2022年河南省南阳市唐河县中考数学一模试卷（含解析）

2022年河南省南阳市唐河县中考数学一模试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 年月日李克强总理在十三届全国人大第五次会议上作政府工作报告时指出，我国经济保持恢复发展，国内生产总值达到万亿元，增长，将数据万亿用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 如图是由个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是

A. 俯视图不变，左视图不变
B. 主视图改变，左视图改变
C. 俯视图不变，主视图不变
D. 主视图改变，俯视图改变
 

5. 如图，已知直线、、相交于点，，且，，则的度数为

A.  B.  C.  D.

6. 下列说法正确的是

A. “若是实数，则”是必然事件
B. 在一组数据，，，，，，中，众数和中位数都是
C. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定
D. 为了了解全国中学生的心理健康情况，选择全面调查

7. 如图，在中，，，将沿着点到点的方向平移到的位置，图中阴影部分面积为，则平移的距离为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，点，以线段为边作正方形，且点在反比例函数图象上，则的值为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在菱形中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，则的值为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为

A.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共5小题，共15分）

11. 比较大小： ______选填“”、“”或“”．
12. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象，为宣传北京年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：
    某班级举行冬奥会有奖问答活动，在抢答环节中，若答对两题，可从枚邮票中任意抽取枚作为奖品，则恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为______．
13. 不等式的解集为______．
14. 如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为如图，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为______答案用根号表示

15. 如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，当为直角三角形时，的长为______．
     

三．解答题（本题共8小题，共75分）

16. 先化简：，并从中选取合适的整数代入求值．
17. 为了纪念中国共产党建党百年，某校进行了“四史”学习教育知识竞赛，该校全体同学参加了知识竞赛．
    收集数据：现随机抽取了部分同学的“四史知识竞赛”成绩，分数如下单位：分：
    
    整理分析数据：

填空；______，______；
补充完整频数分布直方图，并求出成绩优秀分及以上的学生占全校学生人数的百分比；
学校决定表彰“四史知识竞赛”成绩在分的同学．根据上面统计结果估计该校人中，约有多少人将获得表彰；
通过“四史知识竞赛”以及学习党史的过程中，写出你最深的感悟．

18. 如图，与相切于点，且为线段的中点，直线与交于点和点，与交于点，连接，．
    求证：；
    若，，则 ______ ；
    连接，，当的度数为______ 时，四边形是菱形．
     

19. 年“五一”期间，修复后的安阳老城东南城墙及魁星阁与市民见面，这一始建于北魏天兴元年公元年的建筑，在多年后，以崭新的面貌向世人展示历史印记，古代安阳“魁星取水”景观即将重现．
    某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得魁星阁顶端的仰角是，朝魁星阁方向走米到达处，在处测得魁星阁顶端的仰角是若测角仪和的高度均为米，求魁星阁顶端距离地面的高度图中的值参考数据：，，，，结果精确到米

20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，点的坐标为，点的坐标为．
    则______，______；
    若时，则的取值范围是______；
    过点作轴于点，连接，过点作于点，求线段的长．
21. 冰墩墩，是年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中，两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：

第一次小冬元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个．
第二次小冬进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
小冬第二次进货时采取了中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小冬来说哪一次更合算？注：利润率

22. 如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与轴交于点，其顶点为．
    
    填空：抛物线的解析式为______ ；
    若是抛物线上位于直线上方的一个动点，设点的横坐标为，过点作轴的平行线交与，当为何值时，线段的长最大，并求其最大值；
    若抛物线的对称轴与直线相交于点，为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以，，，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
23. 【问题发现】如图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上．填空：线段，之间的数量关系为______；______
    【类比探究】如图，和均为等腰直角三角形，，，，点，，在同一条直线上，请判断线段，之间的数量关系及的度数，并给出证明．
    如图，在中，，，，点在边上，于点，，将绕点旋转，当所在直线经过点时，的长是多少？直接写出答案

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：
故选：。
计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号。
规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。
 

2.【答案】

【解析】解：万亿亿，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：不能合并为一项，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：将正方体移走后，
新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，俯视图和左视图没有发生改变；
故选：．
利用结合体的形状，结合三视图可得出俯视图和左视图没有发生变化；
此题主要考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
故选D．
根据对顶角相等，以及垂直的定义求出所求角度数即可．
此题考查了垂直的定义以及对顶角的性质，熟练掌握各自的性质和定义是解本题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：选项，也可能等于，故该选项不符合题意；
选项，将数据从小到大排序为：，，，，，，，众数和中位数都是，故该选项符合题意；
选项，方差小的数据稳定，故该选项不符合题意；
选项，为了了解全国中学生的心理健康情况，应该选择抽样调查，故该选项不符合题意；
故选：．
根据必然事件的定义判断选项；根据众数与中位数的定义判断选项；根据方差小的数据稳定判断选项；根据全国中学生人数众多选择抽样调查判断选项．
本题考查随机事件，众数、中位数、方差，非负数的性质：绝对值，全面调查和抽样调查，掌握方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：，，，
，
是直角三角形，，
将沿着点到点的方向平移到的位置，
的面积的面积，，
图中阴影部分面积为，
，
，
解得：，
即平移的距离是，
故选：．
根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，求出的面积，根据平移的性质得出，的面积的面积，再根据面积比等于相似比的平方得出即可．
本题考查了平移的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积和相似三角形的性质等知识点，能求出的面积是解此题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：一次函数中，当时，，
，
；
当时，，
，
，
；
过点作轴于，
四边形是正方形，
，，
，，
．
在和中，
，
≌，
，，
，
点坐标为，
点在反比例函数图象上，
．
故选：．
过点作轴于，证明≌，可得点坐标，代入求解即可．
本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．
 

9.【答案】

【解析】解：由作法得垂直平分，
，，
四边形为菱形，
，
，，
作交的延长线于，如图，
在中，，，
，，，

在中，，
故选：．
由作法得垂直平分，则，，于是可判断，；作于，由则可计算出，，利用勾股定理可计算出．
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图作已知线段的垂直平分线也考查了菱形的性质．
 

10.【答案】

【解析】解：过点作，

菱形中，，
当点在边上运动时，的值不变，
，即菱形的边长是，
，即．
当点在上运动时，逐渐减小，
，
．
在中，，，，
，解得．
故选：．
过点作，根据图象的三角形的面积可得菱形的边长为，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求．
本题考查菱形的性质，根据图象分析得出的值是解题关键．
 

11.【答案】

【解析】解：，，
，
，
故答案为：．
先分别求出两个数的平方，根据求出的结果再比较大小即可．
本题考查了实数的大小比较法则和算术平方根，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：将这枚邮票分别记作、、、，列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有种结果，
所以恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为，
故答案为：．
将这枚邮票分别记作、、、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】

【解析】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
故答案为：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：连接，
扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，
，，
，
，，
由弧、线段和所围成的图形的面积，
阴影部分的面积为，
故答案为：．
连接，利用折叠性质得由弧、线段和所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，根据勾股定理求出，从而得到，，然后根据扇形面积公式，利用由弧、线段和所围成的图形的面积，进行计算即可．
本题考查的是扇形面积的计算折叠的性质，将不规则图形面积转化为规则图形的面积、记住扇形面积的计算公式是解题的关键．
 

15.【答案】或

【解析】解：由翻折可得，
当时，
为的中点，，
，
，即，
点的对应点不能落在所在的直线上，
的情况不存在；
当时，，如图．

由翻折可得，
，
，
；
当时，如图．

则，
点，，三点在同一条直线上，
设，则，
在中，
，
，
在中，
由勾股定理可得，
解得，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为：或．
分情况讨论，当时，当时，当时，再分别利用翻折的性质和勾股定理求解即可．
本题考查翻折变换折叠问题、勾股定理，根据题意画出图形并分情况讨论是解题的关键．
 

16.【答案】解：





，
要使分式有意义，，，，
不能为，，，
，为整数，
取，
当时，原式．

【解析】先算括号内的加减，把除法变成乘法，算乘法，求出的值，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，一元一次不等式组的整数解等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

17.【答案】  ；
补充完整的频数分布直方图如图，

优秀的学生占全校学生人数的百分比为：．
该校人中获得表彰人数约有人；
合适，积极即可．如：通过“四史知识竞赛”以及学习党史的过程中，我们更加热爱祖国，热爱中国共产党．

【解析】解：根据题意可知：，；
故答案为：，；
见答案．
根据题意所给数据即可得的值，用总数减去前三组的频数即可得的值；
结合即可补充完整频数分布直方图，进而可得分及以上的学生占全校学生人数的百分比；
利用样本估计总体的方法即可估计该校人中，约有多少人将获得表彰；
通过以上数据的分析即可写出感悟．
本题考查了频数分布直方图，用样本估计总体，频数分布表，解决本题的关键是准确画出频数分布直方图．
 

18.【答案】 

【解析】证明：连接如图所示：
是的切线，
，
为线段的中点，
垂直平分线段，
，
，
，，
；
解：连接，过点作于，延长交于，如图所示：
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：；
如图所示：
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
证明：连接由切线的性质得，由为线段的中点得出垂直平分线段，则，得，由圆周角定理即可得出结论；连接，过点作于，延长交于，先求出，由勾股定理得，易证，得，则，求出，证得四边形是矩形，得出，，，由勾股定理即可得出结果；
易证是等边三角形，则，由，即可得出结果．
本题是圆综合题，主要考查了圆周角定理、切线的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理、切线的性质和矩形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：由题意知，，，米，米，
设米，
在中，
米，，
米，
米，
在中，
，
，
即，
解得米，
米．
答：铁塔的高度约为米．

【解析】解直角三角形求出即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】    或

【解析】解：点，在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
在反比例函数的图象上，
，
，
故答案为：，；

由知，，
，
，
当或时，，
故答案为：或；

轴，，
，
，
点到的距离，
，，
，
，
，
．
先将点坐标代入反比例函数解析式中，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式中求出；
根据图象直接得出结论；
先求出，，再求出，最后用三角形的面积公式建立方程求解，即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，三角形的面积公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
 

21.【答案】解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，
由题意，得，
解得：．
个．
答：款玩偶购进个，款玩偶购进个；
设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，
由题意，得．
款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．
，
，
．
，
随的增大而增大．
时，元．
款玩偶为：个．
答：按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元；
第一次的利润率，
第二次的利润率，
，
对于小李来说第一次的进货方案更合算．

【解析】设款玩偶购进个，款玩偶购进个，由用元购进了，两款玩偶建立方程求出其解即可；
设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，根据题意可以得到利润与款玩偶数量的函数关系，然后根据款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，可以求得款玩偶数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润；
分别求出两次进货的利润率，比较即可得出结论．
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
 

22.【答案】

【解析】解：将，代入抛物线的解析式得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
故答案为：；
是抛物线上位于直线上方的一个动点，横坐标为，
点的坐标为；
设直线的解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为；
轴，点在上，
点的坐标为，


，
当时，的长最大，最大值为；
以，，，为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下：

，
顶点，
直线的解析式为，抛物线的对称轴与直线相交于点，
，
，
设点，则，

，
，
，
，
或，
解得：，舍，，．
点的坐标为：或或

利用待定系数法求解即可；
设直线的解析式为，利用待定系数法求得其解析式，用含的式子表示点和点的坐标，从而用含的式子表示出线段，根据二次函数的性质可得答案；
将抛物线写成顶点式，求得顶点的坐标，由以，，，为顶点的四边形能为平行四边形，且，可得，设点，则，，根据得出关于的方程，求解即可．
本题属于二次函数综合题，综合考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质及平行四边形的性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：和均为等边三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
点，，在同一直线上，
，
，
，
综上，可得的度数为；线段与之间的数量关系是：．
故答案为：，．

结论：，．
理由：和均为等腰直角三角形，
，，
，，
和中，，，，
，
，
又，
∽，
，，
，
，
，
，
；

如图中，

，
，，，四点共圆，
，，
，
，
∽，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
如图中，当，，在同一直线上时，同法可知，，

综上所述，的长为或．
首先根据和均为等边三角形，可得，，，，据此判断出，然后根据全等三角形的判定方法，判断出≌，即可判断出，，进而判断出的度数为即可；
首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．