2022年福建省三明市中考数学二检试卷-（含解析）

2022年福建省三明市中考数学二检试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

2. 下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是

A.  B.
C.  D.

3. 甲、乙、丙、丁四位选手各射击次，每人的平均成绩都是环，方差如下表：则这四个人中成绩最稳定的是

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

4. 正六边形的每个内角为

A.  B.  C.  D.

5. 我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除算法中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积平方步，宽比长少步，问宽和长各几步．设长为步，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

6. 点，在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，为的直径，点、在圆上，若，则等于

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，，，，分别是边，的中点，点在上，且，则的长是

A.
B.
C.
D.

9. 关于的一元二次方程的根的情况是

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 实数根的个数由的值确定

10. 如图，在矩形中，，，点是上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连结从点向点运动过程中，的最小值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 计算： ______ ．
12. 如图，，，若，则的度数为______ ．
    
    
     

13. 小敏同学连续五天的体温单位测量结果如下表所示，这组数据的中位数是______．

14. 如图，，是正方形对角线上的两点，，，则四边形的面积是______．
    
     

15. 若，则的值为______．
16. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象为直线，在下列结论中：
    无论取何值，直线一定经过某个定点；
    过点作，垂足为，则的最大值是；
    若与轴交于点，与轴交于点，为等腰三角形，则；
    对于一次函数，无论取何值，始终有，则或．
    其中正确的是填写所有正确结论的序号 ______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）

17. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
     
18. 已知：如图，在中，点是延长线上一点，，，求证：．

19. 先化简，再从中选一个适合的整数代入求值．
20. 如图，在中，．
    以边上一点为圆心作，使得经过点，且与边相切于点；尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
    在的条件下，若，，求的半径．
     

21. 已知：如图，在▱中，为的中点，于点，于点求证：
    ；
    为的中点．

22. 某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有个红球、个黄球仅颜色不同的袋中摸出个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：

现有两种摸球方案：
方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球；
方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．
求方案一中，两次都摸到红球的概率；
请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利？

23. 经销商用元购进一批某种品牌运动鞋，售完后，又用元再购进一批该种品牌的运动鞋，第二次购进的数量是第一次购进数量的倍，但每双运动鞋进价比第一次上涨了元．
    经销商第二次购进这批运动鞋多少双？
    经销商将第二次购进的运动鞋平均分给甲、乙两家分店销售，每双标价元．甲店按标价卖出双以后，剩余的按标价打八折全部售出；乙店同样按标价卖出双，然后将双按标价打九折售出，再将剩余的按标价打七折全部售出，结果利润与甲店相同．
    写出关于的函数关系式；
    已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．
24. 如图，点，在以为直径的半圆上，，相交于点，点在上，．
    求证：∽；
    若是中点，求的值；
    求证：．

已知抛物线经过原点．
若抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为，当时，求的度数；
若抛物线经过点和，且当时，的最大值与最小值的差为．
求抛物线的表达式；
设直线：与抛物线交于，两点，点在直线上点不与点重合，过点且与轴平行的直线分别交直线和抛物线于点，当为的中点时，求证：．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．
故选：．
利用有理数的加法法则运算即可．
本题主要考查了有理数的加法，正确利用有理数的加法法则运算是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图是一个圆形，不符合题意；
B、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，不符合题意；
C、长方体的主视图、左视图和俯视图都为长方形，但是长方形不一定相同，不符合题意；
D、球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

3.【答案】

【解析】解：由表可知，四个人的方差最小的是丙，
所以这四人中成绩最稳定的是丙，
故选：．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

4.【答案】

【解析】解：正六边形的外角和为，
每个外角的度数为，
六边形的每个外角与内角互补，
每个内角为，
故选：．
利用正六边形的外角和等于度，求出外角的度数即可解决问题．
此题主要考查了多边形内角和与外角和．解题的关键是掌握多边形外角和是．
 

5.【答案】

【解析】解：长为步，宽比长少步，
宽为步．
依题意，得：．
故选：．
由长和宽之间的关系可得出宽为步，根据矩形的面积为平方步，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：反比例函数中，，
此函数图象的两个分支分别位于一、三象限．
，，
点位于第三象限，点位于第一象限，
，，
．
故选：．
先根据反比例函数的解析式判断出其函数的图象所在的象限，进而可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：是的直径，
，
，
．
故选：．
由圆周角定理得出，，由直角三角形的性质求出即可．
此题主要考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：

，
，
．
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算根的判别式，再确定根的判别式与的关系，最后得结论．
本题考查了根的判别式，利用完全平方式的非负性确定根的判别式与的关系是解决本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：过作于，如图：

四边形是矩形，
，
绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
≌，
，，
，
，
设，则，
在中，
，
当时，取最小值，最小值为，
最小值是，
故选：．
过作于，根据四边形是矩形和绕点顺时针旋转得到线段，证明≌，可得，，设，则，有，根据二次函数性质可得答案．
本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，利用二次函数性质解决问题．
 

11.【答案】

【解析】解：．
根据同底数幂相除，底数不变指数相减计算即可．
本题主要考查同底数幂的除法运算性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行线的性质即可得到结论．
此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．
 

13.【答案】

【解析】解：将这天体温从小到大排列后，处在中间位置的一个数是，
因此中位数是，
故答案为：．
根据中位数的意义求解即可．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
本题考查中位数，理解中位数的意义是正确解答的前提．
 

14.【答案】

【解析】解：连接，交于，

四边形是正方形，
，，，，
，
，
，
，，
四边形是菱形，
菱形的面积，
故答案为：．
连接，由正方形性质得到，，进而得到，根据菱形的判定证得四边形是菱形，根据菱形的面积公式两对角线的积的一半即可求得结果．
本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定和面积公式，能够证得四边形是菱形是解决问题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：，
，





，
故的值为，
故答案为：．
先变形出，再把变形为，然后整体代入求值即可．
本题主要考查因式分解的应用，整体代入思想，对已知和所求进行正确变形是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：一次函数，
当时，．
函数图象过定点．
正确．
，垂足为，
当点与点重合时，最大．
此时．
正确．
在中，当时，，
当时，，
，．
，是等腰三角形，
．
或，
或，
错误．
一次函数的图象过定点，
一次函数过定点，
无论取何值，始终有
当时，若，两直线平行时，始终有．
符合题意．
当时，
设经过点，的直线为，
，
解得：，，
．
如图：


一次函数的图象过定点，
当，若时，直线，不论取何值，始终有，
符合题意．
或．
正确．
故答案为：．
根据一次函数的图象和性质分别判断．
本题考查一次函数综合问题，充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．
 

17.【答案】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
将解集表示在数轴上如下：
．

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】证得，可证明≌，则结论得证．
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
 

19.【答案】解：


，
要使分式有意义，可选取，
当时，原式．

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件选择一个整数代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图，为所作；

在中，，，
，
，
为的切线，
与相切于，
，
，
设的半径为，则，，
在中，，
解得，
即的半径为．

【解析】作的平分线交于点，则根据角平分线的性质得到点到的距离等于，然后根据切线的判定方法可判断与边相切；
先利用勾股定理得到，再根据切线长定理得到，所以，设的半径为，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质、切线的判定与性质．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
，
；
证明：延长交于，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
即为的中点．

【解析】根据平行四边形的性质和平行线的判定和性质解答即可；
延长交于，根据平行四边形的判定和性质解答即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和平行线的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中两次都摸到红球的有种结果，
两次都摸到红球的概率为；

由知，方案一的摸球方案的平均收益为元，
方案二摸球方式的所有结果列表如下：

由表知，共有种等可能结果，
方案二的摸球方案的平均收益为元，
则方案二的摸球方式更有利．

【解析】列表得出所有等可能结果，从中找到两次都摸到红球的结果数，再根据概率公式求解即可；
用摸到红球的概率乘以对应收益分别计算出两种方案的平均收益，从而得出答案．
此题主要考查了列表法与树状图法求概率，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：设第一次购进运动鞋的单价为元，则第二次购进运动鞋的单价为元，根据题意，得：
，
解得，
经检验，是原方程的解且满足题意，
双，
答：经销商第二次购进这批运动鞋双；
第二次购进的运动鞋的进价为：元，
由题意得：，
化简，得；
设乙店的利润为元，
则



，
，
，
解得，
，
随的增大而增大，
当时，最大，最大值为，
答：乙店利润的最大值为元．

【解析】设第一次购进运动鞋的单价为元，则第二次购进运动鞋的单价为元，由题意列出分式方程，解方程即可；
根据甲乙两店的利润相同，可以得到关于、的等式，然后化简即可；
设乙店的利润为元，根据乙店的销售情况列出函数解析式，再根据乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量和的关系式求出的取值范围，根据函数的性质求最值即可．
本题考查了分式方程的应用以及列代数式和一次函数的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．
 

24.【答案】证明：是直径，
，
，
，
，
，
∽；

解：，
可以假设，，则，
，，
，
，
，
是直径，
，
，
，
设，
，
，
解得或舍去，
，，
，
；

证明：由可知∽，
，
设，，，则，，，，
，，
．

【解析】根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
设，，则，证明，求出，可得结论；
由可知∽，推出，设，，，则，，，，可得，，已解决可解决问题．
本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：由题意得，
，
，
，
解：和是对称点，
对称轴为：，
又图象经过原点，
抛物线的表达式为：，
，
最大值为，
，
当时，，
当时，的最大值与最小值的差为，
，
，
抛物线的表达式为：；
证明：先证明：在坐标系中，直线与直线，当，则，
如图，

将和平移到和，
取，，
，，，，
，，
∽，
，
，
，
，
上述命题得证，
如图，

设，
，
把，代入得，
，
，
，
由得，
，
，，
，
，



，
，
，
，
．

【解析】推出抛物线的表达式为：，进一步得出结果；
推出抛物线的表达式为：，推出函数最大值是，最小值是当时的的值，进一步求得结果；
设，表示出，进而得出直线的表达式为：，得出一元二次方程后，根据根与系数关系式得出，，，，计算得出，进一步得出结论．
本题考查了二次函数及其图象性质，一次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数关系等知识，解决问题的关键较强的计算能力．