2022年北京市东城区中考数学二模试卷（含解析）

2022年北京市东城区中考数学二模试卷

一．选择题（本题共8小题，共16分）

1. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是年北京冬季奥运会唯一新建的冰上竞赛场馆．它采用全冰面设计，冰面面积达平方米，将用科学记数法表示应为

A.  B.  C.  D.

2. 如图是某一几何体的展开图，该几何体是

A. 三棱柱
B. 四棱柱
C. 圆柱
D. 圆锥

3. 如图，点在直线上，若，则的大小为

A.
B.
C.
D.

4. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

5. 方程组的解是

A.  B.  C.  D.

6. 下列运算结果正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位，再向上平移个单位，则平移后的点的坐标是

A.  B.  C.  D.

8. 从年初次征战冬奥会，到年取得首枚冬奥会奖牌，再到年北京冬奥会金牌榜前三，中国的冰雪体育事业不断取得突破性成绩．历届冬奥会的比赛项目常被分成两大类：冰项目和雪项目．根据统计图提供的信息，有如下四个结论：
   中国队在年北京冬奥会上获得的金牌数是参加冬奥会以来最多的一次；
   中国队在年北京冬奥会上获得的奖牌数是参加冬奥会以来最多的一次；
   中国队在冬奥会上的冰上项目奖牌数逐年提高；
   中国队在冬奥会上的雪上项目奖牌数在年首次超越冰上项目奖牌数．
   
   上述结论中，正确的有

1. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二．填空题（本题共8小题，共16分）

9. 若分式的值为，则的值是______．
10. 分解因式：______．
11. 写一个当时，随的增大而增大的函数解析式______．
12. 计算：______．
13. 据墨经记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______．

14. 不透明布袋中有红、黄小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀．再随机摸出一个，则两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的概率为______．
15. 如图，在边长为的正方形网格中，点，，在格点上，以为直径的圆过，两点，则的值为______．
    
    
    
     

16. 在一次数学活动课上，某数学老师将共十个整数依次写在十张不透明的卡片上每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：；乙：；丙：；丁：；戊：，则丙同学手里拿的卡片的数字是______．

三．计算题（本题共1小题，共5分）

17. 计算：．

四．解答题（本题共11小题，共63分）

18. 解不等式，并写出其正整数解．
19. 如图，在中，．
    求作：直线，使得．
    
    小明的作法如下：
    以点为圆心、适当长为半径画弧，交的延长线于点，交线段于点；
    分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；
    画直线．
    直线即为所求，
    使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：由作法可知：平分．
    ______填推理的依据
    ，
    
    ，
    ．
    ，
    ______．
    ______填推理的依据
20. 已知关于的一元二次方程．
    不解方程，判断此方程根的情况；
    若是该方程的一个根，求代数式的值．
21. 如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求菱形的边长．
22. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点，直线：经过点．
    求，的值；
    过点作垂直于轴的直线，与双曲线交于点，与直线交于点．
    当时，判断与的数量关系；
    当时，结合图象，直接写出的取值范围．

23. 如图，在中，，，在上截取，过点作于点，连接，以点为圆心、的长为半径作．
    求证：是的切线；
    若，，求的长．

24. 某研究中心建立了自己的科技创新评估体系，并对年中国城市的科技创新水平进行了评估．科技创新综合指数由科技创新总量指数和科技创新效率指数组成以下简称：综合指数、总量指数和效率指数该研究中心对年中国城市综合指数得分排名前的城市的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
    综合指数得分的频数分布表数据分成组：，，，，：

综合指数得分在这一组的是：，，，，，，，，，，，，，，，．
个城市的总量指数与效率指数得分情况统计图：
数据来源于网络年中国城市科技创新指数报告
根据以上信息，回答下列问题：
综合指数得分的频数分布表中，______；
个城市综合指数得分的中位数为______；
以下说法正确的是______．
某城市创新效率指数得分排名第，该城市的总量指数得分大约是分；
大多数城市效率指数高于总量指数，可以通过提升这些城市的总量指数来提升城市的综合指数．

25. 小强用竹篱笆围一个面积为平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几米长的竹篱笆不考虑接缝，根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你完善他的思考过程．
    建立函数模型：
    设矩形小花园的一边长为米，则矩形小花园的另一边长为______米用含的代数式表示；若总篱笆长为米，请写出总篱笆长米关于边长米的函数关系式______；
    列表：
    根据函数的表达式，得到了与的几组对应值，如表：

表中______，______；
描点、画出函数图象：
如图，在平面直角坐标系中，将表中未描出的点，补充完整，并根据描出的点画出该函数的图象；
解决问题：
根据以上信息可得，当______时，有最小值．由此，小强确定篱笆长至少为______米．

26. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线．
    直接写出抛物线与轴的交点坐标；
    求抛物线的顶点坐标用含的式子表示；
    若抛物线与轴相交于，两点，且，求的取值范围．
27. 如图，在中，，，在的外侧作直线，作点关于直线的对称点，连接，，交直线于点．
    依题意补全图形；
    连接，求证：；
    过点作于点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系中，对于图形及过定点的直线，有如下定义：过图形上任意一点作于点，若有最大值，那么称这个最大值为图形关于直线的最佳射影距离，记作，此时点称为图形关于直线的最佳射影点．
    如图，已知，，写出线段关于轴的最佳射影距离轴______；
    已知点，的半径为，求关于轴的最佳射影距离轴，并写出此时关于轴的最佳射影点的坐标；
    直接写出点关于直线的最佳射影距离点，的最大值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】

【解析】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，因此该几何体是三棱柱，
故选：．
通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．
本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，
，
，
；
，
．
故选：．
利用互余的角的关系和邻补角的关系进行计算即可．
本题考查的是互余两角、邻补角的定义，解题关键是找准互余的两角、互补的两角．
 

4.【答案】

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

5.【答案】

【解析】解：，
，得，
把代入，得，
故选：．
用加减法解二元一次方程组．
本题考查了解二元一次方程组，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】解：和属于同类项，所以，故A项不符合题意，
根据同底数幂的乘法运算法则可得，故B项不符合题意，
根据平方差公式，故C项符合题意，
，故D项不符合题意，
故选：．
根据合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则正确计算即可求出正确答案．
本题主要考查合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则，熟练运用运算法则是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：将点向左平移个单位，再向上平移个单位，
则平移后的点的坐标是，
即，
故选：．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
此题主要考查了点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标与图形的平移的关系．
 

8.【答案】

【解析】解：由题意可知，中国队在年北京冬奥会上获得的金牌数是参加冬奥会以来最多的一次，故说法正确；
中国队在年北京冬奥会上获得的奖牌数是参加冬奥会以来最多的一次，故说法正确；
中国队在冬奥会上的冰上项目奖牌数在年和年持平，年奖牌数为枚，比年的枚少，故说法错误；
中国队在冬奥会上的雪上项目奖牌数在年首次超越冰上项目奖牌数，故说法正确；
所以正确的有个．
故选：．
根据统计图逐一判断即可．
本题考查折线统计图和条形统计图，利用数形结合的方法是解决问题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：分式的值为，
．
将代入．
当时，分式分式的值为．
故答案为：．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
本题主要考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
 

11.【答案】或或等

【解析】解：若为一次函数，当时，随的增大而增大，，如；
若为反比例函数，当时，随的增大而增大，，如；
若为二次函数，当时，随的增大而增大，，对称轴，如；
当时，随的增大而增大的函数解析式为或或等此题答案不唯一．
根据二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的性质作答．
本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性单调性，是一道难度中等的题目．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，然后化简得到最简分式或整式．先变形为 ，然后分母不变，分子相减得到 ，最后约分即可．
【解答】

解：原式 ．
故答案为 ．

 

13.【答案】

【解析】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到：．
解得．
即蜡烛火焰的高度是．
故答案为：．
直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

14.【答案】

【解析】解：画树状图如图：

共有个等可能的结果，两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的有种结果，
所以两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的概率为，
故答案为：．
根据题意画树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查了列表法与树状图法求概率；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】

【解析】解：连接、，
为圆的直径，
，
，
，
由圆周角定理得：，
，
故答案为：．
连接、，根据圆周角定理得到，，根据勾股定理求出，根据正弦的定义解答即可．
本题考查的是解直角三角形、圆周角定理，熟记正弦的定义、掌握圆周角定理是解题的关键．
 

16.【答案】和

【解析】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，
每人手里的数字不重复．
由甲：，可知甲手中的数字可能是和，和，和，和，和；
由乙：，可知乙手中的数字只有和；
由丙：，可知丙手中的数字可能是和，和；
由丁：，可知丁手中的数字可能是和，和，和；
由戊：，可知戊手中的数字可能是和，和；
丁只能是和，甲只能是和，丙只能是和，戊只能是和．
故答案为：和．
根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．
本题考查的是有理数加法的应用，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理．
 

17.【答案】解：


．

【解析】先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂乘方和开立方，再计算乘法，后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
 

18.【答案】解：移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
正整数解为，．

【解析】移项，合并同类项，系数化为即可求解，再找出对应正整数解即可．
本题考查解一元一次不等式，解题关键是熟悉解一元一次不等式的基本步骤．
 

19.【答案】角平分线的定义    同位角相等，两直线平行

【解析】解：如图，直线即为所求；

完成下面的证明．
证明：由作法可知：平分，
角平分线的定义，
，
，
，
．
，
，
同位角相等，两直线平行．
故答案为：角平分线的定义；，同位角相等，两直线平行．
根据几何语言画出对应的几何图形；
先根据角平分线的定义得到，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到，然后根据平行线的判定方法得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
 

20.【答案】解：，
此一元二次方程有两个不相等的实数根．
将代入一元二次方程，
得，
整理得，



．

【解析】利用根的判别式判断即可．
将代入一元二次方程，整理得，再将变形为，代入求值即可．
本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，牢记：当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程无实数根．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
解：四边形是平行四边形，
，，
由可知，四边形是菱形，
，，
，，
，
，
，
，
，
菱形的边长为．

【解析】先证≌，得出，又，则四边形是平行四边形，又，即可得出结论；
由，求出，再由勾股定理求出，即可得出结果．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握菱形的判定，证明≌是解题的关键．
 

22.【答案】解：双曲线经过点，
，
解得，
直线：经过点，
，
解得，
答：的值为，的值为；
当时，，如图：

在中，令得，
，
在中，令得，
，
，，
；
设直线：与轴交于，如图：

在中，令得，
，
由图可知，当位于及右侧，及左侧时，，
．

【解析】用待定系数法可得，；
当时，，求出，，可得，，即可得答案CD；
设直线：与轴交于，可得，结合的答案，观察图象即可得．
本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，一次函数，反比例函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是数形结合思想的应用．
 

23.【答案】证明：过点作于点，如图，

，
，
，
，
．
，
，
．
，，
，
即为的半径，
这样，直线经过半圆的外端，且垂直于半径，
是的切线；
解：，，
，
．
，，
，
，
，
．

【解析】过点作于点，利用直角三角形的两个锐角互余，角平分线的性质和圆的切线的定义解答即可；
利用平行线分线段成比例定理解答即可．
本题主要考查了圆的切线的判定，直角三角形的性质，平行线的判定与性质，过点作于点是解决此类问题常添加的辅助线．
 

24.【答案】   

【解析】解：，
故答案为：；
个城市综合指数得分从小到大排列，排在第和位的两个数分别为，，故中位数为，
故答案为：；
由题意可知，某城市创新效率指数得分排名第，该城市的总量指数得分大约是分，故说法错误；
大多数城市效率指数高于总量指数，可以通过提升这些城市的总量指数来提升城市的综合指数，故说法正确．
故答案为：．
用总数减去其它各组频数即可得出的值；
根据中位数的定义判断即可，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；
根据图表数据判断即可．
本题考查了频数分布表、统计图、中位数；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．
 

25.【答案】        

【解析】解：设矩形小花园的一边长为米，则矩形小花园的另一边长为米；
总篱笆长米关于边长米的函数关系式为；
故答案为：；；
当时，，即；
当时，，即；
故答案为：；；
如图，

根据以上信息可得，当时，有最小值．
所以小强确定篱笆长至少为米．
故答案为：；．
利用矩形的面积公式可表示出矩形的另一边，然后根据矩形的周长得到与的关系式；
利用中的函数关系式，分别计算自变量为和所对应的自变量的值即可；
通过描点画出函数图象；
利用所画图象，找出图象的最低点，此时的自变量使有最小值，从而可判断至少需要几米长的竹篱笆．
本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过题意，确定函数的解析式，然后画出函数图象，利用函数图象得最高点或最低点确定函数的最值．
 

26.【答案】解：针对于抛物线，
令，则，
抛物线与轴的交点坐标为；

抛物线的对称轴是直线，
，
，
抛物线的解析式为，
当时，，
抛物线的顶点坐标为；

当时，抛物线开口向下，不妨设点在点的左侧，
由知，抛物线与轴的交点为，
抛物线的对称轴为直线，
，，
，
，
此种情况不符合题意，
当时，抛物线的开口向上，
由知，抛物线的解析式为，
在轴上关于抛物线的对称轴对称且距离为的两点的坐标为，，
，
当时，，
，
抛物线与轴有两个交点，
，
，
．

【解析】根据轴上点的坐标特征，即可求出答案；
根据抛物线的对称轴为直线，求出，进而得出抛物线解析式，最后将代入抛物线解析式求出顶点坐标的纵坐标，即可得出结论；
当时，抛物线开口向下，不妨设点在点的左侧，由知，抛物线与轴的交点为，进而判断出，，得出，判断出此种情况不符合题意，
当时，抛物线的开口向上，判断出在轴上关于抛物线的对称轴对称且距离为的两点的坐标为，，再由当时，得出，求出，再根据，即可得出答案．
此题主要考查了二次函数的图象和性质，顶点坐标的求法，掌握二次函数的性质是解本题的关键．
 

27.【答案】解：如图所示：

证明：如图，连接，

，关于对称，
，，
，，
，
，
，
，
；

解：，理由如下：
如图，过点作于，

，，，
≌，
，，
，，
≌，
，
，，
，
，，
，
．

【解析】根据要求画出图形即可；
根据对称可知是的垂直平分线，则，，由等边对等角得：，，从而得，由等量代换得：，则，可解答；
如图，过点作于，证明≌和≌，可得，根据线段的和与差可得结论．
本题是三角形的综合题，考查了轴对称变换，等腰三角形的性质，三角形全等的性质和判定，线段的和与差等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

28.【答案】

【解析】解：如图中，在上任意取一点，过点作于点，．

，，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
轴，
故答案为：；

如图中，连接，过点作轴于点．

设，
，，
，
，
设轴，
则有，
两边平方整理得，，
，
，
解得，
轴，此时或；

如图中，过点作直线于点，设，．

，，
，
，
，
的值最大时，的值最大，
即的面积最大时，的值中点，此时是等腰直角三角形，
，
的最大值为，
点，的最大值为．
如图中，在上任意取一点，过点作于点，证明，可得结论；
如图中，连接，过点作轴于点设，由题意，，可得，推出，设轴，则有，两边平方整理得，，再根据，求出的最大值，可得结论；
如图中，过点作直线于点，设，求出的最大值即可．
本题属于圆综合题，考查了点与圆的位置关系，勾股定理，一元二次方程的根的判别式等知识，解题关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．