第16讲 导数的应用（含参数单调性讨论问题）-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习特训特练（基础版，全国通用版）

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第16讲 导数的应用（含参数单调性讨论问题）1．（2021·临海市西湖双语实验学校）设函数其中．（1）当时，求曲线在点处的切线斜率；（2）求函数的单调区间．【答案】（1）1；（2）答案见解析.【详解】（1）由题设，，则，∴，故点处的切线斜率为1.（2）由题设，，又，∴，且，当时，，单调递增；当时，或，单调递减；∴在上递增，在、上递减.2．（2021·天津市实验中学滨海学校）已知函数，其中，（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式（2）讨论函数的单调性【答案】（1）函数的解析式为；（2）在，上是增函数，在，上是减函数.【详解】（1），由导数的几何意义得，于是，由切点在直线上得，解得，所以函数的解析式为（2）当时，显然，这时在上是增函数当时，，解得所以在，上是增函数，在，上是减函数.3．（2021·安徽镜湖·芜湖一中高三月考（理））已知函数.（1）若函数在处取到极值，求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性.【答案】（1）；（2）在和上单调递增，在上单调递减.【详解】（1）依题意，，，解得，经检验，符合题意；故，，故，，故所求切线方程为，即；（2）依题意，，若，即时，，在上单调递增；若，即时，令令，故当时，，当时，，当时，，故函数在和上单调递增，在上单调递减.4．（2021·全国高二课时练习）已知函数.讨论的单调性.【答案】答案见解析.【详解】由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，，设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.①当Δ＜0即0＜a＜2时，对一切x＞0都有＞0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数.②当Δ＝0即a＝2时，仅对x＝，有＝0，对其余的x＞0都有＞0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数.③当Δ＞0即a＞2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，0＜x1＜x2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)增极大值减极小值增此时f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.5．（2021·全国高二专题练习）已知函数(且)，讨论函数的单调性．【答案】答案见解析【详解】函数的定义域为(0,＋∞)，且.①当时，，即在(0,＋∞)上单调递增．②当时，令，解得x＝ (负值舍去)，当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增．综上，当时，在(0,＋∞)上递增；当时，在上递减，在上递增．6．（2021·富宁县第一中学高二月考（文））已知函数.（1）若，求在定义域上的极值；（2）若，求的单调区间.【答案】（1）极大值，极小值；（2）见解析.【详解】解：（1）时，，定义域为则.当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.当时，有极大值，当时，有极小值；（2），方程的判别式.，，当时，即时，，因此，此时，在上单调递增，即只有增区间.当时，即时，方程有两个不等根.设，，则.当变化时，，的变化如下：+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增.，.而，，由可得，，，.，由可得，.因此，当时，的增区间为，减区间为.7．（2021·重庆市綦江中学高二月考）已知函数.（1）若在处取得极小值，求的值；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）答案见解析.【详解】（1）由题设，，且，∴，可得.经检验是的极小值点，所以（2）且，当时，，在上单调递减；当时，若，有，即在上递减；若，有，即在上递增；8．（2021·全国）已知函数（）.讨论的单调性.【答案】答案见解析.【详解】的定义域为，，当，时，，则在上单调递增；当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增；当，时，，则在上单调递减；当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减.综上，当，时， 在上单调递增；当，时， 在上单调递减，在上单调递增；当，时，在上单调递减；当，时， 在上单调递增，在上单调递减.9．（2021·全国高二课时练习）设函数，讨论函数的单调性.【答案】答案见解析.【详解】当时，，∴在上单调递减；当时，令，则，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增；综上，当时，单调递减区间是，无单调递增区间；当时，单调递减区间是，单调递增是.