湖南省名校联考联合体2021-2022学年高二上学期12月联考数学试题（解析版）

名校联考联合体2021年秋季高二12月联考

数学

时量：120分钟    满分：150分

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 集合，则集合A元素有（     ）个.

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【答案】C

【解析】

【分析】根据，由为12的正约数求解.

【详解】因为，

所以为12的正约数，

故，

故集合A的元素有6个，

故选：C.

2. 若复数（，i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（       ）

A. 3 B.  C. 12 D.

【答案】B

【解析】

【分析】令，利用复数相等求解.

【详解】令，即，

由复数相等知：，

解得，，

故选：B.

3. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（    ）

A. 14 B. 16 C. 18 D. 20

【答案】B

【解析】

【分析】由题可知这是一个等差数列，前项和，，列式求基本量即可.

【详解】设每人所出钱数成等差数列，公差为，前项和为，

则由题可得，解得，

所以不更出的钱数为.

故选：B

4. 若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（       ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】且与不同向，进而求解即可得答案.

【详解】解：与夹角为锐角，则且与不同向，即，即，

由，共线得，得，

故.

故选:D.

5. “”是“函数在上有极值”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】对求导，取得函数在上有极值的等价条件，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】解：，则，

令，可得，

当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，

所以，函数在处取得极小值，

若函数上有极值，则，，

因为，但是由推不出，

因此是函数在上有极值的必要不充分条件．

故选：B．

6. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆和双曲线的离心率、分别为（       ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】设公共焦点为，推导出，可得出，进而可求得、的值.

【详解】设公共焦点为，则，则，即，故，

即，，

故选：B.

7. 在正四面体中，、分别为棱、中点，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设，，，设异面直线与所成角为，设，利用、、表示向量、，利用空间向量的数量积可求得的值.

【详解】设，，，设异面直线与所成角为，设，

则

，，

由空间向量数量积的定义可得，

则，

，

，

故，

故选：C.

8. 已知抛物线上两点A、B满足（O为坐标原点），且A、B分处对称轴的两侧，则直线AB过定点（       ）

A. （5，0） B. （1，0） C. （3，0） D. （2，0）

【答案】A

【解析】

【分析】设，，得到：，再由求得代入判断.

【详解】解：设，，

则：.

即，

又因为，

解得（舍）或，

则直线过点，

故选：A.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 下列关于统计或概率的命题，正确的是（       ）

A. 医院体检时抽取被检者血液进行分析，是抽样调查

B. 某班进行综合素质打分，由于班级获得了市优秀班级，每人综合素质都加了5分，则加分前后，全班得分的方差不变

C. 事件A、B互斥，则有

D. 事件A、B相互独立，则有

【答案】AB

【解析】

【分析】根据统计概率的基本概念，依次判断各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，抽血体检，血样为样品，故为抽样调查，正确；

对于B选项，根据方差的性质，每组数据同时加一个数，不影响方差，故正确；

对于C选项，事件A、B对立，则有，故错误；

对于D选项，事件A、B相互独立，则有，故错误.

故选：AB

10. 已知直线和圆，则（    ）

A. 直线l恒过定点（2，0）

B. 存在k使得直线l与直线垂直

C. 直线l与圆O相交

D. 若，直线l被圆O截得弦长为

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，B选项两直线斜率存在且垂直，斜率乘积为-1，从而存在满足题意，C选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断C选项；当时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长

【详解】直线，即，则直线恒过定点，故A错误；

当 时，直线与直线垂直，故B正确：

∵定点（-2，0）在圆O：x2+y2=9内部，∴直线l与圆O相交，故C正确：

当时，直线l化为，即x+y+2=0，圆心O到直线的距离，直线l被圆O截得的弦长为，故D正确，

故选：BCD.

11. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，则下列说法中正确的有（    ）

A. 当时，

B. 当时，取得最大值

C. 当时，

D. 当时，

【答案】AC

【解析】

【分析】依题意可得，即可得到，再根据等差数列前项和公式及通项公式计算可得；

【详解】解：因为，所以，即，即，所以，

所以，故A正确；

当时，，故C正确；

，当时时，取得最小值，当时，时，取得最大值，故B错误；

，，当时，，故D错误；

故选：AC

12. 在棱长为的正方体中，为正方形的中心，为棱上的动点，则下列说法正确的是（       ）

A. 点为中点时，

B. 点与点重合时，三棱锥外接球体积为

C. 当点运动时，三棱锥外接球的球心总在直线上

D. 当为的中点时，正方体表面到点距离为的轨迹的总长度为

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用线面垂直的性质可判断A选项的正误；利用球体的体积公式可判断B选项的正误；利用球体的几何性质可判断C选项的正误；确定点为球心，半径为的球在正方体每个面上的截面图形，求出轨迹的长度，可判断D选项的正误.

【详解】对于A，连接、，则为的中点，当点为的中点时，则，

平面，平面，则，

因为四边形为正方形，则，

，则平面，平面，则，

因此，，A对；

对于B，当点与点重合时，三棱锥的外接球即正方体外接球，

该球的半径为，该球的体积为，B错；

对与C，因为，且，则平面，

如下图所示，连接交于点，

因为，则，则，

易知为等边三角形，且为的中点，故为的中心，

故以为底的三棱锥的外接球球心在上，C对；

对于D，如下图所示，在侧面上，

设以点为球心，半径为的球分别交、于点、，则，

所以，，从而，故，

故在平面和平面上轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的两段弧，

设以为球心，为半径的球截平面所得圆的半径为，

则，

故以为球心，为半径的球在平面和平面上的轨迹是以为半径，圆心角为的两段弧，

因此，轨迹的总长度为，D对.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 已知，，，则用“＜”连接这三个数应为________.

【答案】

【解析】

【分析】分别利用函数、、的单调性求出a、b、c的取值范围，进而得出结果.

【详解】因为函数在上单调递增，且，

所以，即；

因为函数在R上单调递增，且-3.2<0，

所以，即；

因为函数在上单调递减，且6>1，

所以，即，

故.

故答案为：

14. 过点直线分别交轴正半轴和轴正半轴于点、，则（为原点）面积的最小值为________.

【答案】

【解析】

【分析】设点、，其中且，可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值.

【详解】设点、，其中且，则直线的方程为，

由已知可得，由基本不等式可得，则，

当且仅当，时，等号成立，故.

故答案为：.

15. 阿波罗尼奥斯（Apollonius）（公元前262～公元前190），古希腊人，与欧几里得和阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》凭一己之力将圆锥曲线研究殆尽，致使后人没有任何可插足之地；直到17世纪，笛卡尔和费马的坐标系之后，数学家建立起了解析几何体系，圆锥曲线的研究才有了突破.阿波罗尼奥斯在他的著作里得到了这样的结论：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，也称阿氏圆.已知动点到点与到点的距离之比为2：1，则动点P的轨迹方程为________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意得设，则，，进而根据题意求解即可.

【详解】解：设，则，，

因为动点到点与到点的距离之比为，

所以，

所以，化简得，

即，所以动点的轨迹方程为.

故答案为：

16. 函数的单调递增区间为________.

【答案】

【解析】

【分析】由复合函数单调性，即求的单调递减区间，注意定义域要求.

【详解】因为单调递减，根据同增异减，只需求解的单调递减区间，其中.当时为正且单调递减，故.

故答案为：

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 药物临床试验一般分为四期，每期都会征集一定量的志愿者参与试验.无论研究者或是受试者，知晓试验用药信息会对疗效安全性评价产生偏性评估.因此在临床试验中，盲法技术是为了避免主观因素对结果评定的影响，即将志愿者分组为试验组和对照组，分别给予有有效成份的药物和无有效成份的安慰剂，最后通过统计得到药物的客观效果.某药厂对一种新药进行二期试验，招募了100名志愿者参与，根据他们的年龄分布得到下面的频率分布直方图：

（1）试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数.

（2）A、B、C是参与此次试验的志愿者，他们被随机分配至试验组和对照组.实验组人数多于对照组，若A、B两人恰有一人分配到实验组的概率为，求实验组的人数，及三人中至少有2人分配到实验组的概率.

【答案】（1）43.5（岁），52.5（岁）   

（2）60，

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图得40~50岁年龄组的频率为，进而根据频率分布直方图估计平均年龄与第75百分位数；

（2）根据题意得、、三人被分配到实验组的概率相同，设为，进而根据A、B两人恰有一人分配到实验组的概率为得，再根据独立事件的概率求解即可.

【小问1详解】

解：由题知40~50岁年龄组的频率为

，

故该组100名志愿者的平均年龄

（岁）

由直方图知前三组频率之和为0.7，第四组为0.2，故第75百分位数应在第四组，设为，

则，解得（岁）.

所以第75百分位数为岁.

【小问2详解】

解：由题知、、三人被分配到实验组的概率相同，设为，

则分配到对照组的概率为，

用、、分别表示三人分配到实验组，、、分别表示三人分配到对照组.

表示、两人恰有1人分配到实验组，三人分组相互独立，则，解得，

故试验组人数为（人）.

表示三人中至少有两人分配到实验组，

.

18. 在△ABC中内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.

（1）求角.

（2）若，求边上的高.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理边化角得，进而得，故；

（2）由余弦定理得，再根据等面积法求解即可.

【小问1详解】

解：由题知，，

由正弦定理知，，

即.

又，且.

所以，

由于.

所以.

【小问2详解】

解：由余弦定理得：，解得.

又，，

所以.

19. 已知数列的前n项和为，且，数列的前n项和为，满足．

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）分别利用递推关系，即可求出数列，的通项公式；

（2）由（1）求出的通项公式，根据错位相减法即可求出结果.

【小问1详解】

解：当时，，

当时，，

所以，

所以为公比为2，首项的等比数列，

所以．

当时，，

当时，，

当时，上式仍成立，

∴．

【小问2详解】

解：，

∴，

∴，

两式相减得：

．

∴．

20. 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，侧棱PA垂直于底面，AB⊥AC，点E满足，且PB∥平面AEC.

（1）求的值.

（2）若PA=AB=3，AC=2，在线段PB上是否存在点Q，使二面角Q—AC—E的余弦值为？若存在，确定Q点的位置.若不存在，说明理由.

【答案】（1）   

（2）存在，在线段上靠近点的三等分点处

【解析】

【分析】（1）当，即为中点时成立，连结交于，连结， 易得，再利用线面平行的判定定理证明；

（2）以、、为、、轴建立空间直角坐标系，设，分别求得平面的一个法向量和平面的一个法向量为，由求解.

【小问1详解】

解：，即为中点，证明如下.

如图所示：

连结交于，连结，则为中位线.

即.

又平面，平面，

则平面，

故为中点，

即.

【小问2详解】

以、、为、、轴建立空间直角坐标系，

则，，，.

设平面的一个法向量为，

则，即.

令，得.

设，

则，

设平面的一个法向量为，

则，即，

当时，Q与B重合，则平面的一个法向量为，

则，不成立；

当时，令，得

令，即.

化简得：，

解得或.当时，不合题意.故.

故在线段上靠近点的三等分点处.

21. 已知函数，，曲线在点（2，）处的切线方程为.

（1）求的极值；

（2）当时，恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】（1）极大值，无极小值   

（2）

【解析】

【分析】（1）求得，根据曲线在点（2，）处的切线方程为，由，，求得，再利用导数法求解；

（2）将时，恒成立，转化为对任意的恒成立，令，，用导数法求其最小值即可.

【小问1详解】

解：.

因为曲线在点（2，）处的切线方程为.

所以，，

解得，.

所以.

由，得，当时，，当时，，

所以在处取得极大值，无极小值.

【小问2详解】

由（1）知：，，

则.

依题意对任意的恒成立.

所以对任意的恒成立.

令，，

，

令，，

所以，

令，得.

则当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以当时，函数的最小值为，且.

所以，即，则在上单调递增，

所以，

所以，

故实数的取值范围为.

22. 已知双曲线：（，）交轴于两点，是双曲线上异于的任意一点，直线分别交轴于点，，且双曲线离心率为2.

（1）求双曲线 的标准方程；

（2）设直线l：（）与双曲线交于两点，为双曲线虚轴在轴正半轴的端点，若，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）由题设设，，，进而得直线方程，再根据方程得坐标，再结合和得，最后根据离心率求解得答案；

（2）根据题意设，，线段中点坐标为，进而得，，再结合得并结合判别式求解不等式即可得答案.

【小问1详解】

解：由题及双曲线的对称性，设，，，

则：，

：，

故.

又，即，代入得

，又，

得，，即：

【小问2详解】

解： 由题知，，设，，线段中点坐标为，

联立，得，

依题意，得.

且，

即有，代入直线方程得，

由知，，

即：.

即.

所以，②且，③

由①②③式得，或