2020-2021学年河北省五校联盟高二（下）期末数学试卷

2020-2021学年河北省五校联盟高二（下）期末数学试卷

一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。1-8题为单选，每小题5分；9-12题为多选，全对得5分，部分正确得2分，选错得0分）

1．（5分）已知集合，，，，则中元素个数为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

2．（5分）设向量，则“”是“”成立的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）在中，为边上任意一点，为线段上靠近点的三等分点，若，则　　

A． B． C． D．1

4．（5分）已知函数，则不等式的解集为　　

A． B． C． D．

5．（5分）随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是2014年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中正确的是　　

①2015年至2020年，中国雪场滑雪人次逐年减少

②2015年至2017年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加

③2020年与2015年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等

④2020年与2018年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为

A．②④ B．①② C．②③ D．①④

6．（5分）已知定义在上的偶函数在上单调递减，则　　

A． 

B． 

C． 

D．

7．（5分）面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力的技术手段，中国疫苗的上市为全球战胜疫情注入信心．各地通过多种有效措施加快推进新冠病毒疫苗接种，目前接种能力显著提升．同时根据任务需要，针对市民关心的问题，某市需要在每个接种点安排专职负责健康状况询问与接种禁忌核查的医师．经协商，现安排甲、乙、丙等5位医师前往、、、四个接种点进行答疑解惑．每位医师去一个接种点，每个接种点至少安排一名医师，其中，甲必须去地，乙与丙需要安排到不同的接种点，则不同的安排方法共　　

A．120种 B．54种 C．336种 D．80种

8．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴，的直线与该双曲线的左支交于，两点，，分别交轴于，两点，若的周长为12，则当取得最大值时，该双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

9．（5分）已知各项均为正数的等比数列，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）已知，则　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）在如图所示的几何体中，底面是边长为2的正方形，，，，均与底面垂直，且，点，分别为线段，的中点，则下列说法正确的是　　

A．直线与平面平行 

B．三棱锥的外接球的表面积是 

C．点到平面的距离为 

D．若点在线段上运动，则异面直线和所成角的取值范围是

12．（5分）已知定义在上的函数满足，且当时，，若方程有两个不同的实数根，则实数可以是　　

A． B． C． D．

二．填空题（共4小题，每题5分）

13．（5分）已知是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第 　　象限．

14．（5分）已知圆的圆心，其中，圆与轴相切且半径为1，直线过点且倾斜角为，直线与圆交于、两点，则的面积为 　　．

15．（5分）已知为常数，，函数的最大值为，则的值为 　　．

16．（5分）设为坐标原点，抛物线，焦点坐标为　　，过的直线与抛物线的第一象限的交点为，若点满足，求直线斜率的最小值 　　．

三．解答题（共6小题，17题10分，其他题目每题12分）

17．（10分）的内角，，所对的边分别为，，，且满足．

（1）求．

（2）若，且向量与垂直，求的面积．

18．（12分）已知等差数列的前项和为，且，是与的等比中项，

（1）求数列的通项公式；

（2）从①，②这两个条件中任选一个补充在下列问题中，并解答：

数列满足 ____，其前项和为，求．

19．（12分）九个人围成一圈传球，每人可传给圈中任何人（自己除外），现在由甲发球．

（1）求经过3次传球，球回到甲的手里的概率；

（2）求经过次传球，球回到甲手里的概率．

20．（12分）为等腰直角三角形，，，、分别为边、的中点，将三角形沿折起，使到达点，且，为中点．

（1）求证：平面．

（2）求二面角的余弦值．

21．（12分）已知椭圆过点，，为椭圆的左、右顶点，且直线，的斜率的乘积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过左焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．

22．（12分）已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．

2020-2021学年河北省五校联盟高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。1-8题为单选，每小题5分；9-12题为多选，全对得5分，部分正确得2分，选错得0分）

1．（5分）已知集合，，，，则中元素个数为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解：，，，，

，，，，

中元素个数为4．

故选：．

2．（5分）设向量，则“”是“”成立的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：，，，

或，

不存在或，

是成立的必要不充分条件，

故选：．

3．（5分）在中，为边上任意一点，为线段上靠近点的三等分点，若，则　　

A． B． C． D．1

【解答】解：在中，为边上任意一点，

则：，

所以：，

为线段上靠近点的三等分点，

则：，

所以，

由于：，

故：．

故选：．

4．（5分）已知函数，则不等式的解集为　　

A． B． C． D．

【解答】解：时，，即，解得：，故，

时，，即，解得：，故，

综上，不等式的解集是，，

故选：．

5．（5分）随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是2014年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中正确的是　　

①2015年至2020年，中国雪场滑雪人次逐年减少

②2015年至2017年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加

③2020年与2015年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等

④2020年与2018年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为

A．②④ B．①② C．②③ D．①④

【解答】解：由统计图可知，2015年至2020年，中国雪场滑雪人次逐年递增，故①错误，

2015年至2017年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，故②正确，

2020年与2015年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是2014年滑雪人次为800万，

2019年滑雪人次为1750万，同比增长基数差距大，同比增长人数不相等，故③错误，

2020年与2018年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为，故④正确．

故正确的为②④．

故选：．

6．（5分）已知定义在上的偶函数在上单调递减，则　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：因为，，，

则，

又，，

因为义在上的偶函数在上单调递减，

所以在上单调递增，

则，

即．

故选：．

7．（5分）面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力的技术手段，中国疫苗的上市为全球战胜疫情注入信心．各地通过多种有效措施加快推进新冠病毒疫苗接种，目前接种能力显著提升．同时根据任务需要，针对市民关心的问题，某市需要在每个接种点安排专职负责健康状况询问与接种禁忌核查的医师．经协商，现安排甲、乙、丙等5位医师前往、、、四个接种点进行答疑解惑．每位医师去一个接种点，每个接种点至少安排一名医师，其中，甲必须去地，乙与丙需要安排到不同的接种点，则不同的安排方法共　　

A．120种 B．54种 C．336种 D．80种

【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①将5人分为4组，要求乙与丙不在同一组，有种分组方法，

②将甲所在组分到地，剩下3组安排到其他3个地方，有种安排方法，

则有种安排方法，

故选：．

8．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴，的直线与该双曲线的左支交于，两点，，分别交轴于，两点，若的周长为12，则当取得最大值时，该双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可得为的中位线，

由中位线定理和的周长为12，

可得的周长为24，

即，

由双曲线的定义可得，

即，，

，，

，，

，，函数递增；，，函数递减，

时，取得最大值，，

可得双曲线的渐近线方程为．

故选：．

9．（5分）已知各项均为正数的等比数列，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：设等比数列的公比为，由，，得，即，

解得或（舍去），所以，由于，所以，故选项对，错．

，所以选项正确；

对于选项：左边右边，所以正确．

故选：．

10．（5分）已知，则　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：令，可得，故正确；

，故错误；

令，可得，

所以，故正确；

令，可得，

又，

两式相减可得，故错误．

故选：．

11．（5分）在如图所示的几何体中，底面是边长为2的正方形，，，，均与底面垂直，且，点，分别为线段，的中点，则下列说法正确的是　　

A．直线与平面平行 

B．三棱锥的外接球的表面积是 

C．点到平面的距离为 

D．若点在线段上运动，则异面直线和所成角的取值范围是

【解答】解：如图建立空间直角坐标系，可得，0，，，2，，，2，，，0，，

，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，，2，，

对于，2，，

设平面的法向量，，，

，2，，，2，，

所以，

令，得，，

所以，1，，

所以，2，，1，，

所以直线与平面平行，故正确；

对于：三棱锥的外接球的球心为，，，

则，

所以，

解得，，

，

所以三棱锥的外接球的体积为，故不正确；

对于，

，

，

，

所以，

所以，

，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以点到平面的距离为，故正确；

对于：设，0，，

，，，，0，，

所以，

，，

所以异面直线和所成角的取值范围是，．故不正确；

故选：．

12．（5分）已知定义在上的函数满足，且当时，，若方程有两个不同的实数根，则实数可以是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，且当，时，

当，时，，

则，

当，时，，在，上单调递增，

当，时，，在，上单调递减．

方程有两个不同的实数根，

函数的图像和直线有两个不同的交点，

作出函数的大致图像如图所示，

当直线和的图像相切时，结合图像，设切点为，，

由方程，可得，，

代入方程，可得，

当直线过点，时，，

当直线过点时，．

由图可知，若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为，．

结合选项可得，的取值可以是．

故选：．

二．填空题（共4小题，每题5分）

13．（5分）已知是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第 　四　象限．

【解答】解：，，

，

在复平面内对应的点位于第四象限，

故答案为：四．

14．（5分）已知圆的圆心，其中，圆与轴相切且半径为1，直线过点且倾斜角为，直线与圆交于、两点，则的面积为 　　．

【解答】解圆的圆心，其中，圆与轴相切且半径为1

圆的圆心为，圆的直角坐标方程为，

直线过点且倾斜角为，

直线的直角坐标方程为，

，，

，，，，

的面积．

故答案为：．

15．（5分）已知为常数，，函数的最大值为，则的值为 　　．

【解答】解：函数，

由于函数的最大值为，

所以，

整理得，

所以．

故答案为：．

16．（5分）设为坐标原点，抛物线，焦点坐标为　　，过的直线与抛物线的第一象限的交点为，若点满足，求直线斜率的最小值 　　．

【解答】解：由题意可得抛物线的标准方程为：，焦点坐标为，

设，，

因为，设，

则，，，

所以可得：，，

所以，，

所以，

当且仅当，即时取等号，

故答案为：．

三．解答题（共6小题，17题10分，其他题目每题12分）

17．（10分）的内角，，所对的边分别为，，，且满足．

（1）求．

（2）若，且向量与垂直，求的面积．

【解答】解：（1），

，

运用正弦定理，可得，化简整理，可得，

，

，即，

，

．

（2）向量与垂直，

，即，由正弦定理，可得，

又，，

在中，运用余弦定理，可得，解得，，

的面积．

18．（12分）已知等差数列的前项和为，且，是与的等比中项，

（1）求数列的通项公式；

（2）从①，②这两个条件中任选一个补充在下列问题中，并解答：

数列满足 ____，其前项和为，求．

【解答】解：（1）等差数列的前项和为，且，是与的等比中项，

设首项为，公差为，

所以，解得，

故．

（2）选条件①时，

所以，①，

②，

①②得：；

选条件②时，，

所以．

19．（12分）九个人围成一圈传球，每人可传给圈中任何人（自己除外），现在由甲发球．

（1）求经过3次传球，球回到甲的手里的概率；

（2）求经过次传球，球回到甲手里的概率．

【解答】解：（1）设经过次传球，球回到甲手里的概率为，

由题意可知，，，；

（2）分析可得，

所以，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

故，

所以．

20．（12分）为等腰直角三角形，，，、分别为边、的中点，将三角形沿折起，使到达点，且，为中点．

（1）求证：平面．

（2）求二面角的余弦值．

【解答】（1）证明：因为，分别为，的中点，所以，

因为，，，，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面，

因为，则平面，又平面，

所以，

在直角三角形中，，，

则，

故为等边三角形，又为的中点，所以，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面；

（2）解：取的中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

则，

所以，，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，故，

同理可得平面的法向量为，

所以，

故二面角的余弦值为．

21．（12分）已知椭圆过点，，为椭圆的左、右顶点，且直线，的斜率的乘积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过左焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．

【解答】解：（1）因为椭圆过点，

所以①，

由题可知，，

所以，，

又直线，的斜率的乘积为．

所以，

解得，，

代入①，得，

所以椭圆的方程为．

（2）由（1）可知，

所以，则，

设直线的方程为，，，，，

联立，得，

所以，，

所以由弦长公式可得

，

，，

所以，

所以，

所以的最小值为1．

22．（12分）已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1），，

当，时，，，，而且，

故，递减，

当时，，，，而且，

故，递增；

故在，递减，在递增；

（2）存在，使得成立，

即存在，使得成立，

即存在，使得成立，

设，，

，故在，递减，在递增，

，在，递减，在递增，

结合本题第（1）问，在，递减，在递增，

则函数在，递减，在递增，

故，故只需，即，

即实数的取值范围是，．

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