2024年河南省南阳市油田中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年河南省南阳市油田中考数学一模试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中.如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作( )
A. −5元B. 0元C. +5元D. +10元
2.2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步.已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为( )
A. 2.8×10−10B. 2.8×10−8C. 2.8×10−6D. 2.8×10−9
3.某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是( )
A. 传B. 承C. 文D. 化
4.如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°，则∠BOC的大小为( )
A. 36°
B. 44°
C. 54°
D. 63°
5.下列因式分解正确的是( )
A. 2a2−4a+2=2(a−1)2B. a2+ab+a=a(a+b)
C. 4a2−b2=(4a+b)(4a−b)D. a3b−ab3=ab(a−b)2
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC=40°，则∠DBC的度数为( )
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
7.一元二次方程x2+3x−2=0根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不能判定
8.在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球(除标记外其它都相同)放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是( )
A. 摸出“北斗”小球的可能性最大B. 摸出“天眼”小球的可能性最大
C. 摸出“高铁”小球的可能性最大D. 摸出三种小球的可能性相同
9.将抛物线y=(x−1)2+5通过平移后，得到抛物线的解析式为y=x2+2x+3，则平移的方向和距离是( )
A. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
10.如图，正方形ABCD的边长为4，动点P从点B出发沿折线BCDA做匀速运动，设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，下列图象能表示y与x之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出一个小于4的正无理数是______．
12.方程2x+3=1x的解为______．
13.有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是______．
14.如图，边长为 2的正方形ABCD内接于⊙O，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：−14+|1− 2|−(π−3.14)0；
(2)计算：(x+2y)(x−2y)−y(3−4y)．
17.(本小题9分)
学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位：分)进行统计：
七年级86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：a= ______，b= ______；
A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生；
(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
(3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
18.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE/​/AB．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；(不写作法，保留作图痕迹，标明字母)
(2)在(1)的条件下，求证：BD=BF．
19.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y=mx(x>0)的图象相交于点C，已知OA=1，点C的横坐标为2．
(1)求k，m的值；
(2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
20.(本小题9分)
一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯(灯杆底部不可到达)的高AB.如图所示，当小明爸爸站在点D处时，他在该景观灯照射下的影子长为DF，测得DF=2.4m；当小明站在爸爸影子的顶端F处时，测得点A的仰角α为26.6°.已知爸爸的身高CD=1.8m，小明眼睛到地面的距离EF=1.6m，点F、D、B在同一条直线上，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB.求该景观灯的高AB.(参考数据：sin26.6°≈0.45，cs26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)
21.(本小题9分)
为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗，已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元．
(1)求每棵甲、乙树苗的价格；
(2)本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值(含生态价值、经济价值等)均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？
22.(本小题10分)
一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
23.(本小题10分)
(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH.求证：∠ADF=∠H．
【类比迁移】
(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：把收入5元记作+5元，
根据收入和支出是一对具有相反意义的量，
支出5元就记作−5元．
故答案为A．
本题考查负数的概念问题，负数和正数是具有相反意义的量，收入和支出是一对具有相反意义的量，进而作答．
本题考查负数和正数是具有相反意义的量，收入和支出是一对具有相反意义的量，解题的关键是理解相反意义的含义，进而作答．
2.【答案】B
【解析】解：0.000000028=2.8×10−8．
故选：B．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法—表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
3.【答案】D
【解析】解：根据图示知：“传”与“文”相对；
“承”与“色”相对；
“红”与“化”相对．
故选：D．
根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，结合展开图很容易找到与“红”字所在面相对的面上的汉字．
本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，解决本题的关键是根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠AOC=90°，∠AOD=126°，
∴∠COD=∠AOD−∠AOC=36°，
∵∠BOD=90°，
∴∠BOC=∠BOD−∠COD
=90°−36°
=54°．
故选：C．
先求出∠COD的度数，然后根据∠BOC=∠BOD−∠COD，即可得出答案．
本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，根据角的和差首先求出∠COD的度数．
5.【答案】A
【解析】解：A选项，2a2−4a+2=2(a−1)2，故该选项符合题意；
B选项，a2+ab+a=a(a+b+1)，故该选项不符合题意；
C选项，4a2−b2=(2a+b)(2a−b)，故该选项不符合题意；
D选项，a3b−ab3=ab(a2−b2)=ab(a+b)(a−b)，故该选项不符合题意．
故选：A．
利用提公因式法、公式法逐个分解得结论．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵BD经过圆心O，
∴∠BCD=90°，
∵∠BDC=∠BAC=40°，
∴∠DBC=90°−∠BDC=50°，
故选：B．
由圆周角定理可得∠BCD=90°，∠BDC=∠BAC=40°，再利用直角三角形的性质可求解．
本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由题意得，Δ=32−4×1×(−2)=17>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
利用一元二次方程根的判别式求解即可．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根．
8.【答案】C
【解析】解：∵有3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球，
∴小红从盒中随机摸出1个小球，摸出标有“北斗”的概率是33+2+5=310；
摸出标有“天眼”的概率是23+2+5=210；
摸出标有“高铁”的概率是53+2+5=510，
∵510>310>210，
∴摸出标有“高铁”小球的可能性最大．
故选：C．
分别求出摸出三种小球的概率，再比较大小即可．
本题考查的是可能性的大小，根据题意求出摸出各种小球的概率是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：抛物线y=(x−1)2+5的顶点坐标为(1,5)，抛物线y=x2+2x+3=(x+1)2+2的顶点坐标为(−1,2)，
而点(1,5)向左平移2个，再向下平移3个单位可得到(−1,2)，
所以抛物线y=(x−1)2+5向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x2+2x+3．
故选：D．
先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
10.【答案】D
【解析】【分析】
分段求出函数关系式，再观察图象可得答案．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是分段求出函数关系式．
【解答】
解：当P在BC上，即0当P在CD上，即4当P在AD上，即8观察4个选项，符合题意的为D；
故选：D．
11.【答案】 2
【解析】解：一个小于4的正无理数是 2.(答案不唯一)
故答案为： 2．
根据4= 16，以及无理数的特征，一个小于4的正无理数是 2．
此题主要考查了实数大小比较的方法，以及无理数的特征和应用，解答此题的关键是要明确：无限不循环小数叫做无理数．
12.【答案】x=3
【解析】解：方程两边同时乘以x(x+3)得：
2x=x+3，
解得x=3，
检验：x=3时，x(x+3)≠0，
∴方程的解为x=3．
故答案为：x=3．
先将分式化为整式，然后求解并检验．
本题考查解分式方程，解题关键是先将分式方程化为整式方程求解，然后检验增根情况．
13.【答案】14
【解析】解：树状图如图所示，
由上可得，一共有16种等可能性，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的有4种可能性，
∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为416=14，
故答案为：14．
根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
14.【答案】1−π4
【解析】解：连接OA，OD，
∵AP，PD是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠ODP=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
∵OA=OD，
∴四边形OAPD是正方形，
∵AD= 2，
∴OA= 22AD=1，
∴图中阴影部分的面积=正方形OAPD的面积−扇形AOD的面积=1×1−90⋅π×12360=1−π4，
故答案为：1−π4，
连接OA，OD，根据切线的性质得到∠OAP=∠ODP=90°，根据正方形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查正多边形与圆，切线的性质，掌握正多边形与圆的性质是正确计算的前提，判定四边形OAPD是正方形是解决问题的关键．
15.【答案】9
【解析】解：∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC∴B′E=BE=2CE=6，
∴BC=CE+BE=3+6=9．
故答案为：9．
根据折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质得出B′E=BE，=2CE=6即可求解．
本题考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质熟练掌握以上性质是解题关键．
16.【答案】解：(1)原式=−1+( 2−1)−1
=−1+ 2−1−1
= 2−3．
(2)原式=x2−4y2−3y+4y2
=x2−3y．
【解析】(1)先根据实数的性质，零指数幂和绝对值的意义化简，再算加减；
(2)先根据平方差公式，单项式乘以多项式的法则计算，再去括号合并同类项即可．
本题考查了实数的混合运算，零指数幂和绝对值的意义，平方差公式，以及单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键．
17.【答案】85 87 七
【解析】解：(1)把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a=84+862=85，
八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数b=87，
A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85，87，七；
(2)510×200×610×200=220(人)，
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人；
(3)我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
(1)根据中位数和众数的定义即可求出答案；
(2)分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
(3)两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
18.【答案】(1)解：如图：直线BF即为所求直线；
(2)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AB/​/CE，
∴∠ABC=∠BCF，
∴∠BCF=∠ACB，
∵点D在以AB为直径的圆上，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
∵BF为⊙O的切线，
∴∠ABF=90°，
∵AB/​/CE，
∴∠BFC+∠ABF=180°，
∴∠BFC=90°，
∴∠BDC=∠BFC，
在△BCD和△BCF中，
∠BDC=∠BFC∠DCB=∠FCBBC=BC，
∴△BCD≌△BCF(AAS)，
∴BD=BF．
【解析】(1)过B作AB的垂线即为过点B的⊙O的切线；
(2)由AB=AC，AB/​/CE，可得∠BCF=∠ACB，而点D在以AB为直径的圆上，BF为⊙O的切线，可得∠BDC=∠BFC，即可证明△BCD≌△BCF，从而BD=BF．
本题考查作圆的切线和全等三角形判定与性质，解题的关键是掌握基本作图，能熟练运用三角形全等的判定定理．
19.【答案】解：(1)∵OA=1，
∴点A的坐标为(−1,0)，
则−k+2=0，
解得：k=2，
∴直线l的解析式为y=2x+2，
∵点C在直线l上，点C的横坐标为2，
∴点C的纵坐标为2×2+2=6，
∴点C的坐标为(2,6)，
∴m=2×6=12；
(2)设点D的坐标为(n,2n+2)，则点E的坐标为(n,12n)，
∴DE=|2n+2−12n|，
∵OB/​/DE，
∴当OB=DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∵直线y=2x+2与y轴交于点B，
∴OB=2，
∴|2n+2−12n|=2，
当2n+2−12n=2时，n1= 6，n2=− 6(舍去)，
此时，点D的坐标为( 6,2 6+2)，
当2n+2−12n=−2时，n1= 7−1，n2=− 7−1(舍去)，
此时，点D的坐标为( 7−1,2 7)，
综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为( 6,2 6+2)或( 7−1,2 7).
【解析】(1)根据题意求出点A的坐标，进而求出k，再求出点C的坐标，求出m；
(2)分2n+2−12n=2、2n+2−12n=−2两种情况，计算即可．
本题考查的是反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
20.【答案】解：过点E作EH⊥AB，垂足为H，

由题意得：EH=FB，EF=BH=1.6m，
设EH=FB=x m，
在Rt△AEH中，∠AEH=26.6°，
∴AH=EH⋅tan26.6°≈0.5x(m)，
∴AB=AH+BH=(0.5x+1.6)m，
∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴∠CDF=∠ABF=90°，
∵∠CFD=∠AFB，
∴△CDF∽△ABF，
∴CDAB=DFBF，
∴1.8AB=2.4x，
∴AB=34x，
∴34x=0.5x+1.6，
解得：x=6.4，
∴AB=34x=4.8(m)，
∴该景观灯的高AB约为4.8m．
【解析】过点E作EH⊥AB，垂足为H，根据题意可得：EH=FB，EF=BH=1.6m，然后设EH=FB=xm，在Rt△AEH中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，从而求出AB的长，再根据垂直定义可得∠CDF=∠ABF=90°，从而证明A字模型相似三角形△CDF∽△ABF，最后利用相似三角形的性质可得AB=34x，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，相似三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设甲种树苗的价格为x元/棵，乙种树苗的价格为y元/棵，
根据题意得：3x+2y=12x+3y=11，
解得：x=2y=3．
答：甲种树苗的价格为2元/棵，乙种树苗的价格为3元/棵；
(2)设种植乙种树苗m棵，则种植甲种树苗(200−m)棵，
根据题意得：2×100(200−m)+3×100m≥50000，
解得：m≥100，
∴m的最小值为100．
答：乙种树苗种植数量不得少于100棵．
【解析】(1)设甲种树苗的价格为x元/棵，乙种树苗的价格为y元/棵，根据“购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设种植乙种树苗m棵，则种植甲种树苗(200−m)棵，根据要获得不低于5万元的价值，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】解：(1)根据题意可得，抛物线过(0,10)和(3,7)，对称轴为直线x=1，
设y关于x的函数表达式为y=ax2+bx+c，
∴c=109a+3b+c=7−b2a=1，
解得：a=−1b=2c=10，
∴y关于x的函数表达式为y=−x2+2x+10；
(2)在y=−x2+2x+10中，令y=0得0=−x2+2x+10，
解得x= 11+1或x=− 11+1(舍去)，
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为( 11+1)米．
【解析】(1)用待定系数法可得函数解析式；
(2)结合(1)，令y=0解得x的值即可．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题解决．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠ADE=90°，
∴∠CDF+∠DFC=90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE=90°，
∴∠CDF+∠AED=90°，
∴∠AED=∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，AD//BC，∠ADE=∠DCF=90°，
在Rt△ADE和Rt△DCF中，
AE=DFAD=DC
∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，
∴DE=CF，
∵CH=DE，
∴CF=CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH=∠DCF=90°，
在△DCF和△DCH中，
CF=CH∠DCF=∠DCHDC=DC
∴△DCF≌△DCH(SAS)，
∴∠DFC=∠H，
∵AD/​/BC，
∴∠ADF=∠DFC，
∴∠ADF=∠H；
(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG=DE=8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC，AD//BC，
∴∠ADE=∠DCG，
在△ADE和△DCG中
AD=DC∠ADE=∠DCGDE=CG
∴△ADE≌△DCG(SAS)，
∴∠DGC=∠AED=60°，AE=DG，
∵AE=DF，
∴DG=DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG=DF=11，
∵CF+CG=FG，
∴CF=FG−CG=11−8=3，
即CF的长为3．
【解析】(1)由矩形的性质得∠C=∠ADE=90°，再证∠AED=∠DFC，即可得出结论；
(2)证Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，得DE=CF，再证△DCF≌△DCH(SAS)，得∠DFC=∠H，然后由平行线的性质得∠ADF=∠DFC，即可得出结论；
(3)延长BC至点G，使CG=DE=8，连接DG，△ADE≌△DCG(SAS)，得∠DGC=∠AED=60°，AE=DG，再证△DFG是等边三角形，得FG=DF=11，即可解决问题．
本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
a
90
44.4
八年级
84
87
b
36.6