m2－n2＝6，且m－n＝2，则m＋n＝3．
11．简便计算：13.32－11.72＝40．
12．已知长方形的面积是9a2－16(a>)，若一边长为3a＋4，则另一边长为3a－4.
02 中档题
13．为了应用平方差公式计算(a－b＋c)(a＋b－c)，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是(D)
A．[(a＋c)－b][(a－c)＋b]
B．[(a－b)＋c][(a＋b)－c]
C．[(b＋c)－a][(b－c)＋a]
D．[a－(b－c)][a＋(b－c)]
14．(2017·宁夏)如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(D)
A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
B．a(a－b)＝a2－ab
C．(a－b)2＝a2－b2
D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
15．对于任意整数n，多项式(n＋7)2－(n－3)2的值都能(A)
A．被20整除
B．被7整除
C．被21整除
D．被(n＋4)整除
16．因式分解：
(1)(2016·株洲)(x－8)(x＋2)＋6x＝(x＋4)(x－4)；
(2)－9x2＋(x－y)2＝－(4x－y)(2x＋y)．
17．把下列各式因式分解：
(1)9m2－4n2；
解：原式＝(3m＋2n)(3m－2n)．
(2)a3b－16ab；
解：原式＝ab(a2－16)
＝ab(a＋4)(a－4)．
(3)3m4－48；
解：原式＝3(m4－16)
＝3(m2＋4)(m2－4)
＝3(m2＋4)(m＋2)(m－2)．
(4)xn－xn＋2；
解：原式＝xn(1－x2)
＝xn(1＋x)(1－x)．
(5)(2017·山西)(y＋2x)2－(x＋2y)2；
解：原式＝[(y＋2x)＋(x＋2y)][(y＋2x)－(x＋2y)]
＝(y＋2x＋x＋2y)(y＋2x－x－2y)
＝(3x＋3y)(x－y)
＝3(x＋y)(x－y)．
(6)a2(a－b)＋b2(b－a)．
解：原式＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a2－b2)(a－b)
＝(a－b)2(a＋b)．
18．(2017·成都期末)已知x＋2y＝3，x－2y＝－5，求x2－4y2－8的值．
解：x2－4y2－8＝(x＋2y)(x－2y)－8.
∵x＋2y＝3，x－2y＝－5，
∴原式＝3×(－5)－8
＝－15－8
＝－23.
03 综合题
19．观察下列算式：
22－12＝(2－1)(2＋1)＝2＋1；
32－22＝(3－2)(3＋2)＝3＋2；
42－32＝(4－3)(4＋3)＝4＋3；
…
(1)可以得到：152－142＝(15)＋(14)；
(2)可以发现：(n＋1)2－n2＝(n＋1)＋(n)；
(3)请你证明你的发现．
证明： (n＋1)2－n2
＝[(n＋1)－n][(n＋1)＋n]
＝(n＋1)＋n.
第2课时 运用完全平方公式因式分解
01 基础题
知识点1 完全平方式
1．下列式子中是完全平方式的是(D)
A．a2＋ab＋b2 B．a2＋2a＋2
C．a2－2b＋b2 D．a2＋2a＋1
2．(1)若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；
(2)若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；
(3)若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．
知识点2 直接运用完全平方公式因式分解
3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(D)
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－1 D．x2－2x＋1
4．把下列多项式因式分解，结果正确的是(A)
A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1)2
B．a2－2a＋4＝(a－2)2
C．a2－2a－1＝(a－1)2
D．a2－b2＝(a－b)2
5．(2017·岳阳)因式分解：x2－6x＋9＝(x－3)2．
6．把下列完全平方式因式分解：
(1)y2＋y＋；
解：原式＝(y＋)2.
(2)4x2＋y2－4xy；
解：原式＝(2x)2＋y2－2·2x·y
＝(2x－y)2.
(3)9－12a＋4a2；
解：原式＝32－2×3·2a＋(2a)2
＝(3－2a)2.
(4)(2017·西安高新区期中)(m－n)2＋6(n－m)＋9.
解：原式＝(m－n)2－6(m－n)＋9
＝(m－n－3)2.
知识点3 先提公因式后运用完全平方公式因式分解
7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是(D)
A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2
C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2
8．多项式mx2－m和多项式x2－2x＋1的公因式是(A)
A．x－1 B．x＋1
C．x2－1 D．(x－1)2
9．分解因式：
(1)(2016·泸州)2a2＋4a＋2＝2(a＋1)2；
(2)(2017·安徽)a2b－4ab＋4b＝b(a－2)2．
10．把下列各式因式分解：
(1)－x2＋6xy－9y2；
解：原式＝－(x2－6xy＋9y2)
＝－(x－3y)2.
(2)a3＋9ab2－6a2b.
解：原式＝a(a2＋9b2－6ab)
＝a[a2－2·a·3b＋(3b)2]
＝a(a－3b)2.
02 中档题
11．将(x－1)2－2(x－1)＋1因式分解的结果是(D)
A．(x－1)(x－2) B．x2
C．(x＋1)2 D．(x－2)2
12．在多项式4x2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是答案不唯一，如：±4x或4x4.(写出一个即可)
13．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有①②④⑤．
①－a2＋b2；②4x2＋4x＋1；③－x2－y2；④－x2＋8x－16；⑤x4－1；⑥m2＋4m－4.
14．若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是1．
15．把下列各式因式分解：
(1)(a－b)2＋4ab；
解：原式＝a2－2ab＋b2＋4ab
＝a2＋2ab＋b2
＝(a＋b)2.
(2)－2a3b2＋8a2b2－8ab2；
解：原式＝－2ab2(a2－4a＋4)
＝－2ab2(a2－2·a·2＋22)
＝－2ab2(a－2)2.
(3)16x2－(x2＋4)2；
解：原式＝(4x＋x2＋4)(4x－x2－4)
＝－(x＋2)2(x－2)2.
(4)(x2－2xy＋y2)＋(－2x＋2y)＋1.
解：原式＝(x－y)2－2(x－y)＋1
＝(x－y－1)2.
16．在三个整式x2＋2xy，y2＋2xy，x2中，请你选出两个进行加(或减)运算，使所得结果是一个多项式且可以因式分解，并将结果进行因式分解．
解：(x2＋2xy)＋x2＝2x2＋2xy＝2x(x＋y)；
(y2＋2xy)＋x2＝x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2；
(x2＋2xy)－(y2＋2xy)＝x2－y2
＝(x＋y)(x－y)；
(y2＋2xy)－(x2＋2xy)＝y2－x2
＝(y＋x)(y－x)．
17．若a＋b＝－3，ab＝1，求a3b＋a2b2＋ab3的值．
解：当a＋b＝－3，ab＝1时，
原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2
＝×1×(－3)2＝.
18．你知道数学中的整体思想吗？解题中，若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获得解决．
你能用整体的思想方法把下列式子因式分解吗？
(1)(x＋2y)2－2(x＋2y)＋1；
(2)(a＋b)2－4(a＋b－1)．
解：(1)原式＝(x＋2y－1)2.
(2)原式＝(a＋b)2－4(a＋b)＋4
＝(a＋b－2)2.
03 综合题
19．对于二次三项式x2＋2ax＋a2，可以直接用公式法因式分解为(x＋a)2的形式，但对于二次三项式x2＋2ax－3a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变．于是有x2＋2ax－3a2＝x2＋2ax－3a2＋a2－a2＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2＝(x＋a)2－(2a)2＝(x＋3a)(x－a)．
像上面这样把二次三项式因式分解的方法叫做添(拆)项法．
(1)请用上述方法把x2－4x＋3因式分解；
(2)多项式x2＋2x＋2有最小值吗？如果有，那么当它有最小值时x的值是多少？
解：(1)原式＝x2－4x＋4－4＋3
＝(x－2)2－1
＝(x－2＋1)(x－2－1)
＝(x－1)(x－3)．
(2)原式＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1.
因为(x＋1)2≥0，
所以原式有最小值，此时x＝－1.
小专题(六) 因式分解
类型1 只提不套型
1．因式分解：
(1)3ab2＋a2b；
解：原式＝ab(3b＋a)．
(2)4a3－6a2－2a；
解：原式＝2a(2a2－3a－1)．
(3)a(3x－y)－2b(3x－y)；
解：原式＝(3x－y)(a－2b)．
(4)5x(x－2y)3－20y(2y－x)3.
解：原式＝5(x－2y)3(x＋4y)．
类型2 只套不提型
2．因式分解：
(1)4x2－25；
解：原式＝(2x＋5)(2x－5)．
(2)a2＋4a＋4；
解：原式＝(a＋2)2.
(3)(a＋3)2－(a＋b)2；
解：原式＝(2a＋b＋3)(3－b)．
(4)(x－1)2－6(x－1)＋9；
解：原式＝(x－4)2.
(5)(a＋b)2－4(a＋b)＋4；
解：原式＝(a＋b－2)2.
(6)(x2＋9)2－36x2；
解：原式＝[(x2＋9)＋6x][(x2＋9)－6x]
＝(x2＋6x＋9)(x2－6x＋9)
＝(x＋3)2(x－3)2.
(7)x4－y4；
解：原式＝(x2)2－(y2)2
＝(x2＋y2)(x2－y2)
＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)．
(8)x4－8x2y2＋16y4.
解：原式＝(x2－4y2)2
＝(x＋2y)2(x－2y)2.
类型3 先提后套型
3．因式分解：
(1)x2y－9y；
解：原式＝y(x2－9)
＝y(x＋3)(x－3)．
(2)16x3－4x；
解：原式＝4x(4x2－1)
＝4x(2x＋1)(2x－1)．
(3)3x3－6x2y＋3xy2；
解：原式＝3x(x2－2xy＋y2)
＝3x(x－y)2.
(4)－2x2＋2x－；
解：原式＝－(4x2－4x＋1)
＝－(2x－1)2.
(5)3m(2x－y)2－3mn2；
解：原式＝3m(2x－y＋n)(2x－y－n)．
(6)x2(m－n)＋y2(n－m)．
解：原式＝x2(m－n)－y2(m－n)
＝(m－n)(x2－y2)
＝(m－n)(x＋y)(x－y)．
类型4 先破后立型(根据实际情况选做)
4．因式分解：
(1)x(x－1)－3x＋4；
解：原式＝x2－x－3x＋4
＝x4－4x＋4
＝(x－2)2.
(2)(x－2y)2＋8xy；
解：原式＝(x＋2y)2.
(3)(x＋3)(x＋5)＋x2－25；
解：原式＝(x＋3)(x＋5)＋(x＋5)(x－5)
＝(x＋5)(x＋3＋x－5)
＝(x＋5)(2x－2)
＝2(x＋5)(x－1)．
(4)(c＋b)(c－b)－a(a－2b)；
解：原式＝c2－b2－a2＋2ab
＝c2－(a2－2ab＋b2)
＝c2－(a－b)2
＝(c＋a－b)(c－a＋b)．
(5)x(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋1.
解：原式＝x(x＋3)(x＋1)(x＋2)＋1
＝(x2＋3x)(x2＋3x＋2)＋1
＝(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)＋1
＝(x2＋3x＋1)2.
章末复习(四) 因式分解
01 基础题
知识点1 因式分解的意义
1．(2017·盘锦)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(C)
A．x2＋2x－1＝(x－1)2
B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
C．x2＋4x＋4＝(x＋2)2
D．ax2－a＝a(x2－1)
2．若x2＋kx－15能分解为(x＋5)(x－3)，则k的值是(B)
A．－2 B．2 C．－8 D．8
知识点2 因式分解
3．将－a2b－ab2提公因式后，另一个因式是(A)
A．a＋2b B．－a＋2b
C．－a－b D．a－2b
4．下列多项式在实数范围内不能因式分解的是(B)
A．x3＋2x B．a2＋b2
C．y2＋y＋ D．m2－4n2
5．下列因式分解中，正确的有(C)
①x3＋2xy＋x＝x(x2＋2y)；②x2＋6x＋9＝(x＋2)3；③－x2＋y2＝(x＋y)(x－y)．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
6．把下列各式因式分解：
(1)6x2y3－3x2y4；
解：原式＝3x2y3·2－3x2y3·y
＝3x2y3(2－y)．
(2)x3－4x；
解：原式＝x(x2－4)
＝x(x＋2)(x－2)．
(3)2x2－12xy＋18y2；
解：原式＝2(x2－6xy＋9y2)
＝2(x－3y)2.
(4)(m＋n)2－4m(m＋n)＋4m2.
解：原式＝(m＋n)2－2·2m(m＋n)＋(2m)2
＝(m＋n－2m)2
＝(n－m)2.
知识点3 因式分解的应用
7．利用因式分解计算：992＋198＋1.
解：992＋198＋1＝992＋2×99×1＋1
＝(99＋1)2
＝1002
＝10 000.
8．(2017·西安蓝田县期末)已知a＋b＝5，ab＝6，求多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解：原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
∵a＋b＝5，ab＝6，
∴原式＝6×25＝150.
02 中档题
9．把(－2)2 017＋(－2)2 018因式分解的结果是(D)
A．22 018 B．－22 018
C．－22 017 D．22 017
10．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x－y，a－b，2，x2－y2，a，x＋y，分别对应下列六个字：校、爱、我、课、堂、名，现将2a(x2－y2)－2b(x2－y2)因式分解，结果呈现的密码信息可能是(C)
A．我爱课 B．名校课堂
C．我爱名校 D．我校名课
11．(2017·平顶山期末)已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式(a－b)2－c2的值(B)
A．大于零 B．小于零
C．等于零 D．不能确定
12．若多项式x2＋2(m－3)x＋16是完全平方式，则m的值为7或－1．
13．把下列各式因式分解：
(1)a2(a－b)3＋b2(b－a)3；
解：原式＝a2(a－b)3－b2(a－b)3
＝(a－b)3(a2－b2)
＝(a－b)3(a－b)(a＋b)
＝(a－b)4(a＋b)．
(2)(a＋3)(a－7)＋25；
解：原式＝a2－4a－21＋25
＝a2－4a＋4
＝(a－2)2.
(3)(x2＋y2)2－4x2y2；
解：原式＝(x2＋y2－2xy)(x2＋y2＋2xy)
＝(x－y)2(x＋y)2.
(4)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
解：原式＝(x2＋6x＋9)2
＝(x＋3)4.
14．先因式分解，再求值：3(a＋1)2－(a＋1)(2a－1)，其中a＝1.
解：原式＝(a＋1)[3(a＋1)－2a＋1]
＝(a＋1)(a＋4)．
当a＝1时，原式＝(1＋1)×(1＋4)＝10.
15．小马虎在一次因式分解练习中，一不小心弄脏了一部分，x2＋x－6＝(x＋3)(x－■)，你能帮他确定污染部分是多少吗？
解：设污染部分为a，由整式乘法，得
(x＋3)(x－a)
＝x2＋3x－ax－3a
＝x2＋(3－a)x－3a.
由题意可知：－3a＝－6，
∴a＝2，
即污染部分为2.
03 综合题
16．观察：
22－12＝(2＋1)(2－1)＝2＋1＝＝3；
42－32＋22－12＝(4＋3)(4－3)＋(2＋1)(2－1)＝4＋3＋2＋1＝＝10；
62－52＋42－32＋22－12＝(6＋5)(6－5)＋(4＋3)(4－3)＋(2＋1)(2－1)＝6＋5＋4＋3＋2＋1＝＝21.
探究：
(1)82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝36(直接写答案)；
(2)(2n)2－(2n－1)2＋(2n－2)2－(2n－3)2＋…＋22－12＝n(2n＋1)(直接写答案)；
应用：
(3)如图，2 018个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为2 018 cm，向里依次为2 017 cm，2 016 cm，…，1 cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？(结果保留π)
解：2 0182π－2 0172π＋…－32π＋22π－π
＝(2 0182－2 0172＋…－32＋22－1)π
＝(2 018＋2 017＋…＋3＋2＋1)π
＝2 037 171π(cm2)．
北师大版八年级下册数学 第五章 分式与分式方程 同步课时练习题
5．1 认识分式
第1课时 认识分式
01 基础题
知识点1 分式的概念
1．(2017·贺州)下列式子中是分式的是(C)
A. B. C. D.
2．下列判断正确的是(C)
A．分式包含分数
B．分式的分子中一定含有字母
C．分母中含有字母的式子是分式
D．分数一定是分式
知识点2 分式有(无)意义的条件及分式的值
3．(2017·成都温江区期末)分式有意义，则x的取值范围是(A)
A．x≠3 B．x≠0
C．x≠2 D．x＝3
4．当x＝1时，分式的值为(D)
A．4 B．3 C．2 D．1
5．(2017·陕西师大附中期中)若分式的值为0，则x的值为(C)
A．－1 B．0
C．2 D．－1或2
知识点3 列分式
6．一个圆柱的体积为V，底面半径为r，则它的高为(B)
A. B. C. D.
7．王老师骑自行车用了m小时到达距离家n千米的学校，则王老师的平均速度是千米/小时；若乘公共汽车则可少用0.2小时，则公共汽车的平均速度是千米/小时．
02 中档题
8．(2017·陕西西安交大附中期中)在，，，，，a＋中，分式有(B)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
9．写出一个含x的分式，使得当x＝2时，分式的值是3.这个分式可以是：(答案不唯一)．
10．(2017·平顶山期末)当x＝－2时，分式的值为0.
11．有一大捆粗细均匀的钢筋，现在确定其长度，首先称出这捆钢筋的总质量为m千克，再从中截取5米长的钢筋，称出它的质量为n千克，那么这捆钢筋的总长度为米．
12．当x＝2，y＝－1时，求分式的值．
解：当x＝2，y＝－1时，原式＝＝＝1.
03 综合题
13．给定下列分式：，－，，－，…，其中x≠0.
(1)请你根据发现的规律，试写出给定的这列分式的第5个分式；
(2)你能否写出第n个分式？
解：(1).
(2)当n为奇数时，第n个分式为；
当n为偶数时，第n个分式为－.
第2课时 分式的基本性质及约分
01 基础题
知识点1 分式的基本性质
1．使得等式＝成立的m的取值范围为(D)
A．m＝0 B．m＝1
C．m＝0或m＝1 D．m≠0
2．下列各式中，与分式相等的是(B)
A. B. C. D.
3．若分式中的x，y的值均扩大为原来的2倍，则分式的值(A)
A．不变
B．扩大到原来的2倍
C．扩大到原来的倍
D．扩大到原来的3倍
4．分式－可变形为(D)
A．－ B.
C．－ D.
5．填空：
(1)＝；
(2)＝；
(3)＝；
(4)＝；
(5)＝(x≠0)；
(6)＝.
6．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号：
(1)；
解：＝.
(2).
解：＝.
知识点2 约分及最简分式
7．下列分式是最简分式的是(C)
A. B.
C. D.
8．下列约分正确的是(C)
A.＝x3 B.＝0
C.＝ D.＝2
9．计算的结果是(B)
A．x－2 B．x＋2
C. D.
10．将下列各式约分的结果填在横线上．
(1)－＝－；
(2)＝x；
(3)＝x－3；
(4)＝．
11．化简下列分式：
(1)；
解：原式＝＝－.
(2)；
解：原式＝＝ab＋2.
(3)；
解：原式＝＝.
(4).
解：原式＝＝.
02 中档题
12．(2017·朝阳期末)下列变形正确的是(B)
A.＝ B.＝－
C.＝ D.＝－1
13．计算的结果为(A)
A．1 B. C. D．0
14．已知＝，则x的取值范围是x＜2．
15．先约分，再求值：
(1)，其中x＝－2；
解：原式＝＝.
当x＝－2时，原式＝＝＝－.
(2)，其中x＝，y＝－.
解：原式＝＝.
当x＝，y＝－时，
原式＝÷(3×＋)
＝.
16．在给出的三个多项式：x2＋4xy＋4y2，x2－4y2，x2＋2xy中，请你任选出两个分别作为分子和分母组成分式，并进行化简运算．
解：答案不唯一，选择x2＋4xy＋4y2，x2－4y2，则
＝
＝.
17．已知：x＝＋1，y＝－1，求的值．
解：原式＝＝.
当x＝＋1，y＝－1时，
原式＝＝＝.
03 综合题
18．已知＝1，＝2，＝3，则x的值是(B)
A．1 B. C. D．－1
19．已知－＝3，求分式的值．
解：由已知条件可知，xy≠0.
原式＝
＝，
因为－＝3，
所以原式＝＝9.
5.2 分式的乘除法
01 基础题
知识点1 分式的乘法
1．计算·的结果是(B)
A．ax B．bx C. D.
2．计算：·＝．
3．(2017·沈阳)计算：·＝．
4．计算：
(1)·；
解：原式＝＝.
(2)(2017·连云港)·.
解：原式＝·＝.
知识点2 分式的除法
5．计算3ab÷的结果是(D)
A．b2 B．18a C．9a D．9a2
6．(2017·咸宁)化简：÷＝x－1．
7．计算：
(1)÷；
解：原式＝·＝.
(2)÷；
解：原式＝·＝.
(3)÷(x＋1)．
解：原式＝·＝.
知识点3 分式乘除法的应用
8．甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修(a2－4)米，乙工程队每天修(a－2)2米(其中a>2)，则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？
解：÷＝.
答：甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍．
02 中档题
9．下列计算中正确的是(D)
A.·＝－
B.÷＝
C.÷·＝
D．()2÷()－1＝
10．现有A，B两个圆，A圆的半径为(a＞6)，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的(B)
A.倍 B.倍
C. D.
11．(2017·成都温江区期末)已知()2÷(－)2＝6，则x8y4的值为(B)
A．6 B．36 C．12 D．3
12．计算：
(1)()2·；
解：原式＝·
＝
＝.
(2)(a2＋3a)÷；
解：原式＝a(a＋3)·
＝a.
(3)÷·.
解：原式＝··
＝.
13．(2016·黄石)先化简，再求值：÷·，其中a＝2 016.
解：原式＝··
＝a＋1.
当a＝2 016时，原式＝2 016＋1＝2 017.
14．已知x－3y＝0，求·(x－y)的值．
解：原式＝·(x－y)
＝.
当x－3y＝0时，x＝3y.
原式＝＝＝.
15．许老师讲完了分式的乘除法一节后，给同学们出了这样一道题：
若x＝－2 018，求代数式÷·的值．
一会儿，小林说：“老师这道题目中的x＝－2 018是多余的．”请你判断小林的说法是否正确，并说明你的理由．
解：小林的说法是正确的．
理由：
÷·
＝··
＝1.
∵结果不含x，即与x无关，
∴x＝－2 018是多余的．
03 综合题
16．有甲、乙两筐水果，甲筐水果重(x－1)2千克，乙筐水果重(x2－1)千克(其中x>1)，售完后，两筐水果都卖了50元．
(1)哪筐水果的单价低？
(2)高的单价是低的单价的多少倍？
解：(1)由题可知，甲筐水果的单价为，
乙筐水果的单价为.
∵x＞1，
∴0<(x－1)2
答：乙筐水果的单价低．
(2)÷
＝·
＝.
答：高的单价是低的单价的倍．
5.3 分式的加减法
第1课时 同分母分式的加减法
01 基础题
知识点 同分母分式的加减法
1．在分式①；②；③；④中，分母相同的分式是(C)
A．①③④ B．②④
C．②③ D．①④
2．(2017·天津)计算＋的结果为(A)
A．1 B．a
C．a＋1 D.
3．(2017·丽水)化简＋的结果是(A)
A．x＋1 B．x－1
C．x－1 D.
4．计算：＋＝2．
5．计算：－＝．
6．计算：
(1)＋；
解：原式＝＝＝1.
(2)－；
解：原式＝
＝.
(3)＋.
解：原式＝－
＝
＝－1.
02 中档题
7．化简－的结果是(A)
A. B.
C. D.
8．(2017·河北)若＝( )＋，则( )中的数是(B)
A．－1 B．－2
C．－3 D．任意实数
9．计算：＋－.
解：原式＝－－
＝
＝
＝
＝－.
10．(2017·邵阳)先化简·＋，再在－3，－1，0，，2中任选一个合适的x值代入求值．
解：原式＝·＋
＝＋
＝
＝x.
∵分式中分母不能为0，
∴－3，0，2不可取，故只能取－1，.
当x＝－1时，原式＝－1；
当x＝时，原式＝.
03 综合题
11．当m≠0，且m－7n＝0时，求代数式－的值．
解：原式＝
＝
＝.
∵m≠0，且m－7n＝0，∴m＝7n.
∴原式＝＝＝.
第2课时 异分母分式的加减法
01 基础题
知识点1 分式的通分
1．分式与的最简公分母是(A)
A．10x7 B．7x7 C．10x11 D．7x11
2．分式经过通分后分母变为a2－b2，那么分子应变为(C)
A．3(a－b) B．3(a－b)2
C．3(a＋b) D．3(a2－b2)
3．(2017·成都温江区期末)分式－和的最简公分母是a(a＋b)．
4．通分：，.
解：最简公分母是12a2b2c.
＝，
＝.
知识点2 异分母分式的加减法
5.＋的运算结果正确的是(C)
A. B.
C. D．a＋b
6．化简－，可得(B)
A. B．－
C. D.
7．(2017·平顶山期末)分式＋的计算结果是(C)
A. B.
C. D.
8．已知x≠0，则＋＋＝.
9．计算：－＝．
10．下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题．
－
＝－第一步
＝2(x－2)－x－6第二步
＝2x－4－x＋6第三步
＝x＋2第四步
小明的解法从第二步开始出现错误，正确的化简结果是．
11．计算：
(1)－；
解：原式＝－
＝＝.
(2)－.
解：原式＝－
＝
＝.
知识点3 分式加减法的应用
12．国庆节期间，几名大学生包租了一辆车准备从市区到郊外游览，租金为300元，出发时，又增加了两名学生，总人数达到x名．
(1)原来平均每名学生需分摊车费元，现在平均每名学生需分摊车费元；
(2)开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊多少钱？
解：由题意，得
－＝＝.
答：开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊元钱．
02 中档题
13．(2017·山西)化简－的结果是(C)
A．－x2＋2x B．－x2＋6x
C．－ D.
14．计算：
(1)－；
解：原式＝－
＝
＝
＝.
(2)－－；
解：原式＝＋－
＝
＝
＝.
(3)－a－2.
解：原式＝－(a＋2)
＝－
＝.
15．已知代数式＋，回答下列问题：
(1)化简这个代数式；
(2)“当x＝1时，该代数式的值为0”，这个说法正确吗？请说明理由．
解：(1)原式＝＋
＝
＝
＝
＝.
(2)“当x＝1时，该代数式的值为0”，这个说法不正确．
理由：当x＝1时，代数式＋的分母为零，无意义．
16．现有大小两艘轮船，小船每天运x(x＞40)吨货物，大船比小船每天多运10吨货物．现在让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务．
(1)分别写出大船、小船完成任务所用的时间；
(2)试说明哪艘轮船完成任务所用的时间少？
解：(1)大船完成任务所用的时间为天；
小船完成任务所用的时间为天．
(2)－＝，
∵x＞40，
∴＞.
∴小船完成任务所用的时间少．
03 综合题
17．已知－＝(其中A，B为常数)，求A2 018B的值．
解：∵－＝
＝，
且－＝，
∴
解得
∴A2 018B＝－2.
第3课时 分式的加减混合运算
01 基础题
知识点1 分式的加减混合运算
1．化简＋－的结果是(D)
A. B.
C. D.
2．计算：－＋＝(C)
A. B.
C. D.
3．计算：
(1)－＋；
解：原式＝－＋
＝
＝.
(2)－＋.
解：原式＝
＝
＝.
知识点2 分式的化简与求值
4．(2016·沈阳)化简：(1－)·(m＋1)＝m．
5．先化简，再求值：
(1)＋，其中x＝3；
解：原式＝＋＝＝.
当x＝3时，原式＝1.
(2)－，其中x＝－2；
解：原式＝－
＝－
＝.
当x＝－2时，原式＝＝2.
(3)(2017·平顶山期末)÷(2＋)，其中x＝2.
解：原式＝÷＝.
当x＝2时，原式＝.
02 中档题
6．(2016·北京)如果a＋b＝2，那么代数式(a－)·的值是(A)
A．2 B．－2 C. D．－
7．若a2＋5ab－b2＝0，则－的值为5．
8．计算：
(1)－＋；
解：原式＝－－
＝
＝
＝
＝－.
(2)(2016·成都)(x－)÷；
解：原式＝·
＝x＋1.
(3)(2016·陕西)(x－5＋)÷.
解：原式＝·
＝(x－1)(x－3)
＝x2－4x＋3.
9．先化简，再求值：
(1)＋，其中a＝－2，b＝1；
解：原式＝＋
＝.
当a＝－2，b＝1时，原式＝＝2.
(2)(2017·朝阳期末)(1＋)÷，其中x＝－5.
解：原式＝÷
＝·
＝.
当x＝－5时，原式＝＝.
10．(2017·威海)先化简：÷(－x＋1)，然后从－＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
解：原式＝÷[－＋]
＝÷
＝·
＝－.
由题意，x可取2或－2.
∴当x＝2时，原式＝－；
当x＝－2时，原式＝.
03 综合题
11．化简求值：－＋－＋，其中x＝2.
解：原式＝(－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)
＝－
＝.
当x＝2时，原式＝－.
小专题(七) 分式的运算及化简求值
类型1 分式的运算
1．计算：
(1)＋；
解：原式＝＋
＝＋
＝
＝1.
(2)÷；
解：原式＝·
＝·
＝.
(3)(－)÷；
解：原式＝·
＝.
(4)－÷；
解：原式＝－·
＝－
＝.
(5)(2017·宜宾)(1－)÷；
解：原式＝(－)÷
＝·
＝.
(6)(a＋2－)÷；
解：原式＝·
＝·
＝·
＝.
(7)÷(x＋1－)；
解：原式＝÷
＝－·
＝－.
(8)(＋1)÷·.
解：原式＝··
＝.
类型2 分式的化简求值
2．(2017·郴州)先化简，再求值：－，其中a＝1.
解：原式＝－
＝
＝.
当a＝1时，原式＝＝.
3．先化简，再求值：(－)·(x－1)，其中x＝2.
解：原式＝·(x－1)＝.
当x＝2时，原式＝＝.
4．(2017·成都)化简求值：÷(1－)，其中x＝－1.
解：原式＝·＝，
∵x＝－1，
∴原式＝＝.
5．(2017·聊城)先化简，再求值：2－÷，其中x＝3，y＝－4.
解：原式＝2－·
＝2－
＝
＝.
当x＝3，y＝－4时，原式＝＝3.
6．先化简，再求值：(a＋)÷(a－2＋)，其中a满足a－2＝0.
解：原式＝÷
＝·
＝.
当a－2＝0，即a＝2时，原式＝3.
7．先化简，再求值：(1－)÷－，其中x满足x2－x－1＝0.
解：原式＝·－
＝x－
＝.
∵x2－x－1＝0，∴x2＝x＋1.
∴原式＝1.
8．(2017·遵义)化简分式：(－)÷，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．
解：原式＝[－]·
＝·
＝x＋2.
∵当x取2或3时，原式无意义，
∴x只能取1或4.
当x＝1时，原式＝3；
当x＝4时，原式＝6.
9．(2016·河南)先化简，再求值：(－1)÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
解：原式＝·
＝－·
＝.
解不等式组得－1≤x＜.
∴不等式组的整数解为－1，0，1，2.
∵当x＝0，－1或1时，原式无意义，
∴x只能取2.
当x＝2时，原式＝－2.
周周练(5.1～5.3)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．上复习课时，刘老师叫小聪举出一些分式的例子，他举出了：，，＋，，，请你判断一下其中正确的有(A)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．(2017·陕西蓝田县期末)要使分式有意义，则x的取值应满足(A)
A．x≠2 B．x≠－1
C．x＝2 D．x＝－1
3．分式，，，中，最简分式有(A)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．化简－的结果是(A)
A．m＋3 B．m－3
C. D.
5．若分式中的a，b的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值(A)
A．不变 B．是原来的3倍
C．是原来的6倍 D．是原来的
6．下列计算不正确的是(A)
A.＝ B.＝
C．3x2y÷＝ D.－＝
7．已知a＝＋2，b＝－2，则(－)÷的值为(B)
A．1 B. C. D.
8．甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，那么下列结论中正确的是(B)
A．甲、乙同时到达B地
B．甲先到达B地
C．乙先到达B地
D．谁先到达B地与速度v有关
二、填空题(每小题3分，共18分)
9．分式－与的最简公分母是12a3bc．
10．(2017·朝阳期末)当x＝－1时，分式值为0.
11．不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数是正数：．
12．(2017·榆林期末)化简：·＝．
13．已知＋＝4，则＝1．
14．某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树m棵，实际每小时植树的棵数比原计划每小时植树的棵数多10棵，那么实际比原计划提前了小时完成任务．(用含m的代数式表示)
三、解答题(共58分)
15．(20分)计算：
(1)3a2b·÷(－)；
解：原式＝·(－)
＝－1.
(2)÷；
解：原式＝·
＝.
(3)－；
解：原式＝－
＝
＝.
(4)·－.
解：原式＝·－
＝－
＝－
＝＝.
16．(8分)(2017·黔东南)先化简，再求值：(x－1－)÷，其中x＝＋1.
解：原式＝÷
＝·
＝x－1.
当x＝＋1时，原式＝.
17．(9分)按要求化简：(a－1)÷·，并选择你喜欢的整数a，b代入求值．
小聪计算这一题的过程如下：
解：原式＝(a－1)÷…①
＝(a－1)·…②
＝.…③
当a＝1，b＝1时，原式＝.…④
以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第①步(填序号)，原因：运算顺序错误；
还有第④步出错(填序号)，原因：a等于1时，原式无意义．
请你写出此题的正确解答过程．
解：原式＝(a－1)··
＝.
当a＝2，b＝1时，原式＝.(答案不唯一，只要a不等于0，1，－1，b不等于0，计算正确即可．)
18．(9分)在数学课上，老师对同学们说：“你们任意说出一个x的值(x≠－1，1，－2)，我立刻就知道式子(1＋)÷的结果．”请你说出其中的道理．
解：∵原式＝÷
＝·
＝x－1，
∴只要学生说出x的值，老师就可以说出答案．
19．(12分)阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．
解：由分母为－x2＋1，可设－x4－x2＋3＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b，则－x4－x2＋3＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b＝－x4－ax2＋x2＋a＋b＝－x4－(a－1)x2＋(a＋b)．
∵对于任意x，上述等式均成立，
∴∴
∴＝＝＋＝x2＋2＋.这样，分式被拆分成了一个整式x2＋2与一个分式的和．
请仿照上述过程将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．
解：设－x4－6x2＋8＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b＝－x4＋(1－a)x2＋a＋b，
可得解得
则原式＝x2＋7＋.
5.4 分式方程
第1课时 分式方程的概念及解法
01 基础题
知识点1 分式方程的概念
1．下列方程是分式方程的是(A)
A.＝ B.＝－2
C．2x2＋x－3＝0 D．2x－5＝
2．在关于x的方程：①＝＋；②－＝0；③mx＝x＋1(m，n均为常数)；④＝；⑤＝；⑥＋＝(a为常数)中，整式方程是②③④⑥，分式方程是①⑤.
知识点2 分式方程的解法
3．将分式方程＝去分母后得到整式方程，正确的是(A)
A．x－2＝2x B．x2－2x＝2x
C．x－2＝x D．x＝2x－4
4．(2016·成都)分式方程＝1的解为(B)
A．x＝－2 B．x＝－3
C．x＝2 D．x＝3
5．(2017·平顶山期末)分式方程＝的解为(C)
A．x＝1 B．x＝2
C．x＝3 D．x＝4
6．(2017·成都锦江区期末)解关于x的方程＝产生增根，则常数a的值等于(C)
A．2 B．－3
C．－4 D．－5
7．请你给x选择一个合适的值，使方程＝成立，你选择的x＝3．
8．(2017·朝阳期末)下面是解分式方程的过程，阅读完后请填空：
解方程：－＝45.
解：方程两边都乘2x，得960－600＝90x.
解这个方程，得x＝4.
经检验，x＝4是原方程的根．
第一步计算中的2x是分母x和2x的最简公分母；这个步骤用到的依据是等式的基本性质；解分式方程与解一元一次方程之间的联系是解分式方程就是利用等式的基本性质把分式方程转化为一元一次方程求解．
9．解方程：
(1)＝－1；
解：去分母，得－m＋3＝5.
解得m＝－2.
经检验，m＝－2是原方程的解．
(2)(2017·金华)＝；
解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得
2(x－1)＝x＋1.
解得x＝3.
经检验，x＝3是原方程的解．
∴原方程的解为x＝3.
(3)(2017·西安期中)＝1＋.
解：方程两边同乘(x－2)，得
1－x＝x－2－3.
解得x＝3.
检验：当x＝3时，x－2≠0.
∴原方程的解为x＝3.
02 中档题
10．(2017·成都)已知x＝3是分式方程－＝2的解，那么实数k的值为(D)
A．－1 B．0 C．1 D．2
11．(2017·泰安)分式与的和为4，则x的值为3．
12．(2017·陕西西安交大附中期中)若关于x的分式方程－＝1的解是非负数，则m的取值范围是m≥－4且m≠－3．
13．(2017·成都锦江区期末)对于非零的实数a，b，规定ab＝－.若2(2x－1)＝1，则x＝．
14．解方程：
(1)(2017·太原二模)＝－；
解：方程两边同时乘(9x－3)，得1＝3x－1＋6.
解得x＝－.
经检验，x＝－是原方程的解．
(2)(2017·陕西)－＝1；
解：(x＋3)2－2(x－3)＝(x－3)(x＋3)．
x2＋6x＋9－2x＋6＝x2－9.
x＝－6.
经检验，x＝－6是原方程的根．
(3)(2017·榆林期末)1－＝.
解：去分母，得x2－1－x2＋x＝2x＋3.
解得x＝－4.
经检验，x＝－4是原方程的解．
15．当x为何值时，分式的值比分式的值大3?
解：列方程得－＝3.解得x＝1.
经检验，x＝1是原方程的根．
所以x的值为1.
16．若分式方程－1＝有增根，求m的值．
解：将分式方程去分母，求出x＝m－2.
因为分式方程有增根，
所以增根可能是x＝1或x＝－2.
所以对应的m＝3或m＝0.
当m＝0时，分式方程变为－1＝0，此时，方程无意义，x＝－2不成立，前后矛盾．
所以m＝3.
03 综合题
17．若方程＋＝－1无解，求m的值．
解：方程无解，即解方程所得的根可能为增根，根据增根的意义，方程若有增根，增根为x＝3.
原方程去分母，得(3－2x)－(2＋mx)＝3－x.
整理，得(m＋1)x＝－2.
若m＋1＝0，即m＝－1时，方程(m＋1)x＝－2无解；
若m＋1≠0，则x＝－是增根．
此时－＝3.解得m＝－.
所以m的值为－1或－.
第2课时 分式方程的应用
01 基础题
知识点 分式方程的应用
1．为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A，B两类玩具，其中A类玩具的进价比B类玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同．设A类玩具的进价为m元/个，根据题意可列分式方程为(C)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
2．(2017·陕西师大附中期中)某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务，设原计划每天生产零件x个，依题意列方程为(A)
A.－＝5 B.－＝5
C.－＝5 D.＝1.5＋
3．为迎接2019年全国青运会，我市加紧城市建设的步伐，某城区对一条全长12 000 m的公路进行绿化带改造，计划每天完成绿化带改造任务x m，当x满足的方程为×＝时，下列对这一方程所反映的数量关系描述正确的是(A)
A．实际每天比计划多完成改造任务300 m，实际所用天数是计划的
B．实际每天比计划少完成改造任务300 m，计划所用天数是实际的
C．实际每天比计划多完成改造任务300 m，计划所用天数是实际的
D．实际每天比计划少完成改造任务300 m，实际所用天数是计划的
4．目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现：小琼步行13 500步与小刚步行9 000步消耗的能量相同，若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小刚多15步，则小刚每消耗1千卡能量需要行走30步．
5．某校学生利用双休时间去距学校20 km的白水寺参观，一部分学生骑自行车先走，过了40 min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，骑车学生的速度是15km/h.
6．(2017·宜宾)用A，B两种机器人搬运大米，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20袋大米，A型机器人搬运700袋大米与B型机器人搬运500袋大米所用时间相等．求A，B型机器人每小时分别搬运多少袋大米．
解：设A型机器人每小时搬运x袋大米，则B型机器人每小时搬运(x－20)袋大米．根据题意，得
＝.
解得x＝70.
经检验，x＝70是原分式方程的解，且符合题意．
则x－20＝50.
答：A型机器人每小时搬运70袋大米，B型机器人每小时搬运50袋大米．
7．(2016·威海)某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．
解：设乙班的达标率是x，则甲班的达标率为(x＋6%)．根据题意，得
＝.解得x＝0.9.
经检验，x＝0.9是所列方程的解，且符合题意．
答：乙班的达标率为90%.
02 中档题
8．某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：＋＝1，则方案③中被墨水污染的部分应该是(B)
A．甲先做了4天
B．甲、乙合做了4天
C．甲先做了工程的
D．甲、乙合做了工程的
9．(2017·通辽)一汽车从甲地出发开往相距240 km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快，比原计划提前24 min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．
解：设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/小时，根据题意，得
＝1＋＋.
解得x＝80.
经检验，x＝80是原方程的根，且符合题意．
答：汽车出发后第1小时内的行驶速度是80千米/小时．
10．(2017·日照)某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．
(1)问实际每年绿化面积为多少万平方米？
(2)为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
解：(1)设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米，根据题意，得
－＝4.
解得x＝33.75.
经检验，x＝33.75是原分式方程的解，且符合题意．
则1.6x＝1.6×33.75＝54.
答：实际每年绿化面积为54万平方米．
(2)设实际平均每年绿化面积增加a万平方米，根据题意，得
54×3＋2(54＋a)≥360.
解得a≥45.
答：实际平均每年绿化面积至少还要增加45万平方米．
03 综合题
11．为了充分利用雨水资源，幸福村的小明家和相邻的爷爷家采取了修建蓄水池、屋顶收集雨水的做法．已知小明和爷爷家的屋顶收集雨水的面积、蓄水池的容积和蓄水池已有水量如下表：
小明家
爷爷家
屋顶收集雨水面积(m2)
160
120
蓄水池容积(m3)
50
13
蓄水池已有水量(m3)
34
11.5
气象预报即将会下雨，为了收集尽可能多的雨水，下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取多少立方米的水注入小明家的
蓄水池？
解：设下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取x立方米的水注入小明家的蓄水池，由题意，得
＝.
解得x＝6.
经检验，x＝6是所列方程的解，且符合题意．
答：下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取6立方米的水注入小明家的蓄水池．
章末复习(五) 分式与分式方程
01 基础题
知识点1 分式及分式方程的有关概念
1．下列方程不是分式方程的是(D)
A.＝1 B.＋＝1
C.＋＝2 D.－＝x
2．(2017·陕西西安交大附中期中)(1)当x≠5时，分式有意义；
(2)当x＝－3时，分式的值为零．
知识点2 分式的基本性质
3．下列运算中，错误的是(D)
A.＝(c≠0) B.＝－1
C.＝ D.＝
4．通分：，.
解：最简公分母为x(x－2)2.
＝；
＝.
知识点3 分式的运算
5．(2017·陕西)化简－，结果正确的是(B)
A．1 B.
C. D．x2＋y2
6．化简：÷(－)＝．
7．计算：
(1)·；
解：原式＝·＝.
(2)(1＋)÷.
解：原式＝·＝.
知识点4 解分式方程
8．(2017·河南)解分式方程－2＝，去分母得(A)
A．1－2(x－1)＝－3 B．1－2(x－1)＝3
C．1－2x－2＝－3 D．1－2x＋2＝3
9．解方程：＝.
解：去分母，得2a＋2＝－a－4.
解得a＝－2.
经检验，a＝－2是分式方程的解．
知识点5 分式方程的应用
10．(2016·山西)甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600 kg，甲搬运5 000 kg所用的时间与乙搬运8 000 kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物．设甲每小时搬运x kg货物，则可列方程为(B)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
11．(2017·黄冈)黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元．已知学校用12 000元购买的科普类图书的本数与用9 000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
解：设科普类图书平均每本的价格为x元，则文学类图书平均每本的价格为(x－5)元．由题意，得
＝.解得x＝20.
经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意．
则20－5＝15.
答：学校购买科普类图书和文学类图书平均每本的价格分别是20元、15元．
02 中档题
12．(2016·河北)下列运算结果为x－1的是(B)
A．1－ B.·
C.÷ D.
13．观察下面一列有规律的数：，，，，，，…，根据其规律可知第n个数应是：(n为正整数)．
14．解方程：
(1)＝－1；
解：原方程可化为：
3(x－1)＝x(x＋1)－(x＋1)(x－1)．
解得x＝2.
检验：当x＝2时，(x＋1)(x－1)≠0，
∴原方程的解是x＝2.
(2)－＝.
解：方程两边同乘最简公分母x(x－2)，得
(x－2)(2x＋2)－x(x＋2)＝x2－2，解得x＝－.
检验：当x＝－时，x(x－2)≠0，
∴x＝－是原方程的解．
15．(2017·绵阳)先化简，再求值：(－)÷，其中x＝2，y＝.
解：原式＝[－]÷
＝(－)÷
＝·
＝.
当x＝2，y＝时，
原式＝＝－.
16．某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长3 600米道路的任务，按原计划完成总任务的后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．
(1)按原计划完成总任务的时，已抢修道路1_200米；
(2)原计划每小时抢修道路多少米？
解：设原计划每小时抢修道路x米，根据题意，得
＋＝10.
解得x＝280.
经检验，x＝280是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每小时抢修道路280米．
03 综合题
17．某饲养场为保障出品的猪肉不含任何激素，打算从源头——饲料抓起，于是派采购员去外地购买卫生饲料(不含激素)．现有甲、乙两位采购员两次去同一家饲料公司购买卫生饲料，两次卫生饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式不同，其中，甲每次购买1 000 kg，乙每次购买800元，设两次购买的卫生饲料的单价分别是x元/kg和y元/kg(x，y是正数，且x≠y)，那么甲、乙两人谁的购货方式更实惠？
解：甲两次购买卫生饲料的平均单价为
＝；
乙两次购买卫生饲料的平均单价为
1 600÷(＋)＝；
甲、乙所购卫生饲料的平均单价的差为
－＝＞0，
所以乙所购的卫生饲料的平均单价较低，乙的购货方式更实惠．
北师大版八年级下册数学 第六章 平行四边形 同步课时练习题
6．1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角的性质
01 基础题
知识点1 平行四边形的概念
1．在四边形ABCD中，若AB∥CD，BC∥AD，则四边形ABCD为平行四边形．
知识点2 平行四边形的对称性
2.如图，在▱ABCD中，点A关于点O的对称点是点C．
知识点3 平行四边形的边、角的性质
3．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，若∠A＝60°，则∠1的度数为(B)
A．120° B．60° C．45° D．30°
4．在▱ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，∠A＝30°，则CD＝3_cm，AD＝5_cm，∠B＝150°，∠C＝30°，∠D＝150°．
5．(2017·扬州)在▱ABCD中，∠B＋∠D＝200°，则∠A＝80°．
6．(2016·江西)如图，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为50°．
7．(2017·山西)已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF，连接EF，与对角线AC交于点O.求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵BE＝DF，
∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.
∵AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，∠E＝∠F.
∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴OE＝OF.
02 中档题
8．(2016·河北)如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(C)
A．66° B．104° C．114° D．124°
9．如图，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为(C)
A．3 B．6 C．12 D．24
10．(2017·绵阳)如图，将▱ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．若点A的坐标是(6，0)，点C的坐标是(1，4)，则点B的坐标是(7，4)．
11．(2017·陕西蓝田县期末)在▱ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH＝EH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BE∥CD.
∴∠E＝∠2.
∵CE平分∠BCD，
∴∠1＝∠2.
∴∠1＝∠E.
∴BE＝BC.
又∵BH⊥EC，
∴CH＝EH(三线合一)．
03 综合题
12．(2017·通辽)在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F.若AD＝11，EF＝5，则AB＝8或3．
提示：根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，得出AB＝BE＝CD＝CF，分两种情况，即可得到结论．
第2课时 平行四边形的对角线的性质
01 基础题
知识点 平行四边形的对角线互相平分
1．平行四边形的对角线一定具有的性质是(B)
A．相等 B．互相平分
C．互相垂直 D．互相垂直且相等
2．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是(C)
A．AB∥CD B．AB＝CD
C．AC＝BD D．OA＝OC
3．如图，在▱ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为(A)
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
4．若点O为▱ABCD的对角线AC与BD的交点，且AO＋BO＝11 cm，则AC＋BD＝22cm.
5．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是1＜OA＜4．
6．如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝18，且△AOB的周长为23，求AB的长．
解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝18，
∴AO＝AC＝6，
BO＝BD＝9.
又∵△AOB的周长为23，
∴AB＝23－(AO＋BO)＝23－(6＋9)＝8.
02 中档题
7．(2017·眉山)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为(C)
A．14 B．13 C．12 D．10
8．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10 cm，AD＝8 cm，AC⊥BC，则OB＝cm.
9．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为20．
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是AB边上一点，只用无刻度直尺在CD边上作点F，使得CF＝AE.
(1)作出满足题意的点F，简要说明你的作图过程；
(2)依据你的作图，证明：CF＝AE.
解：(1)连接EO并延长交CD于点F，则F点即为所求．
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AB∥CD.
∴∠BAO＝∠DCO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴AE＝CF.
03 综合题
11．如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内．若点B的落点记为B′，则DB′的长为．
6.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1、2
01 基础题
知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1．用两根长40 cm的木条，作为四边形的一组对边，再用两根长30 cm的木条作为四边形的另一组对边，拼成一个四边形，这个四边形是平行四边形，其根据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
2．已知四边形ABCD的四条边长依次为a，b，c，d，且满足(a－c)2＋(b－d)2＝0，求证：AB∥CD.
证明：∵(a－c)2＋(b－d)2＝0，
∴a－c＝0，b－d＝0.
∴a＝c，b＝d.
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥CD.
3．如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2.雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB＝CD且AD＝BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论．
证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC.
又∵EF⊥AD，
∴EF⊥BC.
知识点2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4．小李拿出两段长度相等的木棒平行摆放，然后顺次连接四个端点得到的图形一定是(C)
A．正方形 B．长方形
C．平行四边形 D．任意四边形
5．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：答案不唯一，如：AD＝BC(或AB∥DC)，使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线)．
6．如图，△ABC≌△A′B′C′，点B，C′，C，B′在同一直线上，且B与B′不重合，则以点A，B，A′，B′为顶点的四边形一定是平行四边形．(填某种特殊四边形的名称)
7．如图，在四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，BD⊥BC，AD＝11－x，BC＝x－5，则当x＝8时，四边形ABCD是平行四边形．
8．(2016·新疆)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD＝∠FCB＝90°.
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF.
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB(AAS)．
∴AD＝BC.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
02 中档题
9．不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(B)
A．AB∥CD，AD∥BC
B．AB∥CD，AD＝BC
C．AB∥CD，∠A＝∠C
D．AD∥BC，AD＝BC
10．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是(D)
A．AD＝BC B．CD＝BF
C．∠A＝∠C D．∠F＝∠CDE
11．如图，在平面直角坐标系中，以A(－1，0)，B(2，0)，C(0，1)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点的坐标的是(B)
A．(3，1) B．(－4，1)
C．(1，－1) D．(－3，1)
12．如图，▱ABCD中，点E，F分别为边AB，DC的中点，则图中平行四边形共有4个．
13．(2017·河南模拟改编)如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD.若∠ABC＋∠ADC＝120°，则∠A的度数是120°．
14．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝CB，
∠DAB＝∠BCD.
又∵△ADE和△BCF都是等边三角形，
∴DE＝BF，AE＝CF，∠DAE＝∠BCF＝60°.
∴∠BCD－∠BCF＝∠DAB－∠DAE，
即∠DCF＝∠BAE.
∴△DCF≌△BAE(SAS)．∴DF＝BE.
∴四边形BEDF是平行四边形．
03 综合题
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；同时，点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．求当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
解：由题意可知，AP＝t，CQ＝2t，CE＝BC＝8.∵AD∥BC，∴当PD＝EQ时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
①当2t＜8，即t＜4时，点Q在C，E之间，如图甲．
此时，PD＝AD－AP＝6－t，EQ＝CE－CQ＝8－2t，
由6－t＝8－2t，得t＝2.
图甲 图乙
②当8<2t<16且t<6，即4
由6－t＝2t－8，得t＝.
∴当运动时间t为2或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
第2课时 平行四边形的判定定理3
01 基础题
知识点 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1．下列能判定四边形是平行四边形的是(D)
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线互相垂直且相等
D．对角线互相平分
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(C)
A．AB∥CD，AD∥BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，AB∥CD
D．AB＝CD，AD＝BC
3．如图，AO＝OC，BD＝18 cm，则当OB＝9cm时，四边形ABCD是平行四边形．
4．要做一个平行四边形框架，只要将两根木条AC，BD的中点重叠并用钉子固定，这样四边形ABCD就是平行四边形，这种做法的依据是两条对角线分别平分的四边形是平行四边形．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO.
在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD(ASA)．
∴OB＝OD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
02 中档题
6．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有(B)
A．3种 B．4种
C．5种 D．6种
7．如图，AC，BD是相交的两条线段，点O为它们的中点．当BD绕点O旋转时，连接AB，BC，CD，DA，所得到的四边形ABCD始终为平行四边形．
8．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，AF＝CE，BH＝DG.求证：GF∥EH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
又∵AF＝CE，
∴AF－OA＝CE－OC，即OF＝OE.
同理：OG＝OH.
∴四边形EGFH是平行四边形．
∴GF∥EH.
03 综合题
9．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，点E在线段BO上从点B出发以1 cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O出发以2 cm/s的速度运动．若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，运动过程中是否存在某一时刻，使得四边形AECF为平行四边形？
解：要使四边形AECF为平行四边形，
则需AO＝OC，EO＝OF.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD＝6 cm.
∴EO＝6－t，OF＝2t.
由题意可得0≤t≤3.
∴6－t＝2t.
解得t＝2.满足0≤t≤3.
∴存在，当t为2时，四边形AECF是平行四边形．
第3课时 平行线之间的距离及平行四边形判定方法的选择
01 基础题
知识点1 平行线之间的距离
1．平行线之间的距离是指(B)
A．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段
B．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度
C．从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度
D．从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
2．如图，直线l1∥l2，△ABC的面积为10，则△DBC的面积(C)
A．大于10
B．小于10
C．等于10
D．不确定
3．如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB＝4 cm，S△ABC＝12 cm2，求△ABD中AB边上的高．
解：S△ABC＝AB·BC＝×4·BC＝12，
解得BC＝6.
∵AB∥CD，BC⊥AB，
∴点D到AB边的距离等于BC的长度．
∴△ABD中AB边上的高等于6 cm.
知识点2 平行四边形判定方法的选择
4．A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有4种．
5．如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，且AE＝CF，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H.求证：EF和GH互相平分．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
又∵AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∴AF∥CE.
同理可证：BE∥DF.
∴四边形GFHE是平行四边形，
∴EF与GH互相平分．
02 中档题
6．(2016·铜仁中考)已知直线a∥b∥c，a与b的距离为5 cm，b与c的距离为2 cm，则a与c的距离是(C)
A．3 cm B．7 cm
C．3 cm或7 cm D．以上都不对
7．如图，设M是▱ABCD一边上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则(A)
A．S＝S1＋S2 B．S＞S1＋S2
C．S＜S1＋S2 D．不能确定
8．如图，AF∥BD，AC＝BD，AE＝CF，下面给出四个结论：①AB＝CD；②BE＝DF；③S四边形ABDC＝S四边形BDFE；④ S△ABE＝S△CDF.其中正确的有(D)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是②③．
10．(2017·西安高新区期中)如图，将▱ABCD的AD边延长至点E，使DE＝AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD.
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)若AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵DE＝AD，F是BC边的中点，
∴DE＝FC，DE∥FC.
∴四边形CEDF是平行四边形．
(2)过点D作DN⊥BC于点N.
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝60°，
∴∠BCD＝∠A＝60°.∴∠NDC＝30°.
∵AB＝3，AD＝4.
∴DC＝3，NC＝DC＝，DN＝，
∴FN＝，则CE＝DF＝＝.
03 综合题
11．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B，C三点在格点上，格点△ABP的面积为△ABC的2倍，则格点P的个数有(D)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
小专题(八) 平行四边形的性质与判定的综合
1．如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形MNCD是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵M，N分别是AD，BC的中点，
∴MD＝NC，MD∥NC.
∴四边形MNCD是平行四边形．
2．(2017·大连)如图，在▱ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上．求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠BAC＝∠DCA.
∴180°－∠BAC＝180°－∠DCA，即∠EAB＝∠FCD.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°.
在△BEA和△DFC中，
∴△BEA≌△DFC(AAS)．
∴AE＝CF.
3．如图，已知四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，那么四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？
解：四边形ABCD是平行四边形．
理由如下：∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，且AD＝EF.
∵四边形EBCF是平行四边形，
∴EF∥BC，且EF＝BC.
∴AD∥BC，AD＝BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
4．如图，已知▱ABCD，AB＞AD，分别以点A，C为圆心，以AD，CB长为半径作弧，交AB，CD于点E，F，连接AF，CE.求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC.
根据题意，得AE＝AD，CF＝BC，
∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AF＝CE.
5．(2017·咸宁)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC.
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)连接AF，BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
证明：(1)∵BE＝FC，
∴BC＝FE.
在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE(SSS)．
(2)连接AF，BD，由(1)知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC＝∠DFE.
∴AB∥DF.
又∵AB＝DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
6．有一块形状如图所示的玻璃，AE∥CB，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB＝30 cm，BC＝70 cm，∠B＝60°，∠C＝150°，请根据测得的数据求出AD的长．
解：过点C作CG∥AB，交AD于点G.
∵AE∥BC，CG∥AB，
∴四边形ABCG是平行四边形．
∴CG＝AB＝30 cm，AG＝BC＝70 cm.
∵∠B＝60°，∴∠A＝180°－60°＝120°.
∴∠DGC＝∠A＝∠BCG＝120°.
∵∠BCD＝150°，
∴∠D＝180°－∠BCD＝30°，∠GCD＝∠BCD－∠BCG＝30°.
∴∠GCD＝∠D＝30°.
∴DG＝CG＝AB＝30 cm.
∴AD＝AG＋DG＝100 cm.
7．(2016·龙岩)如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上．
(1)给出以下条件：①OB＝OD；②∠1＝∠2；③OE＝OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；
(2)在(1)条件中你所选条件的前提下，添加AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：(1)答案不唯一，如：选取①②.证明如下：
在△BEO和△DFO中，
∴△BEO≌△DFO(ASA)．
(2)由(1)，得△BEO≌△DFO，
∴EO＝FO.
∵AE＝CF，
∴AO＝CO.
又∵BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
8．(2017·大庆)如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.
(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
解：(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C.
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴四边形CDEG是平行四边形．
∴∠DEG＝∠C.
∴∠ABC＝∠DEG.
∵BE＝BF，∴∠F＝∠BEF.
∵EG∥BC，∴∠AEG＝∠ABC.
∴∠DEG＝∠AEG.
又∵∠BEF＝∠AEG，
∴∠F＝∠DEG.
∴BF∥DE.
∴四边形BDEF为平行四边形．
(2)∵四边形BDEF为平行四边形，BD＝2，
∴EF＝BD＝2.
∵∠C＝45°，∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°.
∴△BDE，△BEF是等腰直角三角形．
∴BF＝BE＝BD＝.
作FM⊥DB于点M，连接DF.
则△BFM是等腰直角三角形，
∴FM＝BM＝BF＝1.∴DM＝3.
在Rt△DFM中，由勾股定理，得
DF＝＝，
即D，F两点间的距离为.
6.3 三角形的中位线
01 基础题
知识点1 三角形中位线定理
1．如图，在△ABC中，AB＝8，点D，E分别是BC，CA的中点，连接DE，则DE＝(B)
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图，等边△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则∠DEC的度数为(C)
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．(2017·张家界)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点．若△ADE的周长是6，则△ABC的周长是(B)
A．6 B．12 C．18 D．24
4．(2017·怀化)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为10cm.
5．如图，在△ABC中，点D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形．
证明：∵D，F分别是边AB，AC的中点，
∴DF∥BC.
同理：DE∥AC.
∴四边形DECF是平行四边形．
6．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，点E是AB的中点，连接DE.求线段DE的长．
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线．
∴点D是BC的中点．
又∵E是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE＝AC＝4.
7．(教材P152T3变式)如图，在四边形ABCD中，M，N，E，F分别为AD，BC，BD，AC的中点，求证：MN与EF互相平分．
证明：连接ME，EN，NF，MF.
在△ABD中，M，E分别为AD，BD的中点，
∴ME∥AB，ME＝AB.
在△ABC中，N，F分别为BC，AC的中点，
∴NF∥AB，NF＝AB.
∴ME∥NF，ME＝NF.
∴四边形MENF是平行四边形．
∴MN与EF互相平分．
知识点2 三角形中位线定理的应用
8．(2017·宜昌)如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝(B)
A．50 m B．48 m C．45 m D．35 m
9．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是(C)
A．15米 B．20米
C．25米 D．30米
02 中档题
10．(2016·陕西)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为(B)
A．7 B．8 C．9 D．10
11．如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE＝48°，则∠APD等于(B)
A．42° B．48°
C．52° D．58°
12．(2017·成都锦江区期末)如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，连接OA，点G，F分别为OC，OB的中点，BC＝7，AO＝5，则四边形DEFG的周长为(B)
A．10 B．12
C．14 D．24
13．如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1.若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′＝2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是(C)
A．h2＝2h1 B．h2＝1.5h1
C．h2＝h1 D．h2＝h1
14．如图，在长方形ABCD中，R为CD上一定点，P为BC上一动点，E，F分别是AP，RP的中点，当P从B向C移动时，线段EF的长度(C)
A．逐渐变小 B．逐渐变大
C．不变 D．无法确定
15．如图，AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，G，H分别为CF，CE的中点，则∠1＝145°．
16．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，求线段EF的长．
解：∵AF是△ABC的角平分线，
∴∠GAF＝∠CAF.
又∵CG⊥AD，
∴∠AFC＝∠AFG＝90°.
在△AGF和△ACF中，
∴△AGF≌△ACF(ASA)．
∴AG＝AC＝3，GF＝CF.
∴BG＝AB－AG＝4－3＝1.
又∵BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线．
∴EF＝BG＝.
03 综合题
17．如图，四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E，F分别为AD，BC的中点，延长BA，CD，分别交射线FE于P，Q两点．求证：∠P＝∠CQF.
证明：连接BD，作BD的中点M，连接EM，FM.
∵点E是AD的中点，
∴EM∥AB，EM＝AB，
∴∠MEF＝∠P.
同理可证：FM∥CD，FM＝CD.
∴∠MFE＝∠CQF.
又∵AB＝CD，
∴EM＝FM.
∴∠MEF＝∠MFE.
∴∠P＝∠CQF.
周周练(6.1～6.3)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．下面的性质中，平行四边形不一定具有的是(A)
A．对角互补 B．邻角互补
C．对角相等 D．对边相等
2．用一根6米长的绳子围成一个平行四边形，其中一边长1.6米，则其邻边长为(B)
A．1.2米 B．1.4米
C．1.6米 D．1.8米
3．(2017·陕西蓝田县期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，添加下列条件不能使四边形ABCD成为平行四边形的是(D)
A．AD＝BC
B．OA＝OC
C．∠ABC＋∠BCD＝180°
D．AB＝CD
4．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为(A)
A．9 B．10 C．11 D．12
5．(2017·平顶山市宝丰县期末)如图，▱ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，则∠DEA等于(D)
A．100° B．80°
C．60° D．40°
6．(2016·株洲)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是(D)
A．OE＝DC B．OA＝OC
C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE
7．(2017·青岛)如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为(D)
A. B. C. D.
8．如图所示，已知▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°.则下列结论：①四边形ABFE为平行四边形；②△ADE是等腰三角形；③▱ABCD与▱DCFE全等；④∠DAE＝25°.其中结论正确的个数为(B)
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．(2016·河南)如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E.若∠1＝20°，则∠2的度数为110°．
10．(2017·牡丹江)如图，点E，F分别放在▱ABCD的边BC，AD上，AC，EF交于点O，请你添加一个条件(只添一个即可)，使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是AF＝CE．
11．如图，在△ABC中，∠A＝∠B，D是AB上任意一点，DE∥BC，DF∥AC，AC＝4 cm，则四边形DECF的周长是8_cm．
12．如图，直线AE∥BD，点C在BD上．若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为8．
13．如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC＝50 cm，当跷跷板的一端B着地时，另一端A离地面的高度为100cm.
14．如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，∠BAC≠90°.将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形．若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出3种平行四边形．
三、解答题(共52分)
15．(10分)如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的∠1是65°，那么光线与纸板左上方所成的∠2是多少度？请说明理由．
解：∠2＝65°.
理由：由题意知AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴∠2＝∠1.
∵∠1＝65°，∴∠2＝65°.
16．(12分)如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF＝AB，连接EF.判断四边形ADEF的形状，并加以证明．
解：四边形ADEF是平行四边形．证明如下：
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE∥BF，DE＝AB.
∵AF＝AB，
∴DE＝AF.
∴四边形ADEF是平行四边形．
17．(14分)(2017·镇江)如图，点B，E分别在AC，DF上，AF分别交BD，CE于点M，N，∠A＝∠F，∠1＝∠2.
(1)求证：四边形BCED为平行四边形；
(2)已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
解：(1)证明：∵∠A＝∠F，
∴DF∥AC.
又∵∠1＝∠2，∠1＝∠DMF，
∴∠2＝∠DMF.
∴DB∥EC.
∴四边形BCED为平行四边形．
(2)∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠CBN.
∵BD∥EC，
∴∠DBN＝∠CNB.
∴∠CBN＝∠CNB.
∴BC＝CN.
∵四边形BCED为平行四边形，
∴BC＝DE＝2.
∴CN＝2.
18．(16分)已知，如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，试回答下列问题：
(1)求证：∠A＝∠C；
(2)如图2，若E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某点连接成一条线段，猜想并说明它与图中哪条已知线段相等(只需说明一组)；
(3)若E，F分别在AB，CD上，且DE＝BF，此时AE＝CF成立吗？若成立，说明理由；若不成立，也说明理由或画出示意图．
解：(1)证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠A＝∠C.
(2)猜想DE＝BF.
理由：连接BF.
∵AE＝CF，∠A＝∠C，AD＝CB，
∴△ADE≌△CBF(SAS)．∴DE＝BF.
(3)不成立．如图3.
从图上可以看出，在DC上可找到两点F和F′，分别和B连接得到的BF，BF′都和DE相等，但AE≠CF′.
6.4 多边形的内角和与外角和
第1课时 多边形的内角和
01 基础题
知识点 多边形的内角和
1．八边形的内角和为(C)
A．180° B．360°
C．1 080° D．1 440°
2．(2017·云南)已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是(C)
A．五边形 B．六边形
C．七边形 D．八边形
3．(n＋2)边形的内角和比n边形的内角和大(B)
A．180° B．360°
C．n·180° D．n·360°
4．(2017·北京)若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是(B)
A．6 B．12 C．16 D．18
5．一个多边形从一个顶点出发有4条对角线，这个多边形的内角和为(B)
A．720° B．900°
C．1 800° D．1 440°
6．已知两个多边形的内角和为1 800°，两个多边形的边数之比为1∶2，这两个多边形的边数分别为4和8．
7．(2017·邵阳)如图所示的正六边形ABCDEF，连接FD，则∠FDC的大小为90°．
8．小明想为校运动会设计一个内角和为2 018°的多边形图案标志，他的想法能实现吗？请你利用所学的知识加以说明
解：假设这样的多边形图案存在，其边数为n.
由(n－2)·180°＝2 018°，
解得n＝13.
因为求得的n不是整数，所以其想法不能实现．
02 中档题
9．(2017·宜昌)如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，那么下列四种剪法中，符合要求的是(B)
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
10．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为(C)
A．120° B．180° C．240° D．300°
11．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的和的大小为(B)
A．180° B．360° C．540° D．720°
12．如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝280°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是50°．
13．小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1 840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍．
(1)若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？
(2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
解：(1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，则
(n－2)·180°＝1 840°－x.
∵1 840°＝10×180°＋40°，内角和为180°的倍数，
∴x＝40°，n－2＝10.∴n＝12.
故这个多边形的边数是12.
(2)设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是x，则
(n－2)·180°＝1 840°＋x，
∵1 840°＝10×180°＋40°，内角和为180°的倍数，
∴x＝140°.
∴(n－2)×180°＝1 840°＋140°.
∴n＝13.
故漏算的那个内角是140°，这个多边形是十三边形．
第2课时 多边形的外角和
01 基础题
知识点 多边形的外角及外角和
1．五边形的外角和等于(B)
A．180° B．360°
C．540° D．720°
2．(2017·阿坝)已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是(C)
A．8 B．9
C．10 D．11
3．下列多边形中，内角和与外角和相等的是(A)
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．八边形
4．(2016·临沂)一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于(C)
A．108° B．90°
C．72° D．60°
5．(2017·遵义)正多边形的一个外角是30°，则这个多边形的内角和的度数是1_800°．
6．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的四个外角．若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝300°．
7．(2017·陕西蓝田县期末)一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，求这个多边形的边数．
解：设多边形的边数为n.由题意，得
(n－2)·180°＝5×360°.
解得n＝12.
∴这个多边形的边数为12.
02 中档题
8．一个n边形变成n＋1边形，外角和将(D)
A．减少180° B．增加90°
C．增加180° D．不变
9．若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是(A)
A．3 B．4
C．5 D．6
10．一块四边形绿化园地，四角向外都做有半径为6的扇形喷水池(阴影部分)，则这四个喷水池面积和为36π(结果保留π)．
11．已知一个多边形的每个内角都比相邻外角的3倍还多20°，求这个多边形的边数．
解：设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角等于(3α＋20)°，由题意，得
(3α＋20)＋α＝180.
解得α＝40，即多边形的每个外角为40°.
又∵多边形的外角和为360°，360÷40＝9，
∴多边形的边数为9.
03 综合题
12．如图所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时：
(1)整个行走路线是什么图形？
(2)一共走了多少米？
解：(1)设行走路线是正n边形，依题意，得n＝＝9.
所以行走路线是正九边形．
(2)8×9＝72(米)．
答：一共走了72米．
章末复习(六) 平行四边形
01 基础题
知识点1 平行四边形的性质与判定
1．下列说法错误的是(D)
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
2．(2016·丽水)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为(B)
A．13 B．17 C．20 D．26
3．(2017·抚顺)如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD＝3时，线段BC的长为3．
4．(2017·菏泽)如图，E是▱ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F.若CD＝6，求BF的长．
解：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AB∥CD.
∴∠F＝∠DCE.
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(AAS)．
∴AF＝CD＝6.
∴BF＝AB＋AF＝12.
5．(2016·张家界)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．
解：四边形ABFC是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠EFC ＝∠EAB.
∵E是BC的中点，
∴EB＝EC.
在△EFC和△EAB中，
∴△EFC≌△EAB(AAS)．
∴EF＝EA.
又∵EB＝EC，
∴四边形ABFC是平行四边形．
知识点2 三角形的中位线
6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F在BC上，DE是∠AEF的平分线．若∠C＝80°，则∠EFB的度数是(A)
A．100° B．110° C．115° D．120°
7．(2017·河北)如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离，于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200 m，则A，B之间的距离为100m.
8．如图，在△ABC中，点D在BC上，BD＝AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN.若AB＝5，BC
＝8，则MN＝1.5．
知识点3 多边形的内角和与外角和
9．内角和为540°的多边形是(C)
10．(2017·湖州)已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是5．
02 中档题
11．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.若▱ABCD的周长为48，DE＝5，DF＝10，则▱ABCD的面积等于(B)
A．87.5 B．80
C．75 D．72.5
12．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2 340°的新多边形，则原多边形的对角线条线为(A)
A．77 B．90 C．65 D．104
13．如图是由4个边长为1的正方形构成的网格．用没有刻度的直尺在这个网格中最多可以作出一组对边长度为的平行四边形的个数是(C)
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
14．(2017·武汉)如图，在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE＝AB，则∠EBC的度数为30°．
15．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1三边的中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2三边的中点，得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为1．
16．如图，Rt△ACB中，已知∠BAC＝30°，BC＝2，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
(1)求证：四边形ADFE是平行四边形；
(2)求四边形ADFE的周长．
解：(1)证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC.
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF.
∴AF＝BC.
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∴Rt△AFE≌Rt△BCA(HL)．
∴EF＝AC.
∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD.
∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°.∴AD⊥AB.
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD.
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD.
∴四边形ADFE是平行四边形．
(2)∵∠BAC＝30°，BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AB＝AE＝4.
∵AF＝BF＝AB＝2，
∴EF＝AD＝2.
故四边形ADFE的周长为4＋4＋2＋2＝8＋4.
03 综合题
17．如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)如果∠OBC＝45°，∠OCB＝30°，OC＝4，求EF的长．
解：(1)证明：∵AB，OB，OC，AC的中点分别为D，E，F，G，
∴DG∥BC，DG＝BC，EF∥BC，EF＝BC.
∴DG∥EF，DG＝EF.
∴四边形DEFG是平行四边形．
(2)过点O作OM⊥BC于点M，
在Rt△OCM中，∠OCM＝30°，OC＝4，
∴OM＝OC＝2.
∴CM＝2.
在Rt△OBM中，∠OBM＝∠BOM＝45°，
∴BM＝OM＝2.
∴BC＝BM＋CM＝2＋2.
∴EF＝BC＝1＋.
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