2022年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学六模试卷（含解析）

2022年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学六模试卷

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 的算术平方根是

A.  B.  C.  D.

2. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是

A.
B.
C.
D.

3. 计算的结果正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则的正切值为

A.
B.
C.
D.

5. 如图，中，，，垂直平分于点，则的长为

A.  B.  C.  D.

6. 一次函数的图象经过点，每当增加个单位时，增加个单位，则此时函数图象向上平移个单位长度的表达式是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，是的直径，，是的弦，过点作交于点，连接，若，则劣弧的长为

A.
B.
C.
D.

8. 已知二次函数的图象经过点，且当时，若、、也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共5小题，共15分）

9. 若分式有意义，则的取值范围是______．
10. 边长为的正六边形的边心距为______．
11. 我国古代易经一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”一书生用此方法来记录自己读书的天数，如图，他在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为天，按同样的方法，图表示的天数是______．

12. 如图，正方形的边长是，点，分别在轴和轴正半轴上，，轴于点，的中点在反比例函数的图象上，则 ______ ．

13. 如图，在矩形中，，，、分别是、的中点，点、在上．且满足，则四边形周长的最小值为______．
    
     

三．计算题（本题共1小题，共5分）

14. 计算：．

四．解答题（本题共12小题，共76分）

15. 解不等式组：，并求出它的正整数解．
16. 化简：．
17. 尺规作图：如图，已知请在边上找一点，使的周长等于保留作图痕迹，不写作法
     

18. 如图，在四边形中，对角线平分，过点作交于点，求证：．
    
     

19. 为迎接“”购物狂欢节，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如表：

若用元购进甲种衬衫的数量与用元购进乙种衬衫的数量相同，求甲、乙两种衬衫每件的进价．

20. 某校在“五一”劳动节组织开展了“劳动美”实践活动，鼓励孩子们居家劳动，在做家务的过程中体验劳动的艰辛与快乐．小明爸爸将四张正面分别印有以下四种家务劳动：洗碗、拖地、洗衣服、做饭的卡片背面朝上洗匀卡片的形状、大小、质地都同．
    若小明从中随机抽取一张片作为自己的劳动内容，则抽取的卡片恰好为“洗衣服”的概率是______；
    若从中随机一次抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上的图案正好一张是拖地另一张是做饭的概率．
21. 图是我国某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一，图是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，，，，，且，求出垂尾在机身附着处的轴线的长．

22. 年月日，“天宫课堂”再次开课．某校为调查学生对航天知识的了解情况，并鼓励学生拓展航天知识．从全校学生中随机抽取了一部分学生进行航天知识测试，并将测试成绩百分制进行整理，绘制成尚不完整的统计图表：

根据以上信息解答下列问题：
请补全频数分布直方图；______，______；
所抽取学生的成绩的中位数落在______组；
该校共有学生名，若成绩在分以上含分为优秀，假如全部学生参加此次测试，请估计该校学生成绩为优秀的人数．

23. 周末，小华与小亮两家自驾去离家的古镇游玩，小华按照约定时间早上：准时出发．小亮有事耽误，早上：出门，他先匀速行驶了，然后为了追上小华，小亮提高车速，结果比小华先到目的地．如图为他们离家的距离与小华出发的时间之间的函数图象．
    求线段所表示的函数关系式；
    求当小亮追上小华时，小亮行驶了多长时间？

24. 如图，为的直径，，过点的直线与分别交于点，，与交于点，连接，．
    求证：为的切线．
    若，，，求的半径．
    
    
     

25. 已知抛物线：与轴交于点，点，与轴交于点．
    求抛物线的表达式；
    若点是直线上的一个动点，将抛物线进行平移得到抛物线，点的对应点为点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由．
26. 问题提出
    如图，中，点在边上，，且则______．
    问题探究
    如图，中，，，求出面积的最大值．
    问题解决
    如图，某市政中心计划由旧城改造出一块三角形空地，并拟定在中修建一个户外健身区，其占地平面示意图为四边形，其中为上的一个三等分点，过点分别作，，且点、分别在、上．经过实地测量后得知：，，现要求户外健身区所在的四边形的面积最大，请你计算出户外健身区即四边形所占面积最大为多少？

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
算术平方根为．
故选：．
如果一个非负数的平方等于，那么是的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
此题主要考查了算术平方根，其中算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
 

2.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了由三视图判断几何体的知识，考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
根据给出的三视图即可进行判断．
【解答】
解：根据俯视图为三角形，主视图以及左视图都是矩形，可得这个几何体为三棱柱，
故选： ．   

3.【答案】

【解析】解：．
故选：．
积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：延长，交格点于点，连接，
，，，
，
是直角三角形，
的正切值为：．
故选：．
直接延长，交格点于点，连接，进而利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而求出答案．
此题主要考查了解直角三角形，正确作出辅助线是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：垂直平分于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及含角的直角三角形的性质．
 

6.【答案】

【解析】解；由题意可知一次函数的图象也经过点，
，
解得
此函数表达式是，
函数的图象向上平移个单位长度的表达式为，
故选：．
根据题意得出一次函数的图象也经过点，根据待定系数法求得解析式，进而根据平移的规律即可求得平移后的函数解析式．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：连接，

是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
劣弧的长；
故选：．
先根据圆周角定理求出的度数，得出和的度数，由角的和差可得的度数，最后由弧长公式可得结论．
本题考查了圆周角定理、平行线的性质和弧长公式，熟练掌握圆周角定理及弧长公式是解题关键．
 

8.【答案】

【解析】解：经过点，，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
抛物线开口向下，
点到直线的距离最近，点到直线的距离最远，
．
故选：．
先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线，再确定抛物线的开口方向，然后根据二次函数的性质，通过比较点、、到直线的距离大小得到对应函数值的大小．
本题考查了抛物线与轴的交点问题：求二次函数是常数，与轴的交点坐标就是解方程也考查了二次函数的性质．
 

9.【答案】

【解析】解：要使分式有意义，
则必有：
即：．
故答案为：
使分式有意义的的取值应该使得分母不为即可
本题考查了使分式有意义的条件，解题的关键是要掌握有意义的条件是：分母不能为、被开方数式要大于或等于等．
 

10.【答案】

【解析】解：正六边形每个中心角度数为，
根据每个中心角都分六边形为等边三角形，正六边形的边长为，
则每个等边三角形的高即边心距为：．
故答案为：
解答本题主要分析出正多边形的内切圆的半径就是正六边形的边心距，即为每个边长为的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解．
本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．
 

11.【答案】

【解析】解：根据题意得：



．
故图表示的天数是．
故答案为：．
由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为、、，然后把它们相加即可．
本题考查了用数字表示事件，是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
 

12.【答案】

【解析】解：正方形的边长是，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
点是的中点，
，
点在反比例函数的图象上，
，
故答案为．
根据勾股定理得到，再根据全等三角形的性质得到，，求得，即可求得，根据待定系数法即可得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，求得的坐标是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：，，
四边形的周长为，
则要使四边形的周长最小，只要最小即可．
在边上截取，
点是的中点，
点关于的对称点为点，
连接，交于点，
则即为的最小值．

在中，，，
，
四边形的周长最小值为．
故答案为：．
由于四边形的周长可表示为，则要使其最小，只要最小即可．在边上截取，因为点是的中点，所以点关于的对称点为点，连接，交于点，则即为的最小值．在中，利用勾股定理可求出的值，进而可得出答案．
本题考查轴对称最短路线问题、矩形的性质，能够将所求四边形的周长转化为求的最小值是解题的关键．
 

14.【答案】解：原式
．

【解析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和二次根式的除法运算法则计算，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

15.【答案】解：，
解不等式，得，
即，
解不等式，得，
，
，
，
，
即不等式组的解集是，
所以不等式组的正整数解是，，，．

【解析】先根据不等式的性质求出不等式组的每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的正整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

16.【答案】解：原式

．

【解析】此题的运算顺序：先算小括号里的，再把除法转化为乘法，约分后化为最简．
考查了分式的混合运算，分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求作．
 

【解析】作线段的垂直平分线交于点，连接即可．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
≌，
．

【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，并符合题意，
元，
答：甲衬衫每件进价为元，乙衬衫每件进价元．

【解析】根据两种衬衫的数量相等列出方程求解即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立方程是解题的关键．
 

20.【答案】

【解析】解：抽取的卡片恰好为“洗衣服”的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

由图知，共有种等可能结果，其中抽取的两张卡片上的图案正好一张是拖地另一张是做饭的有种结果，
所以抽取的两张卡片上的图案正好一张是拖地另一张是做饭的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

21.【答案】解：过点作，过点作分别交的延长线与点、点，

，
，，
在中，，，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
．

【解析】过点作，过点作分别交的延长线与点、点，根据解直角三角形知识求出、、的长，再根据得出的长即可．
本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：这次测试抽取的学生共有名，
则，，
补全频数分布直方图如图：

故答案为：，；

由于共有个数据，其中位数是第、个数据的平均数，而这个数据均落在组，
所以所抽取学生的成绩的中位数落在组，
故答案为：；

估计该校学生成绩为优秀的人数为人．
由组频数和频率可得总人数，总人数乘以组频率可得的值，组频数除以总人数可得的值；从而补全图形；
根据中位数的定义求解即可；
总人数乘以样本中、组人数所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解：小华按照原计划约定的时间早上：准时出发，小亮由于有事耽误，早上：才出门，

小亮先匀速行驶了，，然后加速，根据图象可得，
设线段所表示的函数关系式为：，
将点，代入，得：
，
解得：，
线段所表示的函数关系式为：；
由图可知：小华行驶的速度为，
小华离家的距离关于的函数关系式为：，
当小亮追上小华时，，
解得：，
此时小亮所走时间为，
当小亮追上小华时，小亮行驶了

【解析】根据题意和图象先求出点坐标，再用带待定系数法求出函数解析式即可；
根据题意求出小华的速度，写出的函数解析式，根据小亮追上小华时所走路程相等列出方程，解方程即可．
本题考查一次函数的应用，关键是根据题意列出函数解析式．
 

24.【答案】证明：连接，

为的直径，
，
，
，，
，
，
，
是的半径，
为的切线；
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的半径为．

【解析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，然后求出，即可解答；
根据等角的余角相等可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，然后再证明，利用相似三角形的性质求出的长，即可解答．
本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意得：
，
解得：．
抛物线的表达式为；
存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形．理由：
点，点，
．
如图，当四边形为菱形时，

过点作轴于点，
令，则，
，
，
令，则，
，
．
．
，
．
轴，
．
四边形为菱形，
．
，
，
抛物线的平移方式为：先将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位；
同理，当点在第三象限时，，，
此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位；
如图，当四边形为菱形时，

，
．
四边形为菱形，
，
，
四边形为正方形，
，．
此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位；
如图，当四边形为菱形时，

，
．
四边形为菱形，
，
，
四边形为正方形，
，．
此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位．

【解析】利用待定系数法解答即可；
根据已知条件画出符合题意的图形，利用等腰直角三角形的性质和菱形的性质解答即可．
本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，抛物线的平移，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
 

26.【答案】

【解析】解：，
，
，
∽，
，
，
故答案为：；
如图，作的外接圆，

，
点在的垂直平分线上时，点到的距离最大，即的面积最大，
如图，连接，，过点作于，则，
，
设，，
，
，
，
，
，
，，
的最大面积；
如图，连接，

点是的三等分点，
，
，，
，，
，，
，，
，，
，
当面积有最大值时，四边形的面积有最大值，
由可知，当点在的中垂线上，且在的外接圆上时，的面积有最大值，
，，
是等边三角形．
，
的最大值平方米，
四边形的最大值平方米．
通过证明∽，由相似三角形的性质可求解；
由题意可得点在的垂直平分线上时，点到的距离最大，即的面积最大，由勾股定理和锐角三角函数可求，的长，即可求解；
先求出，则当面积有最大值时，四边形的面积有最大值，由等边三角形的性质可求解．
本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．