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2021【KS5U解析】临汾高一下学期期末考试数学试卷含解析
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这是一份2021【KS5U解析】临汾高一下学期期末考试数学试卷含解析，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山西省临汾市高一（下）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.）
1．已知复数z＝1+2i，则的虚部是（ ）
A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2
2．已知集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}，，则M∪N＝（ ）
A．[﹣1，+∞） B． C． D．
3．下列命题错误的是（ ）
A．直棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
D．棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，A＝45°，C＝105°，则b＝（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
5．利用斜二测画法得到：
①水平放置的三角形的直观图是三角形；
②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；
③水平放置的正方形的直观图是菱形；
④水平放置的菱形的直观图是菱形．
以上结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②④
6．下列命题中为真命题的是（ ）
A．“a﹣b＝0”的充要条件是“”
B．“a＞b”是“”的既不充分也不必要条件
C．命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x≥0”
D．“a＞2，b＞2”是“ab＞4”的必要条件
7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
8．在△ABC中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝3，D是△ABC内一点，且∠DAB＝45°，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则＝（ ）
A． B． C． D．
9．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f（x）＝|cosx|+|sinx|，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的最小正周期为2π
C．f（x）在区间上单调递增
D．f（x）的最小值为1
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinC＝csinB，且，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
11．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位为℃）：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为27；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．
则肯定进入夏季的地区有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．当E点运动时，A1C⊥AE总成立
B．当E向D1运动时，二面角A﹣EF﹣B逐渐变小
C．二面角E﹣AB﹣C的最小值为45°
D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．函数f（x）＝lg（﹣x2+4x+5）的单调递增区间为 ．
14．已知向量＝（2，0），＝（x，2），且满足||2+•＝0，则与的夹角为 ．
15．已知三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为676π，PB⊥平面ABC，PB＝10，∠BAC＝150°，则BC的长为 ．
16．某校高一年级共有1000名学生参加了数学测验（满分150分），已知这1000名学生的数学成绩均不低于90分，将这1000名学生的数学成绩分组如下：[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，得到的频率分布直方图如图所示，现有下列说法：
①a＝0.035；
②这1000名学生中数学成绩在100分以下的人数为100；
③这1000名学生数学成绩的中位数约为121.4；
④这10000名学生数学成绩的平均数为115．
其中所有正确说法的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，，．
（1）求；
（2）若，求λ的值．
18．已知函数的最小正周期为π，且f（0）＝3．
（1）求ω和φ的值．
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，
①求函数g（x）的单调递增区间；
②求函数g（x）在上的最大值．
19．疫情后，居民减少了乘坐公共交通工具的频率，于是私家车销量提升了．现对某大型连锁汽车销售店的100名销售人员去年下半年的销售量进行统计，将数据按照[90，110]，（110，130]，（130，150]，（150，170]分成4组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求这100名销售人员去年下半年销售量的平均数；（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）
（2）汽车销售店准备从去年下半年销售量在（130，150]，（150，170]之间的销售人员中，用分层抽样的方法抽取5名销售人员进行经验交流分享，并从这5人中任意抽取2人派到其他店巡回分享经验，求这2人不是来自同一组的概率．
20．如图，△ABC是等边三角形，EA⊥平面ABC，DC∥EA，AE＝AB＝2CD，F为BE的中点．
（1）证明：DF∥平面ABC．
（2）证明：AF⊥平面BDE．
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3R2+2abcosC＝a2+b2，R为△ABC外接圆的半径，，．
（1）若a+b＝6，求△ABC的面积；
（2）求a+b的最大值，并判断此时△ABC的形状．
22．已知a＞0，函数．
（1）判断函数f（x）在R上的单调性，并用定义法证明；
（2）设g（x）＝f（x）f（﹣x），若对任意x∈[﹣1，1]，g（x）≥f（2）恒成立，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z＝1+2i，则的虚部是（ ）
A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2
【分析】由z求得，则答案可求．
解：∵z＝1+2i，∴＝1﹣2i，
∴的虚部是﹣2．
故选：D．
2．已知集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}，，则M∪N＝（ ）
A．[﹣1，+∞） B． C． D．
【分析】求出集合M，N，由此能求出M∪N．
解：因为集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}＝[﹣1，+∞），
＝[﹣，]，
所以M∪N＝[﹣，+∞）．
故选：D．
3．下列命题错误的是（ ）
A．直棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
D．棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形
【分析】对于选项A：直棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定全等，可以长方体为例，
对于选项B：若截面与底面不平行，则棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，作图说明，
对于选项C：由线面垂直判定定理与面面垂直判定定理判断即可，
对于选项D：由棱台的定义可判断．
解：对于选项A：直棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定全等，如下图，
故A错，
对于选项B：若截面与底面不平行，则棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，如下图
故B错，
对于选项C：如上图，若CA⊥CB，CA⊥CD，则CA⊥平面BCD，
则平面CAD⊥平面BCD，平面CAB⊥平面BCD，
同理可得，平面CAB⊥平面CAD，故C对，
对于选项D：由棱台的定义知，D对，
故选：AB．
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，A＝45°，C＝105°，则b＝（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【分析】由已知利用三角形内角和定理可求B的值，进而利用正弦定理即可解得b的值．
解：因为A＝45°，C＝105°，
所以B＝30°，
又，
由，即，解得b＝1．
故选：C．
5．利用斜二测画法得到：
①水平放置的三角形的直观图是三角形；
②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；
③水平放置的正方形的直观图是菱形；
④水平放置的菱形的直观图是菱形．
以上结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②④
【分析】根据平面图形的直观图的画法规则，对四个选择逐一判断即可．
解：对于①，由斜二测画法规则知，水平放置的三角形的直观图还是三角形，故选项①正确；
对于②，根据平行性不变知，平行四边形的直观图是平行四边形，故选项②正确；
对于③，由平行于一轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半知，
正方形的直观图不是菱形，故选项③错误；
对于④，因为∠x'O'y'＝45°或135°，所得直观图的对角线不垂直，所以直观图不可能为菱形，故选项④错误．
故选：A．
6．下列命题中为真命题的是（ ）
A．“a﹣b＝0”的充要条件是“”
B．“a＞b”是“”的既不充分也不必要条件
C．命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x≥0”
D．“a＞2，b＞2”是“ab＞4”的必要条件
【分析】由充分必要条件的定义，逐个判断每个选项，即可得出答案．
解：对于A：若a＝b＝0时，满足a﹣b＝0，但此时无意义，
所以“a﹣b＝0”不是“＝1“的充分条件，
若＝1时，则a＝b，所以a﹣b＝0，
所以“a﹣b＝0”是“＝1“的必要条件，
故“a﹣b＝0”不是“＝1“的必要不充分条件，故A错误；
对于B：若a＝1，b＝﹣1，则满足a＞b，
此时＝1，＝﹣1，有＞，
所以“a＞b”不是“＜”的充分条件，
若a＝﹣2，b＝1，满足＜，但是a＜b，从而一定不是充分不必要条件，故B正确；
对于C：命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x≥0“，故C正确；
对于D：若a＞2，b＞2，则ab＞4，
所以“a＞2，b＞2“是“ab＞4”的充分条件，
若a＝5，b＝1，
则满足a＞4，不满足b＞2，
所以“a＞2，b＞2“不是“ab＞4”的必要条件，
综上“a＞2，b＞2“不是“ab＞4”的充分不必要条件，故D错误．
故选：BC．
7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
【分析】连结BE，则CD∥AB，从而∠BAE是异面直线AE与CD所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AE与CD所成角的余弦值．
解：连结BE，
∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，
∴CD∥AB，
∴∠BAE是异面直线AE与CD所成角（或所成角的补角），
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则AB＝2，BE＝＝，AB⊥BE，
AE＝＝＝3，
∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为：
cos∠BAE＝＝．
故异面直线AE与CD所成角的余弦值为．
故选：C．
8．在△ABC中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝3，D是△ABC内一点，且∠DAB＝45°，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】以直角三角形的两条直角边分别为x轴和y轴建系，用平面向量的坐标表示算出λ与μ的比例．
解：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则B（2，0），C（0，3）．由于∠DAB＝45°，
可设D（m，m），
因为，
所以（m，m）＝（2λ，0）+（0，3μ），
所以m＝2λ＝3μ，
解得．
故选：A．
9．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f（x）＝|cosx|+|sinx|，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的最小正周期为2π
C．f（x）在区间上单调递增
D．f（x）的最小值为1
【分析】由奇偶性的定义可得f（x）是偶函数，可验证π是f（x）的周期，当时，去绝对值号化简判断函数的单调性，结合函数的周期性求f（x）在[0，π]上的最小值即可．
解：∵f（﹣x）＝|cos（﹣x）|+|sin（﹣x）|＝|cosx|+|sinx|＝f（x），
∴f（x）是偶函数，故A对，
∵，
∴π是f（x）的周期，故B错，
∵当时，，
∴f（x）在区间上单调递增，在上单调递减，故C错，
∵π是f（x）的周期，且当时，f（x）min＝f（0）＝1，
当时，f（x）＝﹣cosx+sinx＝2sin（x﹣），f（x）min＝f（π）＝1，
∴f（x）的最小值为1，故D对．
故选：AD．
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinC＝csinB，且，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【分析】由正弦定理化简已知等式可得a＝b，从而可得A＝B，C＝π﹣2A，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求，利用三角形内角和定理可求，，即可得解三角形的形状．
解：因为asinC＝csinB，
所以ac＝cb，
解得a＝b，从而A＝B．
又C＝π﹣A﹣B＝π﹣2A，
由，可得2sin2A（5+cos2A）＝5，
进一步整理得（2sin2A﹣1）（2sin2A﹣5）＝0，
所以，
则，，
故△ABC为等腰直角三角形．
故选：D．
11．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位为℃）：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为27；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．
则肯定进入夏季的地区有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】根据数据的特点估计三地连续5日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行判断即可．
解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：
甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为22，22，24，25，26，
其连续5天的日平均温度均不低于22℃，故甲地进入夏季，
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为27，
比如这5个数据从小到大排列为20，21，27，33，34满足条件，
但是有低于22的数，故不确定．
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，
若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，
可知其连续5天的日平均温度均不低于22．则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，
故选：B．
12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．当E点运动时，A1C⊥AE总成立
B．当E向D1运动时，二面角A﹣EF﹣B逐渐变小
C．二面角E﹣AB﹣C的最小值为45°
D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
【分析】对于A，利用A1C⊥B1D1，A1C⊥AD1，即可得到A1C⊥平面AB1D1，A1C⊥AE恒成立；
对于B，利用平面EFB即平面BDD1B1，即可判断；
对于C，当点E从B1D1的中点向点D1运动时，二面角越来越小，即可判断；
对于D，直接利用体积公式计算；
解：对于A，易证B1D1⊥平面A1C1C，所以A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AD1，从而A1C⊥平面AB1D1，
所以A1C⊥AE恒成立，A正确；
对于B，平面EFB即平面BDD1B1，而平面EFA即平面AB1D1，所以当E向D1运动时，二面角A﹣EF﹣B的大小不变，B错误；
对于C，当点E从B1D1的中点向点D1运动时，平面ABE逐渐向底面ABCD靠拢，
这个过程中，二面角越来越小，所以二面角E﹣AB﹣C的最小值为45°，C正确；
对于D，因为，点A到平面BDD1B1的距离为，
所以体积为，即体积为定值，D正确．
故选：ACD．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．函数f（x）＝lg（﹣x2+4x+5）的单调递增区间为 （﹣1，2）（或写成（﹣1，2]也可以） ．
【分析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，得出结论．
解：因为函数f（x）＝lg（﹣x2+4x+5），由﹣x2+4x+5＞0，求得﹣1＜x＜5，
可得 函数f（x）的定义域为（﹣1，5）．
又f（x）的增区间，即 y＝﹣x2+4x+5的增区间．
抛物线y＝﹣x2+4x+5的对称轴为直线x＝2，开口向下，
所以y＝﹣x2+4x+5的增区间为（﹣1，2），
故 f（x）的单调递增区间为（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
14．已知向量＝（2，0），＝（x，2），且满足||2+•＝0，则与的夹角为 ．
【分析】根据条件以及向量的坐标运算法则可解出x，进而利用向量夹角公式即可算出答案．
解：设与的夹角为θ，
因为，＝（2，0），＝（x，2），
所以4+2x＝0，解得x＝﹣2，
所以＝，
解得．
故答案为：
15．已知三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为676π，PB⊥平面ABC，PB＝10，∠BAC＝150°，则BC的长为 12 ．
【分析】设球的半径为R，△ABC外接圆的半径为r，利用球的表面积公式求出R，利用正弦定理求出r＝BC，然后由勾股定理求解即可．
解：设球的半径为R，△ABC外接圆的半径为r，
因为三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为676π，
则4πR2＝676π，解得R＝13，
由正弦定理可得，，解得r＝BC，
由球的半径、截面半径、球心与截面圆心之间距离的关系，
则，
所以r＝BC＝12．
故答案为：12．
16．某校高一年级共有1000名学生参加了数学测验（满分150分），已知这1000名学生的数学成绩均不低于90分，将这1000名学生的数学成绩分组如下：[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，得到的频率分布直方图如图所示，现有下列说法：
①a＝0.035；
②这1000名学生中数学成绩在100分以下的人数为100；
③这1000名学生数学成绩的中位数约为121.4；
④这10000名学生数学成绩的平均数为115．
其中所有正确说法的序号是 ①②③ ．
【分析】利用频率之和为1判断选项①，利用频率、频数、样本容量之间的关系判读选项②，利用中位数的求解方法判断选项③，利用平均数的计算公式判断选项④．
解：对于①，由（0.01×2+0.025+a+0.015+0.005）×10＝1，得a＝0.035，故①正确；
对于②，0.01×10×1000＝100，故②正确；
对于③，因为0.1×2+0.25＝0.45＜0.5，0.1×2+0.25+0.35＝0.8＞0.5，
所以中位数x∈[120，130），
由0.45+（x﹣120）×0.035＝0.5，得x≈121.4，故③正确；
对于④，这1000名学生数学成绩的平均数为95×0.1+105×0.1+⋅⋅⋅+135×0.15+145×0.05＝120，故④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，，．
（1）求；
（2）若，求λ的值．
【分析】（1）根据向量三角形法则可得＝，再由向量模的运算公式代入计算即可；
（2）利用向量数量积的运算公式用含λ的式子表示出＝，即可解出λ．
解：（1）因为，
所以．
又因为，
所以，
从而；
（2）因为＝＝＝
所以，解得．
18．已知函数的最小正周期为π，且f（0）＝3．
（1）求ω和φ的值．
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，
①求函数g（x）的单调递增区间；
②求函数g（x）在上的最大值．
【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性，求得ω，再根据f（0）＝3，求得φ，可得函数f（x）的解析式．
（2）由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，得出结论．
解：（1）∵函数 的最小正周期为 ＝π，
∴ω＝2．
又因为f（0）＝3，所以，，即，故f（x）＝4sin（2x+）+1．
（2）∵将函数f（x）的图象向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，
则g（x）＝4sin（2x﹣+）+1＝﹣4cos2x+1．
函数g（x）的增区间，即t＝cos2x的减区间，
①由2x∈[2kπ，2kπ+π]（k∈Z），求得kπ≤x≤kπ+，
故函数g（x）的单调递增区间为．
②因为，所以．
当，即时，
函数g（x）取得最大值，最大值为．
19．疫情后，居民减少了乘坐公共交通工具的频率，于是私家车销量提升了．现对某大型连锁汽车销售店的100名销售人员去年下半年的销售量进行统计，将数据按照[90，110]，（110，130]，（130，150]，（150，170]分成4组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求这100名销售人员去年下半年销售量的平均数；（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）
（2）汽车销售店准备从去年下半年销售量在（130，150]，（150，170]之间的销售人员中，用分层抽样的方法抽取5名销售人员进行经验交流分享，并从这5人中任意抽取2人派到其他店巡回分享经验，求这2人不是来自同一组的概率．
【分析】（1）利用频率分布直方图中平均数的求解公式求解即可；
（2）先求出销售量在（130，150]，（150，170]的销售人员数，然后由分层抽样计算从（130，150]，（150，170]组应抽取的人数，再利用古典概型概率公式求解即可．
解：（1）由频率分布直方图可得，平均数台．
（2）销售量在（130，150]的销售人员有100×0.0225×20＝45人，
销售量在（150，170]的销售人员有100×0.015×20＝30人，
分层抽样的比例为，
所以从（130，150]组应抽取人，
从（150，170]组应抽取人，
记从（130，150]组抽取的3人为A1，A2，A3，
从（150，170]组抽取的2人为B1，B2，
则从中任选2人，基本事件共有10个，分别为：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，
其中不是来自同一组的情况共有6个，分别为：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，
则这2人不是来自同一组的概率为．
20．如图，△ABC是等边三角形，EA⊥平面ABC，DC∥EA，AE＝AB＝2CD，F为BE的中点．
（1）证明：DF∥平面ABC．
（2）证明：AF⊥平面BDE．
【分析】（1）取AB的中点G，连接CG，FG．推导出四边形CDFG为平行四边形从而DF∥CG，由此能证明DF∥平面ABC．
（2）推导出EA⊥CG，CG⊥AB，从而CG⊥平面ABE，由DF∥CG，得DF⊥平面ABE，从而DF⊥AF．推导出AF⊥BE，由此能证明AF⊥平面BDE．
【解答】证明：（1）如图，取AB的中点G，连接CG，FG．
因为EF＝FB，AG＝GB，
所以FG∥EA，．
又因为DC∥EA，，
所以FG∥DC，FG＝DC，四边形CDFG为平行四边形
所以DF∥CG．
因为DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，
所以DF∥平面ABC．
（2）因为EA⊥平面ABC，所以EA⊥CG．
又因为△ABC是等边三角形，G是AB的中点，所以CG⊥AB．
因为AE∩AB＝A，所以CG⊥平面ABE．
由（1）知DF∥CG，
所以DF⊥平面ABE，从而DF⊥AF．
因为AE＝AB，F为BE的中点，所以AF⊥BE．
又BE∩DF＝F，所以AF⊥平面BDE．
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3R2+2abcosC＝a2+b2，R为△ABC外接圆的半径，，．
（1）若a+b＝6，求△ABC的面积；
（2）求a+b的最大值，并判断此时△ABC的形状．
【分析】（1）根据已知条件3R2+2abcosC＝a2+b2，运用余弦定理，可得3R2＝c2，又，可推得C＝，
再结合余弦定理和三角形面积公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合余弦定理和均值不等式，即可求解．
解：（1）∵3R2+2abcosC＝a2+b2，
又∵由余弦定理可得，2abcosC＝a2+b2﹣c2，
∴3R2＝c2．
又∵，
∴3R2＝4R2sin2C，解得．
又∵，
∴，
∵，
∴由余弦定理得12＝a2+b2﹣ab，
∴12＝（a+b）2﹣3ab，
∵a+b＝6，
∴ab＝8，
∴．
（2）由余弦定理得12＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，
∴，
∴（a+b）2≤48，，当且仅当a＝b＝2时等号成立，
∴a+b的最大值为，此时△ABC为等边三角形．
22．已知a＞0，函数．
（1）判断函数f（x）在R上的单调性，并用定义法证明；
（2）设g（x）＝f（x）f（﹣x），若对任意x∈[﹣1，1]，g（x）≥f（2）恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）当a＞0时，f（x）在R上单调递减，即任取x1＜x2，，定号，即可得出答案．
（2）依题意，，利用基本不等式，求出g（x）的最小值，使其大于等于，即可解得a的取值范围．
解：（1）证明：当a＞0时，f（x）在R上单调递减．
任取x1＜x2，，
由于x1＜x2，
所以，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，
故f（x）在R上单调递减．
（2）依题意，．
令t＝3x，，
所以在上单调递减，
在[1，3]上单调递增，
且当和t＝3时，，
而当t＝1时，y＝2，
所以．
因为a＞0，
所以，
故．
因为对任意x∈[﹣1，1]，恒成立，
所以，
即，
化简得，
解得，
故a的取值范围是．
2020-2021学年山西省临汾市高一（下）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.）
1．已知复数z＝1+2i，则的虚部是（ ）
A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2
2．已知集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}，，则M∪N＝（ ）
A．[﹣1，+∞） B． C． D．
3．下列命题错误的是（ ）
A．直棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
D．棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，A＝45°，C＝105°，则b＝（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
5．利用斜二测画法得到：
①水平放置的三角形的直观图是三角形；
②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；
③水平放置的正方形的直观图是菱形；
④水平放置的菱形的直观图是菱形．
以上结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②④
6．下列命题中为真命题的是（ ）
A．“a﹣b＝0”的充要条件是“”
B．“a＞b”是“”的既不充分也不必要条件
C．命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x≥0”
D．“a＞2，b＞2”是“ab＞4”的必要条件
7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
8．在△ABC中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝3，D是△ABC内一点，且∠DAB＝45°，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则＝（ ）
A． B． C． D．
9．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f（x）＝|cosx|+|sinx|，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的最小正周期为2π
C．f（x）在区间上单调递增
D．f（x）的最小值为1
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinC＝csinB，且，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
11．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位为℃）：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为27；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．
则肯定进入夏季的地区有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．当E点运动时，A1C⊥AE总成立
B．当E向D1运动时，二面角A﹣EF﹣B逐渐变小
C．二面角E﹣AB﹣C的最小值为45°
D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．函数f（x）＝lg（﹣x2+4x+5）的单调递增区间为 ．
14．已知向量＝（2，0），＝（x，2），且满足||2+•＝0，则与的夹角为 ．
15．已知三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为676π，PB⊥平面ABC，PB＝10，∠BAC＝150°，则BC的长为 ．
16．某校高一年级共有1000名学生参加了数学测验（满分150分），已知这1000名学生的数学成绩均不低于90分，将这1000名学生的数学成绩分组如下：[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，得到的频率分布直方图如图所示，现有下列说法：
①a＝0.035；
②这1000名学生中数学成绩在100分以下的人数为100；
③这1000名学生数学成绩的中位数约为121.4；
④这10000名学生数学成绩的平均数为115．
其中所有正确说法的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，，．
（1）求；
（2）若，求λ的值．
18．已知函数的最小正周期为π，且f（0）＝3．
（1）求ω和φ的值．
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，
①求函数g（x）的单调递增区间；
②求函数g（x）在上的最大值．
19．疫情后，居民减少了乘坐公共交通工具的频率，于是私家车销量提升了．现对某大型连锁汽车销售店的100名销售人员去年下半年的销售量进行统计，将数据按照[90，110]，（110，130]，（130，150]，（150，170]分成4组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求这100名销售人员去年下半年销售量的平均数；（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）
（2）汽车销售店准备从去年下半年销售量在（130，150]，（150，170]之间的销售人员中，用分层抽样的方法抽取5名销售人员进行经验交流分享，并从这5人中任意抽取2人派到其他店巡回分享经验，求这2人不是来自同一组的概率．
20．如图，△ABC是等边三角形，EA⊥平面ABC，DC∥EA，AE＝AB＝2CD，F为BE的中点．
（1）证明：DF∥平面ABC．
（2）证明：AF⊥平面BDE．
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3R2+2abcosC＝a2+b2，R为△ABC外接圆的半径，，．
（1）若a+b＝6，求△ABC的面积；
（2）求a+b的最大值，并判断此时△ABC的形状．
22．已知a＞0，函数．
（1）判断函数f（x）在R上的单调性，并用定义法证明；
（2）设g（x）＝f（x）f（﹣x），若对任意x∈[﹣1，1]，g（x）≥f（2）恒成立，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z＝1+2i，则的虚部是（ ）
A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2
【分析】由z求得，则答案可求．
解：∵z＝1+2i，∴＝1﹣2i，
∴的虚部是﹣2．
故选：D．
2．已知集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}，，则M∪N＝（ ）
A．[﹣1，+∞） B． C． D．
【分析】求出集合M，N，由此能求出M∪N．
解：因为集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}＝[﹣1，+∞），
＝[﹣，]，
所以M∪N＝[﹣，+∞）．
故选：D．
3．下列命题错误的是（ ）
A．直棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
D．棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形
【分析】对于选项A：直棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定全等，可以长方体为例，
对于选项B：若截面与底面不平行，则棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，作图说明，
对于选项C：由线面垂直判定定理与面面垂直判定定理判断即可，
对于选项D：由棱台的定义可判断．
解：对于选项A：直棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定全等，如下图，
故A错，
对于选项B：若截面与底面不平行，则棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，如下图
故B错，
对于选项C：如上图，若CA⊥CB，CA⊥CD，则CA⊥平面BCD，
则平面CAD⊥平面BCD，平面CAB⊥平面BCD，
同理可得，平面CAB⊥平面CAD，故C对，
对于选项D：由棱台的定义知，D对，
故选：AB．
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，A＝45°，C＝105°，则b＝（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【分析】由已知利用三角形内角和定理可求B的值，进而利用正弦定理即可解得b的值．
解：因为A＝45°，C＝105°，
所以B＝30°，
又，
由，即，解得b＝1．
故选：C．
5．利用斜二测画法得到：
①水平放置的三角形的直观图是三角形；
②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；
③水平放置的正方形的直观图是菱形；
④水平放置的菱形的直观图是菱形．
以上结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②④
【分析】根据平面图形的直观图的画法规则，对四个选择逐一判断即可．
解：对于①，由斜二测画法规则知，水平放置的三角形的直观图还是三角形，故选项①正确；
对于②，根据平行性不变知，平行四边形的直观图是平行四边形，故选项②正确；
对于③，由平行于一轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半知，
正方形的直观图不是菱形，故选项③错误；
对于④，因为∠x'O'y'＝45°或135°，所得直观图的对角线不垂直，所以直观图不可能为菱形，故选项④错误．
故选：A．
6．下列命题中为真命题的是（ ）
A．“a﹣b＝0”的充要条件是“”
B．“a＞b”是“”的既不充分也不必要条件
C．命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x≥0”
D．“a＞2，b＞2”是“ab＞4”的必要条件
【分析】由充分必要条件的定义，逐个判断每个选项，即可得出答案．
解：对于A：若a＝b＝0时，满足a﹣b＝0，但此时无意义，
所以“a﹣b＝0”不是“＝1“的充分条件，
若＝1时，则a＝b，所以a﹣b＝0，
所以“a﹣b＝0”是“＝1“的必要条件，
故“a﹣b＝0”不是“＝1“的必要不充分条件，故A错误；
对于B：若a＝1，b＝﹣1，则满足a＞b，
此时＝1，＝﹣1，有＞，
所以“a＞b”不是“＜”的充分条件，
若a＝﹣2，b＝1，满足＜，但是a＜b，从而一定不是充分不必要条件，故B正确；
对于C：命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x≥0“，故C正确；
对于D：若a＞2，b＞2，则ab＞4，
所以“a＞2，b＞2“是“ab＞4”的充分条件，
若a＝5，b＝1，
则满足a＞4，不满足b＞2，
所以“a＞2，b＞2“不是“ab＞4”的必要条件，
综上“a＞2，b＞2“不是“ab＞4”的充分不必要条件，故D错误．
故选：BC．
7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
【分析】连结BE，则CD∥AB，从而∠BAE是异面直线AE与CD所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AE与CD所成角的余弦值．
解：连结BE，
∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，
∴CD∥AB，
∴∠BAE是异面直线AE与CD所成角（或所成角的补角），
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则AB＝2，BE＝＝，AB⊥BE，
AE＝＝＝3，
∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为：
cos∠BAE＝＝．
故异面直线AE与CD所成角的余弦值为．
故选：C．
8．在△ABC中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝3，D是△ABC内一点，且∠DAB＝45°，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】以直角三角形的两条直角边分别为x轴和y轴建系，用平面向量的坐标表示算出λ与μ的比例．
解：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则B（2，0），C（0，3）．由于∠DAB＝45°，
可设D（m，m），
因为，
所以（m，m）＝（2λ，0）+（0，3μ），
所以m＝2λ＝3μ，
解得．
故选：A．
9．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f（x）＝|cosx|+|sinx|，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的最小正周期为2π
C．f（x）在区间上单调递增
D．f（x）的最小值为1
【分析】由奇偶性的定义可得f（x）是偶函数，可验证π是f（x）的周期，当时，去绝对值号化简判断函数的单调性，结合函数的周期性求f（x）在[0，π]上的最小值即可．
解：∵f（﹣x）＝|cos（﹣x）|+|sin（﹣x）|＝|cosx|+|sinx|＝f（x），
∴f（x）是偶函数，故A对，
∵，
∴π是f（x）的周期，故B错，
∵当时，，
∴f（x）在区间上单调递增，在上单调递减，故C错，
∵π是f（x）的周期，且当时，f（x）min＝f（0）＝1，
当时，f（x）＝﹣cosx+sinx＝2sin（x﹣），f（x）min＝f（π）＝1，
∴f（x）的最小值为1，故D对．
故选：AD．
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinC＝csinB，且，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【分析】由正弦定理化简已知等式可得a＝b，从而可得A＝B，C＝π﹣2A，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求，利用三角形内角和定理可求，，即可得解三角形的形状．
解：因为asinC＝csinB，
所以ac＝cb，
解得a＝b，从而A＝B．
又C＝π﹣A﹣B＝π﹣2A，
由，可得2sin2A（5+cos2A）＝5，
进一步整理得（2sin2A﹣1）（2sin2A﹣5）＝0，
所以，
则，，
故△ABC为等腰直角三角形．
故选：D．
11．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位为℃）：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为27；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．
则肯定进入夏季的地区有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】根据数据的特点估计三地连续5日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行判断即可．
解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：
甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为22，22，24，25，26，
其连续5天的日平均温度均不低于22℃，故甲地进入夏季，
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为27，
比如这5个数据从小到大排列为20，21，27，33，34满足条件，
但是有低于22的数，故不确定．
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，
若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，
可知其连续5天的日平均温度均不低于22．则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，
故选：B．
12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．当E点运动时，A1C⊥AE总成立
B．当E向D1运动时，二面角A﹣EF﹣B逐渐变小
C．二面角E﹣AB﹣C的最小值为45°
D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
【分析】对于A，利用A1C⊥B1D1，A1C⊥AD1，即可得到A1C⊥平面AB1D1，A1C⊥AE恒成立；
对于B，利用平面EFB即平面BDD1B1，即可判断；
对于C，当点E从B1D1的中点向点D1运动时，二面角越来越小，即可判断；
对于D，直接利用体积公式计算；
解：对于A，易证B1D1⊥平面A1C1C，所以A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AD1，从而A1C⊥平面AB1D1，
所以A1C⊥AE恒成立，A正确；
对于B，平面EFB即平面BDD1B1，而平面EFA即平面AB1D1，所以当E向D1运动时，二面角A﹣EF﹣B的大小不变，B错误；
对于C，当点E从B1D1的中点向点D1运动时，平面ABE逐渐向底面ABCD靠拢，
这个过程中，二面角越来越小，所以二面角E﹣AB﹣C的最小值为45°，C正确；
对于D，因为，点A到平面BDD1B1的距离为，
所以体积为，即体积为定值，D正确．
故选：ACD．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．函数f（x）＝lg（﹣x2+4x+5）的单调递增区间为 （﹣1，2）（或写成（﹣1，2]也可以） ．
【分析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，得出结论．
解：因为函数f（x）＝lg（﹣x2+4x+5），由﹣x2+4x+5＞0，求得﹣1＜x＜5，
可得 函数f（x）的定义域为（﹣1，5）．
又f（x）的增区间，即 y＝﹣x2+4x+5的增区间．
抛物线y＝﹣x2+4x+5的对称轴为直线x＝2，开口向下，
所以y＝﹣x2+4x+5的增区间为（﹣1，2），
故 f（x）的单调递增区间为（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
14．已知向量＝（2，0），＝（x，2），且满足||2+•＝0，则与的夹角为 ．
【分析】根据条件以及向量的坐标运算法则可解出x，进而利用向量夹角公式即可算出答案．
解：设与的夹角为θ，
因为，＝（2，0），＝（x，2），
所以4+2x＝0，解得x＝﹣2，
所以＝，
解得．
故答案为：
15．已知三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为676π，PB⊥平面ABC，PB＝10，∠BAC＝150°，则BC的长为 12 ．
【分析】设球的半径为R，△ABC外接圆的半径为r，利用球的表面积公式求出R，利用正弦定理求出r＝BC，然后由勾股定理求解即可．
解：设球的半径为R，△ABC外接圆的半径为r，
因为三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为676π，
则4πR2＝676π，解得R＝13，
由正弦定理可得，，解得r＝BC，
由球的半径、截面半径、球心与截面圆心之间距离的关系，
则，
所以r＝BC＝12．
故答案为：12．
16．某校高一年级共有1000名学生参加了数学测验（满分150分），已知这1000名学生的数学成绩均不低于90分，将这1000名学生的数学成绩分组如下：[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，得到的频率分布直方图如图所示，现有下列说法：
①a＝0.035；
②这1000名学生中数学成绩在100分以下的人数为100；
③这1000名学生数学成绩的中位数约为121.4；
④这10000名学生数学成绩的平均数为115．
其中所有正确说法的序号是 ①②③ ．
【分析】利用频率之和为1判断选项①，利用频率、频数、样本容量之间的关系判读选项②，利用中位数的求解方法判断选项③，利用平均数的计算公式判断选项④．
解：对于①，由（0.01×2+0.025+a+0.015+0.005）×10＝1，得a＝0.035，故①正确；
对于②，0.01×10×1000＝100，故②正确；
对于③，因为0.1×2+0.25＝0.45＜0.5，0.1×2+0.25+0.35＝0.8＞0.5，
所以中位数x∈[120，130），
由0.45+（x﹣120）×0.035＝0.5，得x≈121.4，故③正确；
对于④，这1000名学生数学成绩的平均数为95×0.1+105×0.1+⋅⋅⋅+135×0.15+145×0.05＝120，故④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，，．
（1）求；
（2）若，求λ的值．
【分析】（1）根据向量三角形法则可得＝，再由向量模的运算公式代入计算即可；
（2）利用向量数量积的运算公式用含λ的式子表示出＝，即可解出λ．
解：（1）因为，
所以．
又因为，
所以，
从而；
（2）因为＝＝＝
所以，解得．
18．已知函数的最小正周期为π，且f（0）＝3．
（1）求ω和φ的值．
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，
①求函数g（x）的单调递增区间；
②求函数g（x）在上的最大值．
【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性，求得ω，再根据f（0）＝3，求得φ，可得函数f（x）的解析式．
（2）由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，得出结论．
解：（1）∵函数 的最小正周期为 ＝π，
∴ω＝2．
又因为f（0）＝3，所以，，即，故f（x）＝4sin（2x+）+1．
（2）∵将函数f（x）的图象向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，
则g（x）＝4sin（2x﹣+）+1＝﹣4cos2x+1．
函数g（x）的增区间，即t＝cos2x的减区间，
①由2x∈[2kπ，2kπ+π]（k∈Z），求得kπ≤x≤kπ+，
故函数g（x）的单调递增区间为．
②因为，所以．
当，即时，
函数g（x）取得最大值，最大值为．
19．疫情后，居民减少了乘坐公共交通工具的频率，于是私家车销量提升了．现对某大型连锁汽车销售店的100名销售人员去年下半年的销售量进行统计，将数据按照[90，110]，（110，130]，（130，150]，（150，170]分成4组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求这100名销售人员去年下半年销售量的平均数；（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）
（2）汽车销售店准备从去年下半年销售量在（130，150]，（150，170]之间的销售人员中，用分层抽样的方法抽取5名销售人员进行经验交流分享，并从这5人中任意抽取2人派到其他店巡回分享经验，求这2人不是来自同一组的概率．
【分析】（1）利用频率分布直方图中平均数的求解公式求解即可；
（2）先求出销售量在（130，150]，（150，170]的销售人员数，然后由分层抽样计算从（130，150]，（150，170]组应抽取的人数，再利用古典概型概率公式求解即可．
解：（1）由频率分布直方图可得，平均数台．
（2）销售量在（130，150]的销售人员有100×0.0225×20＝45人，
销售量在（150，170]的销售人员有100×0.015×20＝30人，
分层抽样的比例为，
所以从（130，150]组应抽取人，
从（150，170]组应抽取人，
记从（130，150]组抽取的3人为A1，A2，A3，
从（150，170]组抽取的2人为B1，B2，
则从中任选2人，基本事件共有10个，分别为：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，
其中不是来自同一组的情况共有6个，分别为：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，
则这2人不是来自同一组的概率为．
20．如图，△ABC是等边三角形，EA⊥平面ABC，DC∥EA，AE＝AB＝2CD，F为BE的中点．
（1）证明：DF∥平面ABC．
（2）证明：AF⊥平面BDE．
【分析】（1）取AB的中点G，连接CG，FG．推导出四边形CDFG为平行四边形从而DF∥CG，由此能证明DF∥平面ABC．
（2）推导出EA⊥CG，CG⊥AB，从而CG⊥平面ABE，由DF∥CG，得DF⊥平面ABE，从而DF⊥AF．推导出AF⊥BE，由此能证明AF⊥平面BDE．
【解答】证明：（1）如图，取AB的中点G，连接CG，FG．
因为EF＝FB，AG＝GB，
所以FG∥EA，．
又因为DC∥EA，，
所以FG∥DC，FG＝DC，四边形CDFG为平行四边形
所以DF∥CG．
因为DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，
所以DF∥平面ABC．
（2）因为EA⊥平面ABC，所以EA⊥CG．
又因为△ABC是等边三角形，G是AB的中点，所以CG⊥AB．
因为AE∩AB＝A，所以CG⊥平面ABE．
由（1）知DF∥CG，
所以DF⊥平面ABE，从而DF⊥AF．
因为AE＝AB，F为BE的中点，所以AF⊥BE．
又BE∩DF＝F，所以AF⊥平面BDE．
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3R2+2abcosC＝a2+b2，R为△ABC外接圆的半径，，．
（1）若a+b＝6，求△ABC的面积；
（2）求a+b的最大值，并判断此时△ABC的形状．
【分析】（1）根据已知条件3R2+2abcosC＝a2+b2，运用余弦定理，可得3R2＝c2，又，可推得C＝，
再结合余弦定理和三角形面积公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合余弦定理和均值不等式，即可求解．
解：（1）∵3R2+2abcosC＝a2+b2，
又∵由余弦定理可得，2abcosC＝a2+b2﹣c2，
∴3R2＝c2．
又∵，
∴3R2＝4R2sin2C，解得．
又∵，
∴，
∵，
∴由余弦定理得12＝a2+b2﹣ab，
∴12＝（a+b）2﹣3ab，
∵a+b＝6，
∴ab＝8，
∴．
（2）由余弦定理得12＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，
∴，
∴（a+b）2≤48，，当且仅当a＝b＝2时等号成立，
∴a+b的最大值为，此时△ABC为等边三角形．
22．已知a＞0，函数．
（1）判断函数f（x）在R上的单调性，并用定义法证明；
（2）设g（x）＝f（x）f（﹣x），若对任意x∈[﹣1，1]，g（x）≥f（2）恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）当a＞0时，f（x）在R上单调递减，即任取x1＜x2，，定号，即可得出答案．
（2）依题意，，利用基本不等式，求出g（x）的最小值，使其大于等于，即可解得a的取值范围．
解：（1）证明：当a＞0时，f（x）在R上单调递减．
任取x1＜x2，，
由于x1＜x2，
所以，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，
故f（x）在R上单调递减．
（2）依题意，．
令t＝3x，，
所以在上单调递减，
在[1，3]上单调递增，
且当和t＝3时，，
而当t＝1时，y＝2，
所以．
因为a＞0，
所以，
故．
因为对任意x∈[﹣1，1]，恒成立，
所以，
即，
化简得，
解得，
故a的取值范围是．
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