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2021【KS5U解析】吕梁高一下学期期末考试数学试卷含解析
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这是一份2021【KS5U解析】吕梁高一下学期期末考试数学试卷含解析，共24页。试卷主要包含了单项选择题.，填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山西省吕梁市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．复数的虚部为（ ）
A．i B． C．﹣ D．﹣i
2．甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.7，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.7
3．设α，β是空间两个不重合的平面，l，m是空间两条不重合的直线，下列命题不正确的是（ ）
A．若l⊥α，l⊥β，则α∥β B．若l⊥α，m⊥α，则l∥m
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若l⊥α，α⊥β，则l∥β
4．圆锥的母线长是2，侧面积是2π，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．2
5．“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州”出自唐朝诗人李白的《黄鹤楼送孟浩然之广陵》，黄鹤楼位于今湖北武汉市，自古享有“天下江山第一楼”之称．下面是黄鹤楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进37.5米到达E点，此时看楼顶点A的仰角为45°，则楼高AB约为（ ）
（参考数据：）
A．45米 B．51米 C．62米 D．73米
6．已知在一次射击预选赛中，甲，乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断正确的是（ ）
A．甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A'，则四面体A'﹣DEF的外接球的表面积为（ ）
A．24π B．12π C．6π D．3π
8．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在线段AB上，且BE＝3EA，AD与CE交于点O．设，则x+y＝（ ）
A．1 B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，下列事件中，与事件“2个小球都是红色”互斥但不对立的事件是（ ）
A．2个小球都是黑色
B．2个小球恰有1个是红色
C．2个小球都不是红色
D．2个小球至多有1个是红色
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝6，C＝30°，则使得角B有两个解的c的值可以是（ ）
A．3 B． C．5 D．7
11．如图，由A1，A2，A3，A4四个电子元件分别组成甲、乙两种系统，设每个电子元件能正常工作的概率均为p（0＜p＜1），则（ ）
A．甲、乙系统都正常工作的概率为8p4
B．甲系统正常工作的概率为2p2﹣p4
C．乙系统正常工作的概率为1﹣（1﹣p）2
D．甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率
12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F（F靠近B1），且，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC⊥BF
B．存在点E，F使得AF，BE相交
C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
D．AF+BF的最小值为
三、填空题（本大題共4小题，每小题5分，共20分）
13．某公司对旗下的某门店1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计得到的数据为12，18，24，21，25，32，28，23，30，则此门店1至9月份的营业额的第一四分位数是 ．
14．已知向量，，且向量与的夹角为，则等于 ．
15．已知正三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BB1＝4，D，E分别是棱A1C1，BB1的中点，则异面直线B1D与AE所成角的正切值为 ．
16．如图，在△ABC中，，AC＝2，D是边BC上的点，且BD＝2DC，AD＝DC，则AB等于 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知平面向量，且与共线．
（1）求y的值；
（2）若，，求向量与向量所夹角的余弦值．
18．在中国扶贫志愿服务促进会的指导和地方政府的协助下，某平台希望通过“万村主播培养计划”建立起跨部门，跨行业，跨单位的多元主体扶贫工作体系，打造“新媒体+精准扶贫”，“短视频，直播+消费扶贫”等行业扶贫模式，发挥网络视听新媒体在产销助农，品牌强农等方面的积极作用．某村为苹果种植基地，村播的加入给村民带来了较好的收益，该村决定从甲，乙两个村播中评选一人作为年度优秀村播．现从观看过甲，乙村播的观众中随机抽取200人，对甲，乙两人进行评分，得到如下频率分布直方图和频数分布表：
乙村播所得分数频数分布表
分数区间
频数
[4.5，5.5）
20
[5.5，6.5）
10
[6.5，7.5）
46
[7.5，8.5）
84
[8.5，9.5]
60
（1）若以观众评分的平均分作为该村年度优秀村播的评选标准，试问甲，乙两人谁能被评为年度优秀村播？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）对于（1）中被大家选中的年度优秀村播，为了进一步优化他的直播，决定对200名观众中对其评分为[4.5，6.5）的观众进行走访，先从这些观众中按评分用分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行深入座谈，求深入座谈的观众中至少有1人评分为[5.5，6.5）的概率．
19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形．AB＝BC＝2，AF＝3，E，F分别为BC和CC1的中点．
（1）求三棱锥F﹣ACE的体积；
（2）证明：AF⊥B1E．
20．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一．驾驶证考试，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算通过，即进入下一科目考试，如果5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为．现有一对夫妻报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．假设每个人科目二5次考试是否通过互不影响，且夫妻二人每次考试是否通过也互不影响．
（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥DC，PD⊥PB，，CD＝3，E是PC的中点．
（1）证明：DE∥平面PAB；
（2）证明：PD⊥平面PBC；
（3）已知直线AB与平面PBC所成角的正弦值为，求PD的长．
22．在锐角△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，现有以下三个条件：
①a2+c2﹣b2＝（4c2﹣2bc）cosA；②；③．请从以上三个条件中选择一个完成下列求解．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积为，求边b的取值范围．
参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑.
1．复数的虚部为（ ）
A．i B． C．﹣ D．﹣i
解：∵＝，
∴复数的虚部为﹣．
故选：C．
2．甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.7，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.7
解：甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.7，两人下成平局的概率是0.5，
则甲胜的概率是p＝0.7﹣0.5＝0.2．
故选：A．
3．设α，β是空间两个不重合的平面，l，m是空间两条不重合的直线，下列命题不正确的是（ ）
A．若l⊥α，l⊥β，则α∥β B．若l⊥α，m⊥α，则l∥m
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若l⊥α，α⊥β，则l∥β
解：对于A，由面面平行的判定定理得A正确；
对于B，由直线与平面垂直的性质定理得B正确；
对于C，l⊥α，l∥β，则在β中一定β存在直线与l平行，由面面垂直的判定可得α⊥β，故C正确；
对于D，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，故D正确；
故选：D．
4．圆锥的母线长是2，侧面积是2π，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．2
解：设圆锥的高为h，底面圆的半径为r，
由题意可知，母线长l＝2，侧面积是2π，
则，解得r＝1，
所以．
故选：A．
5．“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州”出自唐朝诗人李白的《黄鹤楼送孟浩然之广陵》，黄鹤楼位于今湖北武汉市，自古享有“天下江山第一楼”之称．下面是黄鹤楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进37.5米到达E点，此时看楼顶点A的仰角为45°，则楼高AB约为（ ）
（参考数据：）
A．45米 B．51米 C．62米 D．73米
解：因为在△AED中，∠D＝30°，∠EAD＝45°﹣30°＝15°，DE＝37.5米，
由正弦定理＝，可得AE＝＝＝，
在△ABE中，可得AB＝AEcos45°＝×＝≈≈51．
故选：B．
6．已知在一次射击预选赛中，甲，乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断正确的是（ ）
A．甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
解：对于A，甲的成绩的平均数为：
＝（5+6×2+7×2+8×2+9×2+10×1）＝7.5，
乙的成绩的平均数为：
＝（6+7×3+8×2+9×3+10×1）＝8，
∴甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故A错误；
对于B，甲的成绩的中位数为＝7.5，
乙的成绩的中位数为＝8.5，
∴甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数，故B错误；
对于C，由条形统计图得甲的成绩相对分散，乙的成绩相对集中，
∴甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差，故C正确；
对于D，甲的成绩的极差为10﹣5＝5，乙的成绩的极差为10﹣6＝4，
∴甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差，故D错误．
故选：C．
7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A'，则四面体A'﹣DEF的外接球的表面积为（ ）
A．24π B．12π C．6π D．3π
解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．
三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，
然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，
正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：．
∴球的半径为，
则四面体A'﹣DEF的外接球的表面积为4π×＝6π．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在线段AB上，且BE＝3EA，AD与CE交于点O．设，则x+y＝（ ）
A．1 B． C． D．
解：（1）△ABC中，D是BC的中点，BE＝3EA，AD与CE交于点O．
则＝4x+y，
因为E，O，C三点共线，
所以4x+y＝1①，
因为A，O，D三点共线，
所以＝λ＝λ（+）＝λ（4+）＝2λ+λ，
所以由平面向量的基本定理可得4x＝2λ，y＝λ，
所以x＝y②，
由①②组成方程组解得x＝y＝，
所以x+y＝．
故选：D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，下列事件中，与事件“2个小球都是红色”互斥但不对立的事件是（ ）
A．2个小球都是黑色
B．2个小球恰有1个是红色
C．2个小球都不是红色
D．2个小球至多有1个是红色
解：盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，
总的基本事件有：“2个小球都是红色”，“2个小球都是黄色”，“2个小球都是黑色”，
“2个小球分别为1红1黑”，“2个小球分别为1红1黄”，“2个小球分别为1黄1黑”，
选项A：“2个小球都是黑色”与“2个小球都是红色”互斥不对立，故A正确，
选项B：“2个小球恰有1个红色”包含“1红1黑与1红1黄”，与“2个小球都是红色”互斥不对立，故B正确，
选项C：“2个小球都不是红色”与“2个小球都是红色”互斥不对立，故C正确，
选项D：“2个小球至多有1个是红色”的对立事件为“2个小球都是红色”，故D错误，
故选：ABC．
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝6，C＝30°，则使得角B有两个解的c的值可以是（ ）
A．3 B． C．5 D．7
解：如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，
∵b＝6，C＝30°，且使得角B有两个解，
∴AD＜c＜AC，即3＜c＜6．
故选：BC．
11．如图，由A1，A2，A3，A4四个电子元件分别组成甲、乙两种系统，设每个电子元件能正常工作的概率均为p（0＜p＜1），则（ ）
A．甲、乙系统都正常工作的概率为8p4
B．甲系统正常工作的概率为2p2﹣p4
C．乙系统正常工作的概率为1﹣（1﹣p）2
D．甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率
解：甲系统正常工作的对立事件是A1，A2中至少一个元件不能正常工作，
且A3，A4中至少一个元件不能正常工作，
∴甲系统正常工作的概率为：
P＝1﹣（1﹣P2）（1﹣P2）＝2p2﹣p4，
故A错误，B正确；
乙系统正常工作的情况为：
A1，A2中至少一个元件能正常工作，且A3，A4中至少一个元件能正常工作，
∴乙系统正常工作的概率为：
P＝[1﹣（1﹣p）2][1﹣（1﹣p）2]＝p4﹣4p3+4p2，故C错误；
∵0＜P＜1，
∴（2p2﹣p4）﹣（p4﹣4p3+4p2）＝﹣2p2（1﹣p）2＜0，
∴甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率，故D正确．
故选：BD．
12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F（F靠近B1），且，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC⊥BF
B．存在点E，F使得AF，BE相交
C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
D．AF+BF的最小值为
解：对于A，连接BD，交AC于O，则AC⊥BD，又BB1⊥平面ABCD，则AC⊥BB1，则有AC⊥平面BDD1B1，BF⊂平面BDD1B1，所以AC⊥BF，故A对；
对于B，由于BE是平面BDD1B1内一直线，F不在直线BE上，且F在平面BDD1B1内，
点A不在平面BDD1B1内，由异面直线的判定可得，AF与BE为异面直线，故B错；
对于C，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B的距离为定值，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；
对于D，如图建立空间直角坐标系，可得A（1，1，0），B（0，1，0），设F（1﹣t，t，1）（≤t≤1），
AF+BF＝+＝（+），
令f（t）＝（+）＝+，
f（t）可以看作在平面直角坐标系内的点P（t，0）到点A（，）和点B（1，）的距离之和，
如图B关于x轴的对称点C（1，﹣），连结AC交x轴于点P（x0，0），显然x0，
f（t）的最小值为AC＝＝，
∴AF+BF的最小值为，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题（本大題共4小题，每小题5分，共20分）
13．某公司对旗下的某门店1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计得到的数据为12，18，24，21，25，32，28，23，30，则此门店1至9月份的营业额的第一四分位数是 21 ．
解：∵9×25%＝，
∴此门店1至9月份的营业额的第一四分位数是从小到大排序后的第3个数，
而此门店1至9月份的营业额从小到大排序的前三个数是12，18，21，
故此门店1至9月份的营业额的第一四分位数是21，
故答案为：21．
14．已知向量，，且向量与的夹角为，则等于 ．
解：＝＝＝＝2，
故答案为：2．
15．已知正三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BB1＝4，D，E分别是棱A1C1，BB1的中点，则异面直线B1D与AE所成角的正切值为 ．
解：以C为原点，过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
C（0，0，0），A（，1，0），B（0，2，0），A1（，1，4），B1（0，2，4），C1（0，0，4）
则D（，，4），E（0，2，2），
所以＝（，﹣，0），＝（﹣，1，2），
设异面直线B1D与AE所成角为θ，
则cosθ＝||＝||＝，
则正弦值sinθ＝＝，
∴异面直线B1D与AE所成角的正切值tanθ＝＝＝．
故答案为：．
16．如图，在△ABC中，，AC＝2，D是边BC上的点，且BD＝2DC，AD＝DC，则AB等于 3 ．
解：设AB＝c，BD＝2CD＝2AD＝2x，
在△ABC中，由余弦定理BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC，
可得9x2＝c2+22﹣2×c×2×（﹣），即9x2＝c2+4+，…①．
∵＝，
∴，
整理可得：.....②，
联立①②消去x可得c＝3．
故答案为：3．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知平面向量，且与共线．
（1）求y的值；
（2）若，，求向量与向量所夹角的余弦值．
解：（1）由题意得：，，
因为与共线，
所以（﹣2）×1﹣2（2﹣y）＝0，
解得y＝3．
（2）由（1）可知，
于是，，
设向量与向量夹角为θ，
则．
18．在中国扶贫志愿服务促进会的指导和地方政府的协助下，某平台希望通过“万村主播培养计划”建立起跨部门，跨行业，跨单位的多元主体扶贫工作体系，打造“新媒体+精准扶贫”，“短视频，直播+消费扶贫”等行业扶贫模式，发挥网络视听新媒体在产销助农，品牌强农等方面的积极作用．某村为苹果种植基地，村播的加入给村民带来了较好的收益，该村决定从甲，乙两个村播中评选一人作为年度优秀村播．现从观看过甲，乙村播的观众中随机抽取200人，对甲，乙两人进行评分，得到如下频率分布直方图和频数分布表：
乙村播所得分数频数分布表
分数区间
频数
[4.5，5.5）
20
[5.5，6.5）
10
[6.5，7.5）
46
[7.5，8.5）
84
[8.5，9.5]
60
（1）若以观众评分的平均分作为该村年度优秀村播的评选标准，试问甲，乙两人谁能被评为年度优秀村播？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）对于（1）中被大家选中的年度优秀村播，为了进一步优化他的直播，决定对200名观众中对其评分为[4.5，6.5）的观众进行走访，先从这些观众中按评分用分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行深入座谈，求深入座谈的观众中至少有1人评分为[5.5，6.5）的概率．
解：（1）由甲村播所得分数频率分布直方图，得
由乙村播所得分数频数分布表，得；
因为，
所以乙能被评为年度优秀村播
（2）因为乙能被评为年度优秀村播，200名观众中对乙评分为[4.5，6.5）的观众有30名，
其中评分为[4.5，5.5）有20名，评分为[5.5，6.5）有10名．
用分层抽样从中抽取6人，则其中评分为[4.5，5.5）的有名，
评分为[5.5，6.5）的有名．
记评分为[4.5，5.5）的4名观众为A1，A2，A3，A4，
评分为[5.5，6.5）的2名观众为B1，B2，
从中随机选取2人，结果可以是：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），
（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），
（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共15种．
其中事件A＝“至少有1人评分为[5.5，6.5）”包括的结果有：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），
（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共9种．
所以深入座谈的观众中至少有1人评分为[5.5，6.5）的概率为．
19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形．AB＝BC＝2，AF＝3，E，F分别为BC和CC1的中点．
（1）求三棱锥F﹣ACE的体积；
（2）证明：AF⊥B1E．
解：（1）∵AA1B1B为正方形，且AB＝2，∴CC1＝2，
又F为CC1的中点，∴FC＝1，
则．
又AB＝BC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形．
∵E是CB的中点，∴CE＝1，
∴×CF×S△ACE＝；
证明：（2）连接BF，
由（1）知AB⊥BC，AB⊥BB1，BC∩BB1＝B，∴AB⊥平面CC1B1B，
又B1E⊂平面CC1B1B，∴AB⊥B1E．
∵tan∠BB1E＝＝，，且这两个角都是锐角，
∴∠BB1E＝∠FBC，得BF⊥B1E．
又AB⊥B1E，AB∩BF＝B，∴B1E⊥平面ABF，
∵AF⊂平面ABF，∴B1E⊥AF．
20．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一．驾驶证考试，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算通过，即进入下一科目考试，如果5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为．现有一对夫妻报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．假设每个人科目二5次考试是否通过互不影响，且夫妻二人每次考试是否通过也互不影响．
（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率．
解：（1）设Ai＝“丈夫在科目二考试中第i次通过”，Bi＝“妻子在科目二考试中第i次通过”，
则，，
其中i＝1，2，3，4，5．
设事件A＝“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，
事件B＝“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，
事件C＝“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”
则，，．
因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为
（2）设事件D＝“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，
事件E＝“妻子参加科目二考试需交补考费200元”，
事件F＝“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”
则，，．
因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥DC，PD⊥PB，，CD＝3，E是PC的中点．
（1）证明：DE∥平面PAB；
（2）证明：PD⊥平面PBC；
（3）已知直线AB与平面PBC所成角的正弦值为，求PD的长．
【解答】（1）证明：取PB中点F，连接EF，AF．
因为E是PC的中点，
所以EF∥BC，且，
因为AD∥BC，，
所以EF∥AD，且EF＝AD，
所以ADEF为平行四边形，DE∥AF．
又DE⊄平面PAB，AF⊂平面PAB，
所以DE∥平面PAB．
（2）证明：因为AD∥BC，AD⊥DC，
所以BC⊥DC．
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝DC，BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥平面PDC．
因为PD⊂平面PDC，
所以BC⊥PD．
又PD⊥PB，BC∩PB＝B，
所以PD⊥平面PBC．
（3）解：过D作DG∥AB，交BC于点G，
连接PG，则DG与平面PBC所成角等于AB与平面PBC所成角．
因为PD⊥平面PBC，
所以∠DGP为直线DG与平面PBC所成角．
在Rt△DCG中，易得CG＝1，
所以
在Rt△DPG中，，则PD＝2．
所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为时，PD的长为2．
22．在锐角△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，现有以下三个条件：
①a2+c2﹣b2＝（4c2﹣2bc）cosA；②；③．请从以上三个条件中选择一个完成下列求解．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积为，求边b的取值范围．
解：（1）选择条件①：
因为a2+c2﹣b2＝（4c2﹣2bc）cosA，，
根据余弦定理得，
依据正弦定理得，
所以cosBsinA+sinBcosA＝2sinCcosA，
所以sin（A+B）＝2sinCcosA．
因为A+B＝π﹣C，
所以sin（A+B）＝sinC＝2sinCcosA，且sinC≠0，则，
因为A∈（0，π），
所以．
选择条件②：
因为，
由正弦定理得．
因为A+B+C＝π，
所以，则．
因为sinC＞0，所以，即，
因为A∈（0，π），
所以．
选择条件③：
因为，
由正弦定理得，
因为C＝π﹣（A+B），，
则，且sinC＞0，
所以，则，
因为，
所以，
则，从而得．
（2）因为△ABC是锐角三角形，
所以，
所以．
因为，
所以bc＝8，
在△ABC中，依据正弦定理得，
则，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以4＜b2＜16，
所以2＜b＜4，
∴b的取值范围为（2，4）．
2020-2021学年山西省吕梁市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．复数的虚部为（ ）
A．i B． C．﹣ D．﹣i
2．甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.7，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.7
3．设α，β是空间两个不重合的平面，l，m是空间两条不重合的直线，下列命题不正确的是（ ）
A．若l⊥α，l⊥β，则α∥β B．若l⊥α，m⊥α，则l∥m
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若l⊥α，α⊥β，则l∥β
4．圆锥的母线长是2，侧面积是2π，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．2
5．“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州”出自唐朝诗人李白的《黄鹤楼送孟浩然之广陵》，黄鹤楼位于今湖北武汉市，自古享有“天下江山第一楼”之称．下面是黄鹤楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进37.5米到达E点，此时看楼顶点A的仰角为45°，则楼高AB约为（ ）
（参考数据：）
A．45米 B．51米 C．62米 D．73米
6．已知在一次射击预选赛中，甲，乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断正确的是（ ）
A．甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A'，则四面体A'﹣DEF的外接球的表面积为（ ）
A．24π B．12π C．6π D．3π
8．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在线段AB上，且BE＝3EA，AD与CE交于点O．设，则x+y＝（ ）
A．1 B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，下列事件中，与事件“2个小球都是红色”互斥但不对立的事件是（ ）
A．2个小球都是黑色
B．2个小球恰有1个是红色
C．2个小球都不是红色
D．2个小球至多有1个是红色
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝6，C＝30°，则使得角B有两个解的c的值可以是（ ）
A．3 B． C．5 D．7
11．如图，由A1，A2，A3，A4四个电子元件分别组成甲、乙两种系统，设每个电子元件能正常工作的概率均为p（0＜p＜1），则（ ）
A．甲、乙系统都正常工作的概率为8p4
B．甲系统正常工作的概率为2p2﹣p4
C．乙系统正常工作的概率为1﹣（1﹣p）2
D．甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率
12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F（F靠近B1），且，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC⊥BF
B．存在点E，F使得AF，BE相交
C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
D．AF+BF的最小值为
三、填空题（本大題共4小题，每小题5分，共20分）
13．某公司对旗下的某门店1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计得到的数据为12，18，24，21，25，32，28，23，30，则此门店1至9月份的营业额的第一四分位数是 ．
14．已知向量，，且向量与的夹角为，则等于 ．
15．已知正三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BB1＝4，D，E分别是棱A1C1，BB1的中点，则异面直线B1D与AE所成角的正切值为 ．
16．如图，在△ABC中，，AC＝2，D是边BC上的点，且BD＝2DC，AD＝DC，则AB等于 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知平面向量，且与共线．
（1）求y的值；
（2）若，，求向量与向量所夹角的余弦值．
18．在中国扶贫志愿服务促进会的指导和地方政府的协助下，某平台希望通过“万村主播培养计划”建立起跨部门，跨行业，跨单位的多元主体扶贫工作体系，打造“新媒体+精准扶贫”，“短视频，直播+消费扶贫”等行业扶贫模式，发挥网络视听新媒体在产销助农，品牌强农等方面的积极作用．某村为苹果种植基地，村播的加入给村民带来了较好的收益，该村决定从甲，乙两个村播中评选一人作为年度优秀村播．现从观看过甲，乙村播的观众中随机抽取200人，对甲，乙两人进行评分，得到如下频率分布直方图和频数分布表：
乙村播所得分数频数分布表
分数区间
频数
[4.5，5.5）
20
[5.5，6.5）
10
[6.5，7.5）
46
[7.5，8.5）
84
[8.5，9.5]
60
（1）若以观众评分的平均分作为该村年度优秀村播的评选标准，试问甲，乙两人谁能被评为年度优秀村播？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）对于（1）中被大家选中的年度优秀村播，为了进一步优化他的直播，决定对200名观众中对其评分为[4.5，6.5）的观众进行走访，先从这些观众中按评分用分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行深入座谈，求深入座谈的观众中至少有1人评分为[5.5，6.5）的概率．
19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形．AB＝BC＝2，AF＝3，E，F分别为BC和CC1的中点．
（1）求三棱锥F﹣ACE的体积；
（2）证明：AF⊥B1E．
20．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一．驾驶证考试，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算通过，即进入下一科目考试，如果5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为．现有一对夫妻报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．假设每个人科目二5次考试是否通过互不影响，且夫妻二人每次考试是否通过也互不影响．
（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥DC，PD⊥PB，，CD＝3，E是PC的中点．
（1）证明：DE∥平面PAB；
（2）证明：PD⊥平面PBC；
（3）已知直线AB与平面PBC所成角的正弦值为，求PD的长．
22．在锐角△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，现有以下三个条件：
①a2+c2﹣b2＝（4c2﹣2bc）cosA；②；③．请从以上三个条件中选择一个完成下列求解．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积为，求边b的取值范围．
参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑.
1．复数的虚部为（ ）
A．i B． C．﹣ D．﹣i
解：∵＝，
∴复数的虚部为﹣．
故选：C．
2．甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.7，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.7
解：甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.7，两人下成平局的概率是0.5，
则甲胜的概率是p＝0.7﹣0.5＝0.2．
故选：A．
3．设α，β是空间两个不重合的平面，l，m是空间两条不重合的直线，下列命题不正确的是（ ）
A．若l⊥α，l⊥β，则α∥β B．若l⊥α，m⊥α，则l∥m
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若l⊥α，α⊥β，则l∥β
解：对于A，由面面平行的判定定理得A正确；
对于B，由直线与平面垂直的性质定理得B正确；
对于C，l⊥α，l∥β，则在β中一定β存在直线与l平行，由面面垂直的判定可得α⊥β，故C正确；
对于D，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，故D正确；
故选：D．
4．圆锥的母线长是2，侧面积是2π，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．2
解：设圆锥的高为h，底面圆的半径为r，
由题意可知，母线长l＝2，侧面积是2π，
则，解得r＝1，
所以．
故选：A．
5．“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州”出自唐朝诗人李白的《黄鹤楼送孟浩然之广陵》，黄鹤楼位于今湖北武汉市，自古享有“天下江山第一楼”之称．下面是黄鹤楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进37.5米到达E点，此时看楼顶点A的仰角为45°，则楼高AB约为（ ）
（参考数据：）
A．45米 B．51米 C．62米 D．73米
解：因为在△AED中，∠D＝30°，∠EAD＝45°﹣30°＝15°，DE＝37.5米，
由正弦定理＝，可得AE＝＝＝，
在△ABE中，可得AB＝AEcos45°＝×＝≈≈51．
故选：B．
6．已知在一次射击预选赛中，甲，乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断正确的是（ ）
A．甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
解：对于A，甲的成绩的平均数为：
＝（5+6×2+7×2+8×2+9×2+10×1）＝7.5，
乙的成绩的平均数为：
＝（6+7×3+8×2+9×3+10×1）＝8，
∴甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故A错误；
对于B，甲的成绩的中位数为＝7.5，
乙的成绩的中位数为＝8.5，
∴甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数，故B错误；
对于C，由条形统计图得甲的成绩相对分散，乙的成绩相对集中，
∴甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差，故C正确；
对于D，甲的成绩的极差为10﹣5＝5，乙的成绩的极差为10﹣6＝4，
∴甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差，故D错误．
故选：C．
7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A'，则四面体A'﹣DEF的外接球的表面积为（ ）
A．24π B．12π C．6π D．3π
解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．
三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，
然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，
正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：．
∴球的半径为，
则四面体A'﹣DEF的外接球的表面积为4π×＝6π．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在线段AB上，且BE＝3EA，AD与CE交于点O．设，则x+y＝（ ）
A．1 B． C． D．
解：（1）△ABC中，D是BC的中点，BE＝3EA，AD与CE交于点O．
则＝4x+y，
因为E，O，C三点共线，
所以4x+y＝1①，
因为A，O，D三点共线，
所以＝λ＝λ（+）＝λ（4+）＝2λ+λ，
所以由平面向量的基本定理可得4x＝2λ，y＝λ，
所以x＝y②，
由①②组成方程组解得x＝y＝，
所以x+y＝．
故选：D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，下列事件中，与事件“2个小球都是红色”互斥但不对立的事件是（ ）
A．2个小球都是黑色
B．2个小球恰有1个是红色
C．2个小球都不是红色
D．2个小球至多有1个是红色
解：盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，
总的基本事件有：“2个小球都是红色”，“2个小球都是黄色”，“2个小球都是黑色”，
“2个小球分别为1红1黑”，“2个小球分别为1红1黄”，“2个小球分别为1黄1黑”，
选项A：“2个小球都是黑色”与“2个小球都是红色”互斥不对立，故A正确，
选项B：“2个小球恰有1个红色”包含“1红1黑与1红1黄”，与“2个小球都是红色”互斥不对立，故B正确，
选项C：“2个小球都不是红色”与“2个小球都是红色”互斥不对立，故C正确，
选项D：“2个小球至多有1个是红色”的对立事件为“2个小球都是红色”，故D错误，
故选：ABC．
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝6，C＝30°，则使得角B有两个解的c的值可以是（ ）
A．3 B． C．5 D．7
解：如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，
∵b＝6，C＝30°，且使得角B有两个解，
∴AD＜c＜AC，即3＜c＜6．
故选：BC．
11．如图，由A1，A2，A3，A4四个电子元件分别组成甲、乙两种系统，设每个电子元件能正常工作的概率均为p（0＜p＜1），则（ ）
A．甲、乙系统都正常工作的概率为8p4
B．甲系统正常工作的概率为2p2﹣p4
C．乙系统正常工作的概率为1﹣（1﹣p）2
D．甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率
解：甲系统正常工作的对立事件是A1，A2中至少一个元件不能正常工作，
且A3，A4中至少一个元件不能正常工作，
∴甲系统正常工作的概率为：
P＝1﹣（1﹣P2）（1﹣P2）＝2p2﹣p4，
故A错误，B正确；
乙系统正常工作的情况为：
A1，A2中至少一个元件能正常工作，且A3，A4中至少一个元件能正常工作，
∴乙系统正常工作的概率为：
P＝[1﹣（1﹣p）2][1﹣（1﹣p）2]＝p4﹣4p3+4p2，故C错误；
∵0＜P＜1，
∴（2p2﹣p4）﹣（p4﹣4p3+4p2）＝﹣2p2（1﹣p）2＜0，
∴甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率，故D正确．
故选：BD．
12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F（F靠近B1），且，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC⊥BF
B．存在点E，F使得AF，BE相交
C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
D．AF+BF的最小值为
解：对于A，连接BD，交AC于O，则AC⊥BD，又BB1⊥平面ABCD，则AC⊥BB1，则有AC⊥平面BDD1B1，BF⊂平面BDD1B1，所以AC⊥BF，故A对；
对于B，由于BE是平面BDD1B1内一直线，F不在直线BE上，且F在平面BDD1B1内，
点A不在平面BDD1B1内，由异面直线的判定可得，AF与BE为异面直线，故B错；
对于C，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B的距离为定值，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；
对于D，如图建立空间直角坐标系，可得A（1，1，0），B（0，1，0），设F（1﹣t，t，1）（≤t≤1），
AF+BF＝+＝（+），
令f（t）＝（+）＝+，
f（t）可以看作在平面直角坐标系内的点P（t，0）到点A（，）和点B（1，）的距离之和，
如图B关于x轴的对称点C（1，﹣），连结AC交x轴于点P（x0，0），显然x0，
f（t）的最小值为AC＝＝，
∴AF+BF的最小值为，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题（本大題共4小题，每小题5分，共20分）
13．某公司对旗下的某门店1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计得到的数据为12，18，24，21，25，32，28，23，30，则此门店1至9月份的营业额的第一四分位数是 21 ．
解：∵9×25%＝，
∴此门店1至9月份的营业额的第一四分位数是从小到大排序后的第3个数，
而此门店1至9月份的营业额从小到大排序的前三个数是12，18，21，
故此门店1至9月份的营业额的第一四分位数是21，
故答案为：21．
14．已知向量，，且向量与的夹角为，则等于 ．
解：＝＝＝＝2，
故答案为：2．
15．已知正三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BB1＝4，D，E分别是棱A1C1，BB1的中点，则异面直线B1D与AE所成角的正切值为 ．
解：以C为原点，过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
C（0，0，0），A（，1，0），B（0，2，0），A1（，1，4），B1（0，2，4），C1（0，0，4）
则D（，，4），E（0，2，2），
所以＝（，﹣，0），＝（﹣，1，2），
设异面直线B1D与AE所成角为θ，
则cosθ＝||＝||＝，
则正弦值sinθ＝＝，
∴异面直线B1D与AE所成角的正切值tanθ＝＝＝．
故答案为：．
16．如图，在△ABC中，，AC＝2，D是边BC上的点，且BD＝2DC，AD＝DC，则AB等于 3 ．
解：设AB＝c，BD＝2CD＝2AD＝2x，
在△ABC中，由余弦定理BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC，
可得9x2＝c2+22﹣2×c×2×（﹣），即9x2＝c2+4+，…①．
∵＝，
∴，
整理可得：.....②，
联立①②消去x可得c＝3．
故答案为：3．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知平面向量，且与共线．
（1）求y的值；
（2）若，，求向量与向量所夹角的余弦值．
解：（1）由题意得：，，
因为与共线，
所以（﹣2）×1﹣2（2﹣y）＝0，
解得y＝3．
（2）由（1）可知，
于是，，
设向量与向量夹角为θ，
则．
18．在中国扶贫志愿服务促进会的指导和地方政府的协助下，某平台希望通过“万村主播培养计划”建立起跨部门，跨行业，跨单位的多元主体扶贫工作体系，打造“新媒体+精准扶贫”，“短视频，直播+消费扶贫”等行业扶贫模式，发挥网络视听新媒体在产销助农，品牌强农等方面的积极作用．某村为苹果种植基地，村播的加入给村民带来了较好的收益，该村决定从甲，乙两个村播中评选一人作为年度优秀村播．现从观看过甲，乙村播的观众中随机抽取200人，对甲，乙两人进行评分，得到如下频率分布直方图和频数分布表：
乙村播所得分数频数分布表
分数区间
频数
[4.5，5.5）
20
[5.5，6.5）
10
[6.5，7.5）
46
[7.5，8.5）
84
[8.5，9.5]
60
（1）若以观众评分的平均分作为该村年度优秀村播的评选标准，试问甲，乙两人谁能被评为年度优秀村播？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）对于（1）中被大家选中的年度优秀村播，为了进一步优化他的直播，决定对200名观众中对其评分为[4.5，6.5）的观众进行走访，先从这些观众中按评分用分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行深入座谈，求深入座谈的观众中至少有1人评分为[5.5，6.5）的概率．
解：（1）由甲村播所得分数频率分布直方图，得
由乙村播所得分数频数分布表，得；
因为，
所以乙能被评为年度优秀村播
（2）因为乙能被评为年度优秀村播，200名观众中对乙评分为[4.5，6.5）的观众有30名，
其中评分为[4.5，5.5）有20名，评分为[5.5，6.5）有10名．
用分层抽样从中抽取6人，则其中评分为[4.5，5.5）的有名，
评分为[5.5，6.5）的有名．
记评分为[4.5，5.5）的4名观众为A1，A2，A3，A4，
评分为[5.5，6.5）的2名观众为B1，B2，
从中随机选取2人，结果可以是：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），
（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），
（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共15种．
其中事件A＝“至少有1人评分为[5.5，6.5）”包括的结果有：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），
（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共9种．
所以深入座谈的观众中至少有1人评分为[5.5，6.5）的概率为．
19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形．AB＝BC＝2，AF＝3，E，F分别为BC和CC1的中点．
（1）求三棱锥F﹣ACE的体积；
（2）证明：AF⊥B1E．
解：（1）∵AA1B1B为正方形，且AB＝2，∴CC1＝2，
又F为CC1的中点，∴FC＝1，
则．
又AB＝BC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形．
∵E是CB的中点，∴CE＝1，
∴×CF×S△ACE＝；
证明：（2）连接BF，
由（1）知AB⊥BC，AB⊥BB1，BC∩BB1＝B，∴AB⊥平面CC1B1B，
又B1E⊂平面CC1B1B，∴AB⊥B1E．
∵tan∠BB1E＝＝，，且这两个角都是锐角，
∴∠BB1E＝∠FBC，得BF⊥B1E．
又AB⊥B1E，AB∩BF＝B，∴B1E⊥平面ABF，
∵AF⊂平面ABF，∴B1E⊥AF．
20．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一．驾驶证考试，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算通过，即进入下一科目考试，如果5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为．现有一对夫妻报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．假设每个人科目二5次考试是否通过互不影响，且夫妻二人每次考试是否通过也互不影响．
（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率．
解：（1）设Ai＝“丈夫在科目二考试中第i次通过”，Bi＝“妻子在科目二考试中第i次通过”，
则，，
其中i＝1，2，3，4，5．
设事件A＝“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，
事件B＝“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，
事件C＝“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”
则，，．
因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为
（2）设事件D＝“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，
事件E＝“妻子参加科目二考试需交补考费200元”，
事件F＝“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”
则，，．
因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥DC，PD⊥PB，，CD＝3，E是PC的中点．
（1）证明：DE∥平面PAB；
（2）证明：PD⊥平面PBC；
（3）已知直线AB与平面PBC所成角的正弦值为，求PD的长．
【解答】（1）证明：取PB中点F，连接EF，AF．
因为E是PC的中点，
所以EF∥BC，且，
因为AD∥BC，，
所以EF∥AD，且EF＝AD，
所以ADEF为平行四边形，DE∥AF．
又DE⊄平面PAB，AF⊂平面PAB，
所以DE∥平面PAB．
（2）证明：因为AD∥BC，AD⊥DC，
所以BC⊥DC．
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝DC，BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥平面PDC．
因为PD⊂平面PDC，
所以BC⊥PD．
又PD⊥PB，BC∩PB＝B，
所以PD⊥平面PBC．
（3）解：过D作DG∥AB，交BC于点G，
连接PG，则DG与平面PBC所成角等于AB与平面PBC所成角．
因为PD⊥平面PBC，
所以∠DGP为直线DG与平面PBC所成角．
在Rt△DCG中，易得CG＝1，
所以
在Rt△DPG中，，则PD＝2．
所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为时，PD的长为2．
22．在锐角△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，现有以下三个条件：
①a2+c2﹣b2＝（4c2﹣2bc）cosA；②；③．请从以上三个条件中选择一个完成下列求解．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积为，求边b的取值范围．
解：（1）选择条件①：
因为a2+c2﹣b2＝（4c2﹣2bc）cosA，，
根据余弦定理得，
依据正弦定理得，
所以cosBsinA+sinBcosA＝2sinCcosA，
所以sin（A+B）＝2sinCcosA．
因为A+B＝π﹣C，
所以sin（A+B）＝sinC＝2sinCcosA，且sinC≠0，则，
因为A∈（0，π），
所以．
选择条件②：
因为，
由正弦定理得．
因为A+B+C＝π，
所以，则．
因为sinC＞0，所以，即，
因为A∈（0，π），
所以．
选择条件③：
因为，
由正弦定理得，
因为C＝π﹣（A+B），，
则，且sinC＞0，
所以，则，
因为，
所以，
则，从而得．
（2）因为△ABC是锐角三角形，
所以，
所以．
因为，
所以bc＝8，
在△ABC中，依据正弦定理得，
则，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以4＜b2＜16，
所以2＜b＜4，
∴b的取值范围为（2，4）．
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