天津市河东区2020-2021学年高一下学期期末考试质量检测数学试题+Word版含解析

这是一份天津市河东区2020-2021学年高一下学期期末考试质量检测数学试题+Word版含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年天津市河东区高一（下）期末数学试卷
一、选择题：共8个小题，每小题4分，满分32分..
1．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，300，400件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丁种型号的产品中抽取（　　）件．
A．24 B．18 C．12 D．6
2．下列事件中，随机事件的个数是（　　）
①2022年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④x∈R，则|x|的值不小于0．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知m，n是两条不同直线α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
D．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
4．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B﹣AC﹣P的平面角是（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°
5．在5盒酸奶中，有2盒已经过了保质期，从中任取2盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．如图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的统计图，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，下列叙述不正确的是（　　）

A．2018年3月的销售任务是400台
B．2018年月销售任务的平均值不超过600台
C．2018年总销售量为4870台
D．2018年月销售量最大的是6月份
7．在空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是（　　）

A．平面ABD⊥平面BDC B．平面ABC⊥平面ABD
C．平面ABC⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BED
8．三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，则点D到面SBC的距离等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.请将答案填在题中横线上.
9．某次能力测试中，10人的成绩统计如表，则这10人成绩的20%分位数为 　 　．
分数
5
4
3
2
1
人数（单位：人）
3
1
2
1
3
10．掷两颗骰子，出现点数之和等于8的概率等于　 　．
11．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为 　 　．

12．A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，则A或B在边上的概率为　 　．
13．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为　 　．（用“＞”连接）
14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，现有下列结论：
①AC⊥BE；
②平面AEF与平面ABCD的交线平行于直线EF；
③异面直线AE，BF所成的角为定值；
④三棱锥A﹣BEF的体积为定值．
其中错误结论的是 　 　．

三、解答题：本大题共5小题，满分0分。解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程.
15．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC＝9，BC＝12，AB＝15，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥B1C；
（2）求证：AC1∥平面CDB1．

16．据平安保险公司统计，某地车主购买车损险的概率为0.5，购买第三者人身安全险的概率为0.6．购买两种保险相互独立，各车主间相互独立．
①求一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率．
②求一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率．
17．某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；
（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．

18．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；
（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．



参考答案
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内.
1．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，300，400件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丁种型号的产品中抽取（　　）件．
A．24 B．18 C．12 D．6
【分析】利用分层抽样的性质直接求解．
解：某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，300，400件，
为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，
则应从丁种型号的产品中抽取：60×＝24（件）．
故选：A．
2．下列事件中，随机事件的个数是（　　）
①2022年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④x∈R，则|x|的值不小于0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意，依次分析4个事件是不是随机事件，综合可得答案．
解：根据题意，依次分析4个事件；
①2022年8月18日，北京市不下雨，是随机事件；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰，是不可能事件；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，是随机事件；
④x∈R，则|x|的值不小于0，是必然事件；
则其中是随机事件的有2个；
故选：B．
3．已知m，n是两条不同直线α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
D．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．
解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β平行或相交，不正确；
对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行、相交或异面，不正确；
对于C，根据垂直与同一平面的两条直线平行，可知C正确；
对于D，若α，β不平行，则在α内存在与β平行的直线，与交线平行即可，不正确，
故选：C．
4．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B﹣AC﹣P的平面角是（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°
【分析】根据面面垂直的判定定理证明二面角B﹣AC﹣P是直二面角即可．
解：∵PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴PA⊥AB，
∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，
∵PA∩AC＝A，
∴AB⊥平面PAC，
∵AB⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面PAC，
即二面角B﹣AC﹣P为直二面角，
则二面角B﹣AC﹣P的大小为90°，
故选：A．
5．在5盒酸奶中，有2盒已经过了保质期，从中任取2盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．
解：设5盒酸奶分别为A1，A2，A3，B1，B2，
其中保质期内的为A1，A2，A3，过了保质期为B1，B2，
从5盒酸奶中，随机抽取2盒，有（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）共10种，其中取到的酸奶中有已过保质期，有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）共7种，
故所求的概率P＝．
故选：C．
6．如图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的统计图，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，下列叙述不正确的是（　　）

A．2018年3月的销售任务是400台
B．2018年月销售任务的平均值不超过600台
C．2018年总销售量为4870台
D．2018年月销售量最大的是6月份
【分析】根据题意，结合统计图，依次判断各选项即可．
解：对于A．由图中的数据，2018年3月的销售任务是400台，A正确．
对于B．2018年月销售任务的平均值为（100+200+3×300+3×300+500+700+800+1000）＜600，B正确．
对于C.2018年总销售量＝300×50%+200×100%+400×120%+500×110%+800×100%+1000×70%+700×80%+400×90%+300×150%+400×90%+100×80%+300×60%＝4870台，C正确，
对于D.2018年月销售量5月份是800台，6月份是1000×70%＝700台，
因此2018年月销售量最大的是5月份，D错误；
故选：D．
7．在空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是（　　）

A．平面ABD⊥平面BDC B．平面ABC⊥平面ABD
C．平面ABC⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BED
【分析】根据面面垂直的判定定理进行证明即可．
解：∵AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，
∴BE⊥AC，DE⊥AC，
∵BE∩DE＝E，
∴AC⊥平面BED，
∵AC⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BED，
故选：D．
8．三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，则点D到面SBC的距离等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】先由面面垂直的性质找出点D到面SBC的距离DE，再利用三角形相似，对应边成比例求出DE的值．
解：∵SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，
∴BC⊥面SAB，
∴面SBC⊥面SAB，在面SAB中，作DE⊥SB，
则DE⊥面SBC，DE为所求．
由△BDE∽△BSA，
得＝，即＝，解得DE＝，
故选：C．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.请将答案填在题中横线上.
9．某次能力测试中，10人的成绩统计如表，则这10人成绩的20%分位数为 　1　．
分数
5
4
3
2
1
人数（单位：人）
3
1
2
1
3
【分析】根据题意，由分位数的定义直接求解即可．
解：根据题意，因为10×20%＝2，由表格中的数据可得，
这10人成绩的20%分位数为＝1．
故答案为：1．
10．掷两颗骰子，出现点数之和等于8的概率等于　　．
【分析】根据试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6＝36个结果，满足条件的事件是向上点数之和等于8，有（2，6）（3，5）（4，4）（5，3）（6，2）共5种结果，得到概率．
解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6＝36个结果，
满足条件的事件是向上点数之和等于8，有（2，6）（3，5）（4，4）（5，3）（6，2）共5种结果，
∴要求的概率是P＝，
故答案为：．
11．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为 　CD∥EF　．

【分析】由AB∥平面α，推导出AB∥CD，由AB∥平面α，推导出AB∥EF，由此得到CD∥EF．
解：∵AB∥平面α，AB⊂β，α∩β＝CD，
∴AB∥CD，
∵AB∥平面α，AB⊂γ，α∩γ＝EF，
∴AB∥EF，
∴CD∥EF．
故答案为：CD∥EF．

12．A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，则A或B在边上的概率为　　．
【分析】基本事件总数n＝＝24，A或B在边上包含的基本事件个数m＝＝20，由此能求出A或B在边上的概率．
解：A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，
基本事件总数n＝＝24，
A或B在边上包含的基本事件个数m＝＝20，
∴A或B在边上的概率为p＝＝＝．
故答案为：．
13．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为　s1＞s2＞s3　．（用“＞”连接）
【分析】第二组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字数据较分散，各个段内分布均匀，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端最分散，而第三组数据绝大部分数字都在平均数左右，是集中，由此得到结果．
解：根据三个频率分步直方图知，
第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差最大；
第二组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组中数据中的方差小，
而第三组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，故其方差最小，
总上可知s1＞s2＞s3，
故答案为：s1＞s2＞s3，
14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，现有下列结论：
①AC⊥BE；
②平面AEF与平面ABCD的交线平行于直线EF；
③异面直线AE，BF所成的角为定值；
④三棱锥A﹣BEF的体积为定值．
其中错误结论的是 　③　．

【分析】对于①，由AC⊥平面BDD1B1，得AC⊥BE；对于②，由面面平行的性质定理可证得平面AEF与平面ABCD的交线平行于直线EF；对于③，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值；对于④，A到平面BDD1B1的距离是定值，S△BEF是定值，从而可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值．
解：对于①，∵AC⊥平面BDD1B1，BE⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BE，故①正确；
对于②，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，设平面AEF∩平面ABCD＝l，平面AEF∩平面A1B1C1D1＝EF，故l∥EF，故②正确；
对于③，∵当点E在D1处，F为D1B1的中点时，
由BC1∥AD1可知异面直线AE，BF所成的角是∠FBC1；
当E在上底面的中心时，F在B1的位置，
异面直线AE，BF所成的角是∠EAA1，两个角不相等，
从而异面直线AE，BF所成的角不一定为定值，故③错误；
对于④，∵A到平面BDD1B1的距离d＝AC＝是定值，
S△BEF＝××1＝是定值，
∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故④正确．
故答案为：③．
三、解答题：本大题共5小题，满分0分。解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程.
15．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC＝9，BC＝12，AB＝15，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥B1C；
（2）求证：AC1∥平面CDB1．

【分析】（1）只需证明AC⊥平面BB1C1C．即可证明AC⊥B1C．
（2）连接BC1交B1C于点O，连接OD．即可得OD//AC1．从而证明AC1//平面CDB1．
解：（1）证明：因为AB2＝AC2+BC2，
所以∠ACB＝90°，AC⊥BC，
又CC1⊥底面ABC，所以CC1⊥AC，
CC1∩BC＝C，所以AC⊥平面BB1C1C．
因为B1C⊂平面BB1C1C，
所以AC⊥B1C．
（2）证明：连接BC1交B1C于点O，连接OD．
因为四边形BB1C1C为矩形，所以点O为BC1的中点．
又因为点D为AB的中点，所以OD//AC1．
因为OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
所以AC1//平面CDB1．

16．据平安保险公司统计，某地车主购买车损险的概率为0.5，购买第三者人身安全险的概率为0.6．购买两种保险相互独立，各车主间相互独立．
①求一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率．
②求一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率．
【分析】记A表示事件“购买车损险”，B表示事件“购买第三者人身安全险”，则由题意，得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.6．
（1）记C表示事件“同时购买两种保险”，则C＝AB，利用相互独立事件概率乘法公式能求出一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率．
（2）记D表示事件“购买第三者人身安全险但不购买车损险”，则，利用相互独立事件概率乘法公式能求出一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率．
解：记A表示事件“购买车损险”，B表示事件“购买第三者人身安全险”，
则由题意，得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.6．
（1）记C表示事件“同时购买两种保险”，则C＝AB，
所以一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率为：
P（C）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.6＝0.3．
（2）记D表示事件“购买第三者人身安全险但不购买车损险”，则，
所以一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率：
．
17．某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；
（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．

【分析】（1）由频率分布直方图求出[50，60）的频率为0.16，根据得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．能求出n，y，从而能求出x．
（2）由频率分布直方图能估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．
解：（1）由频率分布直方图得[50，60）的频率为0.016×10＝0.16，
∵得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．
∴＝50，y＝＝，
∴x＝[1﹣（0.016+0.04+0.01+0.004）×10]÷10＝0.03．
（2）估计本次竞赛学生成绩的众数为：，
∵[50，70）的频率为：（0.016+0.03）×10＝0.46，
[70，80）的频率为：0.04×10＝0.4，
∴中位数为：＝71，
平均数为：55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04＝70.6．
18．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；
（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．

【分析】（I）利用频率分布直方图，求出频率，进而根据频数＝频率×样本容量，得到答案；
（II）先计算从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人的情况总数，再计算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
解：（Ⅰ）由题意可知，
参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0.04×5＝4（人），
参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0.02×5＝2（人）．
所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+2＝6（人）．
…
（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．
由（Ⅰ）可知，
参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d；
参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B．
从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB
共15种情况．
事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．
所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．…
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值．
（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．
（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，
故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．
因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．
在Rt△PDA中，由已知，得，
故．
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．
证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，
所以AD⊥PD．
又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．
解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1，
由已知，得CF＝BC﹣BF＝2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，
在Rt△DPF中，可得．
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．