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专练15-30题（几何压轴大题）2022中考数学考点必杀500题（江苏专用）
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2022中考考点必杀500题
专练15（几何压轴大题）（30道）
1．（2021·江苏苏州·一模）如图1，在中，，点P以每秒一个单位的速度沿着运动，始终与相切，切点为D，设点P运动的时间为t，的面积为y．y与t之间的函数关系为二次函数，表示为图2．
（1）当时，的半径长为________；
（2）在运动过程中求y与t的函数表达式；
（3）是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在求出相应t的值，若不存在，说明理由．
2．（2021·江苏苏州·二模）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如，四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”．
【概念理解】（1）如图1，四边形是“对补四边形”．
①若，则________；
②若．且时．则_______；
【拓展提升】（2）如图，四边形是“对补四边形”，当，且时，图中之间的数量关系是 ，并证明这种关系；
【类比应用】（3）如图3，在四边形中，平分；
①求证：四边形是“对补四边形”；
②如图4，连接，当，且时，求的值．
3．（2021·江苏苏州·一模）如图，在中，，D是边的中点．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度向终点A运动．当点P与点D不重合时，以为边构造，使，且点Q与点C在直线同侧．设点P的运动时间为t秒．
（1）当点Q落在边上时，求t的值．
（2）在不添加辅助线的情况下，当图中存在全等三角形时，求与重叠部分图形的面积．
（3）取边的中点E，连接．当时，直接写出t的值．
4．（2021·江苏淮安·二模）【问题情境】
如图1，在ABC中，，AD⊥BC于点D，，，求AD的长．
【问题解决】
小明同学是这样分析的：将ABD沿着AB翻折得到ABE，将ACD沿着AC翻折得到ACF，延长EB、FE相交于点G，请按着小明的思路解答下列问题：
（1）由上可得四边形AEGF是 （填矩形、菱形、正方形中的一个）；
（2）在RtGBC中运用勾股定理，求出AD的长．
【方法提炼】通过问题解决，小明发现翻折是解决问题的有效办法之一，它可以将问题中的相关信息有效地集中、关联与重组．请根据自己的理解，解答下列问题：
（3）如图2，在四边形ABCD中，，，，，求AC的最大值．
（4）如图3，在四边形ABCD中，，AD＝2，M是AB上一点，且，，，直接写出CD的最大值为 ．
5．（2021·江苏无锡·二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置．
（1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________；
（2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长；
（3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值．
6．（2021·江苏盐城·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点A′处，连接A′C、A′D．
（1）如图1，当AE＝ 时，A′D∥BE；
（2）如图2，若AE＝3，求S△A′CB．
（3）点E在AD边上运动的过程中，∠A′CB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE的长；若不存在，请说明理由．
7．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学二模）如图，在中，，是边上的点，过点作，交于点，过点作，交于点，经过点、、的与、的另一个公共点分别为、，连接、、．
（1）求证：∽；
（2）若，，
①当时，求的长；
②若恰为的直径，则的长为______．
8．（2021·江苏南京·二模）【概念学习】
在平面直角坐标系中，的半径为，若平移个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，，则对线段的“最近覆盖距离”为．
【概念理解】
（1）对点的“最近覆盖距离”为_ ．
（2）如图②，点是函数图像上一点，且对点的“最近覆盖距离”为，则点的坐标为_ ．
【拓展应用】
（3）如图③，若一次函数的图像上存在点，使对点的“最近覆盖距离”为，求的取值范围．
（4），且，将对线段的“最近覆盖距离”记为，则的取值范围是 ．
9．（2021·江苏泰州·二模）阅读理解：
如果一个等腰三角形的三个顶点在矩形的边上或矩形的边所在的直线上，我们称这个等腰三角形为这个矩形的“友好三角形”．
解决问题：
如图，在矩形中，是对角线，点E为直线上的一个动点，过点E作平行交或于F，连接、．
（1）若点E在边上，且，以下三角形：①②③④，其中为矩形的“友好三角形”的是___________（填序号）；
（2）当时，试判断是否为矩形的“友好三角形”？请说明理由；
（3）当为矩形的“友好三角形”时，求的长．
10．（2021·江苏南京·二模）如图①，是外一点，与相切于点，的延长线交于点，过点作，交于点，连接，并延长交于点，连接．已知，的半径为3．
（1）求证：是的切线；
（2）求的长；
（3）如图②，若点是上一点，且，过作，交弧于点，连接，交于点，连接，则的长度是______．
11．（2021·江苏南京·二模）学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程．
【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形．
【初步思考】
（1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件．他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例______．所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究．
【深入探究】
（2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明．
已知：四边形和四边形中，，．
求证：四边形四边形．证明：
（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”．
其中真命题是______．（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程．
12．（2021·江苏镇江·二模）定义：如图（1），点P沿着直线l翻折到，P到的距离叫做点P关于l的“折距”．
已知，如图（2），矩形中，，等腰直角中，，点G在上，E、B在的两侧，点F为的中点，点P是射线上的动点，把沿着直线翻折到，点F的对应点为，
理解：（1）当时，
①若点在边上，则点A关于的“折距”为______；
②若点E关于的“折距”为12，则______．
应用：（2）若，当点、、C、D能构成平行四边形时，求出此时x的值
拓展：（3）当时，设点E关于的“折距”为t，直接写出当射线与边有公共点时t的范围．
13．（2021·江苏扬州·二模）如图1，在中，，，，点D是AC上的一个动点，将沿BD折叠得到，交AC于F点．
（1）的度数为______________；
（2）当为直角三角形时，求的长；
（3）如图2，若点E为线段的四等分点，连接线段CE，当D点从点A移动到点C．
①当D点在AB的垂直平分线上时，的值为______________；
②求线段CE扫过的面积______________．
14．（2021·江苏常州·一模）在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”
（1）下列图形中两个三角形不是“共边全等”是_______；
（2）如图1，在边长为6的等边三角形中，点D在边上，且，点E、F分别在、边上，满足和为“共边全等”，求的长；
（3）如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与直线、x轴相交于A、B两点，点C是的中点，P、Q在的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与“共边全等”时，请直接写出点Q的坐标．
15．（2021·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段的中点，D是线段上一个动点，连接，将沿直线翻折，使得点A落在点E处，射线交直线于点F．
（1）连接，求的长；
（2）若点F在线段上，连接，当时，求的长；
（3）以F为圆心，长为半径作，若与x轴相切于点T，求点F的坐标．
16．（2021·江苏泰州·二模）【阅读理解】
定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫“协和线”，该四边形叫做“协和四边形”．
【深入探究】
（1）如图1，在四边形中，，，请说明：四边形是“协和四边形”．
【尝试应用】
（2）如图2，四边形是“协和四边形”，为“协和线”，，，若点、分别为边、的中点，连接，，．求：
①与的面积的比；
②的正弦值．
【拓展应用】
（3）如图3，在菱形中，，，点、分别在边和上，点、分别在边和上，点为与的交点，点在上，连接，若四边形，都是“协和四边形”，“协和线”分别是、，求的最小值．
17．（2021·江苏盐城·一模）如图，已知和均为等腰三角形，，，将这两个三角形放置在一起．
（1）问题发现：
如图①，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则线段BD、CE之间的数量关系是_________，_________；
（2）拓展探究：
如图②，当时，点B、D、E不在同一直线上，连接CE，求出线段BD、CE之间的数量关系及BD、CE所在直线相交所成的锐角的大小（都用含的式子表示），并说明理由：
（3）解决问题：
如图③，，，，连接CE、BD，在绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出BD的长．
18．（2021·江苏徐州·一模）如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°．将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．
（1）如图2，当＝1时，＝ ；
（2）如图3，当＝2时，
①EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；
②在旋转过程中，连接PQ，若AC＝30cm，设EQ的长为xcm，△EPQ的面积为S（cm2）．求S关于x的函数表达式，并求出x的取值范围．
19．（2021·江苏苏州·一模）定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”，例如，在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝60°，∠C＝20°，满足∠A－∠B＝2∠C，所以△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”；
（1）如图1，△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”（其中∠BAC＞∠B），AB＝3，BC＝9，点D在BC上，且∠BAD＝∠C．求AC的长．
（2）如图2，等腰三角形ABC中，点D是底边BC的一个黄金分割点（CD＜BD），且AB＝AC＝BD．求证：△ABC是关于∠B的“差倍角三角形”．
（3）如图3，五边形ABCDE内接于圆，连接AC，AD与BE相交于点F，G，BF＝1，AB＝BC＝DE，△ABE是关于∠AEB的“差倍角三角形”．设AB＝x，CD＝y，求y关于x的函数关系式．
20．（2021·江苏扬州·一模）如图，在中，，，，射线，点是边上一动点，连接，过点作交射线于点，连接．
（1）求证：点、、、在同一圆上；
（2）若，则_______；
（3）①当面积的最大时，求的长；
②当点从点运动到点时，直接写出的外接圆圆心经过的路径长______．
21．（2021·江苏扬州·二模）苏科版教材中的折纸活动，引起了许多同学的兴趣．在折纸的过程中，同学们不仅发展了空间观念，还积累了数学活动经验．
[操作]：矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，点M是边BC上一个动点，将△ABM沿AM折叠，折叠后点B的对应点为点B'．
[发现]：（1）如图1，若点M、B'、D在同一条直线上，求证：△ADM为等腰三角形；
[探究]：（2）若点B的对应点B′落在矩形对角线上，求BM的长；
[拓展]：（3）如图2，过点B'作B'N⊥AB，当△AB'N面积最大时，求BM的长．
22．（2021·江苏苏州·二模）如图（1），已知矩形中，，点E为对角线上的动点．连接，过E作的垂线交于点F．
（1）探索与的数量关系，并说明理由．
（2）如图（2），过F作垂线交于点G，交于点H，连接．若点E从A出发沿方向以的速度向终点C运动，设E的运动时间为．
①是否存在t，使得H与B重合？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
②t为何值时，是等腰三角形；
③当时，求的面积．
23．（2021·江苏·二模）如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转（0°＜＜120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，F为CD上一点，且DF＝2CF．
（1）当∠EAB＝30°时，求∠AEC的度数；
（2）当线段BF的长取最小值时，求线段AG的长；
（3）请直接写出△ADE的周长的最大值．
24．（2021·江苏连云港·二模）张老师在一次校内公开课上展示“探析矩形折叠问题”内容，引起了同学的广泛兴趣，他们对折纸进行了如下探究．如图有一矩形纸片ABCD，，，点Q为边BC上一个动点，将纸片沿DQ折叠，点C的对应点为点E．
（1）如图1，当射线DE与边BC的交点F到点C的距离为3时，求CQ的长；
（2）如图2，G为AD上一点，且，连接AE、GE．
①试判断的值是否随着点Q的位置变化而变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由；
②连接BE，当的值最小时，直接写出点E到边AD的距离为 ．
（3）如图3，点D关于点C的对称点是点，连接，连接AE并延长交于点H，过点E作，交于点F，连接FH，试求面积的最小值．
25．（2021·江苏无锡·一模）[初步尝试]
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为 ；
[思考说理]
（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
[拓展延伸]
（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求的取值范围．
26．（2021·江苏南京·二模）（1）如图①，AB＝AC，点P为BC上一点，∠BAP＝30°，∠PAC＝45°．求的值；
（2）如图②，AB＝AC，DB＝DC，点P为BC上一点，求证；
（3）如图③，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接EF、DO相交于点I，连接AI并延长交BC于点G． 求证BG＝CG．
27．（2021·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为，，为外两点，．给出如下定义：平移线段，使平移后的线段成为的弦（点，分别为点，的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“优距离”．
（1）如图1，中的弦、是由线段平移而得，这两条弦的位置关系是______________；在点，，，中，连接点与点___________的线段的长度等于线段到的“优距离”；
（2）若点，，线段的长度是线段到的“优距离”，则点的坐标为_____________；
（3）如图2，若，是直线上两个动点，记线段到的“优距离”为，则的最小值是_____________；请你在图2中画出取得最小值时的示意图，并标记相应的字母．
28．（2021·江苏常州·一模）已知：如图，在四边形中，E是边的中点，连接．将沿直线折叠，将沿直线折叠，点同时落在边上点F处．延长相交于点G，连接．
（1）填空：直线与直线的位置关系是_______；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若与相似，求的长．
29．（2021·江苏连云港·一模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．
（1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称__________；
（2）如图1，在等腰中，，经过点A、B的⊙O交边于点D，交于点E，连结．若四边形为圆美四边形，求的值；
（3）如图2，在中，经过A、B的⊙O交边于点D，交于点E，连结，交于点F．若在四边形的内部存在一点P．使得，连结交于点G，连结，若，．
①求证：四边形为圆美四边形；
②若，，，求的最小值．
30．（2021·江苏徐州·二模）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，将一张和△ABC一样大的纸片和△ABC重叠放置，点E是边BC上一点（不含点B、C），将△OCE沿着OE翻折，点C落在点P处．
(1)直接写出∠OBC、∠OCB的数量关系是 ．
(2)连接DE，设△OPE的面积为S1，△ODE的面积为S2，在点E取边BC上每一点（除点B、C）的过程中，S1+S2的值是否变化？如果变化，请求出它的取值范围；如果不变，请求出S1+S2的值；
(3)分别连接PD、PC，当点P与点B重合时，易知PO•PC＝PE•PD，当点P不与点B重合时，PO•PC＝PE•PD是否成立？请在图3、图4中选一种情况进行证明．
2022中考考点必杀500题
专练15（几何压轴大题）（30道）
1．（2021·江苏苏州·一模）如图1，在中，，点P以每秒一个单位的速度沿着运动，始终与相切，切点为D，设点P运动的时间为t，的面积为y．y与t之间的函数关系为二次函数，表示为图2．
（1）当时，的半径长为________；
（2）在运动过程中求y与t的函数表达式；
（3）是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在求出相应t的值，若不存在，说明理由．
2．（2021·江苏苏州·二模）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如，四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”．
【概念理解】（1）如图1，四边形是“对补四边形”．
①若，则________；
②若．且时．则_______；
【拓展提升】（2）如图，四边形是“对补四边形”，当，且时，图中之间的数量关系是 ，并证明这种关系；
【类比应用】（3）如图3，在四边形中，平分；
①求证：四边形是“对补四边形”；
②如图4，连接，当，且时，求的值．
3．（2021·江苏苏州·一模）如图，在中，，D是边的中点．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度向终点A运动．当点P与点D不重合时，以为边构造，使，且点Q与点C在直线同侧．设点P的运动时间为t秒．
（1）当点Q落在边上时，求t的值．
（2）在不添加辅助线的情况下，当图中存在全等三角形时，求与重叠部分图形的面积．
（3）取边的中点E，连接．当时，直接写出t的值．
4．（2021·江苏淮安·二模）【问题情境】
如图1，在ABC中，，AD⊥BC于点D，，，求AD的长．
【问题解决】
小明同学是这样分析的：将ABD沿着AB翻折得到ABE，将ACD沿着AC翻折得到ACF，延长EB、FE相交于点G，请按着小明的思路解答下列问题：
（1）由上可得四边形AEGF是 （填矩形、菱形、正方形中的一个）；
（2）在RtGBC中运用勾股定理，求出AD的长．
【方法提炼】通过问题解决，小明发现翻折是解决问题的有效办法之一，它可以将问题中的相关信息有效地集中、关联与重组．请根据自己的理解，解答下列问题：
（3）如图2，在四边形ABCD中，，，，，求AC的最大值．
（4）如图3，在四边形ABCD中，，AD＝2，M是AB上一点，且，，，直接写出CD的最大值为 ．
5．（2021·江苏无锡·二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置．
（1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________；
（2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长；
（3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值．
6．（2021·江苏盐城·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点A′处，连接A′C、A′D．
（1）如图1，当AE＝ 时，A′D∥BE；
（2）如图2，若AE＝3，求S△A′CB．
（3）点E在AD边上运动的过程中，∠A′CB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE的长；若不存在，请说明理由．
7．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学二模）如图，在中，，是边上的点，过点作，交于点，过点作，交于点，经过点、、的与、的另一个公共点分别为、，连接、、．
（1）求证：∽；
（2）若，，
①当时，求的长；
②若恰为的直径，则的长为______．
8．（2021·江苏南京·二模）【概念学习】
在平面直角坐标系中，的半径为，若平移个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，，则对线段的“最近覆盖距离”为．
【概念理解】
（1）对点的“最近覆盖距离”为_ ．
（2）如图②，点是函数图像上一点，且对点的“最近覆盖距离”为，则点的坐标为_ ．
【拓展应用】
（3）如图③，若一次函数的图像上存在点，使对点的“最近覆盖距离”为，求的取值范围．
（4），且，将对线段的“最近覆盖距离”记为，则的取值范围是 ．
9．（2021·江苏泰州·二模）阅读理解：
如果一个等腰三角形的三个顶点在矩形的边上或矩形的边所在的直线上，我们称这个等腰三角形为这个矩形的“友好三角形”．
解决问题：
如图，在矩形中，是对角线，点E为直线上的一个动点，过点E作平行交或于F，连接、．
（1）若点E在边上，且，以下三角形：①②③④，其中为矩形的“友好三角形”的是___________（填序号）；
（2）当时，试判断是否为矩形的“友好三角形”？请说明理由；
（3）当为矩形的“友好三角形”时，求的长．
10．（2021·江苏南京·二模）如图①，是外一点，与相切于点，的延长线交于点，过点作，交于点，连接，并延长交于点，连接．已知，的半径为3．
（1）求证：是的切线；
（2）求的长；
（3）如图②，若点是上一点，且，过作，交弧于点，连接，交于点，连接，则的长度是______．
11．（2021·江苏南京·二模）学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程．
【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形．
【初步思考】
（1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件．他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例______．所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究．
【深入探究】
（2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明．
已知：四边形和四边形中，，．
求证：四边形四边形．证明：
（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”．
其中真命题是______．（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程．
12．（2021·江苏镇江·二模）定义：如图（1），点P沿着直线l翻折到，P到的距离叫做点P关于l的“折距”．
已知，如图（2），矩形中，，等腰直角中，，点G在上，E、B在的两侧，点F为的中点，点P是射线上的动点，把沿着直线翻折到，点F的对应点为，
理解：（1）当时，
①若点在边上，则点A关于的“折距”为______；
②若点E关于的“折距”为12，则______．
应用：（2）若，当点、、C、D能构成平行四边形时，求出此时x的值
拓展：（3）当时，设点E关于的“折距”为t，直接写出当射线与边有公共点时t的范围．
13．（2021·江苏扬州·二模）如图1，在中，，，，点D是AC上的一个动点，将沿BD折叠得到，交AC于F点．
（1）的度数为______________；
（2）当为直角三角形时，求的长；
（3）如图2，若点E为线段的四等分点，连接线段CE，当D点从点A移动到点C．
①当D点在AB的垂直平分线上时，的值为______________；
②求线段CE扫过的面积______________．
14．（2021·江苏常州·一模）在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”
（1）下列图形中两个三角形不是“共边全等”是_______；
（2）如图1，在边长为6的等边三角形中，点D在边上，且，点E、F分别在、边上，满足和为“共边全等”，求的长；
（3）如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与直线、x轴相交于A、B两点，点C是的中点，P、Q在的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与“共边全等”时，请直接写出点Q的坐标．
15．（2021·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段的中点，D是线段上一个动点，连接，将沿直线翻折，使得点A落在点E处，射线交直线于点F．
（1）连接，求的长；
（2）若点F在线段上，连接，当时，求的长；
（3）以F为圆心，长为半径作，若与x轴相切于点T，求点F的坐标．
16．（2021·江苏泰州·二模）【阅读理解】
定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫“协和线”，该四边形叫做“协和四边形”．
【深入探究】
（1）如图1，在四边形中，，，请说明：四边形是“协和四边形”．
【尝试应用】
（2）如图2，四边形是“协和四边形”，为“协和线”，，，若点、分别为边、的中点，连接，，．求：
①与的面积的比；
②的正弦值．
【拓展应用】
（3）如图3，在菱形中，，，点、分别在边和上，点、分别在边和上，点为与的交点，点在上，连接，若四边形，都是“协和四边形”，“协和线”分别是、，求的最小值．
17．（2021·江苏盐城·一模）如图，已知和均为等腰三角形，，，将这两个三角形放置在一起．
（1）问题发现：
如图①，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则线段BD、CE之间的数量关系是_________，_________；
（2）拓展探究：
如图②，当时，点B、D、E不在同一直线上，连接CE，求出线段BD、CE之间的数量关系及BD、CE所在直线相交所成的锐角的大小（都用含的式子表示），并说明理由：
（3）解决问题：
如图③，，，，连接CE、BD，在绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出BD的长．
18．（2021·江苏徐州·一模）如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°．将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．
（1）如图2，当＝1时，＝ ；
（2）如图3，当＝2时，
①EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；
②在旋转过程中，连接PQ，若AC＝30cm，设EQ的长为xcm，△EPQ的面积为S（cm2）．求S关于x的函数表达式，并求出x的取值范围．
19．（2021·江苏苏州·一模）定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”，例如，在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝60°，∠C＝20°，满足∠A－∠B＝2∠C，所以△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”；
（1）如图1，△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”（其中∠BAC＞∠B），AB＝3，BC＝9，点D在BC上，且∠BAD＝∠C．求AC的长．
（2）如图2，等腰三角形ABC中，点D是底边BC的一个黄金分割点（CD＜BD），且AB＝AC＝BD．求证：△ABC是关于∠B的“差倍角三角形”．
（3）如图3，五边形ABCDE内接于圆，连接AC，AD与BE相交于点F，G，BF＝1，AB＝BC＝DE，△ABE是关于∠AEB的“差倍角三角形”．设AB＝x，CD＝y，求y关于x的函数关系式．
20．（2021·江苏扬州·一模）如图，在中，，，，射线，点是边上一动点，连接，过点作交射线于点，连接．
（1）求证：点、、、在同一圆上；
（2）若，则_______；
（3）①当面积的最大时，求的长；
②当点从点运动到点时，直接写出的外接圆圆心经过的路径长______．
21．（2021·江苏扬州·二模）苏科版教材中的折纸活动，引起了许多同学的兴趣．在折纸的过程中，同学们不仅发展了空间观念，还积累了数学活动经验．
[操作]：矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，点M是边BC上一个动点，将△ABM沿AM折叠，折叠后点B的对应点为点B'．
[发现]：（1）如图1，若点M、B'、D在同一条直线上，求证：△ADM为等腰三角形；
[探究]：（2）若点B的对应点B′落在矩形对角线上，求BM的长；
[拓展]：（3）如图2，过点B'作B'N⊥AB，当△AB'N面积最大时，求BM的长．
22．（2021·江苏苏州·二模）如图（1），已知矩形中，，点E为对角线上的动点．连接，过E作的垂线交于点F．
（1）探索与的数量关系，并说明理由．
（2）如图（2），过F作垂线交于点G，交于点H，连接．若点E从A出发沿方向以的速度向终点C运动，设E的运动时间为．
①是否存在t，使得H与B重合？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
②t为何值时，是等腰三角形；
③当时，求的面积．
23．（2021·江苏·二模）如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转（0°＜＜120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，F为CD上一点，且DF＝2CF．
（1）当∠EAB＝30°时，求∠AEC的度数；
（2）当线段BF的长取最小值时，求线段AG的长；
（3）请直接写出△ADE的周长的最大值．
24．（2021·江苏连云港·二模）张老师在一次校内公开课上展示“探析矩形折叠问题”内容，引起了同学的广泛兴趣，他们对折纸进行了如下探究．如图有一矩形纸片ABCD，，，点Q为边BC上一个动点，将纸片沿DQ折叠，点C的对应点为点E．
（1）如图1，当射线DE与边BC的交点F到点C的距离为3时，求CQ的长；
（2）如图2，G为AD上一点，且，连接AE、GE．
①试判断的值是否随着点Q的位置变化而变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由；
②连接BE，当的值最小时，直接写出点E到边AD的距离为 ．
（3）如图3，点D关于点C的对称点是点，连接，连接AE并延长交于点H，过点E作，交于点F，连接FH，试求面积的最小值．
25．（2021·江苏无锡·一模）[初步尝试]
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为 ；
[思考说理]
（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
[拓展延伸]
（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求的取值范围．
26．（2021·江苏南京·二模）（1）如图①，AB＝AC，点P为BC上一点，∠BAP＝30°，∠PAC＝45°．求的值；
（2）如图②，AB＝AC，DB＝DC，点P为BC上一点，求证；
（3）如图③，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接EF、DO相交于点I，连接AI并延长交BC于点G． 求证BG＝CG．
27．（2021·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为，，为外两点，．给出如下定义：平移线段，使平移后的线段成为的弦（点，分别为点，的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“优距离”．
（1）如图1，中的弦、是由线段平移而得，这两条弦的位置关系是______________；在点，，，中，连接点与点___________的线段的长度等于线段到的“优距离”；
（2）若点，，线段的长度是线段到的“优距离”，则点的坐标为_____________；
（3）如图2，若，是直线上两个动点，记线段到的“优距离”为，则的最小值是_____________；请你在图2中画出取得最小值时的示意图，并标记相应的字母．
28．（2021·江苏常州·一模）已知：如图，在四边形中，E是边的中点，连接．将沿直线折叠，将沿直线折叠，点同时落在边上点F处．延长相交于点G，连接．
（1）填空：直线与直线的位置关系是_______；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若与相似，求的长．
29．（2021·江苏连云港·一模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．
（1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称__________；
（2）如图1，在等腰中，，经过点A、B的⊙O交边于点D，交于点E，连结．若四边形为圆美四边形，求的值；
（3）如图2，在中，经过A、B的⊙O交边于点D，交于点E，连结，交于点F．若在四边形的内部存在一点P．使得，连结交于点G，连结，若，．
①求证：四边形为圆美四边形；
②若，，，求的最小值．
30．（2021·江苏徐州·二模）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，将一张和△ABC一样大的纸片和△ABC重叠放置，点E是边BC上一点（不含点B、C），将△OCE沿着OE翻折，点C落在点P处．
(1)直接写出∠OBC、∠OCB的数量关系是 ．
(2)连接DE，设△OPE的面积为S1，△ODE的面积为S2，在点E取边BC上每一点（除点B、C）的过程中，S1+S2的值是否变化？如果变化，请求出它的取值范围；如果不变，请求出S1+S2的值；
(3)分别连接PD、PC，当点P与点B重合时，易知PO•PC＝PE•PD，当点P不与点B重合时，PO•PC＝PE•PD是否成立？请在图3、图4中选一种情况进行证明．
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