陕西省西安市雁塔区高新一中2022年三模中考数学试卷及答案

这是一份陕西省西安市雁塔区高新一中2022年三模中考数学试卷及答案，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 三模中考数学试卷
一、单选题
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．计算（﹣2a2）3÷a3的结果是（　　）
A．﹣8a3 B．﹣8a2 C．﹣6a3 D．﹣6a2
4．如图，AB∥CD，BC为∠ACD的角平分线，∠1＝155°，则∠2为（　　）

A．155° B．130° C．150° D．135°
5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝ ，OD＝1，则cos∠BOC的值为（　　）

A． B． C． D．
6．已知一次函数y＝﹣ x+2的图象，绕x轴上一点P（m，0）旋转180°，所得的图象经过（0．﹣1），则m的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
7．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C为 的中点，D为圆上一点，∠ADC＝30°，⊙O的半径为4，则圆心O到弦AB的距离是（　　）

A．2 B．2 C．4 D．2
8．已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（　　）
A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3
二、填空题
9．比较大小：3 　 　5 （填“＞”，“＝”“＜”）.
10．如图，六边形ABCDEF为正六边形，四边形ABGH为正方形，则∠BCG的度数为　 　.

11．在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上．点 关于 轴的对称点 在双曲线 上，则 的值为　 　.
12．如图，在▱ABCD中，已知AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AF＝4，DF＝CE＝3，则▱ABCD的面积为　 　.

13．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是▱ABCD内一动点，且S△PBC＝ S△PAD，则PA＋PD的最小值为　 　.

三、解答题
14．计算： .
15．解不等式： .
16．化简： .
17．如图，已知锐角△ABC，请在AC边上求作一点P，使∠PBC＋∠C＝90°，（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

18．已知：如图，点E、F在BC上，AF与DE交于点G，AB＝DC，GE＝GF，∠B＝∠C.求证：AG＝DG.

19．李优用172元买了甲、乙两种书共10本，甲种书每本18元，乙种书每本10元，李优买甲、乙两种书各多少本？
20．如图，A，B，C，D四张卡通图片是西安进行核酸检测的贴纸“清零四宝”，卡片的正面分别印有A：大熊猫，B：金丝猴，C：羚牛，D：朱鹮这四个图案（这四张卡片除正面图案外，其余都相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀.

（1）从中随机抽取一张，抽得的卡片是“大熊猫”图案的概率是　 　；
（2）若从这四张卡通图片中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张中随机抽取一张，请利用画树状图或列表的方法，求这两张卡片上的动物均为哺乳动物的概率.
21．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.如图，张红武和袁浪浪测量袁浪浪的弟弟所放风事的高度，已知张红武站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看风筝头部E的仰角为37°，袁浪浪蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看风筝头部E的仰角为45°.两人相距20米且位于风筝同侧（点B、D、F在同一直线上）.求风筝EF的高度.（结果精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

22．某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月平均用水量（单位：t）.根据调查结果，绘制出的条形统计图和扇形统计图如下：

根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接补全上面条形统计图，m＝　 　；
（2）本次调查的家庭月平均用水量的众数是　 　t，中位数是　 　t；
（3）该社区共计有1000户家庭，请你估计该社区的月平均用水量.
23．某校为改善办学条件，计划购进A、B两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如表：
规格
线下
线上
单价（元/个）
运费（元/个）
单价（元/个）
运费（元/个）
A
240
0
210
20
B
300
0
250
30
（1）如果在线上购买A、B两种书架20个，共花费y元，设其中A种书架购买x个，求y关于x的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱.
24．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，△ABC的外角平分线BD交⊙O于点D，DE与⊙O相切，交CB的延长线于点E，连接AD.

（1）求证： ∥DE；
（2）若BD＝2 ，BE＝2，求CB的长.
25．已知抛物线L：y＝x2﹣4x＋2，其顶点为C.
（1）求点C的坐标；
（2）若M为抛物线L上一点，抛物线L关于点M所在直线x＝m对称的抛物线为L'，点C的对应点为C'，在抛物线L上是否存在点M，使得△CMC′为等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
26．
（1）问题探究
如图①，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，请求出四边形ABCD的面积；
（2）问题解决
如图②，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，BD＝4.某工厂需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合图②中条件的四边形，裁取时要求尽可能节约，你能求出此时四边形ABCD面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由.

答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、 是循环小数，是有理数，故该选项不符合题意；
B、 是整数，是有理数，故该选项不符合题意；
C、 是整数，是有理数，故该选项不符合题意；
D、 是无限不循环小数，是无理数，故该选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，逐项进行判断即可得出答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
3．【答案】A
【解析】【解答】解： .
故答案为：A.
【分析】先算积的乘方以，然后结合单项式与单项式的除法法则进行计算.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝155°，
∴∠DCB＝180°-∠1＝25°.
∵BC为∠ACD的角平分线，
∴∠ACD＝2∠DCB=50°，
∴∠2＝180°-∠ACD=130°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质可得∠DCB+∠1＝180°，结合∠1的度数可得∠DCB的度数，根据角平分线的概念求出∠ACD的度数，然后根据平角的概念进行计算.
5．【答案】D
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是矩形
， ，OA=OB
，


.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质可得BD=2OD=2，∠BAD=90°，OA=OB，根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA，由三角函数的概念求出cos∠ABD的值，再结合特殊角的三角函数值得∠ABD=30°，根据外角的性质可得∠BOC=60°，然后根据特殊角的三角函数值进行计算.
6．【答案】C
【解析】【解答】∵一次函数y＝﹣ x+2的图象，绕x轴上一点P（m，0）旋转180°，所得的图象经过（0．﹣1），
∴设旋转后的函数解析式为y＝﹣ x﹣1，
在一次函数y＝﹣ x+2中，令y＝0，则有﹣ x+2＝0，解得：x＝4，
即一次函数y＝﹣ x+2与x轴交点为（4，0）．
一次函数y＝﹣ x﹣1中，令y＝0，则有﹣ x﹣1＝0，解得：x＝﹣2，
即一次函数y＝﹣ x﹣1与x轴交点为（﹣2，0）．
∴m＝ ＝1，
故答案为：C．
【分析】根据题意得出旋转后的函数解析式为y=- x-1，然后根据解析式求得与x轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OC，OC交AB于点E，

∵点C是 中点，
∴OC⊥AB，
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=2∠ADC=60°，
∴∠OAE=30°，
∴在Rt△AOE中， ，
故圆心O到弦AB的距离为2.
故答案为：B.
【分析】连接OA、OC，OC交AB于点E，则OC⊥AB，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ADC=60°，则∠OAE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OE=OA，据此计算.
8．【答案】C
【解析】【解答】解： 二次函数y＝x2＋bx＋c的开口向上，当x＞0时，函数的最小值为－3，当x≤0时，函数的最小值为－2，
该函数图象的对称轴所在直线在y轴的右侧，
， ，且 时，y=c=－2，
， ，解得 ，
.
故答案为：C.
【分析】由题意可得函数图象的对称轴所在直线在y轴的右侧，则>0，根据最小值为x=-3可得顶点的纵坐标为-3，即 ，且当x=0时，y=c=-2，代入求解可得b的值.
9．【答案】＜
【解析】【解答】解： (3)2=27，(5)2=75，27<75，

故答案为：＜.
【分析】首先分别求出两数的平方，然后进行比较.
10．【答案】15°
【解析】【解答】解：∵ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，
∴AB=BC=BG，
∴∠BCG=∠BGC，
∵正六边形ABCDEF的每一个内角是4×180°÷6=120°，
正方形ABGH的每个内角是90°，
∴∠CBG=360°−120°−90°=150°，
∴∠BCG+∠BGC=180°−150°=30°，
∴∠BCG=15°.
故答案为：15°.
【分析】根据正多边形的性质可得AB=BC=BG，由等腰三角形的性质可得∠BCG=∠BGC，根据正多边形的性质及内角和公式可得∠CBA=120°，∠ABG=90°，结合周角为360°可得∠CBG=150°，根据内角和定理可得∠BCG+∠BGC=30°，据此求解.
11．【答案】0
【解析】【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线 上，
∴k1=ab；
又∵点A与点B关于x轴的对称，
∴B（a，-b）
∵点B在双曲线 上，
∴k2=-ab；
∴k1+k2=ab+（-ab）=0；
故答案为：0．

【分析】根据点A在双曲线上以及点A和点B关于x轴对称，所以可以得到两个斜率的和。
12．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC，

∵AF⊥CD，AF=4，DF=3，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，AB=CD，
∴BE=BC-CE=2，
设AB=CD=x，则CF=x-3，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：.
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AD，根据平行四边形的性质得BC=AD=5，AB=CD，则BE=BC-CE=2，设AB=CD=x，则CF=x-3，根据勾股定理可得x，再利用勾股定理求出AE，接下来根据平行四边形的面积公式进行计算.
13．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，过点P作直线 l∥AD，作点A关于直线l的对称点A'，连接AA'交直线l于E，交BC于F，连接A'P ，则A'P=AP，AE=AE'， AA'垂直于直线l，

∴ ，
∴当 、P、D三点共线时，PA+PD有最小值，即 ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，AD=BC，
∴ ，
∵AB=6，∠AFB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAF=30°，
∴BF=3，
∴ ，
∵S△PBC＝ S△PAD，
∴ ，
∴ ，
又∵AE+EF=AF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴PA+PD的最小值为 .
故答案为：.
【分析】过点P作直线l∥AD，作点A关于直线l的对称点A′，连接AA′交直线l于E，交BC于F，连接A′P ，则A′P=AP，AE=AE′，AA′垂直于直线l，当A′、P、D三点共线时，PA+PD有最小值，即A′D，易得∠BAF=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BF=3，利用勾股定理可得AF，根据三角形的面积公式可得AE=2EF，结合AE+EF=AF可得AE，然后求出AA′，再利用勾股定理计算即可.
14．【答案】解：


.
【解析】【分析】根据二次根式的除法法则、绝对值的性质以及负整数指数幂的运算性质分别化简，然后去括号，再根据二次根式的减法法则以及有理数的加法法则进行计算.
15．【答案】解： ，
由①得， ，解得 ，
由②得， ，解得 ，
所以，原不等式组的解集为 .
【解析】【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分即为不等式组的解集.
16．【答案】解：原式＝


.
【解析】【分析】通分计算括号内异分母分式的减法，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简.
17．【答案】解：如图所示，点P即为所求；

【解析】【分析】过点B作BP⊥AC于点P，则∠BPC=90°，根据内角和定理可得∠PBC＋∠C＝90°.
18．【答案】证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠GEF=∠GFE，结合已知条件AB=DC，∠B=∠C，利用AAS证明△ABF≌△DCE，得到AF=DE，然后根据线段的和差关系进行证明.
19．【答案】解：设李优买甲书x本，则买乙书(10-x)本，
根据题意得： ，
解得： ，
乙书：10-x=10-9=1（本）
答：李优买甲、乙两种书分别为9本和1本.
【解析】【分析】设李优买甲书x本，则买乙书(10-x)本，根据甲书的价钱×本数+乙书的价钱×本数=172列出方程，求解即可.
20．【答案】（1）
（2）解：列树状图如下所示：

由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中两张卡片上的动物均为哺乳动物（A、B、C是哺乳动物）的结果数有6种，
∴两张卡片上的动物均为哺乳动物的概率为 .
【解析】【解答】解：（1）∵一共有四张卡片，每张卡片被抽到的概率是一样，
∴从中随机抽取一张，抽得的卡片是“大熊猫”图案的概率是 ；
故答案为： ；
【分析】（1）直接根据概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，找出总情况数以及两张卡片上的动物均为哺乳动物（A、B、C是哺乳动物）的结果数，然后根据概率公式进行计算.
21．【答案】解：如图：过点A作 于点G，过点C作 于点H

则AG=BF，AB=GF=1.7米，CD=HF=0.7米
设EG=x米
米
在 中，
(米)
米
米
(米)
在 中，

解得x=63
经检验x=63是原方程的根
(米)
故风筝EF的高度约为65米.
【解析】【分析】过点A作AG⊥EF于点G，过C作CH⊥EF于点H，则AG=BF，AB=GF=1.7米，CD=HF=0.7米，设EG=x米，则EH=(x+1)米，根据∠EAG的正切三角函数的概念可得AG=x，则DF=BF-BD=(x-20)米，利用∠ECH的正切三角函数的概念求出x，然后根据EF=EG+GH进行计算.
22．【答案】（1）解：补全条形统计图如下： 30
（2）5；6.5
（3）解： .
答：估计该社区的月平均用水量为5.25t.
【解析】【解答】解：（1）本次调查的家庭总数为 (户)
故月平均用水量6t的家庭数为： (户)

故m=30
故答案为：30；
（2）在这组数据中5t出现的次数最多，故众数是5t
把这组数据从小到大排列后，第25个和第26个数据的平均数为中位数
第25个数据是6t，第26个数据是7t，
故这组数据的中位数为： ，
故答案为：5，6.5；
【分析】（1）利用月平均用水量5t的家庭个数除以所占的比例可得本次调查的家庭总数，然后求出月平均用水量6t的家庭数，利用月平均用水量7t的家庭个数除以家庭总数可得m的值；
（2）找出月平均用水量出现次数最多的数据即为众数，把这组数据从小到大排列后，求出第25、26个数据的平均数即为中位数；
（3）利用月平均用水量乘以对应的家庭数目，再求其和求出总用水量，然后除以家庭总数可得平均用水量.
23．【答案】（1）解：由题意得

整理得
（2）解：由题意得
解得

y随x的增大而减小
当x=6时，y最小为
线下购买时的花费为
此时，购买B种书架20-6=14个
线上比线下节约5640-5300=340元
所以，购买A种书架6个，购买B种书架14个；线上比线下节约340元.
【解析】【分析】（1）由题意可得购买B种书架(20-x)个，根据A种书架的单价×数量+B种书架的单价×数量+A种的运费+B种的运费可得y与x的关系式；
（2）根据购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍可求出x的范围，然后结合一次函数的性质进行解答.
24．【答案】（1）证明：如图，连接OD

∵OB=OD，
∴∠OBD=∠BDO，
又∵BD平分∠ABE，
∴∠OBD=∠DBE，
∴OD∥CE，
∵DE与⊙O相切，
∴OD⊥DE，
∴CE⊥DE，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，即AC⊥CE，
∴AC∥DE.
（2）解：如图，过点O作于点F，

，四边形是矩形，
，
， ，
，
，
∵BD＝2 ，BE＝2 ，
，
，
，
，
.
【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得∠OBD=∠ODB，由角平分线的定义得∠OBD=∠DBE，可推出OD∥BE，再根据切线的性质得OD⊥DE，即得CE⊥DE，又AB是⊙O的直径，可得AC⊥CE，进而证得AC∥DE.
（2）过点O作OF⊥BC于点F，由垂径定理可得BC=2BF，易得四边形ODEF是矩形，则EF=OD，再证明出△ADB∽△DEB，由相似三角形的对应边成比例列出关系式求得AB的长，从而得EF的长，再由线段和差关系求得BF的长，进而可得BC的长.
25．【答案】（1）解： ，
点C的坐标为 ；
（2）解：存在；
点M在抛物线L： 上，
设 ，
点C的坐标为 ，抛物线L关于点M所在直线x=m对称的抛物线为L'，
点C的对应点C'的坐标为 ，
点C、C'关于直线x=m对称，点M在直线x=m上，
等腰三角形，
要使 为等腰直角三角形，
则 ，
即 ，
当 时，
解得m=3或m=2(舍去)，
此时点M的坐标为 ；
当 时，
解得m=1或m=2(舍去)，
此时点M的坐标为 ，
综上所述，存在满足条件的点M，且当点M的坐标为 或 时， 等腰直角三角形.
【解析】【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而可得顶点C的坐标；
（2）设M（m，m2-4m+2），点C的对应点C'的坐标为（2m-2，-2），易得△CMC′为等腰三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出m，进而可得点M的坐标.
26．【答案】（1）解：如图，连接AC，过点C作 ，交AB的延长线于H

AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1
为等边三角形
在 中，

在 中，
等边三角形 的高为
四边形ABCD的面积为


（2）解：连接AC，

AD＝CD，∠ADC＝60°
为等边三角形
将 绕点D顺时针旋转60 得 ，连接BH
则
为等边三角形

面积最大时，四边形ABCD面积的最小
∠ABC＝75°，∠ADC＝60°



点A在定圆O（ 的外接圆）上运动，当O、A、D共线时， 的面积最大，此时，
设OA 交BH 于K，则HK=KB=2


在HK上取一点F，使FH=AF，则 是等腰直角三角形
设 ，则

解得
面积的最大值
四边形ABCD面积的最小值
【解析】【分析】（1）连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，易得∠CBH=60°，△ACD为等边三角形，根据含30°角的直角三角形的性质可得BH，利用勾股定理求出HC，由AH=AB+BH可得AH，利用勾股定理求出AC，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD进行计算；
（2）连接AC，易得△ACD为等边三角形，△BDC将绕点D顺时针旋转60°得△HDA，连接BH，则BD=BH=4，∠HDB=60°，则△HDB为等边三角形，S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=S△BDH-S△ABH，当△ABH面积最大时，四边形ABCD面积的最小，易得∠BAD+∠BCD=225°，∠BAH=135°，推出点A在定圆O（△ABH的外接圆）上运动，当O、A、D共线时，△ABH的面积最大，此时OD⊥BH，设OA 交BH 于K，则HK=KB=2，根据等腰三角形的性质可得∠AHB=∠ABH=22.5°，在HK上取一点F，使FH=AF，则△AKF是等腰直角三角形，设AK=FK=x，则AF=FH=x，根据HK=HF+FK=2可得x，然后求出△ABH的面积，进而可得四边形ABCD面积的最小值.