2019年北京市东城区中考数学二模试卷

这是一份2019年北京市东城区中考数学二模试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 若分式 1x−3 有意义，则 x 的取值范围是
A. x≠3B. x<3C. x>3D. x=3

2. 若 a=13，则实数 a 在数轴上对应的点 P 的大致位置是
A. B.
C. D.

3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是
A. 棱柱B. 圆柱C. 棱锥D. 圆锥

4. 二元一次方程组 x+y=2,x−y=−2 的解为
A. x=0,y=2B. x=0,y=−2C. x=2,y=0D. x=−2,y=0

5. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

6. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为 1,3，点 B 的坐标为 2,1．将线段 AB 沿某一方向平移后，若点 A 的对应点 Aʹ 的坐标为 −2,0，则点 B 的对应点 Bʹ 的坐标为
A. 5,2B. −1,−2C. −1,−3D. 0,−2

7. 如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧道（点 A，B 在同一水平面上）．为了测量 A，B 两地之间的距离，一架直升飞机从 A 地起飞，垂直上升 1000 米到达 C 处，在 C 处观察 B 地的俯角为 α，则 A，B 两地之间的距离约为
A. 1000sinα 米B. 1000tanα 米C. 1000tanα 米D. 1000sinα 米

8. 如图 1，动点 P 从菱形 ABCD 的顶点 A 出发，沿 A→C→D 以 1 cm/s 的速度运动到点 D．设点 P 的运动时间为 xs，△PAB 的面积为 ycm2．表示 y 与 x 的函数关系的图象如图 2 所示，则 a 的值为
A. 5B. 52C. 2D. 25

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 分解因式：x2y−y= ．

10. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加东城区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数 x（单位：分）及方差 s2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是 ．
甲乙丙丁

11. 如果 x−y=2，那么代数式 x+22−4x+yy−2x 的值是 ．

12. 如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C，D 均落在格点上，则 ∠BAC+∠ACD= ∘．

13. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y1=−x+a 与直线 y2=bx−4 相交于点 P1,−3，则关于 x 的不等式 −x+a
14. 用一组 k，b 的值说明命题“若 k>0，则一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限”是错误的，这组值可以是 k= ，b= ．

15. 如图，B，C，D，E 为 ⊙A 上的点，DE=5，∠BAC+∠DAE=180∘，则圆心 A 到弦 BC 的距离为 ．

16. 运算能力是一项重要的数学能力．王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行了三次运算测试．下面的气泡图中，描述了其中 5 位同学的测试成绩（气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低；气泡越大平均分越高）．
①在 5 位同学中，有 位同学第一次成绩比第二次成绩高；
②在甲、乙两位同学中，第三次成绩高的是 （填“甲”或“乙”）．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形 ABCD 是平行四边形．
求作：菱形 ABEF（点 E 在 BC 上，点 F 在 AD 上）．
作法：① 以 A 为圆心，AB 长为半径作弧，交 AD 于点 F；
② 以 B 为圆心，AB 长为半径作弧，交 BC 于点 E；
③ 连接 EF．
所以四边形 ABEF 为所求作的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AF=AB，BE=AB，
∴ = ．
在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，即 AF∥BE．
∴ 四边形 ABEF 为平行四边形．
∵AF=AB，
∴ 四边形 ABEF 为菱形（ ）（填推理的依据）．

18. 计算：π−20190+2−1+12−1−2sin45∘．

19. 解不等式 2x−13−5x+12≥1，并把解集在数轴上表示出来．

20. 关于 x 的一元二次方程 x2−mx+m−1=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根大于 3，求 m 的取值范围．

21. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，AE∥BD，且 AE=BD．
（1）求证：四边形 AEBD 是矩形．
（2）连接 CE 交 AB 于点 F，若 ∠ABE=30∘，AE=2，求 EF 的长．

22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+2 与双曲线 y=6x 的一个交点是 Am,3．
（1）求 m 和 k 的值；
（2）设点 P 是双曲线 y=6x 上一点，直线 AP 与 x 轴交于点 B．若 AB=3PB，结合图象，直接写出点 P 的坐标．

23. 2019 年中国北京世界园艺博览会已于 2019 年 4 月 29 日在北京市延庆区开展，吸引了大批游客参观游览．五一小长假期间平均每天入园人数大约是 8 万人，佳佳等 5 名同学组成的学习小组，随机调查了五一假期中入园参观的部分游客，获得了他们在园内参观所用时间，并对数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息．
a．参观时间的频数分布表如下：
时间t时频数人数频率1≤t<2250.0502≤t<385a3≤t<41600.3204≤t<51390.2785≤t<6b0.1006≤t≤7410.082合计c1.000
b．参观时间的频数分布直方图如下：
根据以上图表提供的信息，解答下列问题．
（1）这里采用的调查方式是 ；
（2）表中 a= ，b= ，c= ；
（3）并请补全频数分布直方图；
（4）请你估算五一假期中平均每天参观时间小于 4 小时的游客约有多少万人?

24. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，连接 OC，过点 A 作 AD∥OC 交 BC 的延长线于点 D，∠ABC=45∘．
（1）求证：AD 是 ⊙O 的切线；
（2）若 sin∠CAB=35，⊙O 的半径为 522，求 AB 的长．

25. 如图，点 B 是 DE 所对弦 DE 上一动点，点 A 在 ED 的延长线上，过点 B 作 BC⊥DE 交 DE 于点 C，连接 AC，已知 AD=3 cm，DE=6 cm，设 A，B 两点间的距离为 x cm，△ABC 的面积为 y cm2．（当点 B 与点 D，E 重合时，y 的值为 0．）
小亮根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小亮的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：
（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
当 △ABC 的面积为 8 cm2 时，AB 的长度约为 cm．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2−2mx+m2−1 与 y 轴交于点 C．
（1）试用含 m 的代数式表示抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线 y=x2−2mx+m2−1 沿直线 y=−1 翻折，得到的新抛物线与 y 轴交于点 D．若 m>0，CD=8，求 m 的值；
（3）已知 A2k,0，B0,k，在（2）的条件下，当线段 AB 与抛物线 y=x2−2mx+m2−1 只有一个公共点时，直接写出 k 的取值范围．

27. 如图，△ABC 为等边三角形，点 P 是线段 AC 上一动点（点 P 不与 A，C 重合），连接 BP，过点 A 作直线 BP 的垂线段，垂足为点 D，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 得到线段 AE，连接 DE，CE．
（1）求证：BD=CE；
（2）延长 ED 交 BC 于点 F，求证：F 为 BC 的中点；
（3）若 △ABC 的边长为 1，直接写出 EF 的最大值．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 P 和直线 AB，给出如下定义：M 为图形 P 上任意一点，N 为直线 AB 上任意一点，如果 M，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 P 和直线 AB 之间的“确定距离”，记作 d（P，直线 AB）．
已知 A2,0，B0,2．
（1）求 d（点 O，直线 AB）；
（2）⊙T 的圆心为 Tt,0，半径为 1，若 d（⊙T，直线 AB）≤1，直接写出 t 的取值范围；
（3）记函数 y=kx−1≤x≤1,k≠0 的图象为图形 Q．若 d（Q，直线 AB）=1，直接写出 k 的值．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. D
4. A
5. C
6. B
7. C
8. B
第二部分
9. yx+1x−1
10. 丙
11. 6
12. 90
13. x>1
14. 2，−3（答案不唯一）
15. 52
16. 3，甲
第三部分
17. （1） 图略
（2） AF；BE；一组邻边相等的平行四边形是菱形
18. π−20190+2−1+12−1−2sin45∘=1+2−1+2−2=2.
19.
22x−1−35x+1≥6.4x−2−15x−3≥6.−11x≥11.x≤−1.
20. （1） ∵Δ=m2−4m−1=m2−4m+4=m−22≥0，
∴ 方程有两个实数根．
（2） x2−mx+m−1=0，
∴x−1x−m+1=0，
∴x1=1，x2=m−1，
∵ 若方程有一根大于 3．
∴m−1>3，
∴m>4．
21. （1） ∵AE∥BD，AE=BD，
∴ 四边形 AEBD 是平行四边形，
∵AB=AC，D 为 BC 中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90∘，
∴ 四边形 AEBD 是矩形．
（2） ∵ 四边形 AEBD 是矩形，
∴∠AEB=90∘，
∴∠ABE=30∘，AE=2，
∴BE=23，BC=4，
∴EC=27，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴EFCF=AEBC=12，
∴BF=13EC=273．
22. （1） 把 Am,3 代入 y=6x，得 m=2．
把 A2,3 代入 y=kx+2，得 k=12．
（2） P6,1 或 P−6,−1．
23. （1） 抽样调查
（2） 0.17；50；500
（3） 如图所示．
（4） 80.05+0.17+0.32=4.32．
答：五一假期中平均每天参观时间小于 4 小时的游客约有 4.32 万人．
24. （1） 如图，连接 OA，
∵∠AOC=2∠ABC，∠ABC=45∘，
∴∠AOC=90∘，
∵OC∥AD，
∴∠AOC+∠OAD=180∘，
∴∠OAD=90∘．
∴OA⊥AD，
∵OA 是 ⊙O 的半径，
∴AD 是 ⊙O 的切线．
（2） 如图，作 CE⊥AB 于点 E，
由（1）可知，∠AOC=90∘，
∵OA=OC=522，
∴AC=5，
在 Rt△ACE 中，∠AEC=90∘，sin∠CAE=CEAC=35，
∴CE=3，AE=4，
在 Rt△BCE 中，∠CEB=90∘，∠ABC=45∘，
∴∠BCE=45∘，
∴CE=BE=3，
∴AB=AE+BE=7．
25. （1） 9.80
（2） 画出函数图象：
（3） 5.43，8.30
26. （1） ∵y=x2−2mx+m2−1=x−m2−1，
∴ 抛物线的顶点坐标为 m,−1．
（2） 由对称性可知，点 C 到直线 y=−1 的距离为 4．
∴OC=3．
∴m2−1=3．
∵m>0，
∴m=2．
（3） k 的取值范围为：12≤k<32 或 k>3．
27. （1） ∵ 线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 得到线段 AE，
∴△ADE 是等边三角形．
在等边 △ABC 和等边 △ADE 中，
AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60∘,
∴∠BAD=∠CAE．
在 △BAD 和 △CAE 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAESAS．
∴BD=CE．
（2） 如图，过点 C 作 CG∥BP 交 DF 的延长线于点 G．
∴∠G=∠BDF，
∵∠ADE=60∘，∠ADB=90∘，
∴∠BDF=30∘．
∴∠G=30∘．
由（1）可知，BD=CE，∠CEA=∠BDA．
∵AD⊥BP，
∴∠BDA=90∘，
∴∠CEA=90∘，
∵∠AED=60∘，
∴∠CED=30∘=∠G，
∴CE=CG，
∴BD=CG，
在 △BDF 和 △CGF 中，
∠BDF=∠G,∠BFD=∠CFG,BD=CG,
∴△BDF≌△CGFAAS，
∴BF=FC，即 F 为 BC 的中点．
（3） 1．
28. （1） ∵A2,0，B0,2，
∴△AOB 是等腰直角三角形，
如图，作 OH⊥AB 于点 H，
∴ 点 H 是 AB 的中点．
∵AB=22，
∴d（点 O，直线 AB）=OH=2．
（2） 2−22≤t≤2+22．
（3） k=−3+2 或 k=1−2．