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人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系教课内容ppt课件
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系教课内容ppt课件，共41页。PPT课件主要包含了知识探究·素养启迪，课堂探究·素养培育，知识探究，任意一个，包含于，A⊆A，任何一个，不含任何元素，真子集，小试身手等内容，欢迎下载使用。
1.子集的概念[问题1] 下面给出的两对集合,集合A中的元素都是集合B中的元素吗?(1)A={0,1,2},B={0,1,2,3};(2)A={x|x<-1},B={x|x<1}.提示:是的.
梳理1 子集(1)定义:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中 元素都是集合B中的元素,称集合A为集合B的子集.(2)符号表示:A⊆B(或B⊇A).读作“A B”(或“B A”).
(3)Venn图表示:
(4)性质①任何一个集合都是它本身的子集,即 .②对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A C.
2.集合的相等实例 观察下面两个例子:(1)设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形};(2)C={1,5,6},D={6,5,1}.[问题2-1] 你能发现两个集合间有什么关系吗?提示:(1)(2)中集合C,D的元素相同,即集合C中任何一个元素都是集合D中的元素,同时,集合D中任何一个元素也都是集合C中的元素.[问题2-2] 与实数中的结论“若a≥b,且b≥a,则a=b”相类比,在集合中,你能得出什么结论?提示:若两个集合互为子集,则这两个集合相等.
梳理2 集合相等(1)定义:一般地,如果集合A的 元素都是集合B的元素,同时集合B的 元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B .也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则 .(2)符号表示:A=B.
(3)Venn图表示:
(4)性质:对于集合A,B,C,如果A=B,且B=C,那么A C.
3.真子集的概念[问题3] 对于[问题1]中给出的两对集合,集合B中的元素都是集合A中的元素吗?提示:不全是.
梳理3 真子集(1)定义:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,则称集合A是集合B的真子集.(2)符号表示:A⫋B(或B⫌A)读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).
(4)性质:对于集合A,B,C,如果A⫋B,且B⫋C,那么A C.
4.空集[问题4] 集合A={x|x<-1且x>3}中有多少个元素?提示:0个.梳理4 空集(1)定义: 的集合,叫做空集.(2)符号表示: .(3)规定:空集是任何集合的 ,是任何非空集合的 .
2.集合{x|x=1}的子集有 个.
3.(人教A教材P8练习T2改编)用“∈”“∉”“⫋”“⫌”或“=”填空:(1)5 {5}; (2){a,b,c} {a,c}; (3){1,2,3} {3,2,1};
答案:(1)∈ (2)⫌ (3)= (4)⫋
4.集合A={x|x=3m-1,m∈N}和B={x|x=3m+2,m∈N}之间的关系是 .
解析:由A={-1,2,5,8,…},B={2,5,8,…},知B⫋A.
探究角度1 子集的列举、子集个数[例1] 已知集合M={x|x<2且x∈N},N={x|-2
解析:由题意可以确定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下:含有3个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};含有4个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5};含有5个元素:{1,2,3,4,5}.故满足条件的集合M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3, 5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.
即时训练1-1:已知集合M满足{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5},写出集合M所有的可能情况.
(1)写一个集合的子集时,可按子集中元素的个数多少分类写出,注意要做到不重不漏.
②{a}的子集有2个.③{a,b}的子集有4个.④{a,b,c}的子集有8个.……含有n个元素的集合M有2n个子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-2)个非空真子集.
探究角度2 集合间关系的判断[例2] 写出下列各对集合之间的关系:(1)A={x|-1
(2)当k,n取整数时,A={…,-4,-2,0,2,4,6,…},B={…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,…},故A⫋B.
即时训练2-1:写出下列每对集合之间的关系:(1)A={1,2,3,4,5},B={1,3,5};(2)C={x|x2=1},D={x||x|=1};(3)E={-1,1},F={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};(4)G={等腰三角形},H={等边三角形}.
解:(1)因为B的每个元素都属于A,而4∈A且4∉B,所以B⫋A.(2)因为C和D包含的元素都是1和-1,所以C=D.(3)集合E的代表元素是数,集合F的代表元素是实数对,因此两集合之间无包含关系.(4)由于等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故G⫌H.
判断两个集合间的关系时,首先要明确集合的元素特征,分析集合的元素之间的关系,然后根据以下方法判断:(1)直接法:首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B.若是,则A⊆B,否则A不是B的子集.其次通过判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A来判断它们之间的真子集关系.(2)对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可知道它们之间的关系.(3)对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析;若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.(4)而对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.
[例3] 已知A={1,x,2x},B={1,y,y2},若A⊆B,且A⊇B,求实数x和y的值.
即时训练3-1:设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,求实数x,y的值.
解:因为集合A,B相等,所以x=0或y=0.(1)当x=0时,x2=0,则B={0,0},不满足集合中元素的互异性,故舍去.(2)当y=0时,x=x2,解得x=0或x=1.由(1)知x=0应舍去.综上知,x=1,y=0.
根据集合相等求参数,首先分析一个集合中元素与另一集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不合要求的解.
根据集合间的关系求参数值或取值范围
探究角度1 求参数值[例4] 集合A={x|x2=4,x∈R},集合B={x|kx=4,x∈R},若B⊆A,则实数k= .
对于两个集合是用列举法或描述法(元素个数有限)表示的集合间的关系,常转化为方程(组)求解,注意所求参数要满足集合中元素互异性,若含参数的集合是一个给定集合的子集时,还要注意空集是任何集合子集的特殊情况,如本例中k=0,若忽视,则丢解.
探究角度2 求参数范围[例5] 已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,求实数a的取值范围.
[变式训练5-1] 把集合A换成“A={x|-1
[例2] 已知A={x|x=2n,n∈N},B={x|x=4n,n∈N}.分别列出这两个集合中最小的3个元素,并证明B⫋A.
解:A中最小的3个元素是0,2,4,B中最小的3个元素是0,4,8.证明:对任意x∈B,存在n∈N,使x=4n.因为4n=2×(2n),而2n∈N,所以x∈A.所以B⊆A,又2∈A且2∉B,故B⫋A.
[例3] 若A={x|x2-2mx+m2-m+2=0},B={x|x2-3x+2=0},且A⊆B,求实数m的取值范围.
②当2∈A时,由4-4m+m2-m+2=0可知m2-5m+6=0,解得m=2或m=3,而且m=2时, A={2},满足题意,m=3时,A={2,4},不满足题意.综上可知,m的取值范围是{m|m≤2}.
1.已知全集U=R,则能表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0} 的关系的韦恩图是( )
解析:x2+x=0的解为-1和0,因此集合N是集合M的真子集,故选B.
解析:空集的子集是本身且空集只有一个子集,因此A错误;B正确;由于空集是任何非空集合的真子集,因此C错误;D正确.
3.用“⫋”或“⫌”填空:(1)Z N; (2)Z Q; (3)Q N; (4)R Q.
答案:(1)⫌ (2)⫋ (3)⫌ (4)⫌
1.子集的概念[问题1] 下面给出的两对集合,集合A中的元素都是集合B中的元素吗?(1)A={0,1,2},B={0,1,2,3};(2)A={x|x<-1},B={x|x<1}.提示:是的.
梳理1 子集(1)定义:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中 元素都是集合B中的元素,称集合A为集合B的子集.(2)符号表示:A⊆B(或B⊇A).读作“A B”(或“B A”).
(3)Venn图表示:
(4)性质①任何一个集合都是它本身的子集,即 .②对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A C.
2.集合的相等实例 观察下面两个例子:(1)设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形};(2)C={1,5,6},D={6,5,1}.[问题2-1] 你能发现两个集合间有什么关系吗?提示:(1)(2)中集合C,D的元素相同,即集合C中任何一个元素都是集合D中的元素,同时,集合D中任何一个元素也都是集合C中的元素.[问题2-2] 与实数中的结论“若a≥b,且b≥a,则a=b”相类比,在集合中,你能得出什么结论?提示:若两个集合互为子集,则这两个集合相等.
梳理2 集合相等(1)定义:一般地,如果集合A的 元素都是集合B的元素,同时集合B的 元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B .也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则 .(2)符号表示:A=B.
(3)Venn图表示:
(4)性质:对于集合A,B,C,如果A=B,且B=C,那么A C.
3.真子集的概念[问题3] 对于[问题1]中给出的两对集合,集合B中的元素都是集合A中的元素吗?提示:不全是.
梳理3 真子集(1)定义:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,则称集合A是集合B的真子集.(2)符号表示:A⫋B(或B⫌A)读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).
(4)性质:对于集合A,B,C,如果A⫋B,且B⫋C,那么A C.
4.空集[问题4] 集合A={x|x<-1且x>3}中有多少个元素?提示:0个.梳理4 空集(1)定义: 的集合,叫做空集.(2)符号表示: .(3)规定:空集是任何集合的 ,是任何非空集合的 .
2.集合{x|x=1}的子集有 个.
3.(人教A教材P8练习T2改编)用“∈”“∉”“⫋”“⫌”或“=”填空:(1)5 {5}; (2){a,b,c} {a,c}; (3){1,2,3} {3,2,1};
答案:(1)∈ (2)⫌ (3)= (4)⫋
4.集合A={x|x=3m-1,m∈N}和B={x|x=3m+2,m∈N}之间的关系是 .
解析:由A={-1,2,5,8,…},B={2,5,8,…},知B⫋A.
探究角度1 子集的列举、子集个数[例1] 已知集合M={x|x<2且x∈N},N={x|-2
解析:由题意可以确定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下:含有3个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};含有4个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5};含有5个元素:{1,2,3,4,5}.故满足条件的集合M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3, 5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.
即时训练1-1:已知集合M满足{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5},写出集合M所有的可能情况.
(1)写一个集合的子集时,可按子集中元素的个数多少分类写出,注意要做到不重不漏.
②{a}的子集有2个.③{a,b}的子集有4个.④{a,b,c}的子集有8个.……含有n个元素的集合M有2n个子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-2)个非空真子集.
探究角度2 集合间关系的判断[例2] 写出下列各对集合之间的关系:(1)A={x|-1
(2)当k,n取整数时,A={…,-4,-2,0,2,4,6,…},B={…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,…},故A⫋B.
即时训练2-1:写出下列每对集合之间的关系:(1)A={1,2,3,4,5},B={1,3,5};(2)C={x|x2=1},D={x||x|=1};(3)E={-1,1},F={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};(4)G={等腰三角形},H={等边三角形}.
解:(1)因为B的每个元素都属于A,而4∈A且4∉B,所以B⫋A.(2)因为C和D包含的元素都是1和-1,所以C=D.(3)集合E的代表元素是数,集合F的代表元素是实数对,因此两集合之间无包含关系.(4)由于等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故G⫌H.
判断两个集合间的关系时,首先要明确集合的元素特征,分析集合的元素之间的关系,然后根据以下方法判断:(1)直接法:首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B.若是,则A⊆B,否则A不是B的子集.其次通过判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A来判断它们之间的真子集关系.(2)对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可知道它们之间的关系.(3)对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析;若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.(4)而对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.
[例3] 已知A={1,x,2x},B={1,y,y2},若A⊆B,且A⊇B,求实数x和y的值.
即时训练3-1:设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,求实数x,y的值.
解:因为集合A,B相等,所以x=0或y=0.(1)当x=0时,x2=0,则B={0,0},不满足集合中元素的互异性,故舍去.(2)当y=0时,x=x2,解得x=0或x=1.由(1)知x=0应舍去.综上知,x=1,y=0.
根据集合相等求参数,首先分析一个集合中元素与另一集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不合要求的解.
根据集合间的关系求参数值或取值范围
探究角度1 求参数值[例4] 集合A={x|x2=4,x∈R},集合B={x|kx=4,x∈R},若B⊆A,则实数k= .
对于两个集合是用列举法或描述法(元素个数有限)表示的集合间的关系,常转化为方程(组)求解,注意所求参数要满足集合中元素互异性,若含参数的集合是一个给定集合的子集时,还要注意空集是任何集合子集的特殊情况,如本例中k=0,若忽视,则丢解.
探究角度2 求参数范围[例5] 已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,求实数a的取值范围.
[变式训练5-1] 把集合A换成“A={x|-1
[例2] 已知A={x|x=2n,n∈N},B={x|x=4n,n∈N}.分别列出这两个集合中最小的3个元素,并证明B⫋A.
解:A中最小的3个元素是0,2,4,B中最小的3个元素是0,4,8.证明:对任意x∈B,存在n∈N,使x=4n.因为4n=2×(2n),而2n∈N,所以x∈A.所以B⊆A,又2∈A且2∉B,故B⫋A.
[例3] 若A={x|x2-2mx+m2-m+2=0},B={x|x2-3x+2=0},且A⊆B,求实数m的取值范围.
②当2∈A时,由4-4m+m2-m+2=0可知m2-5m+6=0,解得m=2或m=3,而且m=2时, A={2},满足题意,m=3时,A={2,4},不满足题意.综上可知,m的取值范围是{m|m≤2}.
1.已知全集U=R,则能表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0} 的关系的韦恩图是( )
解析:x2+x=0的解为-1和0,因此集合N是集合M的真子集,故选B.
解析:空集的子集是本身且空集只有一个子集,因此A错误;B正确;由于空集是任何非空集合的真子集,因此C错误;D正确.
3.用“⫋”或“⫌”填空:(1)Z N; (2)Z Q; (3)Q N; (4)R Q.
答案:(1)⫌ (2)⫋ (3)⫌ (4)⫌
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