2022年北京市平谷区中考数学二模试卷（含解析）

2022年北京市平谷区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是

A.  B.
C.  D.

2. 年月日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神州十三号乘组翟志刚、王亚平、叶光富进行授课，央视新闻抖音号进行全程直播，超过多人次在线观看，用科学记数法表示应为

A.  B.  C.  D.

3. 如图，直线，连接，点是上一点，，，则的大小为

A.  B.  C.  D.

4. 若正边形的每个内角都是，则的值是

A.  B.  C.  D.

5. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是

A.  B.  C.  D.

6. 甲、乙、丙、丁四名同学随机组合，两两一组做游戏，则甲与乙恰好被分在同一组的概率是

A.  B.  C.  D.

7. 测试某款纯电动汽车低速工况和高速工况的能耗情况，为了更接近真实的日常用车环境，低速工况的平均时速在左右，包括城市一般道路、环路等路况；高速工况的平均时速保持在左右，路况主要是高速公路．设低速工况时能耗的平均数为，方差为；高速工况时能耗的平均数为，方差为，则下列结论正确的是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8. 边长为的正方形格点图中，点为格点上一点，点在正方形边上运动，点在正方形边上运动，、均在格点上运动，则的面积不可能是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9. 使代数式有意义的取值范围是______．
10. 分解因式：_________
11. 方程的解为______．
12. 如图，正方形格点图中，点、、、、、均在格点上，若以、、为顶点的三角形与全等，请写出一个满足条件的点坐标______．

13. 若反比例函数经过点和点，则______．
14. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______．
15. 如图，中，点、、为上的点，若，则的度数为______．
    
    
     

16. 明明和丽丽去书店买书，若已知明明买了、两本书共花费元，丽丽买了、两本书共花费元，则书比书贵______元；若又知、两本书的总价钱恰好等于书的价钱，则、、三本书的总价钱为______．

三、解答题（本大题共12小题，共68分）

17. 计算：．
18. 解不等式组：．
19. 已知，求代数式的值．
20. 如图，市气象台预报：一沙尘暴中心在市正西方的处，正迅速向北偏东的方向移动，距沙尘暴中心一定的范围内都将受沙尘暴影响，我们称这个范围为“波及范围”若想预测市是否会受这次沙尘暴的影响，只需测量市到射线的距离，若这个距离大于波及范围则市不会受到影响，若这个距离小于波及范围则市会受到沙尘暴的影响．结合题意，在地图中作出所要测量的线段：
    作线段的垂直平分线；
    直线与线段交于点；
    以为圆心，长为半径画圆，交射线于点；
    连接，即为所求作．
    使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；
    依据作图过程完成如下证明．
    证明：是直径，
    ____________填推理的依据．
    即为所求作．

21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数平移得到，且过点．
    求这个一次函数的表达式；
    当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求的取值范围．

22. 一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度单位：与水平距离单位：近似满足二次函数关系，已知铅球行进过程中的水平距离与离地面的高度的部分数据及图象如表．

请解决以下问题：
在平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接，补全图形；
根据图象估出铅球落地时的水平距离单位：，精确到；
在铅球行进过程中，当它离地面的高度为时，根据图象估出铅球的水平距离单位：，精确到．

23. 如图，▱中，连接，点是中点，点是的中点，连接，过作交的延长线于点．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，，连接，求的长．

24. 如图，是的直径，过作的切线，与弦的延长线交于点，，是直径上一点，连接并延长与直线交于点，连接．
    求证：；
    若，的半径长为，求的长．
    
    
     

25. 改革开放以来，我国博物馆数量增多，质量提高，各方面的功能不断完善，在文化事业和社会发展中发挥了应有的作用，网络的互联互通让一切成为可能，在网上逛博物馆已成为一种时尚，据某网上平台数据报告显示年该平台博物馆相关视频播放亿次，相当于全国博物馆年接待观众总人数的倍．数据显示，年该网络平台最受欢迎五大博物馆分别为：：故宫博物院、：秦始皇陵博物院、：中国国家博物院、：中国人民革命军事博物馆、：四川广汉三星堆博物馆．
    根据以上信息，回答下列问题：
    全国博物馆年接待观众总人数约为______亿人次精确到，补全条形统计图；
    年全国博物馆接待观众数量的中位数为______；
    年该平台博物馆浏览次数亿次统计图中，博物馆所占圆心角度数为______；
    下列说法正确的是______填序号．
    至年全国博物馆观众接待数量的平均值超过亿人次；
    年在该网平台上四川广汉三星堆博物院的浏览次数约为亿人次；
    网上逛博物馆以它的呈现更清晰、讲解更深入、接待能力不受限制、便捷等优势越来越深受大家的喜爱．

26. 在平面直角坐标系中，点、、是抛物线上三个点．
    直接写出抛物线与轴的交点坐标；
    当时，求的值；
    当时，求的取值范围．
27. 如图，在中，，点为边中点，过点作交于，连接并延长使，连接，为上一点，过作于点，作于点．
    依题意补全图形；
    求证：；
    判断线段、、之间的数量关系，并证明．

28. 对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“非常距离”，记作已知点，，连接．
    点，______；
    半径为，若，直接写出的取值范围；
    半径为，若将点绕点逆时针旋转，得到点．
    当时，求出此时的值；
    对于取定的值，若存在两个使，直接写出的范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：俯视图是三角形，故本选项符合题意；
B.俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
C.俯视图是四边形，四边形的内部有一点与四个顶点相连，故本选项不合题意；
D.俯视图是正方形，故本选项不合题意．
故选：．
根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是非负数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
由平行线的性质可得，再由三角形外角性质可得即可求解．
本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质，
 

4.【答案】

【解析】解：正边形的每个内角都是，
每一个外角都是，
多边形外角和为，
多边形的边数为，
故选：．
根据内角度数先算出外角度数，然后再根据外角和计算出边数即可．
此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是掌握多边形的外角和等于度．
 

5.【答案】

【解析】根据数轴可得：，，
，；
，则选项不符合题意；
，则选项不符合题意；
，即，则选项不符合题意；
，，即，则选项符合题意．
故答案为：．
根据点在数轴的位置判断式子的正负．
本题主要考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：画树状图如下：

共有个等可能的结果，甲、乙恰好在同一组的结果有个，
甲、乙恰好在同一组的概率为，
故选：．
画树状图，共有个等可能的结果，甲、乙恰好在同一组的结果有个，再由概率公式求解即可．
本题主要考查列表法与树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】

【解析】解：；
；
，
由折线波动可知，，
故选：．
根据平均数和方差的定义与公式解答即可．
本题考查了算术平均数和方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

8.【答案】

【解析】解：当点运动到点，点运动到点时，

，
则选项的面积可能存在，
故A选项正确；
当点运动到点，点运动到点时，

，
则选项的面积可能存在，
故B选项正确；
当点运动到点，点运动到点时，

，
则选项的面积可能存在，
故C选项正确；
由图可知的面积不可能是，
故D选项错误．
故选：．
结合已知条件，利用三角形的面积公式计算即可．
本题考查三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解答本题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：代数式有意义，
，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握被开方数为非负数．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
先提公因式 ，分解成 ，而 可利用平方差公式分解．
【解答】
解： ，
，
．
故答案为： ．   

11.【答案】

【解析】解：去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
故答案为：．
先去分母，得，解出的值，然后检验即可．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
 

12.【答案】或或或

【解析】解：如图所示，有种情况，

，，，，，
当的坐标是或或或时，以、、为顶点的三角形与全等，
故答案为：或或或．
先根据全等三角形的判定定理画出符合的点的位置，再得出点的坐标即可．
本题考查了点的坐标和全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
 

13.【答案】

【解析】解：反比例函数经过点，
，
解得，
反比例函数解析式为，
点在反比例函数的图象上，
．
故答案为：．
先利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后将点代入求解即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，确定反比例函数解析式是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
故答案为：．
根据一元二次方程根的判别式等于零求解即可．
本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
先利用圆周角定理求出的度数，再根据求出即可．
本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设书的价钱为元，书的价钱为元，书的价钱为元．
明明买了、两本书共花费元，丽丽买了、两本书共花费元，
，
得：，
即书比书贵元．
又、两本书的总价钱恰好等于书的价钱，
．
得：，
即，
，
，
、、三本书的总价钱为元．
故答案为：；．
设书的价钱为元，书的价钱为元，书的价钱为元，根据“明明买了、两本书共花费元，丽丽买了、两本书共花费元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，利用可得出书比书贵元，结合、两本书的总价钱恰好等于书的价钱，即可求出的值，进而可求出、、三本书的总价钱为元．
本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

．

【解析】根据立方根，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值计算即可．
本题考查了实数的运算，立方根，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
 

18.【答案】解：
由得：，
由得：，
故不等式组的解集为．

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

19.【答案】解：．
，即，
原式．

【解析】根据完全平方公式，合并同类项，化简代数式即可求解．
本题主要考查了代数式，整式的加减，合并同类项，完全平方差公式等知识点，熟练正确的运算是解题的关键．
 

20.【答案】  直径所对的圆周角为直角

【解析】解：如图，即为所求作；

证明：是直径，
直径所对的圆周角为直角，
即为所求作．
故答案为：，直径所对的圆周角为直角．
根据几何语言画出对应的几何图形即可；
利用圆周角定理得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

21.【答案】解：一次函数的图象由函数平移得到，
，
一次函数过点，
，
一次函数解析式：；
当时，，
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
，，
解得，
的取值范围是：．

【解析】待定系数法求解析式即可；
当时，，根据题意，得，，解不等式组即可．
本题考查了一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
 

22.【答案】解：补全图形如下：

根据图象可得，铅球落地时的水平距离为；
如图：

由图象可得：当铅球离地面的高度为时，铅球的水平距离是或．

【解析】根据已知，用平滑的曲线连接所描的点补全图形即可；
图象与轴交点的横坐标即是铅球落地时的水平距离；
估计直线与图象交点的横坐标即可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是准确的画出二次函数的图象及数形结合思想的应用．
 

23.【答案】证明：点是中点，点是的中点，
是的中位线，
，，
在平行四边形中，，
，
，
四边形是平行四边形；
过点作于点，如图所示：

，
，
，
，
，是的中点，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在中，根据勾股定理，得．

【解析】根据已知条件，可得是的中位线，根据中位线定理可得，又因为，即可得证；
过点作于点，根据已知条件求出的长，再根据平行四边形的性质可得的长，进一步求出的长，根据勾股定理，即可求出的长．
本题考查了平行四边形的判定和性质，涉及解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，如图：

是的切线，
，
，
，
；
解：连接，如图：

是切线，
，
，的半径长为，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
在中，
．

【解析】连接，根据是的切线，得，又，即有，；
连接，由是切线，，的半径长为，得，又，可得，即知∽，有，即得，故EF．
本题考查圆的综合应用，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．
 

25.【答案】     

【解析】解：根据题意可知，全国博物馆年接待观众总人数约为；条形统计图如下：

故答案为：；
将年接待量从小到大排列为：，，，，，，，
中位数为；
故答案为：；
博物馆所占比例为：；
博物馆所对应的圆心角为；
故答案为：；
至年全国博物馆观众接待数量的平均值为；故不符合题意；
根据中比例，年在该网平台上四川广汉三星堆博物院的浏览次数为亿；故符合题意；
网上逛博物馆以它的呈现更清晰、讲解更深入、接待能力不受限制、便捷等优势越来越深受大家的喜爱，这是网络的优势，符合题意．
故答案为：．
由“年该平台博物馆相关视频播放亿次，相当于全国博物馆年接待观众总人数的倍”可得出年的播放量；
根据中位线的定义，将年接待量从小到大排列即可得出结论；
先算出博物馆所占比例，再乘即可得出结论；
算出至年全国博物馆观众接待数量的平均值即可判断；
根据中比例，可得出年在该网平台上四川广汉三星堆博物院的浏览次数；
网上逛博物馆以它的呈现更清晰、讲解更深入、接待能力不受限制、便捷等优势越来越深受大家的喜爱，根据实际可判断．
本题考查了条形统计图：条形统计图反映了各小组所占的频数，所有频数的和等于总数．也考查了扇形统计图．
 

26.【答案】解：对于，
当时，，
则抛物线与轴的交点坐标为；
当时，抛物线的对称轴为，
，
解得：；
当时，对称轴在的左侧，即，
解得：，
当时，，
解得：，
当时，．

【解析】根据轴上点的坐标特征计算即可；
根据抛物线的对称轴是直线计算；
根据抛物线的对称性、二次函数图象上点的坐标特征列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，正确理解抛物线的对称性以及二次函数的性质是解题的关键．
 

27.【答案】解：补全图形如图，

证明：点为边中点，，
，
，，
≌，
；
．
证明：过点作，交的延长线于点，

，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
．

【解析】根据题意画出图形即可；
由等腰三角形的性质得出，证明≌，由全等三角形的性质得出；
过点作，交的延长线于点，证出四边形是矩形，得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

28.【答案】

【解析】解：，，
轴，
点，，
故答案为：；
如图所示，，表示与线段有交点，

的取值范围是；
当时，点恰好落在轴上，
过点作于点，

，，
，
．
若存在两个使，即线段在旋转过程中与有两个交点，如图，

．
由题意得出轴，则可根据“非常距离”的定义得出答案；
根据题意画出图形，由直角三角形的性质及“非常距离”的定义得出答案；
过点作于点，由直角三角形的性质可得出答案；
由题意可知线段在旋转过程中与有两个交点，画出图形即可得出答案．
本题是圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“非常距离”的概念，旋转的性质，直角三角形的性质及分类讨论思想的运用等知识点．