2021【KS5U解析】天津东丽区高一下学期期末考试数学试卷含解析

这是一份2021【KS5U解析】天津东丽区高一下学期期末考试数学试卷含解析，共14页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年天津市东丽区高一（下）期末数学试卷
一、选择题（共9小题，每小题5分，共45分）.
1．复数z＝2﹣3i的虚部为（　　）
A．﹣3 B．3 C．2 D．﹣3i
2．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系是（　　）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
3．已知向量，是两个不共线的向量，若＝2﹣与＝+λ共线，则λ＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣ D．
4．在△ABC中，已知a＝，b＝4，c＝3，则cosA＝（　　）
A． B． C． D．
5．有一个三位数字的密码锁，每位上的数字在0到9这十个数字中任选，某人忘记了密码最后一个号码，那么此人在开锁时，在对好前两位数字后随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．若样本数据x1，x2，…，x10标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（　　）
A．8 B．64 C．32 D．16
7．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若，则AB的长为（　　）
A．1 B． C． D．2
8．在空间中，下列命题正确的是（　　）
①平行于同一条直线的两条直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线平行；
③平行于同一个平面的两条直线平行；
④垂直于同一个平面的两条直线平行．
A．①③④ B．①②③④ C．① D．①④
9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为棱AD、BC的中点，则平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
10．若i为虚数单位，复数，则|z|＝　 　．
11．若正方体的表面积为6，则它的外接球的表面积为　 　．
12．已知向量，，其中||＝，||＝2，且（+）⊥，则向量与的夹角是 　 　．
13．样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是　 　，第75百分位数是　 　．
14．小明爸爸开车以80km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，小明坐在车里向外观察，在点A处望见电视塔P在北偏东30°方向上，15分钟后到点B处望见电视塔在北偏东75°方向上，则汽车在点B时与电视塔P的距离是 　 　km．

15．如图，若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则异面直线AC与A1B所成的角的大小是　 　；直线A1B和底面ABCD所成的角的大小是　 　．

三、解答题（共5小题，满分45分）
16．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和．
（1）求2个人都译出密码的概率；
（2）求2个人都译不出密码的概率；
（3）求至多1个人译出密码的概率；
（4）求至少1个人译出密码的概率．
17．已知向量＝，＝（0，﹣1），＝．
（Ⅰ）若⊥，求k的值；
（Ⅱ）当k＝1时，﹣λ与共线，求λ的值；
（Ⅲ）若||＝||，且与的夹角为150°，求|+2|．
18．2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）由频率分布直方图；
（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；
（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．

19．在△ABC中，acosB＝bsinA．
（Ⅰ）求∠B；
（Ⅱ）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．
20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1＝AB＝6，D为AC的中点．
（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；
（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；
（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．



参考答案
一、选择题（共9小题，每小题5分，共45分）.
1．复数z＝2﹣3i的虚部为（　　）
A．﹣3 B．3 C．2 D．﹣3i
解：复数z＝2﹣3i的虚部为﹣3．
故选：A．
2．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系是（　　）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
解：由题可知，抛掷两枚质地均匀的骰子，第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下，
①（奇数，奇数），②（奇数，偶数），③（偶数，奇数），④（偶数，偶数），
事件A＝“第一枚出现奇数点”＝{①，②}，
事件B＝“第二枚出现偶数点”＝{②，④}，
两个事件不相等，排除D，
A∩B≠∅，所以不是互斥事件，排除A，B，
C选项，事件A＝“第一枚出现奇数点”，P（A）＝＝，
事件B＝“第二枚出现偶数点”，P（B）＝＝，
事件AB＝“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，P（AB）＝＝，
满足P（AB）＝P（A）•P（B），
所以事件A和事件B是相互独立事件，
故选：C．
3．已知向量，是两个不共线的向量，若＝2﹣与＝+λ共线，则λ＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣ D．
解：∵＝2﹣与＝+λ共线，
∴k＝，k≠0，
∴k（2﹣）＝+λ，
∵向量，是两个不共线的向量，
∴，
解得λ＝﹣
故选：C．
4．在△ABC中，已知a＝，b＝4，c＝3，则cosA＝（　　）
A． B． C． D．
解：在△ABC中，已知a＝，b＝4，c＝3，
所以：cosA＝．
故选：A．
5．有一个三位数字的密码锁，每位上的数字在0到9这十个数字中任选，某人忘记了密码最后一个号码，那么此人在开锁时，在对好前两位数字后随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：所求只有最后的一位需要确定，这个位置上的数字在0到9这十个数字中任选，共有10种方法，能开锁的只有1个，所以概率为．
故选：C．
6．若样本数据x1，x2，…，x10标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（　　）
A．8 B．64 C．32 D．16
解：设样本数据x1，x2，…，x10标准差为，则，即方差DX＝64，
数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为D（2x﹣1）＝22DX＝22×64＝256，
∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为．
故选：D．
7．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若，则AB的长为（　　）
A．1 B． C． D．2
解：在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．
则＝，＝＝，
因为，所以（）•（）＝1，
即＝1，1﹣＝1，解得＝．
故选：C．
8．在空间中，下列命题正确的是（　　）
①平行于同一条直线的两条直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线平行；
③平行于同一个平面的两条直线平行；
④垂直于同一个平面的两条直线平行．
A．①③④ B．①②③④ C．① D．①④
解：由平行公理可得，平行于同一条直线的两条直线平行，故①正确；
垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系，平行、相交或异面，故②错误；
平行于同一个平面的两条直线有三种位置关系，平行、相交或异面，故③错误；
由直线与平面垂直的性质可得，垂直于同一个平面的两条直线平行，故④正确．
故选：D．
9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为棱AD、BC的中点，则平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
解：根据题意，EF⊥平面ADD1A1，
∴ED1⊥EF，ED⊥EF，
∴∠D1ED是平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的平面角，
在Rt△D1ED中，，
∴．
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
10．若i为虚数单位，复数，则|z|＝　5　．
解：＝＝＝﹣3﹣4i，
则|z|＝＝5，
故答案为：5．
11．若正方体的表面积为6，则它的外接球的表面积为　3π　．
解：设正方体的棱长为a，则6a2＝6，得a＝1．
∴正方体的对角线长为．
正方体外接球的半径为．
∴正方体外接球的表面积S＝．
故答案为：3π．
12．已知向量，，其中||＝，||＝2，且（+）⊥，则向量与的夹角是 　150°　．
解：∵，，且，
∴+cos＜＞＝0，
即3+cos＜＞＝0，
解得cos＜＞＝﹣，
∴向量与的夹角是150°，
故答案为：150°．
13．样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是　5　，第75百分位数是　7　．
解：样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，
从小到大排列为：0，1，2，3，4，6，6，7，8，9，
∵10×50%＝5，
∴该组数据的第50百分位数是，
∵10×75%＝7.5，
第75百分位数是7．
故答案为：5，7．
14．小明爸爸开车以80km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，小明坐在车里向外观察，在点A处望见电视塔P在北偏东30°方向上，15分钟后到点B处望见电视塔在北偏东75°方向上，则汽车在点B时与电视塔P的距离是 　10　km．

解：如图，由已知可得，AB＝80×＝20
在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝20，∠ABS＝180°﹣75°＝105°，∠ASB＝45°
由正弦定理可得
∴
故答案为10

15．如图，若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则异面直线AC与A1B所成的角的大小是　60°　；直线A1B和底面ABCD所成的角的大小是　45°　．

解：如图，
连接A1C1，∵AA1∥CC1，AA1＝CC1，
∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，
∴异面直线AC与A1B所成的角即为∠BA1C1，连接BC1，
则△BA1C1 为等边三角形，∴异面直线AC与A1B所成的角的大小是60°；
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，
∴∠A1BA为直线A1B和底面ABCD所成的角，大小为45°．
故答案为：60°；45°．

三、解答题（共5小题，满分45分）
16．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和．
（1）求2个人都译出密码的概率；
（2）求2个人都译不出密码的概率；
（3）求至多1个人译出密码的概率；
（4）求至少1个人译出密码的概率．
解：记甲独立译出密码为事件A，乙独立译出密码为事件B，
且A，B为相互独立事件，且P（A）＝，P（B）＝，
则（1）P（AB）＝P（A）P（B）＝，
（2），
（3），
（4）．
17．已知向量＝，＝（0，﹣1），＝．
（Ⅰ）若⊥，求k的值；
（Ⅱ）当k＝1时，﹣λ与共线，求λ的值；
（Ⅲ）若||＝||，且与的夹角为150°，求|+2|．
解：（Ⅰ）∵，∴，∴，解得k＝﹣1；
（Ⅱ）∵k＝1，∴，又，∴＝．
∵与共线，∴，解得λ＝2；
（Ⅲ）∵，∴．
又与的夹角为150°，＝2．
∴＝＝﹣3，
＝＝＝．
18．2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）由频率分布直方图；
（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；
（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．

解：（1）由（0.0025+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+a+0.0025）×20＝1，
解得a＝0.005．
（2）（i）∵（0.002+0.0095+0.011）×20＝0.45＜0.5，
∴三科总分成绩的中位数在[220，240）内，设中位数为x，
则（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（x﹣220）＝0.5，
解得x＝224，即中位数为224．
（ii）三科总分成绩的平均数为：
170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05＝225.6．
（3）三科总分成绩在[220，240），[260，280）两组内的学生分别为25人，10人，
∴抽样比为＝，
∴三科总分成绩在[220，240），[260，280）两组内抽取的学生数量分别为：25×＝5人，10×＝2人，
设事件A表示“抽取的这2名学生来自不同组”，
从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，
基本事件总数n＝，
事件A包含的基本事件个数m＝＝10，
∴抽取的这2名学生来自不同组的概率P（A）＝．
19．在△ABC中，acosB＝bsinA．
（Ⅰ）求∠B；
（Ⅱ）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．
解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，
因为，
所以，
因为sinA≠0，
所以，
所以tanB＝，
因为0＜B＜π，
所以，
（Ⅱ）因为b＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，
可得，
所以a＝，c＝，
所以．
20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1＝AB＝6，D为AC的中点．
（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；
（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；
（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．

【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．
∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，
∴A1B∥OD．
∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面BC1D，
∴直线AB1∥平面BC1D；
（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，
∴AA1⊥BD，
∵底面ABC正三角形，D是AC的中点
∴BD⊥AC
∵AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1，
∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；
（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD＝BCsin60°＝3，
∴S△BCD＝＝，
∴VC﹣BC1D＝VC1﹣BCD＝••6＝9．