数学人教B版 (2019)2.2.3 两条直线的位置关系学案及答案

两条直线的位置关系

【学习目标】

1．两直线平行的充要条件。

已知两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1∥l2k1=k2且b1≠b2．

2．两直线垂直的充要条件。

已知两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1⊥l2k1·k2=-1．

3．两条直线的夹角。

设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，l1到l2的角为α，l1与l2的夹角为β，则tan，tan。

4．点到直线的距离。

点P0（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=。

5．两平行线间的距离。

两平行线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0（C1≠C2）之间的距离d=

6．对称问题。

（1）P（x，y）关于Q（a，b）的对称点为 （2a-x，2b-y）。

（2）P（x0，y0）关于直线Ax+By+C=0的对称点是

。

【学习重难点】

能在平面内，过一点画已知直线的垂线并理解垂线的性质。

【学习过程】

一、题型示例

例1  已知两直线l1：x+m2y+6=0， l2：（m-2）x+3my+2m=0，当m为何值时，l1与l2：（1）相交；（2）平行；（3）重合。

解前点津  对直线的斜率存在与否，进行讨论，转化为“斜截式”后，才能使用“充要条件”。

规范解答  当m=0时， l1：x+6=0， l2：x=0l1∥l2，

当m≠0时，则化为斜截式方程：l1：y=-x-，l2：y=，

①当-≠即m≠-1，m≠3时， l1与l2相交。

②当，即m=-1时l1∥l2．

③当，即m=3时， l1与l2重合。

综上所述知：①当m≠-1，m≠3且m≠0时，l1与l2相交，②当m=-1或m=0时，l1∥l2，③当

m=3时， l1与l2重合。

解后归纳  判断两直线的位置关系，关键是化直线方程为“斜截式”，若y的系数含有参数，则必须分类讨论。

例2  求经过点P（2，3）且被两条平行线3x+4y-7=0及3x+4y+3=0截得的线段长为的直线方程。

解前点津  画图可知，所求直线有两条，选择应用夹角公式，

可“避免讨论”。

规范解答  |AC|==2，∵|AB|=在Rt△ABC中，

求出|BC|=1，则tan∠ABC=2．  设所求直线斜率为k，则=2解之：k=或。

∴x-2y+4=0，11x-2y-16=0为所求。

解后归纳  本题利用了图形的性质，重视利用数形结合的方法，从而发现解题思路。

例3  一条光线经过点P（2，3），射在直线l：x+y+1=0上，反射后穿过点Q（1，1）。

（1）求光线的入射线方程；

（2）求这条光线从P到Q的长度。

解前点津  先求出Q关于直线l的对称点Q′的坐标，从而可确定过Q，Q′的直线方程。

规范解答  （1）设点Q′（x′，y′）为Q关于直线l的对称点，且QQ′交l于M点，∵k1=-1，∴kQQ′=1，∴QQ′所在直线方程为x-y=0.

由得M坐标为，又∵M为QQ′中点，故由

Q′（-2，-2）。

设入射线与l交点为N，且P，N，Q′共线，得入射线方程为：

，即5x-4y+2=0.

（2）∵l是QQ′的垂直平分线，因而：|NQ|=|NQ′|，

∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′|=，

即这条光线从P到Q的长度是。

解后归纳  无论是求曲线关于直线的对称方程，还是解答涉及对称性的问题，关键在于掌握点关于直线的对称点的求法。

例4  已知三条直线l1：2x-y+a=0（a>0），直线l2：-4x+2y+1=0和直线l3：x+y-1=0，且l1与l2的距离是。

（1）求a的值；

（2）求l3到l1的角θ；

（3）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点l2的距离的；③P点到l1的距离与P到l3的距离之比是∶；若能，求P点坐标；若不能，说明理由。

解前点津  求解本题用到三个公式：平行线间的距离公式，直线到直线的“到角”公式，点到直线的距离公式。

规范解答  （1）由l2：2x-y-=0，∴l1与l2的距离d=，化简得：，∵a>0，∴a=3．

（2）由（1），l1：2x-y+3=0k1=2，而k3=-1，∴tanθ==-3，

∵0≤θ≤π，∴θ=π-arctan3．

（3）设点P（x0，y0），若P点满足条件②，则P点在与l1， l2平行的直线L：2x-y+c=0上，

且，即c=或c=。

∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.

若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有：

，即：|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，∴x0-2y0+4=0，或3x0+2=0，由P在第一象限，∴3x0+2=0不可能，由方程组：

，舍去，     由

∴P即为同时满足三个条件的点。

解后归纳  （3）属于“存在性问题”的解答，往往从“假设存在入手”，推出某种结论（肯定的或否定的），然后检验这种结论是否满足题设中的各条件。

【达标检测】

一、基础夯实

1．如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a= （   ）

A．-3          B． –6          C．-         D． 

2．点（0，5）到直线y=2x的距离是 （     ）

A．         B．          C．          D．

3．已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为，那么m值为（    ） 

A．-或-3          B．或3         C．或3        D．或-3

4．若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（    ）

A． （-，+∞）       B．（-∞，2）     C．（- ，2）       D．（-∞，- ）∪（2，+∞）

5．两条直线A1x+B1y+C1=0，及A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是（   ）

A． A1A2+B1B2=0    B．A1A2=B1B2     C．=-1      D． =1

6．如果直线ax-y+2=0与直线3x-y-b=0关于直线x-y=0对称，那么，A、B值为（    ）

A．a=，b=6        B． a=，b=-6   C． a=3，b=-2    D． a=3，b=6

7．过两直线y=-x+和y=3x的交点，并与原点相距为1的直线有（     ）

A． 0条           B． 2条           C． 1条          D． 3条

8．对0<|θ|<的角θ，两直线l1：x-y·sinθ=cosθ与l2：x·cosθ+y=1的交点为（    ）

A．在单位圆上                          B．在单位圆外 

C在单位圆内，但不是圆心              D．是单位圆的圆心

9．已知A（-3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|最短，那么点M的坐标是（   ）

A．（-1，0）          B．（1，0）          C．（，0）         D．（0， ）

10.设直线l1：x·sinα+y·+6=0， l2：x+y·=0，α∈，则直线l1与l2的位置关系是（     ）

A．平行          B．垂直             C．平行或重合     D．相交但不垂直

二、思维激活

11．直线l1：2x-5y+20=0，l2：mx-2y-10=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值等于             。

12．直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点（1，m），则a=         c=         m=             。

13．两条平行直线分别过点A（6，2）和B（-3，-1），，各自绕A，B旋转，若这两条平行线距离最大时，两直线方程分别是            。

14．p，q满足2p-q+1=0，则直线px+2y+q=0必过定点          。

三、能力提高

15．已知直线l与点A（3，3）和B（5，2）的距离相等，且过两直线l1：3x-y-1=0和l2：x+y-3=0的交点，求直线l的方程。

16．直线l过点（1，0），且被两平行线3x+y-6=0和3x+y+3=0所截得的线段长为9，求直线l的方程。

17．求函数y=的最小值。

18．已知点A（4，1），B（0，4），试在直线l：3x-y-1=0上找一点P，使|PA|-|PB|的绝对值最大，并求出这个最大值。

答案

1．B  由-=3即得a=-6．

2．B  直接利用公式计算。

3．C  k1=-2， k2=mtan得：|2m-1|=|m+2|解之即得。

4．C  解方程组

由。

5．A  当l1，l2分别与坐标轴垂直时，C答案不满足。

6．A  因直线ax-y+2=0关于直线y=x的对称直线为ay-x+2=0，故x-ay-2=0与3x-y-b=0重合，故==，∴a=，b=6．

7．B  交点P为（1，3），单位圆的两条切线。

8．C  由x-ysinθ=cosθ且xcosθ+y=1，

∴x2+y2=<1，但x=y=0不成立。

9．B  因B关于x轴对称点为B′（2，-2），则直线AB′的方程可求得为：2x+y=2令y=0得x=1．

10.B  两直线的斜率之积k1·k2=

又α∈，∴|sinα|=-sinα，∴k1·k2=-1，∴l1⊥l2．

11． 四边形对角互补时有外接圆，由于两坐标轴互相垂直，∴=-1m=-5．

12． a=10，c=-12，m=-2   两直线垂直，所以-=-1a=10，又两直线都过点（1，m），

故。

13． AB的斜率kAB=，当两直线都与AB垂直时，平行线距离最大。

所求直线为：3x+y-20=0，3x+y+10=0.

14．由2p-q+1=0直线为px+2y+（2p+1）=0 （x+2）·p+（2y+1）=0，

令故定点为。

15．解方程组：得交点C（1，2），

当A、B两点在l的同侧时， l∥AB，而kAB=，故l为：y-2=-·（x-1），即：x+2y-5=0.

当A、B两点在l异侧时，则l过线段AB中点（4，），由两点式知l方程为化之x-6y+11=0.

综上所述知，l的方程是：x+2y-5=0或x-6y+11=0.

16．如图所示，当l的斜率不存在时， l方程为x=1它与两平行线交

点为（1，3）和（1，-6），其距为|3-（-6）|=9符合题意。

当l的斜率存在时，设l：y=k（x-1），由

及，解得l与两平行直线的交点分别为

 。

故由=92，得：k=-故此时l：y=-（x-1）， 即4x+3y-4=0.

综上所述知，l的方程为：4x+3y-4=0或x=1．

17． y=

令A（0，1），B（2，2），P（x，0），则问题转化为：在x轴上求一点P（x，0），使得|PA|+|PB|取得最小值，∵A关于x轴的对称点为A′（0，-1），所以（|PA|+|PB|）min=|A′B|=。

18．如图所示，设B关于l的对称点为B′（x′，y′），由

  解得B′（3，3），直线AB′的方程为

即2x+y-9=0.

由，故所求P点坐标为（2，5）

此时||PA|-|PB||=||PA|-|PB′||=|AB′|=为所求。