2023年北京市东城区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年北京市东城区中考数学二模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年北京市东城区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 据报道：中国铁路营业里程从2012年的9.8万公里增长到2022年的15.5万公里，其中高铁从0.9万公里增长到4.2万公里，稳居世界第一.将数字155000用科学记数法表示应为(    )
A. 0.155×106 B. 1.55×105 C. 1.55×106 D. 155×103
2. 如图是某几何体的展开图，该几何体是(    )
A. 三棱柱
B. 四棱柱
C. 圆柱
D. 圆锥


3. 在平面直角坐标系中，已知点A(3,2)，B(5,2)，将线段AB平移得到线段CD，若点A的对应点C的坐标是(−1,2)，则点B的对应点D的坐标是(    )
A. (1,2) B. (2,−1) C. (9,2) D. (2,1)
4. 下列正多边形中，一个内角为120°的是(    )
A. B.
C. D.
5. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，则下列结论不正确的是(    )
A. ∠1=∠2
B. ∠1+∠5=90°
C. ∠3=∠4
D. ∠5=∠3+∠4
6. 下列运算结果正确的是(    )
A. (−a)2=a2 B. a6÷a2=a3
C. (a−2)2=a2−4 D. 3a+a=4
7. 小红参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分.若将三项得分依次按2：4：4的比例确定最终成绩，则小红的最终比赛成绩为(    )
A. 8.3分 B. 8.4分 C. 8.5分 D. 8.6分
8. 两个变量满足的函数关系如图所示．
①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟45米的速度到离家900米的报亭，在报亭看报10分钟，然后以每分钟60米的速度原路返回家.设所用时间为x分钟，离家的距离为y米；
②有一个容积为900毫升的空瓶，小张以45毫升/秒的速度向这个空瓶注水，注满后停止，10秒后，再以60毫升/秒的速度倒空瓶中的水.设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y毫升；
③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路45米的速度工作了20天，随后因为天气原因停工了10天，为能尽快完成工作，后期以每天修路60米的速度进行工作，这样又经过了15天完成了整个工程.设所用时间为x天，完成的修路长度为y米．
在以上实际情境中，符合图中函数关系的是(    )

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若二次根式 x−2有意义，则实数x的取值范围是          ．
10. 分解因式：2x2−8= ______ ．
11. 写出一个大小在 2和 10之间的整数是______ ．
12. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若∠BAC=28°，则∠D=          °.






13. 如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC//DF，AC=DF，只添加一个条件：______能判定△ABC≌△DEF．


14. 质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：
抽检产品数n
100
150
200
250
300
500
1000
合格产品数m
89
134
179
226
271
451
904
合格率mn
0.890
0.893
0.895
0.904
0.903
0.902
0.904
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是(结果保留一位小数) ______．
15. 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是______米．

16. 将15个编号为1～15的小球全部放入甲、乙、丙三个盘子内，每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球编号的平均值为3．
(1)写出一种甲盘中小球的编号是______ ；
(2)若乙、丙盘中小球编号的平均值分别为8，13，则乙盘中小球的个数可以是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 解方程组：x−y=2x+2y=5．
四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题5.0分)
计算：38+(12)−1+| 2−1|− 2sin45°．
19. (本小题5.0分)
已知：如图，点P和⊙O．
求作：直线PA，使得PA与⊙O相切于点A．
作法：(1)连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于12OP的长为半径作弧，两弧交于C，D两点；
(2)作直线CD，交OP于点B；
(3)以点B为圆心，以OB长为半径作⊙B，与⊙O相交，其中一个交点为点A；
(4)作直线PA．
直线PA即为所求作．

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：由作法可知，点B为线段OP的中点.连接OA．
∵OP为⊙B的直径，
∴∠OAP= ______ °(______ )(填推理的依据)．
∴OA⊥PA．
∵点A在⊙O上，
∵PA是⊙O的切线(______ )(填推理的依据)．
20. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(1−aa+2)÷a2−4a2+4a+4，其中a=4．
21. (本小题5.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，过点A，C分别作BC，AD的平行线，相交于点E．
(1)求证：四边形ADCE为矩形；
(2)连接BE，DE，若tan∠CBE=43,CD=3，求AB的长．

22. (本小题6.0分)
如图，函数y=mx(x>0)的图象G与直线y=12x+1交于点P，点P的纵坐标为4，PA⊥x轴，垂足为点A．
(1)求m的值；
(2)点M是图象G上一点，过点M作MB⊥AP于点B，若PBBM=12，求点M的坐标．

23. (本小题6.0分)
如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且CE=DE，点F在AB的延长线上，连接OC，DF，∠F=∠C．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若OE=2BE，BF=2，求⊙O半径的长．

24. (本小题5.0分)
2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕，习近平代表第十九届中央委员会向大会作报告，报告提出要加快建设农业强国.某农业学家在光照、降水量等条件接近的不同地区对几种不同的玉米进行产量实验，得出的部分数据(单位：kg/hm2)如表．
注：1hm2表示10000平方米，即1公顷．

品种A
品种B
品种C
品种D
品种E
品种F
品种G
品种H
低海拔区
9843
8650
7996
7705
7506
7437
6517
5398
高海拔区
7800
7267
7533
7867
6333
6400
5874
5201
(1)请补全条形统计图；
(2)8个品种的玉米在低海拔区产量的中位数为______ ，不同品种的玉米产量总体趋势在______ (填“低”或“高”)海拔区更加稳定；
(3)已知气温和含氧量都会影响玉米的产量，下列三种方案中，选择哪两种方案进行组合可以判断哪一种因素对玉米产量的影响较大，
a.将两个不同品种的玉米分别种植在两个温室中，两个温室气温相同，氧气浓度不同，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较；
b.将同一品种玉米种植在气温相同，氧气浓度不同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较；
c.将同一品种玉米种植在气温不同，氧气浓度相同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较．
25. (本小题6.0分)
某校学生参加学农实践活动时，计划围一个面积为4平方米的矩形围栏.设矩形围栏周长为m米，对于m的最小值问题，小明尝试从“函数图象”的角度进行探究，过程如下．
请你补全探究过程．
(1)建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y.由矩形的面积为4，得xy=4，即y=4x；由周长为m，得2(x+y)=m，即y=−x+m2.满足要求的(x,y)应是两个函数图象在第______ 象限内交点的坐标；
(2)画出函数图象
函数y=4x(x>0)的图象如图所示，而函数y=−x+m2的图象可由直线y=−x平移得到.请在同一平面直角坐标系xOy中画出直线y=−x；
(3)平移直线y=−x，观察函数图象
当直线平移到与函数y=4x(x>0)的图象有唯一交点(2,2)时，直线y=−x+m2与y轴交点的纵坐标为______ ；
(4)得出结论
若围出面积为4平方米的矩形围栏，则周长m的最小值为______ 米，此时矩形相邻两边的长分别为______ 米、______ 米.

26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)的对称轴是直线x=3．
(1)求出该抛物线的顶点坐标(用含a的式子表示)；
(2)当a>0时，对于任意的正数t，若点(3−t,y1)，(3+2t,y2)在该抛物线上，则y1 ______ y2(填“>”“<”或“=”)；
(3)已知点A(0,3)，B(7,3).若该抛物线与线段AB恰有一个公共点，求a的取值范围．
27. (本小题7.0分)
如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是AB边上一点(不与A，B重合)，点F与点A关于直线DE对称，连接DF.作射线CF，交直线DE于点P，设∠ADP=α．
(1)用含α的代数式表示∠DCP；
(2)连接AP，AF.求证：△APF是等边三角形；
(3)过点B作BG⊥DP于点G，过点G作CD的平行线，交CP于点H.补全图形，猜想线段CH与PH之间的数量关系，并加以证明．

28. (本小题7.0分)
已知线段PQ是⊙G的弦，点K在直线PQ上.对于弦PQ和点K，给出如下定义：若将弦PQ绕点K逆时针旋转α(0°<α<180°)得到线段P′Q′，恰好也是⊙G的弦，则称弦PQ关于点K中心映射，点K叫做映射中心，α叫做映射角度．
(1)如图1，点G是等边△ABC的中心，作⊙G交AB于点P，Q.在A，B，C三点中，弦PQ关于点______ 中心胦射；
(2)如图2，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−34x+3与x轴交于点E，与y轴交于点F，∠OEF的角平分线交y轴于点D.若⊙D与线段EF相交所得的弦关于点E中心映射，直接写出⊙D的半径r的取值范围；
(3)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，线段MN是⊙O的弦.对于每一条弦MN，都有相应的点H，使得弦MN关于点H中心映射，且映射角度为60°.设点H到点O的距离为d，直接写出d的取值范围．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：155000=1.55×105．
故选：B．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．

2.【答案】D 
【解析】解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥．
故选：D．
由圆锥的展开图特点得出即可．
本题考查了展开图折叠成几何体，掌握圆锥的展开图特点是关键．

3.【答案】A 
【解析】解：∵点A(3,2)的对应点C的坐标为(−1,2)，
∴平移规律为向左平移4个单位，
∴B(5,2)的对应点D的坐标为(1,2)．
故选：A．
根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

4.【答案】C 
【解析】解：正方形的每个内角为90°，
则A不符合题意；
正五边形的每个内角为(5−2)×180°÷5=108°，
则B不符合题意；
正六边形的每个内角为(6−2)×180°÷6=120°，
则C符合题意；
正八边形的每个内角为(8−2)×180°÷8=135°，
则D不符合题意；
故选：C．
利用多边形内角和及正多边形性质求得各图形的每个内角度数即可求得答案．
本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

5.【答案】C 
【解析】解：BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEO=∠CDO=90°，
∵∠BOE=∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴∠1=∠2，故A正确，不符合题意；
∵∠BEO=90°，
∴∠1+∠5=90°，故B正确，不符合题意；
∵∠5是△OBC的外角，
∴∠5=∠3+∠4，故D正确，不符合题意；
∵AB≠AC，
∴∠ABC≠∠ACB，
∵∠1=∠2，
∴∠3≠∠4，故C错误，符合题意，
故选：C．
根据△BOE∽△COD，对应角相等，可以判断A，利用直角三角形两个锐角互余，，判断B，利用三角形外角定义判断D，根据等腰三角形性质可以判断C．
本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形两个内角互余，三角形的外角定义，解决本题的关键是得到△BOE∽△COD．

6.【答案】A 
【解析】解：由题意，
对于A选项，(−a)2=a2，
∴A选项正确，符合题意．
对于B选项，a6÷a2=a4≠a3，
∴B选项错误，不符合题意．
对于C选项，(a−2)2=a2−4a+4≠a2−4，
∴C选项错误，不符合题意．
对于D选项，3a+a=4a≠4．
∴D选项错误，不符合题意．
故选：A．
依据题意，由乘方的意义、同底数幂的除法、完全平方公式及合并同类项法则逐项分析可以得解．
本题主要考查了乘方的意义、同底数幂的除法、完全平方公式及合并同类项，解题时要能熟练掌握并准确计算．

7.【答案】B 
【解析】解：∵形象、表达、内容三项得分依次按2：4：4的比例确定最终成绩，
∴最终成绩为：8×22+4+4+8×42+4+4+9×42+4+4=8.4(分)，
故选：B．
根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．

8.【答案】A 
【解析】解：①去报停所需时间：900÷45=20(分钟)，回家的时间为：900÷60=15(分钟)，故①符合图中函数关系；
②注满所需时间为：900÷45=20(秒)，倒空所需时间为：900÷60=15(秒)，故②符合图中函数关系；
③开始20天，y随x的增大而增大，停工了10天，y的值不变，后15天，y随x的增大而增大，故③不符合图中函数关系．
综上所述，符合图中函数关系的是①②．
故选：A．
根据各个情境，分别计算判断即可．
本题考查了函数的图象，注意看清楚因变量和自变量分别表示的含义．

9.【答案】x≥2 
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
根据二次根式有意义的条件可得x−2≥0，再解即可．
【解答】
解：由题意得：x−2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．  
10.【答案】2(x−2)(x+2) 
【解析】解：2x2−8
=2(x2−4)
=2(x−2)(x+2)．
故答案为：2(x−2)(x+2)．
此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，可采用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．

11.【答案】2(答案不唯一) 
【解析】解：∵2<4<10，
∴ 2<2< 10，
即大小在 2和 10之间的整数是2(答案不唯一)，
故答案为：2(答案不唯一)．
一个正数越大，其算术平方根越大，据此即可求得答案．
本题考查无理数的估算，此题答案不唯一，符合题意即可．

12.【答案】62 
【解析】
【分析】
本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
如图，连接BC，证明∠ACB=90°，求出∠ABC，可得结论．
【解答】
解：如图，连接BC．

∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°−∠CAB=62°，
∴∠D=∠ABC=62°，
故答案为：62．  
13.【答案】∠C=∠F(答案不唯一) 
【解析】解：添加∠C=∠F(答案不唯一)，理由如下：
∵AC//DF，
∴∠A=∠D，
∵AC=DF，
根据“ASA”判定△ABC≌△DEF．
故答案为：∠C=∠F(答案不唯一)．
先根据平行线的性质得到∠A=∠D，加上AC=DF，则可根据全等三角形的判定方法即可求解．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的根据，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．

14.【答案】0.9 
【解析】解：由表格中的数据可得，
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是0.9，
故答案为：0.9．
根据表格中的数据和四舍五入法，可以得到在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率．
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答．

15.【答案】134 
【解析】解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设金字塔的高度BO为x米，则可列比例为，4268=2x，
解得：x=134，
经检验，x=134是原方程的解，
∴BO=134．
故答案为：134．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查利用所学知识解决实际问题的能力．

16.【答案】1号，2号，4号，5号(答案不唯一)  7或5 
【解析】解：(1)∵每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球编号的平均值为3，1+2+4+54=3，
∴甲盘中小球的编号可能是1号，2号，4号，5号(答案不唯一)．
故答案为：1号，2号，4号，5号(答案不唯一)；
(2)设甲、乙、丙三个盘子分别有球x个、y个、z个(x、y、z均为不少于4的正整数)，
1+2+3+……+15=120．
根据题意得：3x+8y+13z=120①x+y+z=15②，
①−②×3，得：5y+10z=75，
∴y+2z=15，
∴y=15−2z．
当z=4时，y=7，此时x=4符合题意；
当z=5时，y=5，此时x=5符合题意；
当z=6时，y=3<4，不符合题意，舍去；
∴乙盘中小球的个数可以是7或5．
故答案为：7或5．
(1)根据每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球编号的平均值为3，列出一种情况即可；
(2)设甲、乙、丙三个盘子分别有球x个、y个、z个(x、y、z均为不少于4的正整数)，根据乙、丙盘中小球编号的平均值分别为8，13列出关于x、y、z的方程组，消去x得到y+2z=15，然后讨论其正整数解，即可求出答案．
本题考查了算术平均数，三元一次方程组的应用，根据算术平均数的定义列出等式是解题的关键．

17.【答案】解：x−y=2 ①x+2y=5 ②，
②−①得：3y=3，
解得：y=1，
把y=1代入①得：x=3，
则方程组的解为x=3y=1． 
【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18.【答案】解：原式=2+2+ 2−1− 2× 22
=3+ 2−1
=2+ 2． 
【解析】依据题意，由实数的运算、负整数指数幂及特殊角的三角函数进行计算可以得解．
本题主要考查了实数的运算、负整数指数幂及特殊角的三角函数，解题时要熟练掌握并能准确计算．

19.【答案】90  直径所对圆周角为直角  过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线 
【解析】解：(1)依作法所作图形如图所示：

(2)由作法可知，点B为线段OP的中点．连接OA．

∵OP为⊙B的直径，
∴∠OAP=90°(直径所对圆周角为直角)(填推理的依据)．
∴OA⊥PA．
∵点A在⊙O上，
∵PA是⊙O的切线(过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线)(填推理的依据)．
故答案为：90，直径所对圆周角为直角，过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
(1)依照题中所提供步骤作图即可；
(2)利用圆周角定理推论即切线判定定理证明即可．
本题考查了尺规作图的应用，圆的性质的应用是解题关键．

20.【答案】解：(1−aa+2)÷a2−4a2+4a+4
=a+2−aa+2÷(a+2)(a−2)(a+2)2
=2a+2⋅a+2a−2
=2a−2，
当a=4时，
原式=24−2
=22
=1． 
【解析】先算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式化简求值的方法是解题的关键．

21.【答案】(1)证明：∵AE//BC，CE//AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB=AC，点D是BC的中点
∴BD=CD，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形；
(2)解：由(1)知，四边形ADCE是矩形，BD=CD=3，
∴∠ADB=∠BCE=90°，BC=6，AD=CE，
在Rt△BCE中，tan∠CBE=CEBC=43，
∴CE=6×43=8，
∴AD=8，
在Rt△ABD中，AB= AD2+BD2= 82+32= 73． 
【解析】(1)首先证明四边形ADCE是平行四边形，由∠ADC=90°，即可推出四边形ADCE是矩形；
(2)在Rt△BCE中，根据三角函数的定义求出CE，在Rt△ABD中，根据勾股定理即可求出AB．
本题考查等腰三角形的性质、矩形的判定、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

22.【答案】解：(1)当y=4时，12x+1=4，
解得：x=6，
∴点P的坐标为(6,4)．
又∵点P在反比例函数y=mx(x>0)的图象上，
∴4=m6，
∴m=24；
(2)设点M的坐标为(a,24a)(a>0)，则PB=|4−24a|，BM=|6−a|，
∵PBBM=12，
∴2PB=BM，即2|4−24a|=|6−a|．
当a<6时，2(24a−4)=6−a，
整理得：a2−14a+48=0，
解得：a1=6，a2=8，
经检验，a1=6，a2=8均为所列方程的解，a1=6，a2=8不符合题意，舍去；
当a>6时，2(4−24a)=a−6，
整理得：a2−14a+48=0，
解得：a3=6，a4=8，
经检验，a3=6，a4=8均为所列方程的解，a1=6不符合题意，舍去，
∴a的值为8，
∴点M的坐标为(8,3)．
综上所述，点M的坐标为(8,3)． 
【解析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值；
(2)设点M的坐标为(a,24a)(a>0)，则PB=|4−24a|，BM=|6−a|，由PBBM=12，可得出2|4−24a|=|6−a|，分a<6及a>6两种情况考虑，当a<6时，解分式方程，经检验后可得出该情况不符合题意；当a>6时，解分式方程，经检验后可得出a的值，再将其代入点M的坐标中，即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及解分式方程，解题的关键是：(1)利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点P的坐标；(2)分a<6及a>6两种情况，找出关于a的分式方程．

23.【答案】(1)证明：连接OD，如图，
∵OC=OD，CE=DE，
∴OE为△OCD的底边上的中线，
∴OE⊥CD，
∴∠F+∠CDF=90°．
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠F=∠C，
∴∠F=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDF=90°，
即∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
(2)解：∵OE=2BE，
∴设BE=a，则OE=2a，
∴OB=OE+BE=3a，
∴OD=OB=3a，OF=OB+BF=3a+2．
∵∠ODF=90°，DE⊥OF，
∴△OED∽△ODF，
∴ODOE=OFOD．
∴3a2a=3a+23a，
解得：a=43．
∴⊙O半径的长=OB=3a=4． 
【解析】(1)连接OD，利用等腰三角形的性质得到OE⊥CD，利用直角三角形的性质，等腰三角形的性质和等量代换得到∠ODC+∠CDF=90°，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
(2)设BE=a，则OE=2a，OB=OE+BE=3a，利用相似三角形的判定与性质求得a值，则结论可求．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．

24.【答案】7605.5  高 
【解析】解：(1)补全条形统计图如图所示：

(2)将8个品种的玉米在低海拔区的产量按从大到小的顺序排列为：
9843
8650
7996
7705
7506
7437
6517
5398
其中第4、第5个数分别为7705、7506，所以中位数为7705+75062=7605.5；
根据条形统计图可知，8个品种的玉米在高海拔区产量比低海拔区产量波动小，所以在高海拔区产量的方差较小，产量更稳定．
故答案为：7605.5，高；
(3)a方案选用了两个不同品种的玉米，没有控制变量，此方案不适合；
b、c两种方案选用了相同品种的玉米，再分气温相同，氧气浓度不同以及气温不同，氧气浓度相同进行实验，方案适合．
故选b、c两种方案．
(1)根据表格中的数据即可补全条形统计图；
(2)根据中位数、方差的意义即可求解；
(3)根据气温和含氧量都会影响玉米的产量即可得出答案．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．也考查了中位数以及方差．

25.【答案】一  4  8  2  2 
【解析】解：(1)∵x>0，y>0，
∴满足要求的(x,y)应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标．
故答案为：一；
(2)列表
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y
…
2
1
0
−1
−2
…
描点、连线，画出函数图象，如图所示．
(3)观察函数图象，可知：当直线平移到与函数y=4x(x>0)的图象有唯一交点(2,2)时，直线y=−x+m2与y轴交点的纵坐标为4．
故答案为：4；
(4)由(3)可知：m2的最小值为4，
∴m的最小值为8，此时x=y=2，
∴此时矩形相邻两边的长分别为2米、2米．
故答案为：8，2，2．
(1)由x>0，y>0，可得出满足要求的(x,y)应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标；
(2)列表、描点、连线，画出函数图象即可；
(3)观察函数图象，可得出当直线平移到与函数y=4x(x>0)的图象有唯一交点(2,2)时，直线y=−x+m2与y轴交点的纵坐标；
(4)由(3)可求出m的最小值，结合此时两函数图象交点为(2,2)，即可的此时矩形相邻两边的长．
本题考查了反比例函数图象、一次函数图象以及矩形的性质，画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．

26.【答案】< 
【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)的对称轴是直线x=3，
∴−b2a=3，
∴b=−6a，
当x=3时，y=9a+3b+1=9a+3×(−6a)+1=−9a+1，
抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)的顶点坐标是(3,−9a+1)；
(2)∵y=ax2+bx+1(a>0)，
∴抛物线开口向上，
∴距离抛物线对称轴越远，函数值越大，
∵点(3−t,3)距离对称轴x=3的距离为：|3−t−3|=t，
点(3−2t,22)距离对称轴x=3的距离为：3−2t−3|=|−2t=2t，
又∵t>0，
∴2t>t，
∴(3−2t,y2)距离对称轴x=3比(3−t,y1)距离对称轴x=3更远，
∴y1 故填：<；
(3)∵b=−6a，
∴y=ax2−6ax+1(a≠0)，
当a<0时，
∵抛物线y=ax2−6ax+1(a≠0)的对称轴是直线x=3，且该抛物线与线段AB恰有一个公共点，
故顶点为(3,3)，
把(3,3)代入y=ax2−6ax+1(a≠0)得：9a−18a+1=3，
a=−29；
当a>0时，
∵当x=0时，y=1，
∴抛物线y=ax2−6ax+1(a≠0)过(0,1)，
∵抛物线y=ax2−6ax+1(a≠0)的对称轴是直线x=3，
∴抛物线y=ax2−6ax+1(a≠0)过(6,1)，
∴抛物线y=ax2−6ax+1(a≠0)与y=3的交点一个在y轴的左侧，一个在x=6的右侧，
∵该抛物线与线段AB恰有一个公共点，
∴当x=7时，y≥3，
∴49a−42a+1≥3，
∴a≥27，
综上所述：a=−29或a≥27．
(1)根据抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)的对称轴是直线x=3，可得出：b=−6a，再计算当x=3时，y的值即可得出答案；
(2)根据y=ax2+bx+1(a>0)，抛物线开口向上，即可得出抛物线上的点距离抛物线对称轴越远，函数值越大，分别算出点(3−t,y1)和点(3−2t,y2)距离对称轴x=3的距离即可比较
y2、y1的大小；
(3)由b=−6a可以得出y=ax2+bx+1(a≠0)，再分a<0、a>0，进行讨论即可得出答案．
本题考查抛物线综合，二次函数的性质，抛物线与线段的公共交点问题，掌握抛物线综合，抛物线的顶点坐标，二次函数的性质，抛物线与线段的公共交点，掌握二次函数的性质是解题关键．

27.【答案】(1)解：如图1，连接AF，
∵点F与点A关于直线DE对称，
∴DE垂直平分AF，
∴FD=AD，
∴∠ADP=∠FDP=α，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴AB//DC，CD=AD=FD，
∴∠ADC=180°−∠BAD=120°，
∴∠DCP=∠DFC=12(180°−∠CDF)=90°−12(120°−2α)=30°+α．
(2)证明：如图2，
∵DE垂直平分AF，点P在直线DE上，
∴PA=PF，
∴∠FPD=∠APD，
∵∠DFC=∠FPD+∠FDP=∠FPD+α，∠DCP=∠DFC=30°+α，
∴∠FPD+α=30°+α，
∴∠FPD=∠APD=30°，
∴∠APF=2∠FPD=60°，
∴△APF是等边三角形．
(3)解：补全图形如图3，CH=PH，
证明：连接AC、AB、PB、DB、FB，设AB交PC于点I，
∵△APF是等边三角形，
∴AF=PF，∠AFP=60°，
∴∠AFI=180°−∠AFP=120°，
∵AB=CB，∠CBI=∠ADC=120°，
∴∠AFI=∠CBI，∠BAC=12(180°−120°)=30°，
∵∠AIF=∠CIB，
∴△AIF∽△CIB，
∴FIBI=AICI，
∴FIAI=BICI，
∵∠FIB=∠AIC，
∴△FIB∽△AIC，
∴∠IFB=∠BAC=30°，
∴∠AFB=120°+30°=150°，∠PFB=360°−60°−120°−30°=150°，
∴∠AFB=∠PFB，
∵BF=BF，
∴△AFB≌△PFB(SAS)，
∴PB=AB=DB，
∵BG⊥DP于点G，
∴PG=DG，
∵HG//CD，
∴PHCH=PGDG=1，
∴CH=PH． 
【解析】(1)连接AF，由轴对称的性质得DE垂直平分AF，则FD=AD，所以∠ADP=∠FDP=α，由菱形的性质得AB//DC，CD=AD=FD，则∠ADC=180°−∠BAD=120°，于是得∠DCP=∠DFC=12(180°−∠CDF)=90°−12(120°−2α)=30°+α；
(2)由DE垂直平分AF，得PA=PF，则∠FPD=∠APD，由∠DFC=∠FPD+α，∠DCP=∠DFC=30°+α，得∠FPD+α=30°+α，则∠FPD=∠APD=30°，所以∠APF=60°，则△APF是等边三角形；
(3)按要求补全图形，连接AC、AB、PB、DB、FB，设AB交PC于点I，由等边三角形的性质得AF=PF，∠AFP=60°，所以∠AFI=120°，而AB=CB，∠CBI=∠ADC=120°，则∠AFI=∠CBI，∠BAC=30°，再证明△AIF∽△CIB，得FIBI=AICI，变形为FIAI=BICI，可证明△FIB∽△AIC，则∠IFB=∠BAC=30°，即可推导出∠AFB=∠PFB=150°，即可证明△AFB≌△PFB，则PB=AB=DB，所以PG=DG，由HG//CD，得PHCH=PGDG=1，则CH=PH．
此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．

28.【答案】A 
【解析】解：(1)根据中心映射的定义，若将弦PQ绕点K逆时针旋转a(0°<α<180°)得到线段P′Q′，恰好也是⊙G的弦，则称弦PQ关于点K中心映射，点K叫做映射中心，
∵△ABC是等边三角形，
∴直线PQ绕A点逆时针旋转a=60°(0°<α<180°)，可使弦PQ落在弦P′Q′上，
∵直线PQ绕B点、C点逆时针旋转α(0°<α<180°)后，弦PQ无法与⊙G再相交成弦，
故只有点A符合映射中心的条件，如图，
 
(2)如图，∠OEF的角平分线交y轴于点D，过D作DG⊥EF，垂足为G．
 
则⊙D与线段EF相交所得的弦关于点E中心映射，此时⊙D的半径r的取值范围是DF≥r>DG，
在△OEF中，DE平分∠OEF，
过D作x轴的平行线，与EF交于点H，则∠HDE=∠DEO，
∵∠HED=∠DEO，
∴∠HDE=∠HED，
∴HD=HE，
∵DH//OE，
∴△FDH∽△FOE，FDOD=FHHE=FHHD，
∴FHDH=FEOE，
∴FDOD=FEOE，
∴FDOF−FD=FEOE，
将x=0代入y=−34x+3得：y=3，
将y=0代入y=−34x+3得：x=4，
∴OF=3，OE=4，
在直角三角形OEF中，EF= OE2+OF2= 42+32 =5，
∴DF3−DF=54，
解得DF=53，
∵DG⊥EF，
∴∠DGF=∠EOF，
∵∠DFG=∠EFO，
∴△GDF∽△OEF，
∴DGDF=OEEF，
即DG53=45，
∴DG=43，
∴⊙D的半径r的取值范围是：43 (3)考虑到对称性不失一般性，为了研究问题的方便，
设弦MN绕点H逆时针旋转α=60°(0°<α<180°)得到线段M′N′，恰好也是⊙O的弦，且MN与M′N′交于x轴，如图．

作OF⊥MN与⊙O交于点F，过F作MN的平行线，则EF是QO的切线，
∴满足条件的弦MN最大为直径，最小应大于0，
∴OH=d，
当O与H重合时，d=0，此时弦MN为直径；当H与E重合时，d=OH=OE，此时弦MN长度为0，
故a的取值范围是：0≤d 由已知条件知：∠MHM′=60°，∠OHM=12∠MHM′=30°，
∵EF//MN，
∴∠OEF=∠OHM=30°，
在直角△OEF中，OF=12OE，
∴OE=2OF=2×2=4，
故d的取值范围是：0≤d<4．
(1)根据题干中心映射的定义与旋转方向，判断弦PQ是否仍在⊙G上，确定只有点A符合题意．
(2)讨论⊙D与线段EF相交成弦的范围，根据角平分线定理与比例性质求解．
(3)考虑到对称性不失一般，将H点设在x轴上，方便得出d的取值范围．
本题考察了图形旋转、角平分线性质、含30°角的直角三角形等相关知识点，深入细致审题是解本题的关键．