2023年福建省三明市中考数学一检试卷（含解析）

2023年福建省三明市中考数学一检试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，则下列比例式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的钢块零件的主视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  反比例函数的图象如图所示，则的值可以是下列中的(    )

A.
B.
C.
D.

4.  关于的一元二次方程的两根为，，那么下列结论一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  设方程的两实数根为，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，，：：，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知抛物线过，，三点，则，，大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，有一面积为的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙墙长，另三边用竹篱笆围成，其中一边开有的门，竹篱笆的总长为设鸡场垂直于墙的一边为，则列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，∽，：：，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知抛物线为常数经过不同的两点，，那么该抛物线的顶点坐标不可能是下列中的(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

11.  如图，中，，，是的中点，则的长为        ．

12.  若是关于的方程的一个根，则 ______ ．

13.  将抛物线向左平移个单位长度得到的抛物线表达式是        ．

14.  如图，正方形的边长为，是边上的动点不与，重合，与关于直线对称，把绕点顺时针旋转得到，连结，现有以下结论：
；
的最小值为；
当时，；
当为中点时，所在直线垂直平分；
其中一定正确的是        写出所有正确结论的序号

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

15.  解方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
如图，菱形中，点，分别在边，上，，求证：．

17.  本小题分
下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，的面积为．
求值；
当时，求函数值的取值范围．

19.  本小题分
如图，矩形中，，．
利用尺规在边上求作点，使得不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，连结，过点作，垂足为，求的长．

20.  本小题分
某商场举办“乐享国庆”购物活动时，为了疫情防控，只开通，，三个入口，参加人员领取入场券后，由电脑随机安排其由某个入口进场．
小明领取入场券后，从入口进场的概率是多少？
某品牌手机商家开展了“头手机砸金蛋”活动，购买该品牌手机的顾客都有一次砸金蛋机会小明和小亮同时购买了该品牌手机，商家提供了个金蛋，只有个是一等奖，其余都是二等奖商家让小明执锤先砸，小亮认为商家这种做法对他不公平请从两人获得一等奖概率的角度说明小亮的质疑是否合理．

21.  本小题分
某商场将进货价为元的台灯以元售出，月销售个，，月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，月的销售量达到个，设，两个月的销售量月平均增长率不变．
求，两个月的销售量月平均增长率；
从月起，在月销售量的基础上，商场决定降价促销经调查发现，售价在元至元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加个这种台灯售价定为多少时，商场月销售这种台灯获利元？

22.  本小题分
如图，在正方形中，点，分别在，边上，，，垂足为，过点作，交于点．

求证：；
求的值用含的代数式表示；
如图，当时，连接并延长，交于点，求证：．

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的坐标为，点在抛物线上．

求抛物线的表达式；
如图，点在轴上，且点在点的下方，若，求点的坐标；
如图，为线段上的动点，射线与线段交于点，与抛物线交于点，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
：：，
，
故选：．
根据两内项之积等于两外项之积即可得出正确选项．
本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积，熟记比例的性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看是一个“凹”字形，
故选：．
根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：由图象可知，反比例函数的图象经过第二、四象限，
，
，
D正确．
故选：．
根据反比例函图象经过第二、四象限，此时，即可得出答案．
本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握知反比例函数图象所在的象限与的关系是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不同的实数根，
．
故选：．
根据一元二次方程有两个不同的实数根，可知．
本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握：有两个不同的实数根时，．
 

5.【答案】 

【解析】解：方程的两实数根为，，
．
故选：．
直接利用根与系数的关系即可得到答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
：：，，
，
，
．
故选：．
根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式解答即可．
本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理并灵活运用．
 

7.【答案】 

【解析】解：函数的对称轴为轴，开口向上，
距离对称轴越远函数值越大．
，，到轴的距离依次为：，，，
．
故选：．
根据函数图象开口向上，距离对称轴越远函数值越大即可比较．
本题主要考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握：当二次函数的图象开口向上时，距离对称轴越远函数值越大；开口向下时，距离对称轴越远函数值越小．
 

8.【答案】 

【解析】解：竹篱笆的总长为，鸡场垂直于墙的一边为，
鸡场平行于墙的一边为．
根据题意得：．
故选：．
根据各边之间的关系，可得出鸡场平行于墙的一边为，根据长方形鸡场的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：：：，
：：，
∽，
，
或不符合题意，舍去
，
．
故选：．
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
抛物线经过不同两点的纵坐标为相同，
抛物线的对称轴为，
，
而抛物线的顶点纵坐标为：，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，故A选项不符合题意，
当时，，，故B选项符合题意，
当时，，故C选项不符合题意，
当时，，故D选项不符合题意，
故选：．
先求出抛物线的对称轴为直线，再根据抛物线经过不同两点的纵坐标为相同，得，求出抛物线的顶点坐标为，再把、、、选项代入计算，即可得答案．
本题考查了二次函数，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标为．
 

11.【答案】 

【解析】解：中，
，，是的中点，
．
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出的长．
本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：依题意，得，
解得．
故答案是：．
把代入已知方程列出关于的新方程，通过解新方程可以求得的值．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
 

13.【答案】 

【解析】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为．
故答案是：．
直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式．
本题考查二次函数图像的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式．理解和掌握函数图像平移的规律是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

与关于所在的直线对称，
，，
按顺时针方向绕点旋转得到，
，，
，
，
，
故错误；
当时，有最小值，此时，
，
，
、、三点共线，
即有最小值时，点在对角线上，
，
，
，
，
，
，
，
故正确；
在和中，
，
≌，
，
四边形是正方形，
．
，
，
在中，，
，
故正确；
当为中点时，，
，
又，
，
点不在的垂直平分线上，
所在直线不会垂直平分，
故错误；
故答案为：．
如图，连接，根据轴对称的性质得到，，根据旋转的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据正方形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
 

15.【答案】解：这里，，，
，
，
则，． 

【解析】本题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属于基础题．找出，，的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解．
 

16.【答案】证明：解法一：
四边形是菱形，

，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
．
解法二：
连接，
四边形是菱形，

，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】解法一：由菱形的性质和已知可得，，再证明≌即可；
解法二：连接，由菱形的性质可得，根据等边对等角得出，再证明≌即可．
本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边对等角，运用了一题多解的思路．灵活运用菱形的性质和三角形全等的判定是解题的关键．
 

17.【答案】解：由已知有，，

，
又，
∽，
．
，，，
，
解得．
即河流的宽度为． 

【解析】先根据平行线的判定得到，再由平行的性质，易得，利用相似三角形对应边成比例，即可求解．
本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：解法一：
点在双曲线上，轴，，
，
．
又，
．
解法二：
设点的坐标为，
轴，
，，
，
．
．
．
双曲线的表达式为．
当时，．
由图象可知，当时，． 

【解析】解法一：直接利用的几何意义求解即可；解法二：设点的坐标为，再利用三角形的面积公式列方程求解即可；
先求解时的函数值，再利用函数的图象可得答案．
本题考查的是反比例函数的几何意义，反比例函数的性质，灵活运用的几何意义求解反比例函数的解析式是解本题的关键．
 

19.【答案】解：如图，

点为所求作的点；
由作图知，，
在矩形中有，，
，
又，
，
，
≌，
，
． 

【解析】利用基本作图，作即可；
先利用矩形的性质得到，，则，然后证明≌得到，据此即可求解．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是此类问题的关键．也考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质．
 

20.【答案】解：小明领取入场券后，从号入口进场的概率是；
小亮的质疑不合理，理由如下：
解法一：
设一等奖为，二等奖为，可画树状图如下：

对于小亮共有种等可能的结果，小亮获得一等奖的结果有种，
小明获得一等奖，小亮明获得一等奖，
小明获得一等奖小亮获得一等奖，
小亮的质疑不合理．
解法二：
设一等奖为，二等奖为，可列表如下：

共有种等可能的结果，其中小明获得一等奖的结果有种，小亮获得一等奖的结果有种，
小明获得一等奖，小亮获得一等奖，
小明获得一等奖小亮获得一等奖，
小亮的质疑不合理． 

【解析】共有种情况，从号入口进场只占三分之一；
列出树状图或表格，分别求出两个人获得一等奖的概率，根据是否相等判断合理与否．
本题考查概率的求法，列出树状图或表格是解题的关键．
 

21.【答案】解：设，两个月的销售量月平均增长率为，
依题意，得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：，两个月的销售量月平均增长率为．
解法一：设这种台灯每个降价元时，商场四月份销售这种台灯获利元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得，不符合题意，舍去，
当时，．
答：该种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利元．
解法二：设这种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利元，
依题意，得：，
整理，得，
解得，不符合题意，舍去．
答：该种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利元． 

【解析】设，两个月这种台灯销售量的月均增长率为，利用三月份的销售量一月份的销售量月均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
解法一：设每台降价元，则每台的销售利润为元，四月份可售出台，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
解法二：设每台售价定为元，则每台的销售利润为元，四月份可售出台，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．本题运用了一题多解的思路．
 

22.【答案】证明：，
，
．
在正方形中，，，
，
，
≌，
；
解：延长交于点，

在正方形中，，，
又，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
，
，
；
证明：

，，
，
设正方形的边长为，则，
在中，由勾股定理得，
在正方形中，，
，
，
，
，
，
，，
，∽，
，
，
，
，
在正方形中，，
，，
∽，
，
，
，
，
． 

【解析】根据正方形的性质得到全等，再依据全等三角形的判定可以得到线段相等；
先根据正方形得到平行，再利用平行线分线段成比例得到结论；
根据正方形的性质即可求得相似三角形，再根据相似比可以得到线段的关系．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线分线段成比例，掌握常用辅助线的作法是解题的关键．
 

23.【答案】解：点，在抛物线上，
，
解得：，
抛物线的表达式为．
解法一：
如图，过点作交的延长线于点，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，
，，
又，
为等腰直角三角形，，
设点坐标为，
点坐标为，
，，
，，
又
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
为抛物线与轴交点，
当时，，
，
又点坐标为，
设直线的表达式为，
，
解得：，
直线的表达式为，
把代入，
得：，
解得：，
点的坐标为．
解法二：
把绕点逆时针旋转得到线段，连接，

为等腰直角三角形，，，
与轴的交点即为点，
作轴于，作轴于，
，
，
，
，
．
在和中，
，
≌，
，，
为抛物线与轴交点，
，
点坐标为，
，，
，，
，
坐标为，
设直线的表达式为，
，
解得：，，
直线的表达式为，
当时，，
点的坐标为．
解法三：
过作于点，过点作于，

，
为抛物线与轴交点，
，
点坐标为，
，
，，
，
，
又，
∽，
，
，
．
，，
，
，
，
，，
，
，
点的坐标为．
解法一：
过点作轴，交直线于点，则，

又，
∽，
，
由点坐标为，点坐标为，
可求得直线的表达式为，
当时，，
直线与轴的交点坐标为，
，
设，
的坐标为，其中，
，
，
，，
时，取最大值，最大值为．
解法二：
过点作轴，交直线于点，则，

又，
∽，
，
由点坐标为，点坐标为，
可求得直线的表达式为，
设点坐标为，
点坐标为，其中，
，
，
，，
时，取最大值，最大值为． 

【解析】利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
解法一：如图，过点作交的延长线于点，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，设点坐标为，先证明≌，可得出，再求出直线的表达式为，最后把代入求解即可；
解法二：把绕点逆时针旋转得到线段，连接，先证明≌，再求出直线的表达式为，即可求解；
解法三：过作于点，过点作于，利用勾股定理求出，然后证明∽，再利用勾股定理求出，即可求解；
解法一：过点作轴，交直线于点，则，由∽得到，利用待定系数求得直线的表达式为，设，得到的坐标，其中，可得出，所以，再根据二次函数的性质即可求解；
解法二：过点作轴，交直线于点，则，由∽得出，利用待定系数法求得直线的表达式为，设点坐标为，得出点坐标为，其中，可得出，再根据二次函数的性质即可求解．
本题考查函数的综合应用，解题的关键是掌握函数的相关应用和性质．