2021-2022学年湖南省岳阳市临湘市七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省岳阳市临湘市七年级（下）期中数学试卷

副标题

1. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列方程组中，是二元一次方程组的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列各式从左到右的变形是分解因式的是

A.  B.
C.  D.

4. 将多项式进行因式分解得到，则，分别是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是

A.  B.
C.  D.

6. 对有理数，定义新运算：，其中，是常数．若，，则，的值分别为

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7. 已知方程的两个根分别是和，则可分解为

A.  B.  C.  D.

8. 甲、乙两地相距千米，小轿车从甲地出发小时后，大客车从乙地出发相向而行，又经过小时两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行千米．设大客车每小时行千米，小轿车每小时行千米，则可列方程组为

A.  B.
C.  D.

9. 多项式，，的公因式是______ ．
10. 已知，则的值是______．
11. 若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值是______．
12. 已知时二元一次方程的一组解，则______．
13. 已知，，则______．
14. 计算：______．
15. 若，则______．
16. 阅读材料
    例：求代数式的最小值．
    解：可知当时，有最小值，最小值是．
    根据上面的方法解决下列问题：
    最小值是______．
    多项式最小值可以是______．
17. 解方程组：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
19. 分解因式：
    ．
    ．
    
    
    
    
    
    
     
20. 先化简，再求值：，其中，．
    
    
    
    
    
    
     
21. 在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为求出原方程组的正确解．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某景点的门票价格如表：

某校七年级、两班计划去游览该景点，其中班人数少于人，班人数多于人且少于人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费元．
两个班各有多少名学生？
团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？






 

23. 图甲是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均剪成四个小长方形，然后按图乙所示拼成一个大正方形．
    写出图乙中的阴影部分的正方形的边长等于______用含有、的式子表示；
    请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积：
    方法一：______
    方法二：______
    观察图乙，尝试写出、、三个式子之间的等量关系：______．
    根据题中的等量关系，解决如下问题：若，，求式子的值．

先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：；
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
分解因式：；
分解因式：；
若三边、、满足，试判断的形状．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确；
故选：．
直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、第二个方程的二次的，故该选项错误；
B、是分式方程，故该选项错误；
C、是二次的，故该选项错误；
D、符合二元一次方程组的定义．
故选：．
根据二元一次方程组的定义对各个选项中的方程组进行判断即可．
本题考查的是二元一次方程组的定义，满足组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都是一次的整式方程是二元一次方程组．
 

3.【答案】
 

【解析】解：不是几个整式的积的形式，
从左到右的变形不是分解因式，
选项A不符合题意；

不是几个整式的积的形式，
从左到右的变形不是分解因式，
选项B不符合题意；

，
从左到右的变形是分解因式，
选项C符合题意；

不是整式，
从左到右的变形不是分解因式，
选项D不符合题意．
故选：．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
此题主要考查了因式分解的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
 

4.【答案】
 

【解析】解：

，
又因式分解得到，
．
，．
，．
故选：．
先利用多项式乘多项式法则计算，根据乘法与因式分解的关系得到关于、的方程，求解即可．
本题主要考查了整式的因式分解，掌握乘法与因式分解的关系是解决本题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：不能利用平方差公式计算，
故选：．
利用平方差公式的结构特征判断即可．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：根据题中的新定义得：，
解得：，
故选：．
利用题中的新定义化简确定出方程组，求出方程组的解即可得到与的值．
此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了二次三项式的因式分解法和根与系数的关系，由题意得：，，可知，然后即可分解．
此题提高了学生的综合应用能力，解题的关键是熟练应用二次三项式的因式分解法和根与系数的关系．
【解答】
解：据题意得：
，，
即，，
可知，
．
故选D．  

8.【答案】
 

【解析】解：设大客车每小时行千米，小轿车每小时行千米，
由题意得．
故选：．
设大客车每小时行千米，小轿车每小时行千米，根据小轿车比大客车每小时多行千米，甲车行驶小时，两车相向行驶小时共走了千米，据此列方程组求解、
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，，，
多项式，，的公因式是：．
故答案为：．
首先将各多项式分解因式进而找出公因式得出答案．
本题主要考查公因式的确定，正确将各多项式分解因式是解题关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
利用幂的乘方与积的乘方的法则得出关于的方程，解方程即可得出答案．
本题考查了幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
 

11.【答案】或
 

【解析】解：由题意得：
，
，
，
或，
故答案为：或．
根据完全平方公式，进行计算即可解答．
本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：把代入方程得：，
所以

，
故答案为：．
把代入方程得出，再代入求出答案即可．
本题考查了二元一次方程的解和求代数式的值，能熟记二次一次方程的解的定义是解此题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解题的关键．
只要把所求代数式因式分解成已知的形式，然后把已知代入即可．
【解答】
解：，，
．
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】解：



，
故答案为：．
利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案
本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由得，
．
故答案为：
根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

16.【答案】 
 

【解析】解：

，
当时，有最小值，最小值是．
故答案为：；



，
当，时，多项式有最小值，最小值是．
故答案为：．
将多项式加再减，利用配方法后可得结论；
将多项式重新分组，改写成，配方后可得结论．
本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
把代入得：，
解得：，
将代入得：，
则方程组的解为．
，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
方程组的解为：．
 

【解析】方程组利用代入加减求出解即可．
利用加减消元法求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是消元，消元的方法有两种：加减消元法，代入消元法．
 

18.【答案】解：原式
；
原式．
．
 

【解析】先算积的乘方，再算单项式乘多项式即可；
先算积的乘方，再算单项式乘多项式即可．
本题主要考查单项式乘多项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

19.【答案】解：原式
；
原式
．
 

【解析】先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解；
先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解．
本题考查因式分解，掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
 

20.【答案】解：


，
当，时，原式


．
 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

21.【答案】解：把代入，得：，解得，
把代入，得：，解得，
方程组为
得：，
把代入得：，
则方程组的解为．
 

【解析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值把甲的结果代入第二个方程求出的值，把乙的结果代入第一个方程求出的值，确定出方程组，即可求出解．
 

22.【答案】解：若不超过人时，设人数为人，则有，则不是整数，不合题意，故两个班学生人数之和超过人；设七年级班有人、七年级班有人，由题意，得
，
解得：．
答：七年级班有人、七年级班有人；

七年级班节省的费用为：元，
七年级班节省的费用为：元．
 

【解析】设七年级班有人、七年级班有人，根据如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费元建立方程组求出其解即可；
用一张票节省的费用该班人数即可求解．
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时建立方程组求出各班的人数是关键．
 

23.【答案】     
 

【解析】解：由题可得，图乙中的阴影部分的正方形的边长等于；
故答案为：；
方法一：
图乙中阴影部分的面积
方法二：
图乙中阴影部分的面积；
故答案为：，；
和表示同一个图形的面积；
；
故答案为：；
，
而，，
．
根据图乙中的阴影部分的正方形的边长等于小长方形的长减去宽进行判断；
图乙中阴影部分的面积既可以用边长的平方进行计算，也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积进行计算；
根据和表示同一个图形的面积进行判断；
根据，进行计算即可．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用．
 

24.【答案】解：；
原式；
，
，
，
或，
或，
是等腰三角形．
 

【解析】将一、二、四项结合用完全平方公式分解因式，然后再用平方差公式分解因式；
把拆成，再用分组分解法进行解答；
先把等式左边分解成因式的积，根据积为的因式的特点得出、、之间的关系便可．
本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，掌握每一种因式分解的方法在不同题型中的熟练应用是解题关键．