2024年北京市东城区中考数学二模试卷（含答案）

这是一份2024年北京市东城区中考数学二模试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.4月18日是国际古迹遗址日.在国家考古遗址公园联盟联席会上发布的《2023年度国家考古遗址公园运营报告》显示，圆明园等全国55家国家考古遗址公园2023年接待游客总量超6700万人次，同比增长135%.将67000000用科学记数法表示应为( )
A. 6.7×108B. 6.7×107C. 67×106D. 0.67×108
3.在下列各式中，从左到右计算结果正确的是( )
A. 8− 6= 2B. (x−1)2=x2−1
C. (−2)2=−2D. x−1x+1+2x+1=1
4.若实数x的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是( )
A. |x|=xB. 05.若某个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
6.一个圆锥的底面半径的长为3，母线的长为15，则侧面展开图的面积是( )
A. 6πB. 9πC. 45πD. 54π
7.在一个不透明的盒子中装有3个小球，其中2个红球、1个绿球，除颜色不同外，其它没有任何差异.小红将小球摇匀，从中随机摸出2个小球，恰好是1个红球和1个绿球的概率是( )
A. 13B. 49C. 12D. 23
8.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是BC的中点.设AB=c，AC=b，AD=ℎ，BD=m，CD=n，m①c2=m2+mn；
②点A，B，C在以点E为圆心，12(m+n)为半径的圆上；
③b2+m2>3ℎ2．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若分式2x−1有意义，则实数x的取值范围是______．
10.因式分解：ma2+4ma+4m= ______．
11.当a= ______，b= ______时，可以说明“若a>b，则a2>b2”是假命题(写出一组a，b的值即可)．
12.在平面直角坐标系xOy中，若点(2,4)是函数y=k1x(k1≠0)和y=k2x(k2≠0)的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是______．
13.若m2+m−5=0，则代数式(1m−1m2)÷m2−110m的值为______．
14.若关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+m=0的两个实数根的差等于2，则实数m的值是______．
15.如图是2015−2023年我国主要可再生能源发电装机容量(亿千瓦)统计图．

根据上述信息，下列推断合理的是______(填写序号)．
①2015−2023年，我国主要可再生能源发电中，太阳能发电装机容量增幅最大；
②2015−2023年，相对于风电和太阳能发电，我国水电发电装机容量比较稳定；
③2015−2023年，我国水电发电装机容量一直高于风电发电装机容量．
16.现有一半径10米的圆形场地，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，场地圆心A的坐标为(5 3,5).机器人在该场地中(含边界)，根据指令[s,α](s≥0，0°<α<180°)完成下列动作：先朝其面对的方向沿直线行走距离s，再在原地逆时针旋转角度α，执行任务.机器人位于坐标原点O处，且面对x轴正方向．
(1)若给机器人下达指令[4,90°]，则机器人至少重复执行______次该指令能回到坐标原点O处；
(2)若给机器人下达指令[s,a]，使机器人重复执行该指令回到坐标原点O处，且s最大，则应给机器人下达的指令是______．
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算： 12−tan60°+(−12)−1−(−2)3．
18.(本小题5分)
解不等式组：2(x+1)<5x−46x+13≥x−1．
19.(本小题5分)
如图，已知⊙O及⊙O外一点P．
求作：⊙O的切线PA，PC．
作法：
①连接OP；
②分别以点O，P为圆心，大于12OP的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交OP于点B；
③以点B为圆心，OB的长为半径画圆，交⊙O于点A，C(点A位于OP的上方)；
④作直线PA，PC；
则直线PA，PC就是所求作的直线．
(1)利用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)设线段OP交⊙O于点E，连接OA，AC，CE.若∠ACE=34°，则∠AOP= ______°，∠APC= ______°.
20.(本小题5分)
如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，AE/​/CD，∠ACB=∠DAC，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，EF=EG．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若CD=4，∠B=45°，∠CEG=15°，求AB的长．
21.(本小题5分)
列方程或方程组解应用题．
如图1，正方形ABCD是一块边长为30cm的灰色地砖，在A，B，C，D四个顶点处截去四个全等的等腰直角三角形后，得到一块八边形地砖.用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图2所示的图案，该图案的面积为3000cm2(不考虑接缝)，求一块八边形地砖和黑色正方形地砖的面积．
22.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(1,0)和B(2,1)．
(1)求该函数的解析式；
(2)当x>3时，对于x的每一个值，函数y=mx+12的值小于函数y=kx+b(k≠0)的值，当x<−1时，对于x的每一个值，函数y=mx+12的值小于0，直接写出m的值．
23.(本小题6分)
某校举办“学生讲堂”，1班为了选出一位同学代表班级参赛，先后进行了笔试和面试.在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩(满分100)分别是95，94，88.在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和.对甲、乙、丙三位同学的面试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a.评委给甲同学打分如下：
10，10，9，8，8，8，7，7，6，5
b.评委给乙、丙两位同学打分的折线图：
c.甲、乙、丙三位同学面试情况统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)直接写出表中m，n的值；
(2)在面试中，如果评委给某个同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致.据此推断：甲、乙、丙三位同学中，评委对______的评价更一致(填“甲”、“乙”或“丙”)；
(3)在笔试和面试两项成绩中，按笔试成绩占40%，面试成绩占60%，计算甲、乙、丙的综合成绩，综合成绩最高的是______(填“甲”、“乙”或“丙”)．
24.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥BC于点C，交△ABC的外接圆于点D.连接BD，AE⊥BD于点E，交BC的延长线于点F．
(1)求证：∠BAF=∠ABF；
(2)当AE=1，BE=2时，求线段EF的长及△ABC的外接圆的半径长．
25.(本小题6分)
如图，在等边△ABC中，AB=5cm，点D是BC的中点，点E是边AB上一个动点，连接CE，DE.设B，E两点间的距离为x cm，CE+DE−CD=y cm．

小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)按照如表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：
m的值为______(保留一位小数)；
(2)在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y)，并画出函数y的图象；

(3)结合函数图象，解决问题(保留一位小数)：
①当y=5时，B，E两点间的距离约为______cm；
②当y=4x时，B，E两点间的距离约为______cm．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2−2amx+am2−4(a>0)．
(1)求该抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示)；
(2)若对于该抛物线上的三个点A(m−2,y1)，B(2m,y2)，C(2m−2,y3)，总有y1>y2>y3，求实数m的取值范围．
27.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°点D是AC边上的动点，∠DBA=α(0°<α<45°)，点C关于直线BD的对称点为E，连接AE.直线AE与直线BD交于点F．
(1)补全图形；
(2)求∠EFB的大小；
(3)用等式表示线段FA，FB，FE之间的数量关系，并证明．
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于线段PQ和直线l，称线段PQ的中点到直线l的距离为线段PQ关于直线l的平均距离，记为t．
已知点A(3,0)，B(0,3)．
(1)线段AB关于x轴的平均距离t为______；
(2)若点M在x轴正半轴上，点N在y轴正半轴上，且MN=2，则线段MN关于直线AB的平均距离t的最小值为______；
(3)已知点P是半径为1的⊙O上的动点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，直接写出线段PQ关于x轴的平均距离t的取值范围．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.B
5.C
6.C
7.D
8.D
9.x≠1
10.m(a+2)2
11.1 −2(答案不唯一)
12.(−2,−4)
13.2
14.3或−1
15.①②
16.4 [10 3,120°]
17.解： 12−tan60°+(−12)−1−(−2)3
=2 3− 3−2−(−8)
=2 3− 3−2+8
= 3+6．
18.解：2(x+1)<5x−4①6x+13≥x−1②，
解不等式①，得：x>2，
解不等式②，得：x≥−43，
∴原不等式组的解集是x>2．
19.(1)图形如图所示：
(2)68，48．
20.(1)证明：∵∠ACB=∠DAC，
∴AD//CE，
∵AE//CD，
∴四边形AECD是平行四边形；
(2)解：由(1)可知，四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD=4，
∵EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠AFE=∠AGE=90°，
在Rt△AFE和Rt△AGE中，
AE=AEEF=EG，
∴Rt△AFE≌Rt△AGE(HL)，
∴∠AEF=∠AEG，
∵∠BFE=180°−90°=90°，∠B=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=EF，∠BEF=45°，
∴∠FEG=180°−∠BEF−∠CEG=180°−45°−15°=120°，
∴∠AEF=∠AEG=12∠FEG=60°，
∴∠EAF=90°−∠AEF=30°，
∴BF=EF=12AE=2，
∴AF= AE2−EF2= 42−22=2 3，
∴AB=AF+BF=2 3+2．
21.解：设一块黑色正方形地砖的面积为y cm2，
一块八边形地砖的面积为xcm2，
得4x+y=3000x+y=900′
解得x=700y=200，
答：一块黑色正方形地砖的面积为200 cm2，一块八边形地砖的面积为700cm2．
22.解：(1)把A(1,0)和B(2,1)分别代入y=kx+b得k+b=02k+b=1，
解得k=1b=−1，
∴一次函数解析式为y=x−1；
(2)∵当x>3时，对于x的每一个值，函数y=mx+12的值小于函数y=kx+b(k≠0)的值，
3m+12≤3−1，
解得m≤12，
∵当x<−1时，对于x的每一个值，函数y=mx+12的值小于0
∴−m+12≤0，
解得m≥12，
∴m=12．
23.(1)由题意得，m=10+10+9+8+8+8+7+7+6+5=78，
把丙的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8，9，故中位数n=8+92=8.5．
(2)丙；
(3)乙．
24.(1)证明：∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCA+∠ACD=90°，
∵∠ABE=∠ACD，
∴∠BAE=∠BCA，
∵AB=AC，
∴∠BCA=∠ABC，
∴∠BAE=∠ABC，
即∠BAF=∠ABF；
(2)解：如图，过点A作AG⊥BC于G，

由(1)知∠BAF=∠ABF，
∴AF=BF，
设EF=x，
∵AE=1，
∴AF=AE+EF=x+1，
∴BF=x+1，
∵AE⊥BD，
∴由勾股定理得BF2=BE2+EF2，
∴(x+1)2=22+x2，
∴x=32，
即EF=32，
∴AF=BF=52，
∵AB=AC，AG⊥BC，
∴BG=CG=12BC，
设BG=m，
∴FG=52−m，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AB= AE2+BE2= 12+22= 5，
在Rt△ABG中，由勾股定理得AG2=AB2−BG2，
在Rt△AFG中，由勾股定理得AG2=AF2−FG2，
∴AB2−BG2=AF2−FG2，
∴( 5)2−m2=(52)2−(52−m)2，
解得m=1，
∴BG=CG=1，
∴BC=2，
∴BE=BC，
∵∠CBD=∠EBF，∠BCD=∠BEF=90°，
∴△BCD≌△BEF(ASA)，
∴BD=BF=52，
∵∠BCD=90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴△ABC的外接圆的半径长为12BD=54．
25.4.3 0或3.4 1.1
【解析】解：(1)4.3．
(2)如图所示，
(3)①0或3.4；②1.1．
26.解：(1)由题意，∵抛物线y=ax2−2amx+am2−4=a(x2−2mx+m2)−4=a(x−m)2−4，
∴抛物线的顶点坐标为(m,−4)．
(2)由题意，∵a>0，
∴抛物线开口向上．
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小．
∵对于A(m−2,y1)，B(2m,y2)，C(2m−2,y3)，总有y1>y2>y3，
又抛物线的对称轴是直线x=m，
∴|m−(m−2)|>|m−2m|>|m−2m+2|．
∴|m−2|<|m|<2．
①当m<0时，
∴2−m<−m<2．
此时，无解．
②当0∴2−m∴1③当m>2时，
∴m−2此时，无解．
综上，127.解：(1)补全图形如下：

(2)如图，连接BE，

∵∠FBC=∠ABC−∠DBA，
∴∠FBC=90°−α，
∵点C关于直线BD的对称点为E，
∴BE=BC．
∴∠EBF=∠FBC=90°−α，
∴∠ABE=∠EBF−∠DBA=90°−2α，
∵BA=BC，
∴BE=BA．
∴∠EAB=180°−∠EBA2=45°+α．
∴∠EFB=∠EAB−∠DBA=45°．
(3)FE+FA= 2FB，证明如下：
如图，延长FE至点G，使得EG=FA，连接BG，

∵∠AEB=∠EAB，
∴180°−∠AEB=180°−∠EAB，
∴∠GEB=∠FAB，
∵GE=FA，EB=AB，
∴△GEB≌△FAB(SAS)，
∴∠G=∠EFB=45°，
∴∠GBF=90°，
∴cs∠EFB=FBFG= 22，
∴FG= 2FB，
∵FG=FE+EG=FE+FA，
∴FE+FA= 2FB．
28.解：(1)1.5；
(2)3 22−1．
(3)设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴3k+b=0b=3，
∴k=−1b=3，
∴直线AB的解析式为y=−x+3．
设P(x,y)，
∵点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，
∴Q(x,−x+3)，
∴PQ的中点M(x,−x+3+y2)，
∴t=y−x+32．
∴y=x+2t−3．
∵点P是半径为1的⊙O上的动点，
∴x2+y2=1，
∴x2+(x+2t−3)2=1，
则2x2+2(2t−3)x+(2t−3)2−1=0．
∵此关于x的一元二次方程有实数解，
∴Δ=4(2t−3)2−4×2[(2t−3)2−1]≥0，
∴(2t−3)2≤2，
∴3− 22≤t≤3+ 22．
∴线段PQ关于x轴的平均距离t的取值范围为：3− 22≤t≤3+ 22．同学
评委打分中位数
面试成绩
甲
8
m
乙
9
85
丙
n
87
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y/cm
5
4.6
4.3
4.1
4.2
m
4.6
5.1
5.6
6.2
6.8