2022年河南省南阳市镇平县中考数学一模试卷（含解析）

2022年河南省南阳市镇平县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 化简的正确结果是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，电路图上有个开关、、、和个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是

A. 只闭合个开关
B. 只闭合个开关
C. 只闭合个开关
D. 闭合个开关
 

3. 如图，在平面直角坐标系中，有点，，以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段缩小后得到，则点的坐标为

A.
B.
C.
D.

4. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是

A.  B.
C. 且 D. 且

5. 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割．介于整数和之间，则的值是

A.  B.  C.  D.

6. 从鱼塘捕捞同时放养的草鱼尾，从中任选尾，称得每尾鱼的质量分别是，，，，，，，，单位：千克依此估计这尾的总质量大约为

A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克

7. 如图，的直径，切于点，平行于弦，，则的长为

A.
B.
C.
D.

8. 下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：

下列各选项中，正确的是

A. 这个函数的图象开口向下
B. 这个函数的图象与轴无交点
C. 这个函数的最小值小于
D. 当时，的值随值的增大而增大

9. 如图，在建筑物左侧距楼底点水平距离米的处有一山坡，斜坡的坡度或坡比为：，坡顶到的垂直距离米点，，，，在同一平面内，在点处测得建筑物顶点的仰角为，则建筑物的高度约为
   参考数据：；；

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

10. 如图，在中，，，以点为中心，把逆时针旋转，得到，则图中阴影部分的面积为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 如果代数式有意义，那么实数的取值范围是______．
12. 写出一个开口向上，顶点在轴的负半轴上的抛物线的解析式：______．
13. 罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．下图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：
    
    下面三个推断：当罚球次数是时，该球员命中次数是，所以“罚球命中”的概率是；随着罚球次数的增加，“罚球命中”“的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是；由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是，所以“罚球命中”“的概率是其中合理的是______填序号
14. 如图，的半径为将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心则这条劣弧的弧长为______．
    
    
     

15. 如图，在中，，，，、分别为直线、上的点，沿直线将折叠，点落在处，当点恰好在上，且与原相似时，的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
17. 为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩为：优秀、优良、合格、不合格四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制成了如下统计图．
    直接写出本次抽样调查的样本容量，补全条形统计图；
    该校共有名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数．

18. 从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为，，，．
    将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是的概率为______；
    将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知二次函数．
    求证：无论取任何实数，该函数的图象与轴总有交点；
    如果该函数的图象与轴只有一个交点，求该函数图象的对称轴和顶点坐标．
    
    
    
    
    
    
     
20. 某学校数学兴趣小组组织了一次测大桥桥墩高度的活动，如图，斜坡长为米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，长米，求桥墩的高结果保留位小数．参考数据，，，

21. 已知，如图，矩形中，，，矩形的三个顶点、、分别在矩形的边、、上含端点，，连接，设．
    求证：∽；
    的面积，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
    当时，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，四边形内接于，为直径，点作于点，连接．
    求证：；
    若是的切线，，连接，如图．
    请判断四边形的形状，并说明理由；
    当时，求，与围成阴影部分的面积．

23. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点直线经过点，．
    求抛物线的解析式；
    直线交抛物线于点、，抛物线的顶点为，四边形为菱形．
    当时，求菱形的面积；
    当点落在内部不含边上时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
故选：．
根据二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的化简，算术平方根，解题时注意：算术平方根与平方根的区别．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、只闭合个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B、只闭合个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C、只闭合个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D、闭合个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
故选：．
根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．
考查了随机事件的判断，解题的关键是根据题意判断小灯泡能否发光，难度不大．
 

3.【答案】
 

【解析】解：由题意得，∽，相似比是，
，
又，，
，，
点的坐标为：，
故选：．
根据位似变换的性质可知，∽，相似比是，根据已知数据可以求出点的坐标．
本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．
 

4.【答案】
 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后其出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，介于整数和之间，
的值是；
故选：．
根据黄金分割比为，求解即可．
此题考查了黄金分割，树立黄金分割比是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：估计这尾的总质量大约为千克，
故选：．
用总数量乘以样本的平均质量即可．
本题主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
 

7.【答案】
 

【解析】解：连接，

是直径，
，
，
，
．
切于点，
，
，
．
又，，
．
故选：．
连接，首先由切线的性质得出，根据锐角三角函数的定义求出的值；由直径所对的圆周角是直角，得出，又由平行线的性质知，则，在直角中，由余弦的定义求出的长．
本题综合考查切线、平行线、圆周角的性质，锐角三角函数的定义等知识点的运用．此题是一个综合题，难度中等．
 

8.【答案】
 

【解析】解：设二次函数的解析式为，
由题知，
解得，
二次函数的解析式为，
A.函数图象开口向上，故A选项不符合题意；
B.与轴的交点为和，故B选项不符合题意；
C.当时，函数有最小值为，故C选项符合题意；
D.函数对称轴为直线，根据图象可知当时，的值随值的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选：．
设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：斜坡的坡度或坡比为：，
：：，
米，
米，
米，
米，

米．
故选：．
利用斜坡的坡度或坡比为：，求出的长，从而得出，再利用即可求出的长．
本题主要考查了解直角三角形的应用，明确坡度、仰角、俯角是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：在中，，，
，，
阴影部分的面积，
故选：．
根据阴影部分的面积是扇形的面积的面积的面积扇形的面积，代入数值解答即可．
本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为，半径为的扇形的面积为．
 

11.【答案】
 

【解析】解：由题意可知：，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件即可求出的取值范围．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
 

12.【答案】
 

【解析】解：开口向上，并且与轴交点在轴负半轴的抛物线的表达式可以是．
故答案为．
图象开口向上，解析式的二次项系数为正数，顶点在轴负半轴上，顶点的横坐标为，纵坐标为负数，根据顶点式写出一个二次函数解析式即可．
本题考查了二次函数的性质与系数的关系．开口方向由二次项系数的符号确定，顶点在轴上时，一次项系数为．
 

13.【答案】
 

【解析】解：当罚球次数是时，该球员命中次数是，所以此时“罚球命中”的频率是：，但“罚球命中”的概率不一定是，故错误；
随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是故正确；
虽然该球员“罚球命中”的频率的平均值是，但是“罚球命中”的概率不是，故错误．
故答案为：．
根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
本题考查利用频率估计概率，算术平均数，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，，过点作于点，交于点．

由题意，垂直平分线段，

，
，
是等边三角形，
，
同法可证，
，
的长，
故答案为：
如图，连接，，过点作于点，交于点证明是等边三角形，求出，利用弧长公式求解．
本题考查弧长公式，垂径定理，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
 

15.【答案】或
 

【解析】解：在中，，，，
，
如图中，当时，∽，是的中位线，．


如图中，当点重合时，∽，此时．

综上所述，的长为或．
分两种情形：如图中，当时，是的中位线，如图中，当点重合时，∽，分别求解即可．
本题考查相似三角形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：原式


，
当时，
原式．
 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】解：由条形统计图可得等级的人数为人，由扇形统计图可得等级的人数占比为，
样本容量为．
等级的人数占比为，
等级的人数为：人．
等级的人数：人．
补全条形统计图如下：


样本中优秀的占比为，
可以估计该校名学生中的优秀的占比为．
估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数为：人．
 

【解析】由已知等级的人数为人，所占百分比为，可得样本容量；利用样本容量可求，等级的人数；
利用样本估计总体的思想，用样本的优秀率估计总体的优秀率可得结论．
本题主要考查了统计的相关知识，包括总体，个体，样本，样本容量，利用列表法或画树状图求事件的概率，用样本估计总体的思想，条形统计图等，准确地理解相关的数量指标，并熟练的应用是解题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是的概率为，
故答案为：；
画树状图如图：

共有种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有种，
抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】证明：令，则，



，
无论取任何实数，方程总有实数根，
无论取任何实数，该函数的图象与轴总有交点；
解：该函数的图象与轴只有一个交点，
．
解：．
．
该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为．
 

【解析】令，则，说明此方程的即可；
利用该函数的图象与轴只有一个交点，得到，解关于的方程求得值，再利用二次函数的性质解答即可．
不通主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，利用配方法解答是解题的关键．
 

20.【答案】解：过点作于点，过点作于点，延长交于点，

在中，，米，
米，米，
米，
在中，米，
米，
答：桥墩的高约为米．
 

【解析】过点作于点，过点作于点，延长交于点，根据正弦、余弦的定义求出、，可得的值，根据正切的定义求出，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题、仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义、坡度坡角的定义、锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

21.【答案】证明：在矩形中，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
∽；
解：，，
，
∽，
，
，
解得，
的面积为，
根据题意得：，
解得，
与之间的函数关系式为；
解：当时，点，，共线，
根据题意得：，，
，，
，
∽，
，
即，
解得或．
 

【解析】根据同角的余角相等可得，从而证明结论；
根据∽，得，解得，从而表示出，再根据，，可得的范围；
当时，点，，共线，利用∽，得，代入计算即可．
本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，三角形的面积等知识，熟练掌握相似的基本模型是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是的内接四边形，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
；

四边形是菱形，理由：
，
，
是的切线，
，
，
，
，
由知，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形；
由知，四边形是菱形，
，
，
由知，，
在中，，
，，
，与围成阴影部分的面积为



 

【解析】先判断出，再用等角的余角相等，即可得出结论；
先判断出，再判断出，进而得出四边形是平行四边形，即可得出结论；
先求出，，再用面积的和，即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了同角的余角相等，切线的性质，菱形的判定，扇形的面积公式，判断出是解本题的关键．
 

23.【答案】解：直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
抛物线经过点、，
，
解得：，
该抛物线的解析式为：；
如图，连接交于点，
当时，，
解得：，，
，，
，
，
顶点为，
四边形为菱形，
，，
轴，
轴，
，
，
，
；
如图，连接交于点，
四边形为菱形，
，，
轴，
轴，
、关于直线对称，为的中点，
，，
，
当点落在边上时，
在中，令，得，
解得：，，
，
，
，
解得：；
当点落在边上时，把代入，
得：，
解得：，
点落在内部不含边上，
，
的取值范围是．
 

【解析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再运用待定系数法即可求得答案；
如图，连接交于点，由，可求出：，，进而可得，利用配方法求得顶点为，运用菱形性质即可求得答案；
如图，连接交于点，根据菱形性质可得出：、关于直线对称，为的中点，由，，可得，再分两种情况：当点落在边上时，当点落在边上时，分别求出对应的值，再由点落在内部不含边上，可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，菱形性质等，本题难度适中，运用分类讨论的方法是解题关键．