数学第五章 统计与概率5.3 概率5.3.3 古典概型学案及答案

古典概型

知识点一　古典概型

　一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型．

知识点二　概率的性质

　假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事件A包含m个样本点，则：

(1)由0≤m≤n与P(A)＝可知0≤P(A)≤1；

(2)因为中包含的样本点个数为n－m，所以

P()＝＝1－＝1－P(A)，即P(A)＋P()＝1；

(3)若事件B包含有k个样本点，而且A与B互斥，则容易知道A＋B包含m＋k个样本点，从而

P(A＋B)＝＝＝P(A)＋P(B)．

状元随笔　1.由古典概型的定义可得古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．

2．在古典概型中，每个基本事件发生的可能性都相等，称这些基本事件为等可能基本事件．

基础自测

1.下列问题中是古典概型的是(　　)

A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率

B．掷一个质地不均匀的骰子，求出现1点的概率

C．在区间[1，4]上任取一个数，求这个数大于1.5的概率

D．同时掷两个质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率

2．若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为(　　)

A．　　　B．

C．      D．

3．若A，B为互斥事件，则(　　)

A．P(A)＋P(B)<1   

B．P(A)＋P(B)>1

C．P(A)＋P(B)＝1   

D．P(A)＋P(B)≤1

4．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．

题型1　样本空间[经典例题]

例1　连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．

(1)写出这个试验的所有样本点；

(2)求这个试验的样本点的总数；

(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？

1．将样本点一一列举即可．

2．然后找出符合题意的样本点．

【解析】　(1)这个试验包含的样本点有(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)；

(2)这个试验包含的样本点的总数是8；

(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．

方法归纳

要写出所有的样本点通常有列举法、列表法、树形图法．但不论采用哪种方法，都要按一定的顺序进行，做到不重不漏．

跟踪训练1　4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点数为(　　)

A.2　　　 B．3

C．4     D．6

由奇＋偶法将样本点一一列举．

题型2　对古典概型的判断[经典例题]

例2　(1)向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？

(2)如图所示，射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)．你认为这是古典概型吗？为什么？

判断是否为古典概型，关键试验是否具有有限性和等可能性．

方法归纳

判断一个试验是古典概型的依据

　判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．

跟踪训练2　下列试验是古典概型的为________．

①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小

②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率

③近三天中有一天降雨的概率

④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率

依据古典概型的定义判断．

题型3　简单古典概型概率的计算[教材P106例5]

例3　先后掷两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记A：点数之和为7，B：至少出现一个3点，求P(A)，P()，P(B)，P(AB).

教材反思

在求解概率问题时，常常遇到这样的情况，即从一堆小球中抽取几个小球，根据小球的颜色求解概率．解决此类问题时，首先要分清抽取的方式，即“有放回”与“无放回”．

“有放回”是指抽取物体时，每一次抽取之后，都将被抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的．

“无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，被抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少1.

这两种情况下基本事件总数是不同的．

跟踪训练3　为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)

A．　   B．

C．    D．

题型4　概率基本性质的应用[经典例题]

例4　为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料．若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？

状元随笔　“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况．如果设A＝“中奖”，A1＝“第一罐中奖”，A2＝“第二罐中奖”，那么就可以通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题．

方法归纳

1．对于一个较复杂的事件，一般将其分解为几个简单的事件．当这些事件彼此互斥时，即可用概率加法公式．

2．运用事件的概率加法公式解题的步骤：(1)确定题中哪些事件彼此互斥；(2)将待求事件拆分为几个互斥事件之和；(3)先求各互斥事件分别发生的概率，再求和．

跟踪训练4　在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示：

求：(1)等候人数不超过2的概率；

(2)等候人数大于等于3的概率．

等候人数不超过2包括等候人数为0或1或2三种情况；等候人数大于等于3包括等候人数为3，4和大于等于5三种情况．

5．3.3　古典概型

新知初探·自主学习

[基础自测]

1．解析：A，B两项中的样本点的发生不是等可能的；C项中样本点的总数是无限的；D项中每个样本点的发生是等可能的，且样本点总数有限．故选D.

答案：D

2．解析：样本点总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个样本点，所以其概率为，故选B.

答案：B

3．解析：因为A，B为互斥事件，所以A是随机事件或必然事件，则P(A＝P(A)＋P(B)≤1，当A，B为对立事件时，P(A)＋P(B)＝1.

答案：D

4．解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＝.

答案：

课堂探究·素养提升

跟踪训练1　解析：用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4种可能．故选C.

答案：C

例2　【解析】　(1)试验的所有可能结果是圆面内的所有点．试验的所有可能结果数是无限的．因此，尽管每一个试验结果出现的可能性相同，这个试验也不是古典概型．

(2)试验的所有可能结果只有11个，但是命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)的出现不是等可能的，这个试验也不是古典概型．

跟踪训练2　解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．

答案：①②④

例3　【解析】　用数对(x，y)来表示抛掷结果，则样本空间可记为

Ω＝{(i，j)|i，j＝1，2，3，4，5，6}，

而且样本空间可用图直观表示．

样本空间中，共包含36个样本点．

不难看出，A＝{(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)}，

A包含6个样本点(即图中虚线框中的点)，

因此P(A)＝＝.

由对立事件概率之间的关系可知

P()＝1－P(A)＝1－＝.

类似地，可以看出，图中实线框中的点可以代表事件B，因此B包含11个样本点，从而P(B)＝.

而且，不难知道，AB＝{(4，3)，(3，4)}，

因此P(AB)＝＝.

跟踪训练3　解析：从4种颜色的花中任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有4种，故概率为，选C.

答案：C

例4　【解析】　设事件A＝“中奖”，事件A1＝“第一罐中奖”，事件A2＝“第二罐中奖”，那么事件A1A2＝“两罐都中奖”，A1＝“第一罐中奖，第二罐不中奖”，A2＝“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且A＝A1A2A2.

因为A1A2，A1A2两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得P(A)＝P(A1A2)＋P(A1)＋P(A2)．

我们借助树状图(下图)来求相应事件的样本点数．

可以得到，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)＝6×5＝30，且每个样本点都是等可能的．因为n(A1A2)＝2，n(A1)＝8，n(A2)＝8，所以P(A)＝＝＝.

上述解法需要分若干种情况计算概率．注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于＝“两罐都不中奖”，而n()＝4×3＝12，所以P()＝＝.

因此P(A)＝1－P()＝1－＝.

跟踪训练4　解析：设A，B，C，D，E，F分别表示等候人数为0，1，2，3，4，大于等于5的事件，则易知A，B，C，D，E，F彼此互斥．

(1)设M表示事件“等候人数不超过2”，则M＝A故P(M)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.05＋0.14＋0.35＝0.54，即等候人数不超过2的概率为0.54.

(2)设N表示事件“等候人数大于等于3”，则N＝D故P(N)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.30＋0.10＋0.06＝0.46，即等候人数大于等于3的概率为0.46..