江苏省2022中考数学冲刺复习-23填空题提升必刷60题②

这是一份江苏省2022中考数学冲刺复习-23填空题提升必刷60题②，共32页。
23填空题提升必刷60题②

一十四．平行四边形的性质（共1小题）
21．（2022•无锡模拟）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，点M、N在对角线BD上，且BM＝DN．
求证：
（1）△ABM≌△CDN；
（2）AM∥CN．

一十五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
22．（2022•玄武区一模）在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点，连接EM，FN．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，则四边形ABCD的面积为 　 　．

一十六．菱形的判定（共3小题）
23．（2022•秦淮区一模）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．
（1）若AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换（1）中的“AD∥BC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是 　 　（填写满足要求的所有条件的序号）．

24．（2022•连云港一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE．当BD与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？请说明理由．

25．（2022•南京一模）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．
（1）证明：四边形EHFG是平行四边形；
（2）当▱ABCD具备怎样的条件时，四边形EHFG是菱形？请直接写出条件，无需说明理由．

一十七．菱形的判定与性质（共1小题）
26．（2022•常州一模）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB∥CD，点E是AB的中点，连接EC，过点E作EF⊥AD，垂足为F，已知AD∥EC．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝25，BC＝15，求线段EF的长．

一十八．矩形的性质（共1小题）
27．（2022•东海县一模）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且使得，连接OE，CE．
（1）求证：AD＝OE；
（2）判断四边形ODEC的形状，并说明理由．

一十九．矩形的判定（共1小题）
28．（2022•秦淮区校级模拟）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，CF∥AB，CF与DE的延长线相交于点F，连接AF、CD．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？为什么？

二十．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
29．（2022•玄武区一模）如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点．
（1）求证AB＝AC；
（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．

二十一．直线与圆的位置关系（共1小题）
30．（2022•邗江区一模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN经过点C，过点B作BD⊥MN于点D，∠ABC＝∠CBD．
（1）试判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BC＝10，CD＝2，求⊙O的半径．

二十二．切线的判定与性质（共2小题）
31．（2022•秦淮区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，直线l过点C，AD⊥l，交⊙O于点F，垂足为D，BE⊥l，垂足为E，且＝．
（1）求证：l与⊙O相切；
（2）当AD＝4cm，BE＝1.5cm时，⊙O的半径为 　 　cm．

32．（2022•海陵区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：
①∠A＝30°；
②CD是⊙O的切线；
③OB＝BD．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 　 　，结论是 　 　（只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若CD＝3，求的长度．

二十三．作图—复杂作图（共3小题）
33．（2022•秦淮区一模）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．

（1）△ABC的底边长为a，底边上的高为h；
（2）△ABC的腰长为a，腰上的高为h．
34．（2022•邳州市一模）如图，在▱ABCD中，AB＜BC．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BAD的平分线交BC于点E，在DA上截取DF，使DF＝CE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，连接EF，证明四边形ABEF是菱形．

35．（2022•无锡一模）如图，已知Rt△ABC（∠C＝90°）．
（1）请利用没有刻度的直尺和圆规作出一个圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC所在直线相切．（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）
（2）在上题中，若已知AC＝5，BC＝12，求出所作⊙O的半径．

二十四．作图—应用与设计作图（共1小题）
36．（2022•秦淮区一模）图①是2022年北京冬季奥运会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台的比赛场馆，别名“雪飞天”．我们画出一个与它类似的示意图②，其中出发区EF、起跳区CD都与地面AB平行．助滑坡DE与着陆坡AC的长度之和为80m．已知EF到AB的距离是CD到AB的距离的3倍，∠A＝30°，M为CD延长线上一点，∠EDM＝37°．求EF到AB的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）

二十五．旋转的性质（共1小题）
37．（2022•高邮市模拟）如图，点P是正方形ABCD内部的一点，∠APB＝90°，将Rt△APB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ADQ，QD、BP的延长线相交于点E．
（1）判断四边形APEQ的形状，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为10，DE＝2，求BE的长．

二十六．作图-旋转变换（共1小题）
38．（2022•无锡模拟）如图，已知线段OA在平面直角坐标系中，O是原点．
（1）将OA绕点O顺时针旋转60°得到OA'，过点A作A'B⊥x轴，垂足为B．请在图中用不含刻度的直尺和圆规分别作出OA′、A′B．
（2）若A（﹣2，6），则△OA'B的面积是 　 　．

二十七．几何变换综合题（共1小题）
39．（2022•邗江区一模）【操作发现】如图1，△ABC和△ADE是等边三角形，连接BD，CE交于点F．
①的值为 　 　；
②∠BFC的度数为 　 　°；
【类比探究】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，连接CE交BD的延长线于点F．计算的值及∠BFC的度数；
【实际应用】在（2）的条件下，将△ADE绕点A在平面内旋转，CE，BD所在直线交于点F，若AE＝1，AC＝，请直接写出当点D与点F重合时BD的长．


二十八．相似三角形的判定与性质（共2小题）
40．（2022•秦淮区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，过B、C、E三点的⊙O与CD相交于点F，连接AE、BF．
（1）求证：△ADE∽△BDF；
（2）当BE＝AB时，求证：直线AE是⊙O的切线．

41．（2022•邗江区一模）如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，AF＝CE．
（1）试判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）若BE⊥AC，BF＝10，BE＝6，求线段CF的长．





【参考答案】
一十四．平行四边形的性质（共1小题）
21．（2022•无锡模拟）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，点M、N在对角线BD上，且BM＝DN．
求证：
（1）△ABM≌△CDN；
（2）AM∥CN．

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴∠ABM＝∠CDN，
在△ABM与△CDN中，
，
∴△ABM≌△CDN（SAS）；
（2）证明：∵△ABM≌△CDN，
∴∠AMB＝∠CND，
∴AM∥CN．
一十五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
22．（2022•玄武区一模）在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点，连接EM，FN．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，则四边形ABCD的面积为 　96　．

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC．
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝DC，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF
∴四边形BFDE是平行四边形；
（2）解：连接EF，
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴DE＝BF，
∵M，N分别是BF，DE的中点，
∴EN＝DN＝BM＝FM＝BF，
∵EM＝EN＝5，
∴EM＝BF，
∴∠BEF＝90°，BF＝2EM＝10，
∵AB＝12，
∴BE＝6，
∴EF＝＝8，
∴四边形ABCD的面积为AB•EF＝12×8＝96，
故答案为：96．

一十六．菱形的判定（共3小题）
23．（2022•秦淮区一模）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．
（1）若AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换（1）中的“AD∥BC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是 　①②　（填写满足要求的所有条件的序号）．

【解析】（1）证明：∵△ABE≌△ADF，
∴∠B＝∠D，AB＝AD．
∵AD∥BC，
∴∠C+∠D＝180°．
∴∠C+∠B＝180°．
∴AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵△ABE≌△ADF，
∴∠B＝∠D，AB＝AD．
∵①∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
∵△ABE≌△ADF，
∴∠B＝∠D，AB＝AD．
∵②AB＝CD，
∴AD＝CD，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：①②．
24．（2022•连云港一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE．当BD与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？请说明理由．

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）解：当AC⊥BD时，四边形AFCE是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴AC⊥BD，
∵△ADE≌△CBF，
∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴▱AFCE是菱形．
25．（2022•南京一模）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．
（1）证明：四边形EHFG是平行四边形；
（2）当▱ABCD具备怎样的条件时，四边形EHFG是菱形？请直接写出条件，无需说明理由．

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
同理：DE∥BF，
∴四边形EHFG是平行四边形；
（2）解：当▱ABCD是矩形时，四边形EHFG是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EE＝AB，CF＝CD，
∴BE＝CF，
在△EBC与△FCB中，
，
∴△EBC≌△FCB（SAS），
∴CE＝BF，∠ECB＝∠FBC，
∴BH＝CH，
∴CE﹣CH＝BF＝BH，
即EH＝FH，
∴平行四边形EHFG是菱形．
一十七．菱形的判定与性质（共1小题）
26．（2022•常州一模）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB∥CD，点E是AB的中点，连接EC，过点E作EF⊥AD，垂足为F，已知AD∥EC．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝25，BC＝15，求线段EF的长．

【解析】（1）证明：AB∥CD，AD∥EC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，点E是AB的中点，
∴CE＝AB＝AE，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：∵∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15，
∴AC＝＝＝20，
∵点E是AB的中点，
∴S△ABC＝2S△ACE，
由（1）得：AE＝AB＝，四边形AECD是菱形，
∴AD＝AE＝，
∴S菱形AECD＝2S△ACE，
∴S菱形AECD＝S△ABC，
∵EF⊥AD，
∴AD•EF＝BC•AC，
即EF＝×15×20，
解得：EF＝12，
即线段EF的长为12．
一十八．矩形的性质（共1小题）
27．（2022•东海县一模）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且使得，连接OE，CE．
（1）求证：AD＝OE；
（2）判断四边形ODEC的形状，并说明理由．

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，，OA＝OB＝OC＝OD．
∵DE∥AC，DE＝AC，
∴DE∥AO，DE＝AO．
∴四边形ADEO是平行四边形．
∴AD＝OE；
（2）解：四边形ODEC是菱形．
理由如下：
∵DE∥AO，DE＝AO．
∴DE∥OC，DE＝OC．
∴四边形ODEC是平行四边形．
∵OC＝OD，
∴四边形ODEC是菱形．
一十九．矩形的判定（共1小题）
28．（2022•秦淮区校级模拟）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，CF∥AB，CF与DE的延长线相交于点F，连接AF、CD．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？为什么？

【解析】（1）证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵CF∥AB，
∴∠DAE＝∠FCE，
∵∠AED＝∠CEF，
∴△AED≌△CEF（ASA），
∴AD＝CF，
∵AD∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形；

（2）当AC＝BC时，平行四边形ADCF是矩形．
理由：在△ABC中，D、E分别是AB，AC边上的中点，
∴AE＝EC，
∵EF＝DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC＝BC，AC＝DF，
∴DC⊥AB，
∴平行四边形ADCF是矩形．
二十．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
29．（2022•玄武区一模）如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点．
（1）求证AB＝AC；
（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．

【解析】（1）证明：连接AD，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠EDA＝90°，
∵D是的中点，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）解：连接DF，DG．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AB＝10，BC＝12，
∴AC＝10，CD＝6，
由勾股定理得：AD＝＝8，
∵DF∥AC，
∴＝，
∴BF＝FA，
在Rt△ADB中，AB＝10，BF＝FA，
∴DG＝DF＝AB＝5，
∴DG＝DF＝5，
∵∠C＝∠C，∠CDG＝∠CAE，
∴△AEC∽△DGC，
∴＝，即＝，
解得：AE＝，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AE＝，AD＝8，
∴DE＝＝，
∴EC＝CD﹣DE＝．

二十一．直线与圆的位置关系（共1小题）
30．（2022•邗江区一模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN经过点C，过点B作BD⊥MN于点D，∠ABC＝∠CBD．
（1）试判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BC＝10，CD＝2，求⊙O的半径．

【解析】解：（1）直线MN与⊙O相切，
理由：连接OC，如图所示
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠ABC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥BD，
∵BD⊥MN，
∴OC⊥MN，
∵OC为半径，
∴MN是⊙O的切线；
（2）连接AC，
在Rt△BCD中，BC＝10，CD＝2，
∴BD＝＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴＝，即＝，
∴AB＝5，
∴⊙O的半径是．

二十二．切线的判定与性质（共2小题）
31．（2022•秦淮区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，直线l过点C，AD⊥l，交⊙O于点F，垂足为D，BE⊥l，垂足为E，且＝．
（1）求证：l与⊙O相切；
（2）当AD＝4cm，BE＝1.5cm时，⊙O的半径为 　　cm．

【解析】（1）证明：
连接OC．BF，
∵＝，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，即AF⊥BF，
∵AD⊥l，
∴BF∥DE，
∴OC⊥DE，
∵OC是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线，
即直线l是⊙O的切线；
（2）∵OC⊥DE，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴OC∥AD∥BE，
∵OA＝OB，
∴DC＝EC，
∴OC是梯形ABED的中位线，
∴OC＝（AD+BE）
＝（4+1.5）
＝，
故答案为：．

32．（2022•海陵区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：
①∠A＝30°；
②CD是⊙O的切线；
③OB＝BD．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 　①②　，结论是 　③　（只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若CD＝3，求的长度．

【解析】解：（1）选择的条件是①②，结论是③，
理由：连接OC，
∵∠A＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵CD是⊙O的切线；
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝30°，
∴OC＝OD，
∵OB＝OC＝OD，
∴OB＝BD，
故答案为：①②，③；
（2）在Rt△OCD中，
∵CD＝3，∠COD＝60°，
∴OC＝CD＝3，
∴的长度为＝π．

二十三．作图—复杂作图（共3小题）
33．（2022•秦淮区一模）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．

（1）△ABC的底边长为a，底边上的高为h；
（2）△ABC的腰长为a，腰上的高为h．
【解析】解：（1）如图1中，△ABC（AB＝AC）为所求．

（2）如图2中，△ABC（AB＝AC）为所求．
34．（2022•邳州市一模）如图，在▱ABCD中，AB＜BC．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BAD的平分线交BC于点E，在DA上截取DF，使DF＝CE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，连接EF，证明四边形ABEF是菱形．

【解析】（1）解：如图．射线AE，线段DF即为所求；

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠ABD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵BC＝AD，CE＝DF，
∴BE＝AF，
∵BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵BA＝BE，
∴四边形ABEF是菱形．
35．（2022•无锡一模）如图，已知Rt△ABC（∠C＝90°）．
（1）请利用没有刻度的直尺和圆规作出一个圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC所在直线相切．（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）
（2）在上题中，若已知AC＝5，BC＝12，求出所作⊙O的半径．

【解析】解：（1）如图，⊙O即为所作；

（2）过O点作OD⊥AB于D，如图，设⊙O的半径为r，
∴BA为⊙O的切线，
∴OC＝OD＝r，
∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13．
∵∠ACB＝∠ODA＝90°，∠A＝∠A，
∴△AOD∽△ABC，
∴，即，
解得．
即⊙O的半径为．
二十四．作图—应用与设计作图（共1小题）
36．（2022•秦淮区一模）图①是2022年北京冬季奥运会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台的比赛场馆，别名“雪飞天”．我们画出一个与它类似的示意图②，其中出发区EF、起跳区CD都与地面AB平行．助滑坡DE与着陆坡AC的长度之和为80m．已知EF到AB的距离是CD到AB的距离的3倍，∠A＝30°，M为CD延长线上一点，∠EDM＝37°．求EF到AB的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）

【解析】解：如图，作CP⊥AB，垂足为P，作EQ⊥AB，垂足为Q，并交CD延长线于点N．

根据题意，得四边形CPQN是矩形．
∴CP＝NQ．
设CP的长为x m，则NQ＝x m，EN＝3x﹣x＝2x（m），
在Rt△ACP中，∠A＝30°，
∵sin30°＝，
∴AC＝＝＝2x，
在Rt△DEN中，∠EDN＝37°，
∵sin37°＝，
∴DE＝＝≈x，
∵AC+DE＝80，∴2x+x＝80，
解得x＝15，
3x＝45．
所以EF到AB的距离为45m ．

二十五．旋转的性质（共1小题）
37．（2022•高邮市模拟）如图，点P是正方形ABCD内部的一点，∠APB＝90°，将Rt△APB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ADQ，QD、BP的延长线相交于点E．
（1）判断四边形APEQ的形状，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为10，DE＝2，求BE的长．

【解析】解：（1）四边形APEQ是正方形，理由如下：
∵将Rt△APB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ADQ，
∴AP＝AQ，∠PAQ＝90°，∠Q＝∠APB＝90°，PB＝QD，
∴四边形APEQ是矩形，
又∵AP＝QA，
∴四边形APEQ是正方形；
（2）∵四边形APEQ是正方形，
∴QE＝AQ，
∵AD2＝QD2+AQ2，
∴100＝（AQ﹣2）2+AQ2，
∴AQ＝8，（负值舍去），
∴PE＝8，QD＝6＝BP，
∴BE＝8+6＝14．
二十六．作图-旋转变换（共1小题）
38．（2022•无锡模拟）如图，已知线段OA在平面直角坐标系中，O是原点．
（1）将OA绕点O顺时针旋转60°得到OA'，过点A作A'B⊥x轴，垂足为B．请在图中用不含刻度的直尺和圆规分别作出OA′、A′B．
（2）若A（﹣2，6），则△OA'B的面积是 　4+3　．

【解析】解：（1）如图，线段OA′，直线A′B即为所求；


（2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点O作OG⊥OA交AA′的延长线于点G．过点G作GN⊥x轴于点N．
∵A（﹣2，6），
∴OM＝2，AM＝6，
∵∠AMO＝∠AOG＝∠ONG＝90°，
∴∠AOM+∠GON＝90°，∠GON+∠OGN＝90°，
∴∠AOM＝∠OGN，
∴△AMO∽△ONG，
∴＝＝＝，
∴ON＝6，GN＝2，
∴G（6，2），
∵∠A′OG＝∠A′GO＝30°，
∴A′O＝A′G＝A′A，
∴A（3﹣1，3+），
∴S△A′OB＝×（3﹣1）×（3+）＝4+3．
故答案为：4+3．
二十七．几何变换综合题（共1小题）
39．（2022•邗江区一模）【操作发现】如图1，△ABC和△ADE是等边三角形，连接BD，CE交于点F．
①的值为 　1　；
②∠BFC的度数为 　60　°；
【类比探究】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，连接CE交BD的延长线于点F．计算的值及∠BFC的度数；
【实际应用】在（2）的条件下，将△ADE绕点A在平面内旋转，CE，BD所在直线交于点F，若AE＝1，AC＝，请直接写出当点D与点F重合时BD的长．


【解析】解：【操作发现】∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，

∵∠AOE＝∠BOC，
∴∠CFB＝∠BAC＝60°，
∴，∠BFC＝60°，
故答案为：①1；②60；
【类比探究】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠BAC＝45°，，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC，
∴∠DBA＝∠ACE，，
∵∠BOF＝∠AOC，

∴∠BFC＝∠BAC＝45°，
∴的值为，∠BFC的度数为45°；
【实际应用】如图，当点D与F重合时，∠AEC＝∠AED＝90°，

∴CE＝＝2，
由【类比探究】知BD＝CE＝2；
如图，当点D与F重合时，CE＝2，
同理可得BD＝CE＝2．

综上：BD＝2．
二十八．相似三角形的判定与性质（共2小题）
40．（2022•秦淮区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，过B、C、E三点的⊙O与CD相交于点F，连接AE、BF．
（1）求证：△ADE∽△BDF；
（2）当BE＝AB时，求证：直线AE是⊙O的切线．

【解析】证明：（1）连接CE，

∵四边形ABCD是正方形，且BD是对角线，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°，
在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE，
∵B，E，F，C共圆，
∴∠FBE＝∠FCE，
即∠DBF＝∠DCE，
∴∠DAE＝∠DBF，
又∵∠ADE＝∠BDF＝45°，
∴△ADE∽△BDF；
（2）连接OE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCF＝∠BAD＝90°，
∴BF是⊙O的直径，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵∠DAE＝∠DBF，
∴∠DAE＝∠OEB，
∵BE＝AB，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠BAE+∠DAE＝∠BEA+∠OEB＝90°，
即∠OEA＝90°，
又∵OE是⊙O的半径，
∴直线AE是⊙O的切线．
41．（2022•邗江区一模）如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，AF＝CE．
（1）试判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）若BE⊥AC，BF＝10，BE＝6，求线段CF的长．

【解析】解：（1）四边形BEDF为平行四边形．
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB．
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（SAS），
∴DF＝BE，∠EFD＝∠BEC．
∴DF∥BE．
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）∵BE⊥AC，BF＝10，BE＝6，
∴EF＝，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
设AE＝CF＝x，则AC＝2x+8，CE＝x+8，
∴BC2＝BE2+CE2＝62+（x+8）2＝x2+16x+100，
AB2＝BE2+AE2＝36+x2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴x2+36+x2+16x+100＝（2x+8）2，
解得x＝﹣2﹣4（舍）或x＝2﹣4，
∴CF＝2﹣4．