江苏省2022中考数学冲刺复习-26填空题压轴必刷45题②

这是一份江苏省2022中考数学冲刺复习-26填空题压轴必刷45题②，共47页。试卷主要包含了，其中0≤t≤30，于点D，，且OB＝OC等内容，欢迎下载使用。
26填空题压轴必刷45题②


一十四．一元一次不等式的应用（共1小题）
16．（2009•黑河）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．
（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少此时，哪种方案对公司更有利？
一十五．一元一次不等式组的应用（共1小题）
17．（2019•汶上县二模）为落实优秀传统文化进校园，某校计划购进“四书”、“五经”两套图书供学生借阅，已知这两套图书单价和为660元，一套“四书”比一套“五经”的2倍少60元．
（1）分别求出这两套图书的单价；
（2）该校购买这两套图书不超过30600元，且购进“四书”至少33套，“五经”的套数是“四书”套数的2倍，该校共有哪几种购买方案？
一十六．一次函数的应用（共1小题）
18．（2022•惠山区一模）据环保中心观察和预测：发生于甲地的河流污染一直向下游方向移动，其移动速度v（千米/小时）与时间t（小时）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，根据物理知识：梯形OABC在直线l左侧部分的面积表示的实际意义为t（小时）内污染所经过的路程S（千米），其中0≤t≤30．
（1）当t＝3时，则S的值为 　 　；
（2）求S与t的函数表达式；
（3）若乙城位于甲地的下游，且距甲地171km，试判断这河流污染是否会侵袭到乙城？若会，求河流污染发生后多长时间它将侵袭到乙城；若不会，请说明理由．

一十七．一次函数综合题（共1小题）
19．（2021春•柳南区校级期末）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）求k、b的值；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

一十八．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
20．（2022•常州一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象上有一点D（m，），过点D作CD⊥x轴于点C，将点C向左平移2个单位长度得到点B，过点B作y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，AB＝4．
（1）点A的坐标为　 　（用含m的式子表示）；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）设直线AD的解析式为y＝ax+b（a，b为常数且a≠0）．则不等式﹣（ax+b）＞0的解集是　 　．

一十九．反比例函数综合题（共2小题）
21．（2022•锦江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且AC＝3AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D．
（1）求b、k的值；
（2）如图1，若点E为线段BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）于点F．若EF＝BD，求m的值．
（3）如图2，在（2）的条件下，连接FD并延长，交x轴于点G，连接OD，在直线OD上方是否存在点H，使得△ODH与△ODG相似（不含全等）？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（2022•成都模拟）如图，直线AB经过点B（0，﹣2），并与反比例函数交于点A（3，﹣1）．
（1）求直线AB和反比例函数的表达式；
（2）点M为反比例函数图象第二象限上一点，记点M到直线AB的距离为d，当d最小时，求出此时点M的坐标；
（3）点C是点B关于原点的对称点，Q为线段AC（不含端点）上一动点，过点Q作QP∥y轴交反比例函数于点P，点D为线段QP的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当D，C，E，F四点构成的四边形为正方形时，求点Q的坐标．

二十．抛物线与x轴的交点（共1小题）
23．（2022•邗江区一模）已知抛物线y＝﹣x2+2x+a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标是（3，0），点D是抛物线的顶点，点P是抛物线对称轴上的一个动点．
（1）求a的值和顶点D的坐标；
（2）是否存在点P，使得以P、D、B为顶点的三角形中有两个内角的和等于60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

二十一．二次函数综合题（共3小题）
24．（2022•邳州市一模）抛物线y＝x2+bx+c经过点C（0，﹣4），且OB＝OC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D、E是抛物线对称轴上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的下方，求四边形ACDE的周长的最小值；
（3）如图2，点N为抛物线上一点，连接CN，直线CN把四边形CBNA的面积分为3：1两部分，直接写出点N的坐标．


25．（2022•高邮市模拟）在平面直角坐标系xOy中，若一个函数图象上存在P、P′两点，使得∠POP′＝90°，则称该函数为“垂动点函数”，其中一个点叫做另一个点的“垂动点”．
（1）正比例函数 　 　“垂动点函数”；（填“是”或“不是”）
反比例函数 　 　“垂动点函数”；（填“是”或“不是”）
（2）如图1，已知第三象限的一点P在一次函数y＝x+1图象上，点P的“垂动点”是点P'，PA⊥y轴于点A、P'B⊥y轴于点B，若△PAO的面积为，求△P'BO的面积；
（3）如图2，已知第三象限的一点P在二次函数y＝﹣x2图象上，点P的“垂动点”是点Q，连接PQ交y轴于点M，过点O作ON⊥PQ于点N．求点M的坐标和点N的横坐标的最大值．


26．（2022春•荷塘区校级期中）如图1，若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a＜0）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0＜x2），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O是坐标原点．

（1）若a＝﹣1，b＝2，c＝3．
①求此二次函数图象的顶点M的坐标；
②定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“好点”．
（2）如图2，连接MC，直线MC与x轴交于点P，满足∠PCA＝∠PBC，且的面积为，求二次函数的表达式．
二十二．三角形综合题（共2小题）
27．（2022•东海县一模）【问题情境】
如图1，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠B＝30°，AC＝4，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，作射线AE．
（1）则CE的长为 　 　；
【变式思考】
（2）在“问题情境”的基础上，如图2，点P是射线AE上的动点，过点P分别作PF⊥AB所在直线于点F，作PH⊥BC所在直线于点H．
①求△PHE与△PFA面积之和的最小值；
②连接FH，求FH的最小值是多少？
【拓展探究】
（3）在“问题情境”的基础上，如图3，△ABC内有点Q，且∠AQC＝60°，AB、BC上分别有一点M、N，连接QM、QN、MN，直接写出△QMN周长的最小值．

28．（2022•秦淮区校级模拟）（1）如图①，O为等边三角形ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5．求∠AOB的度数．（提示：可将△AOB绕点A旋转到△APC）
（2）在图②中，用尺规作等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三个圆上．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）

（3）如图③，直线a∥b∥c．怎样找到等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三条直线上？用尺规作出该三角形．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）



二十三．四边形综合题（共2小题）
29．（2022•惠山区一模）（1）【操作发现】如图1，四边形ABCD、CEGF都是矩形，，AB＝9，AD＝12，小明将矩形CEGF绕点C顺时针转α°（0≤α≤360），如图2所示．
①若的值不变，请求出的值，若变化，请说明理由．
②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，画出图形并求出AG的长度．
（2）【类比探究】如图3，△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝α°，tan∠ABC＝，G为BC中点，D为平面内一个动点，且DG＝，将线段BD绕点D逆时针旋转α°得到DB′，则四边形BACB′面积的最大值为
　 　．（直接写出结果）

30．（2022•沈河区校级模拟）（1）如图1，点E在正方形ABCD内，且在对角线AC右侧，连接AE，CE，EF⊥AE，以EF，EC为邻边作平行四边形ECGF，连接ED，EG．当AE＝EF时，ED与EG之间的数量关系为 　 　；

（2）如图2，点E在矩形ABCD内，且在对角线AC右侧，连接AE，CE，EF⊥AE，以EF，EC为邻边作平行四边形ECGF，连接ED，EG，当AE＝EF，且AD：DC＝5：4，求ED：EG的值；
（3）如图3，点E在矩形ABCD内，且在对角线AC右侧，连接AE，CE，EF⊥AE，以EF，EC为邻边作平行四边形ECGF，连接ED，EG．若AD＝35，CD＝25，＝，且G，D，F三点共线．若＝，求的值．





【参考答案】
一十四．一元一次不等式的应用（共1小题）
16．（2009•黑河）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．
（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少此时，哪种方案对公司更有利？
【解析】解：（1）设今年三月份甲种电脑每台售价m元．则：
．
解得：m＝4000．
经检验，m＝4000是原方程的根且符合题意．
所以甲种电脑今年每台售价4000元；

（2）设购进甲种电脑x台．则：
48000≤3500x+3000（15﹣x）≤50000．
解得：6≤x≤10．
因为x的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案；

（3）设总获利为W元．则：
W＝（4000﹣3500）x+（3800﹣3000﹣a）（15﹣x）＝（a﹣300）x+12000﹣15a．
当a＝300时，（2）中所有方案获利相同．
此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利．
一十五．一元一次不等式组的应用（共1小题）
17．（2019•汶上县二模）为落实优秀传统文化进校园，某校计划购进“四书”、“五经”两套图书供学生借阅，已知这两套图书单价和为660元，一套“四书”比一套“五经”的2倍少60元．
（1）分别求出这两套图书的单价；
（2）该校购买这两套图书不超过30600元，且购进“四书”至少33套，“五经”的套数是“四书”套数的2倍，该校共有哪几种购买方案？
【解析】解：（1）设五经的单价为x元，则四书的单价为（2x﹣60）元，依题意得
x+2x﹣60＝660，
解得x＝240，
∴2x﹣60＝420，
∴五经的单价为240元，则四书的单价为420元；

（2）设购买四书a套，五经b套，依题意得
，
解得33≤a≤34，
∵a为正整数，
∴a＝33或34，
∴当a＝33时，b＝66；当a＝34时，b＝68；
∴该校共有2种购买方案：①四书33套，五经66套；②四书34套，五经68套．
一十六．一次函数的应用（共1小题）
18．（2022•惠山区一模）据环保中心观察和预测：发生于甲地的河流污染一直向下游方向移动，其移动速度v（千米/小时）与时间t（小时）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，根据物理知识：梯形OABC在直线l左侧部分的面积表示的实际意义为t（小时）内污染所经过的路程S（千米），其中0≤t≤30．
（1）当t＝3时，则S的值为 　9　；
（2）求S与t的函数表达式；
（3）若乙城位于甲地的下游，且距甲地171km，试判断这河流污染是否会侵袭到乙城？若会，求河流污染发生后多长时间它将侵袭到乙城；若不会，请说明理由．

【解析】解：（1）由图象可知：直线OA的解析式为y＝2t，
当t＝3时，y＝2×3＝6，
∴S＝×3×6＝9；
（2）当0≤t≤5时，S＝•t•2t＝t2；
当5＜t≤10时，S＝×5×10+10（t﹣5）＝10t﹣25；
当10＜t≤30时，S＝×5×10+10×5+（t﹣10）×10﹣×（t﹣10）×（t﹣10）＝﹣t2+15t﹣50．
综上所述，S＝；
（3）河流污染发生后将侵袭到乙城，理由如下：
当0≤t≤5时，S最大值＝52＝25＜171，
当5＜t≤10时，S最大值＝10×10﹣25＝75＜171，
当10＜t≤30时，令﹣t2+15t﹣50＝171，
解得t1＝26，t2＝34，
∵10＜t≤30，
∴t＝26，
∴河流污染发生26h后将侵袭到乙城．
一十七．一次函数综合题（共1小题）
19．（2021春•柳南区校级期末）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）求k、b的值；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）∵点A（4，0）、B（0，4）在直线y＝kx+b上，
∴，
解得：k＝﹣1，b＝4；

（2）存在两种情况：
①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，
∵OB＝OA＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝4，∠OAB＝45°，
由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，
∴△OBP≌△O'BP（AAS），
∴O'B＝OB＝4，
∴AO'＝4﹣4，
Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，
∴S△BOP＝OB•OP＝＝8﹣8；
②如图所示：当P在x轴的负半轴时，

由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，
∵∠BAO＝45°，
∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，
∴S△BOP＝OB•OP＝＝8+8；

（3）分4种情况：
①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为（0，0）；
②当BP＝PQ时，如图3，

∵∠BPC＝45°，
∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，
∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，
∴∠APB＝22.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AP＝AB＝4，
∴OP＝4+4，
∴P（4+4，0）；
③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，
△PCA中，∠APC＝22.5°，
∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP＝4，
∴OP＝4﹣4，
∴P（4﹣4，0）；
④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，
∴此时P（﹣4，0）；
综上，点P的坐标是（0，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）或（﹣4，0）．




一十八．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
20．（2022•常州一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象上有一点D（m，），过点D作CD⊥x轴于点C，将点C向左平移2个单位长度得到点B，过点B作y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，AB＝4．
（1）点A的坐标为　（m﹣2，4）　（用含m的式子表示）；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）设直线AD的解析式为y＝ax+b（a，b为常数且a≠0）．则不等式﹣（ax+b）＞0的解集是　0＜x＜1或x＞3　．

【解析】解：（1）D（m，），BC＝2，
∴OB＝m﹣2，
又∵AB＝4，AB⊥OC，
∴A（m﹣2，4），
故答案为：（m﹣2，4）；

（2）反比例函数y＝（x＞0）的图象上有A，D两点，
∴k＝4×（m﹣2）＝m，
解得m＝3，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝；

（3）∵A（1，4），D（3，），
∴不等式﹣（ax+b）＞0的解集为0＜x＜1或x＞3．
故答案为：0＜x＜1或x＞3．

一十九．反比例函数综合题（共2小题）
21．（2022•锦江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且AC＝3AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D．
（1）求b、k的值；
（2）如图1，若点E为线段BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）于点F．若EF＝BD，求m的值．
（3）如图2，在（2）的条件下，连接FD并延长，交x轴于点G，连接OD，在直线OD上方是否存在点H，使得△ODH与△ODG相似（不含全等）？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）作CM⊥x轴于M，如图1：

∵∠BOA＝∠CMA，∠BAO＝∠CAM，
∴△BOA∽△CMA，
∵直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），
∴﹣3+b＝0，
解得b＝3，
∴直线解析式为：y＝3x+3，
∴B（0，3），
∵AC＝3AB，
∴CM＝3BO＝9，AM＝3OA＝3，
∴C点坐标为（2，9），
∴将C点坐标代入y＝，
得k＝18．
（2）∵BD∥x轴，
∴D点的纵坐标为3，代入y＝，
得x＝6，
∴D点坐标为（6，3），
将E点横坐标代入y＝3x+3，
得y＝3m+3，
∵EF∥BD，
∴F点纵坐标为3m+3，
代入y＝，
得x＝，
∴F点坐标为（，3m+3），
∵EF＝BD，
∴﹣m＝×6，
解方程得m＝1或﹣4（舍），
∴m＝1．
（3）存在，理由如下：
如图2，过点D作DQ⊥x轴于点Q，
由（2）知D（3，6），F（6，3），
∴直线FD的解析式为：y＝﹣x+9，OQ＝6，DQ＝3，
∴OG＝9，
∴DQ：GQ＝3，
∴∠QGD＝∠QDG＝45°．
∴OD＝3，DG＝3．
Ⅰ、当∠HOD＝∠DOG时，如图2所示，设BD与OH交于点P，

由（2）知，BD∥x轴，
∴∠BDO＝∠DOG，
∴∠BDO＝∠HOD，
∴OP＝PD，
设OP＝m，则BP＝6﹣m，
在Rt△OBP中，由勾股定理可得，32+m2＝（6﹣m）2，解得m＝；
∴BP＝；
∴P（，3），
∴直线OP的解析式为：y＝x；
①若△ODG∽△ODH，则OD：OD＝OG：OH＝1，不符合题意，舍去；
②若△ODG∽△OHD，
∴OD：OH＝OG：OD，即3：OH＝9：3，
解得OH＝5，
设H（3t，4t），
∴（3t）2+（4t）2＝52，
解得t＝1，负值舍去，
∴H（3，4）；
Ⅱ、当∠HOD＝∠DGO时，

①若△ODG∽△DHO，如图4，
∴∠DOG＝∠ODH，DG：OH＝OG：DO，
∴DH∥OG，即点H在BD上，3：OH＝9：3，
∴OH＝，
∴BH＝1，
∴H（1，3），直线OH的解析式为：y＝3x；
②若△ODG∽△HDO，
∴DG：OD＝OG：OH，即3：3＝9：OH，
解得OH＝，
设H（t，3t），
∴t2+（3t）2＝（）2，
解得t＝，负值舍去，
∴H（，）；

Ⅲ、当∠HOD＝∠ODG时，OH∥EG，
∴直线OH的解析式为：y＝﹣x；
①若△ODG∽△DOH，则OD：OD＝OG：DH＝1，不符合题意，舍去；
②若△ODG∽△HOD，如图5，
∴OD：OH＝DG：OD，即3：OH＝3：3，
解得OH＝，
设H（t，﹣t），
∴t2+（﹣t）2＝（）2，
解得t＝﹣，正值舍去，
∴H（﹣，）；

综上，符合题意的点H的坐标为：（3，4）或（1，3）或（，）或（﹣，）．
22．（2022•成都模拟）如图，直线AB经过点B（0，﹣2），并与反比例函数交于点A（3，﹣1）．
（1）求直线AB和反比例函数的表达式；
（2）点M为反比例函数图象第二象限上一点，记点M到直线AB的距离为d，当d最小时，求出此时点M的坐标；
（3）点C是点B关于原点的对称点，Q为线段AC（不含端点）上一动点，过点Q作QP∥y轴交反比例函数于点P，点D为线段QP的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当D，C，E，F四点构成的四边形为正方形时，求点Q的坐标．

【解析】解：（1）将A（3，﹣1）代入y＝中得，
，
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（3，﹣1）与B（0，﹣2）代入得，
，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝；
（2）将直线AB向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点M时，此时d最小，
设直线l的解析式为y＝，
∴方程有两个相等的实数根，
整理得x2+3bx+9＝0，
∴Δ＝（3b）2﹣4×1×9＝0，
解得b＝2或﹣2，
∵直线l与y轴交于正半轴，
∴b＝﹣2舍去，
解方程，得x＝﹣3，
∴y＝﹣，
∴M（﹣3，1）；
（3）分两种情况讨论：
①当CE⊥CD时，如图，作CN∥x轴交PQ于点N，

∵PQ∥y轴，
∴∠EOC＝∠OCN＝∠CND＝90°，
∵四边形DCEF为正方形，
∴EC＝DC，∠ECD＝90°＝∠OCN，
∴∠ECO＝∠DCN，
在△ECO与△DCN中，
，
∴△ECO≌△DCN（AAS），
∴CN＝CO，
∵C与B关于原点对称，
∴OC＝OB＝2，CN＝OC＝2，
∴C（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，
∵CN＝2，点Q在直线PQ上，
∴点Q的横坐标为2，
当x＝2时，y＝0，
∴Q（2，0）；
②当CD⊥DE时，如图，过点D作x轴的平行线MN，交AC于点H，过E作y轴的平行线交MN于点N，

则四边形OMNE是矩形，
∴OM＝NE，
∴∠CMD＝∠DNE＝90°，
∵四边形DCEF为正方形，
∴CD＝DE，∠CDE＝90°，
∵∠CDM+∠EDN＝∠CDM+∠DCM＝90°，
∴∠EDN＝∠DCM，
在△CDM与△DEN中，
，
∴△CDM≌△DEN（AAS），
∴MD＝EN＝OM，
由①知直线AB的解析式为y＝﹣x+2与x轴交于点（2，0），与y轴交于点（0，2），
∴∠ACB＝45°，
∴△CMH为等腰直角三角形，
∴MH＝CM，∠CHM＝45°，
∴△QDH为等腰直角三角形，
∵MD+DH＝OM+CO，
∴DH＝OC＝2，
∴DH＝QD＝2，
∵D是PQ的中点，
∴PQ＝4，
设Q（a，﹣a+2），则P（a，﹣），
∴﹣a+2﹣（）＝4，
∴a＝﹣3（设）或a＝1，
∴﹣a+2＝﹣1+2＝1，
∴Q（1，1），
当CE⊥DE时，同理可得△COE≌△EGD（AAS），

∴OC＝EG＝2，OE＝DG，
设E（m，0），则D（m+2，m），
∴Q（m+2，﹣m+），P（m+2，﹣），
∴2m＝﹣，
解得m＝，
∴Q（，）或（，），
综上，Q点的坐标为（2，0）或（1，1）或（，）或（，）．
二十．抛物线与x轴的交点（共1小题）
23．（2022•邗江区一模）已知抛物线y＝﹣x2+2x+a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标是（3，0），点D是抛物线的顶点，点P是抛物线对称轴上的一个动点．
（1）求a的值和顶点D的坐标；
（2）是否存在点P，使得以P、D、B为顶点的三角形中有两个内角的和等于60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【解析】解：（1）将点B（3，0）代入y＝﹣x2+2x+a，得﹣9+6+a＝0，
解得：a＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴函数的顶点D的坐标为（1，4）．
（2）记对称轴与x轴的交点为点H，则DH＝4，BH＝2，
∴BD＝2，tan∠BDH＝＜，
∴∠BDH＜30°，
∴∠D+∠DBP＝60°或∠D+∠DPB＝60°，点P在点D的下方，
设点P（1，p），则DP＝4﹣p，
①如图，当∠D+∠DBP1＝90°时，∠BP1H＝60°，
∴tan∠BP1H＝，
∴p＝，
∴点P1的坐标为（1，）；
②当∠D+∠DP2B＝60°时，∠DPB1＝∠DP2B，
∴△DBP1∽△DP2B，
∴，即，
解得：DP2＝，
∴P2（1，﹣），
综上所述，点P的坐标为（1，）或（1，﹣）．

二十一．二次函数综合题（共3小题）
24．（2022•邳州市一模）抛物线y＝x2+bx+c经过点C（0，﹣4），且OB＝OC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D、E是抛物线对称轴上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的下方，求四边形ACDE的周长的最小值；
（3）如图2，点N为抛物线上一点，连接CN，直线CN把四边形CBNA的面积分为3：1两部分，直接写出点N的坐标．


【解析】解：（1）∵点C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵OB＝OC
∴OB＝3，
∴点B（3，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点C（0，﹣4），点B（3，0），
∴，解得，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；

（2）把C向上移1个单位得点C′，再作C′关于抛物线的对称轴的对称点C″，连接AC″，与对称轴交于点E，再在对称轴上E点上下方取点D，使得DE＝1，连接CD，则CD＝C′E＝C″E，此时四边形ACDE的周长最小，

∵C（0，﹣4），
∴C′（0，﹣3），
∵y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴C″（2，﹣3），A（﹣1，0），
∴AC＝＝，
AC″＝＝3，
∴AE+DE+CD+AC＝AE+1+C″E+＝1++AE+C″E＝1++AC″＝1++3的值最小，
∴四边形ACDE的周长的最小值为1++3；

（3）如图，设直线CN交x轴于点E，

直线CN把四边形CBNA的面积分为3：1两部分，
又∵S△NCB：S△NCA＝EB×（yN﹣yC）：AE×（yN﹣yC）＝BE：AE，
则BE：AE＝1：3或3：1，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
则AE＝3或1，
即：点E的坐标为（2，0）或（0，0），
∵当点E的坐标为（0，0）时，直线CE与抛物线不可能交于点N，故不合题意，舍去，
当点E的坐标为（2，0）时，设直线CN的表达式：y＝kx﹣4，
∴2k﹣4＝0，解得k＝2，
∴直线CN的表达式：y＝2x﹣4，
联立y＝x2﹣x﹣4并解得：x＝或0（不合题意，舍去），
故点N的坐标为（，3）．
25．（2022•高邮市模拟）在平面直角坐标系xOy中，若一个函数图象上存在P、P′两点，使得∠POP′＝90°，则称该函数为“垂动点函数”，其中一个点叫做另一个点的“垂动点”．
（1）正比例函数 　不是　“垂动点函数”；（填“是”或“不是”）
反比例函数 　不是　“垂动点函数”；（填“是”或“不是”）
（2）如图1，已知第三象限的一点P在一次函数y＝x+1图象上，点P的“垂动点”是点P'，PA⊥y轴于点A、P'B⊥y轴于点B，若△PAO的面积为，求△P'BO的面积；
（3）如图2，已知第三象限的一点P在二次函数y＝﹣x2图象上，点P的“垂动点”是点Q，连接PQ交y轴于点M，过点O作ON⊥PQ于点N．求点M的坐标和点N的横坐标的最大值．


【解析】解：（1）根据“垂动点函数”的定义，在正比例函数的图象和反比例函数图象上不存在在P、P′两点，使得∠POP′＝90°，
∴正比例函数不是“垂动点函数”，反比例函数也不是“垂动点函数”，
故答案为：不是，不是；
（2）设P（m，m+1），
∵△PAO的面积为，
∴PA•OA＝（﹣m）•（﹣m﹣1）＝，
解得m＝（此时P不在第三象限，舍去）或m＝﹣，
∴P（﹣，﹣），
∴PA＝，OA＝，
设P'（n，n+1），则P'B＝﹣n，OB＝n+1，
∵∠POP'＝90°，
∴∠POA＝90°﹣∠P'OB＝∠OP'B，
又∠PAO＝∠P'BO＝90°，
∴△PAO∽△OBP'，
∴＝，即＝，
解得n＝﹣，
∴P'（﹣，），
∴P'B＝，OB＝，
∴△PAO的面积为××＝；
（3）设P（t，﹣t2），Q（s，﹣s2），则OA＝﹣t，AP＝t2，OB＝s，BQ＝s2，
同（2）可证△AOP∽△BQO，
∴＝，即＝，
∴s＝﹣，
∴Q（﹣，﹣），
设直线PQ解析式为y＝kx+b，将P（t，﹣t2），Q（﹣，﹣）代入得：
，
解得，
∴直线PQ解析式为y＝x﹣4，
令x＝0得y＝﹣4，
∴M（0，﹣4），
过N作CD∥y轴交x轴于D，过M作MC⊥CD于C，如图，

设N（p，﹣q），p＞0，q＞0，则CM＝OD＝p，DN＝q，
∵ON⊥PQ，
∴∠MNC＝90°﹣∠OND＝∠NOD，
又∠ODN＝∠MCN＝90°，
∴△MCN∽△NDO，
∴＝，即＝，
∴p2＝q（4﹣q），
要使p最大，需q（4﹣q）最大，而q（4﹣q）在q＝4﹣q，即q＝2时，取得最大值4，
∴p2最大值为4，
∴p最大值为2，
∴点N的横坐标的最大值是2．
26．（2022春•荷塘区校级期中）如图1，若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a＜0）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0＜x2），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O是坐标原点．

（1）若a＝﹣1，b＝2，c＝3．
①求此二次函数图象的顶点M的坐标；
②定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“好点”．
（2）如图2，连接MC，直线MC与x轴交于点P，满足∠PCA＝∠PBC，且的面积为，求二次函数的表达式．
【解析】解：（1）①∵a＝﹣1，b＝2，c＝3，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M的坐标为（1，4）；

（2）当x＝y时，﹣x2+2x+3＝x，
∴x2﹣x﹣3＝0，
Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
∴二次函数y＝﹣x2+2x+3有两个不同的“好点”；

（3）∵tan∠PBC＝，点C的坐标为（0，c），
则BO＝2c，点B坐标为（2c，0），
由一元二次方程根与系数的关系：x1•x2＝可得x1•2c＝，
∴x1＝，
∴点A坐标为（，0），
∵顶点坐标M（﹣，），C（0，c），
设直线MC的函数关系式为：y＝mx+n，
根据题意得：，
解得：，
∴直线MC的解析式为：y＝x+c，
∴点P坐标为（﹣，0），
由此可得PA＝+，PB＝2c+，
∵∠PCA＝∠PBC，∠CPA＝∠BPC，
∴△PCA∽△PBC，
∴＝，
∴PC2＝PA•PB，
∵PC2＝OP2+OC2＝（﹣）2+c2＝+c2，
∴+c2＝（+）（2c+），
∴c2＝++，
∴c＝++＝①，
把点B（2c，0）代入二次函数解析式，
得：4ac2+2bc+c＝0，
∴4ac+2b+1＝0，
∴4ac+b+1＝﹣b②，
将②式代入①式得，c＝﹣＝﹣，
将c＝﹣代入4ac+2b+1＝0，
得，﹣4+2b+1＝0，
解得：b＝，
∴P的坐标为（﹣，0），
又∵S△PBC＝PB•CO＝（2c+）•c＝，
∴＝，
解得，c＝（﹣舍去），
又∵c＝﹣＝﹣，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+．
二十二．三角形综合题（共2小题）
27．（2022•东海县一模）【问题情境】
如图1，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠B＝30°，AC＝4，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，作射线AE．
（1）则CE的长为 　　；
【变式思考】
（2）在“问题情境”的基础上，如图2，点P是射线AE上的动点，过点P分别作PF⊥AB所在直线于点F，作PH⊥BC所在直线于点H．
①求△PHE与△PFA面积之和的最小值；
②连接FH，求FH的最小值是多少？
【拓展探究】
（3）在“问题情境”的基础上，如图3，△ABC内有点Q，且∠AQC＝60°，AB、BC上分别有一点M、N，连接QM、QN、MN，直接写出△QMN周长的最小值．

【解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝30°，
∴∠AEC＝60°，
∴tan∠AEC＝，
∴CE＝＝，
故答案为：；
（2）①过点P作PG⊥AC于点G．
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE．
∴∠EAB＝∠B＝30°．
∴∠EAC＝∠EAB＝30°．
∴PF＝PG，CE＝DE，

∵AE＝AE，
∴Rt△EAC≌Rt△EAD（HL）．
设PG＝x，则AG＝，CG＝PH＝，HE＝，
∴△PHE与△PFA面积之和为
＝．
∴最小值为；
②连接BP，取BP的中点O，连接OH，OF，过点B作BM⊥AE于点M．
∵PF⊥AB，PH⊥BC，点O为PB中点，
∴OP＝OF＝OB＝OH．

∴点P、F、B、H四点在以O为圆心，PB为直径的同一个圆上，
又∵∠EBF＝30°，
∴∠HOF＝60°．
∴△HOF为等边三角形．
∴HF＝BP．
∵AC＝4，
∴AB＝8．
∴BP的最小值为BM＝4．
∴FH的最小值为2；
（3）以AC为底边作等腰三角形AOC，使∠AOC＝120°，连接OB，作点Q关于BC、AB的对称点Q'、Q''，连接Q'Q''，
由轴对称的性质得，△QMN周长为Q'Q''，BQ'＝BQ''＝BQ，∠Q'BQ''＝60°，

∴△BQ'Q''是等边三角形，
∵∠AQC＝60°，
∴点Q在以O为圆心，OA为半径的圆上运动，
当点O、Q、B共线时，QB最小，
延长CO交AB于H，
∵∠ACH＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠AHC＝90°，
∴AH＝2，CO＝，BH＝AB﹣AH＝8﹣2＝6，
∴OH＝OA＝，
由勾股定理得，OB＝＝，
∴BQ的最小值为﹣，
∴△QMN周长的最小值为﹣．
28．（2022•秦淮区校级模拟）（1）如图①，O为等边三角形ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5．求∠AOB的度数．（提示：可将△AOB绕点A旋转到△APC）
（2）在图②中，用尺规作等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三个圆上．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）

（3）如图③，直线a∥b∥c．怎样找到等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三条直线上？用尺规作出该三角形．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）



【解析】解：（1）如图，将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时AB正好与AC重合，得到△ACP，连接OP，

根据旋转的性质可知，AO＝AP，∠OAP＝60°，CP＝OB＝4，
∴△AOP为等边三角形，
∴OP＝OA＝3，∠APO＝60°，
∵OP2+PC2＝32+42＝52＝OC2，
∴△OPC为直角三角形，
∴∠OPC＝90°，
∴∠APC＝∠APO+∠OPC＝60°+90°＝150°，
∴∠AOB＝∠APC＝150°；
（2）在最小的圆上取一点A，然后以点A为圆心，OA为半径画弧，与小圆交于点P，再以P为圆心，中间的圆的半径长为半径画弧，与最大的圆交于一点B，连接AB，以B为圆心，AB长为半径画弧，与中间的圆交于一点C，连接BC，AC，则△ABC为所求三角形，如图所示，

（3）在直线a上任意取一点A，过点A作AD⊥b于点D，以点A为圆心，AD的长为半径画圆，以D为圆心，AD为半径画弧，交⊙A于一点P，过点P作PB⊥CB，交直线c于点B，连接AB，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交直线b于点C，连接AC，BC，则△ABC即为所求．

二十三．四边形综合题（共2小题）
29．（2022•惠山区一模）（1）【操作发现】如图1，四边形ABCD、CEGF都是矩形，，AB＝9，AD＝12，小明将矩形CEGF绕点C顺时针转α°（0≤α≤360），如图2所示．
①若的值不变，请求出的值，若变化，请说明理由．
②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，画出图形并求出AG的长度．
（2）【类比探究】如图3，△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝α°，tan∠ABC＝，G为BC中点，D为平面内一个动点，且DG＝，将线段BD绕点D逆时针旋转α°得到DB′，则四边形BACB′面积的最大值为
　24　．（直接写出结果）

【解析】解：（1）①的值不变，理由如下：
如图2中，连接CG．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝12，
∵AB＝9，
∴AC＝＝＝15，
∵∠ACB＝∠ECG，
∴∠BCE＝∠ACG，
∵＝＝＝，
∴△ACG∽△BCE，
∴＝＝；

②如图2﹣1中，当点E在线段BF上时，连接CG，过点C作CJ⊥EF于J．

∵S△CEF＝•EC•CF＝•EF•CJ，
∴CJ＝＝，
∴EJ＝＝＝，BJ＝＝＝，
∴BE＝BJ﹣EJ＝﹣
∵∠ACB＝∠GCE，
∴∠BCE＝∠ACG，
∵＝＝，
∴△ACG∽△BCE，
∴＝＝，
∴AG＝×（﹣）＝6﹣4．

如图2﹣2中，当点E在BF的延长线上时，同法可得BE＝BJ+EJ＝+，

∴AG＝BE＝6+4，
综上所述，AG的长为6﹣4或6+4．

（2）如图3中，连接AD，AG，过点G作GH⊥AB于点H．

∵AB＝AC＝2，BG＝GC，
∴AG⊥BC，
∵tan∠ABC＝＝，
∴AG＝2，BG＝4，
∵sin∠ABG＝sin∠GBH，
∴＝，
∴＝，
∴GH＝，
∵AB＝AC，DB＝DB′，∠BAC＝∠BDB′，
∴∠ABC＝∠DBB′，＝，
∴∠ABD＝∠CBB′，
∴△ABD∽△CBB′，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵DG＝，
∴点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆，
当点D在HG的延长线上时，△ABD的面积最大，最大值＝××（+）＝5，
∴△BCB′的面积的最大值为16，
∴四边形ABB′C的面积的最大值＝×8×2+16＝24．
故答案为：24．
30．（2022•沈河区校级模拟）（1）如图1，点E在正方形ABCD内，且在对角线AC右侧，连接AE，CE，EF⊥AE，以EF，EC为邻边作平行四边形ECGF，连接ED，EG．当AE＝EF时，ED与EG之间的数量关系为 　EG＝DE　；

（2）如图2，点E在矩形ABCD内，且在对角线AC右侧，连接AE，CE，EF⊥AE，以EF，EC为邻边作平行四边形ECGF，连接ED，EG，当AE＝EF，且AD：DC＝5：4，求ED：EG的值；
（3）如图3，点E在矩形ABCD内，且在对角线AC右侧，连接AE，CE，EF⊥AE，以EF，EC为邻边作平行四边形ECGF，连接ED，EG．若AD＝35，CD＝25，＝，且G，D，F三点共线．若＝，求的值．

【解析】解：（1）如图1中，延长AE交CG于点H，设AH交CD于点O，连接DG．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EF＝CG，EF∥CG，
∵AE＝EF，AE⊥EF，
∴AE＝CG，AH⊥CG，
∴∠ADO＝∠OHC＝90°，
∵∠AOD＝∠COH，
∴∠DAO＝∠DCG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△DAE≌△ECG（SAS），
∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，
∴∠EDG＝∠ADC＝90°，
∴EG＝DE，
故答案为：EG＝DE；

（2）如图2中，连接DG．

同法可证∠DAE＝∠DCG，
∴＝＝，
∵EC＝CG，
∴＝，
∴△ADE∽△CDG，
∴＝＝，∠ADE＝∠CDG，
∴∠EDG＝∠ADC＝90°，
设DE＝5k，DG＝4k，
∴EG＝＝k，
∴＝＝；

（3）如图3中，

同法可证∠DAE＝∠DCG，
∵＝＝，
∴△ADE∽△CDG，
∴＝＝，∠ADE＝∠CDG，
∴∠EDG＝∠ADC＝90°，
∵＝，
∴可以假设DE＝7t，EC＝13t，
∴DG＝5t，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EC＝FG＝13t，CG＝EF，
∴DE＝FG﹣DG＝13t﹣5t＝8t，
∴EF＝＝＝t，
∴＝＝＝．