2022年中考数学复习训练题（含解析）----反比例函数

这是一份2022年中考数学复习训练题（含解析）----反比例函数，共66页。试卷主要包含了，且AD＝BC，连接AB，CD，下列说法等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学复习新题速递之反比例函数（2022年5月）
一．选择题（共10小题）
1．（2022•河源一模）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论不正确的是（　　）

A．△ODB与△OCA的面积相等
B．PA与PB始终相等
C．四边形PAOB的面积不会发生变化
D．当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点
2．（2022•镇海区校级模拟）如图，点A，B是双曲线上两点，且A，B关于原点O中心对称，△ABC是等腰三角形，底边AC∥x轴，过绐C作CD⊥x轴交双曲线于点D，若S△ACD＝24，则k的值是（　　）

A．﹣7 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣10
3．（2022•农安县校级模拟）如图，点E、F在函数y＝的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A、B，且BE：BF＝1：3，则△EOF的面积是为（　　）

A． B． C．3 D．6
4．（2022•榆次区一模）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式，通过了一片烂泥湿地，他们发现，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强p（Pa）随着木板面积S（m2）的变化而变化，如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么下列说法正确的是（　　）

A．p与S的函数表达式为p＝600S
B．当S越来越大时，p也越来越大
C．若压强不超过6000Pa时，木板面积最多0.1m2
D．当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa
5．（2022•西城区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（5，0），点B是函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数y＝﹣（x＜0）的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD＝BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．③④ C．①③ D．①④
6．（2022•宁波模拟）如图△OAB，△BCD的顶点A，C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，D在x轴正半轴上，AO＝AB，CB＝CD，BD＝2OB，设△AOB，△CBD的面积分别为S1，S2，若S1+S2＝4，则k的值为（　　）

A．2 B． C． D．3
7．（2022•河南模拟）在平面直角坐标系中，已知反比例函数y＝的图象经过点A（x1，y1），B（2，y2），C（3，2），则下列说法不正确的是（　　）
A．k＝6
B．函数图象位于第一、三象限
C．已知点D（2，0），连接OB，BD，则S△OBD＝3
D．若x1＜2，则y1＞y2
8．（2022•前进区一模）如图，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝﹣和y＝的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．8
9．（2022•甘井子区校级模拟）下列说法：
①若代数式有意义，则x的取值范围是x≥2且x≠l；
②已知反比例函数y＝，当k＞4时，在第二象限内，y随x的增大而增大；
③一次函数y＝﹣2x+m的图象一定不经过第一象限；
④由二次函数y＝6（x﹣2）2+1可知函数的最大值为1．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2022•肥西县一模）在平面直角坐标内A，B两点满足：①点A，B都在函数y＝f（x）的图象上；②点A，B关于原点对称，则称A和B为函数y＝f（x）的一个“黄金点对”，则函数f（x）＝的“黄金点对”的个数为（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二．填空题（共10小题）
11．（2022•东莞市校级一模）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）的图象上的一点，点B在x轴的负半轴上且AO＝AB，若△ABO的面积为4，则k的值为 　 　．

12．（2022春•福州期中）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象分别与矩形OABC两边AB，BC交于点D，E，沿直线DE将△DBE翻折得到△DFE，且点F恰好落在直线OA上．下列四个结论：①CE＝AD；②tan∠FED＝；③OE＝EF；④S△EOF＝k；其中结论一定正确的有 　 　（填序号即可）．

13．（2022•宁波模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，a+）（其中k为常数且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．已知点A在反比例函数y＝的图象上运动，且点A是点B的“关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为 　 　．
14．（2022•灞桥区校级模拟）如图，矩形OABC的面积为48，它的对角线OB与双曲线y＝（k≠0）相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为 　 　．

15．（2022•湘潭县校级模拟）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则A2022的坐标为 　 　．

16．（2022•宁波一模）如图，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（2，0），过点C（﹣1，0）作直线l交AO于点E，交AB于点D，点D在反比例函数y＝的图象上，当△OCE的面积和△ADE的面积相等时，k＝　 　．

17．（2022春•衡阳期中）如图，△OA1B1，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为 　 　．（用含有正整数n的式子表示）

18．（2022•东坡区校级模拟）如图，直线y＝kx（k＞0）与双曲线交于A，B两点，以AB为边构造等边△ABC，且C为第四象限内一点，当A的坐标是（1，2）时，则点C的坐标为 　 　．

19．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，连接OM，ON，MN，若∠MON＝45°，MN＝2，则k的值为 　 　．

20．（2022•邯山区模拟）如图，已知平面直角坐标系xOy中的四个点：A（0，2）．B（1，0），C（3，1），D（2，3）．
（1）若点C和点D在双曲线y＝（k＞0，x＞0）的两侧，则k的整数值为 　 　；
（2）在经过这四个点中的三个点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，a的最大值是 　 　．

三．解答题（共10小题）
21．（2022•新都区模拟）如图，点D在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，四边形ABCD是矩形，点A和点B在y轴上，连接CA，交反比例函数图象于点F，并延长交x轴于点E，连接BE．
（1）若D点坐标是（5，2），求反比例函数的表达式；
（2）在（1）小题的条件下，若CE所在直线的表达式是y＝x+2，求F点的坐标；
（3）若△ABE的面积为4，求k的值．

22．（2022•青龙县一模）某小超市计划购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品每件的进价为20元，乙商品每件的进价由基础价与浮动价两部分组成，其中基础价固定不变，浮动价与购进乙商品件数成反比，现购进乙商品x件，乙商品每件的进价为P元．
在购进过程中，可以获得如下信息：
x（件）
10
50
P（元）
70
38
（1）求P与x之间函数关系式；
（2）若乙商品每件的进价是甲商品的2倍，求x的值；
（3）若购进甲商品的总钱数不超过购进乙商品的总钱数，求小超市购进这两种商品的最少花费．
23．（2022•越秀区一模）如图，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点D（4，2），且与边AB、BC分别交于点E，F．直线EF交x轴于点G．
（1）求点E的坐标；
（2）求证：四边形AEGC是平行四边形．

24．（2022•呼和浩特一模）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，2）点B（﹣4，n）．
（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；
（2）如图所示，请直接写出不等式k1x+b≥的解集；
（3）在x轴上存在一点P，使△PAB的周长最小，直接写出点P的坐标．

25．（2022•渝中区模拟）如图，当x＞0时，反比例函数y1＝（k≠0）与正比例函数y2＝x的图象交于点A（4，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当y1≤y2时，x的取值范围；
（3）若点B（n，4）在反比例函数的图象上，直线OA向上平移后经过点B，交y轴于点C，求△ABC的面积．

26．（2022•宝安区二模）在并联电路中，电源电压为U总＝6V，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：I总＝I1+I2（I1＝，I2＝），已知R1为定值电阻，当R变化时，干路电流I总也会发生变化，且干路电流I总与R之间满足如下关系：I总＝1+．
（1）定值电阻R1的阻值为 　 　Ω；
（2）小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I2＝来探究函数I总＝1+的图象与性质．
①列表：如表列出I总与R的几组对应值，请写出m，n的值：m＝　 　，n＝　 　；
R
…
3
4
5
6
…
I2＝
…
2
1.5
1.2
1
…
I总＝1+
…
3
m
2.2
n
…
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来；

（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①I总随R的增大而 　 　；（填“增大”或“减小”）
②函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向 　 　平移 　 　个单位而得到．

27．（2022春•内乡县期中）阅读材料：
【自学自悟】在平面直角坐标系中已知点P1（a，b）、P2（c，d），则线段P1P2的中点坐标为（，）．
【学以致用】在平面直角坐标系中已知点A（2，1）、B（0，1），则线段AB的中点坐标为 　 　．
【解决问题】
如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标．

28．（2022•江西模拟）如图，点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数y＝（x＞0）图象上一动点（不与P点重合），过点M作MD⊥AP于点D，若∠PMD＝45°，求点M的坐标．


29．（2022•新泰市一模）如图，已知一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于第一象限内的点A（1，6）和B（6，m），与x轴交于点C，交y轴于点D．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；
（3）点P为坐标平面内的点，若点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标．

30．（2022•锦江区校级模拟）如图，已知一次函数y＝kx+1与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC．
（1）求k，b的值和B点坐标；
（2）将△ABC沿x轴向右平移，对应得到△A′B′C′，当反比例函数图象经过A′C′的中点M时，求△MAC的面积；
（3）在第一象限内的双曲线上求一点P，使得tan∠PCA＝．


2022年中考数学复习新题速递之反比例函数（2022年5月）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022•河源一模）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论不正确的是（　　）

A．△ODB与△OCA的面积相等
B．PA与PB始终相等
C．四边形PAOB的面积不会发生变化
D．当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定与性质；反比例函数的图象；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】利用反比例函数中k的几何意义，无论如何变化，只要知道过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是个恒等值即易解题．
【解答】解：由反比例函数系数k的几何意义判断各结论：
A．△ODB与△OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为，不符合题意；
B．PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA＝PB，符合题意；
C．四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD是k、而三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积只与k有关，不符合题意；
D．连接OP，点A是PC的中点，
则△OAP和△OAC的面积相等，
∵△ODP的面积＝△OCP的面积＝k，△ODB与△OCA的面积相等，
∴△OBP与△OAP的面积相等，
∴△OBD和△OBP面积相等，
∴点B一定是PD的中点，不符合题；
故选：B．

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
2．（2022•镇海区校级模拟）如图，点A，B是双曲线上两点，且A，B关于原点O中心对称，△ABC是等腰三角形，底边AC∥x轴，过绐C作CD⊥x轴交双曲线于点D，若S△ACD＝24，则k的值是（　　）

A．﹣7 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣10
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质；关于原点对称的点的坐标．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】过点B作BH⊥AC于点H，记AC与y轴的交点为点E，则OE∥BH，由△ABC是等腰三角形得到AH＝CH，由A、B关于点O中心对称得到点E是AH的中点，则AH＝2AE，即有AC＝4AE，设AE＝a，则CE＝3a，得到点A、点C和点D的坐标，再由△ACD的面积求得k的值．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，记AC与y轴的交点为点E，则OE∥BH，
∵△ABC是等腰三角形，AC∥x轴，
∴AH＝CH，
∵A、B关于点O中心对称，
∴点E是AH的中点，
∴AH＝2AE，
∴AC＝4AE，
设AE＝a，则CE＝3a，AC＝4a，
∴点A（﹣a，﹣），点C（3a，﹣），点D（3a，），
∴CD＝﹣﹣＝﹣，
∵S△ACD＝＝24，
∴＝24，
解得：k＝﹣9，
故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，中心对称性，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知等腰三角形的性质设出点A的坐标．
3．（2022•农安县校级模拟）如图，点E、F在函数y＝的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A、B，且BE：BF＝1：3，则△EOF的面积是为（　　）

A． B． C．3 D．6
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】设点E（x，），由BE：BF＝1：3得点F的坐标，过点E作EM⊥y轴于点M，过点F作FN⊥y轴于点N，交OE于点H，由点E和点F在反比例函数图象上，得到△OEM和△OFN的面积，从而得到四边形MNHE和△OHF的面积，即可得到△OEF的面积等于△EHF的面积和四边形MNHE的面积之和，即四边形EMNF的面积，最后求得四边形EMNF的面积．
【解答】解：设点E（x，），
∵BE：BF＝1：3，
∴F的坐标为（3x，），
过点E作EM⊥y轴于点M，过点F作FN⊥y轴于点N，交OE于点H，则EM＝x，NF＝3x，MN＝＝，
∵点E和点F在反比例函数图象上，
∴S△OEM＝S△OFN，
∴S四边形MNHE＝S△OHF，
∴S△OEF＝S△EHF+S四边形MNHE＝S四边形EMNF，
∵S四边形EMNF＝＝，
∴S△OEF＝，
故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的比例系数k的几何意义，解题的关键是熟知反比例函数比例系数k的几何意义．
4．（2022•榆次区一模）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式，通过了一片烂泥湿地，他们发现，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强p（Pa）随着木板面积S（m2）的变化而变化，如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么下列说法正确的是（　　）

A．p与S的函数表达式为p＝600S
B．当S越来越大时，p也越来越大
C．若压强不超过6000Pa时，木板面积最多0.1m2
D．当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa
【考点】反比例函数的应用．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】压力一定时，压强和受力面积成反比，根据压力为600N写出解析式，根据解析式即可判定各个选项．
【解答】解：压力一定时，压强和受力面积成反比；
∵F＝600N，
∴p＝（s＞0），
∴p是S的反比例函数，
∵s＞0，
∴当S越来越大时，p也越来越小，
故选项A，B不符合题意；
当p≤6000时，
即≤6000，
∴S≥0.1，
∴若压强不超过6000Pa时，木板面积最少0.1m2，
故选项C不符合题意；
当S＝0.2时，p＝＝3000，
∴当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa，
故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的应用，根据题意写出反比例函数的解析式是解题的关键．
5．（2022•西城区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（5，0），点B是函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数y＝﹣（x＜0）的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD＝BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】①由BC⊥y轴得到AD∥BC，结合AD＝BC，得到四边形ABCD是平行四边形，设点B（a，），则C（﹣，），得到BC的长，再表示AB的长，利用菱形的性质列出方程求得a的值，即可判断结论；②当x＝5时，求得点B的坐标，然后判断四边形ABCD是否为正方形；③任取两个点B的坐标，求得AB和BC的长，然后判断四边形ABCD的周长是否为定值；④过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，将四边形ABCD的面积转化为四边形EFBC的面积，进而利用反比例系数k的几何意义判断四边形ABCD的面积是否为定值．
【解答】解：①∵BC⊥y轴，
∴AD∥BC，
又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设点B（a，），则C（﹣，），
∴BC＝a﹣（﹣）＝a，AB＝，
当a＝5时，BC＝，AB＝，
此时，AB＜BC，
∴随着a的变化，可能存在BC＝AB的情况，
∴四边形ABCD可能是菱形，故①正确，符合题意；
②由①得，当x＝5时，BC＝，AB＝，
∴BC≠AB，
∴四边形ABCD不为正方形，故②错误，不符合题意；
③由①中得，当点B的横坐标为5时，BC＝，AB＝，
∴C四边形ABCD＝2（BC+AB）＝2（+）＝，
当点B的横坐标为1时，B（1，6），C（﹣，6），
∴BC＝，AB＝＝2，
∴C四边形ABCD＝2（BC+AB）＝2（+2）＝+4≠，
∴四边形ABCD的周长不为定值，故③错误，不符合题意；
④如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，则四边形EFBC为矩形，
∵BC∥AD，
∴S四边形ABCD＝S四边形EFBC＝|﹣2|+|6|＝8，
∴四边形ABCD的面积为定值，故④正确，符合题意；
故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，正方形的性质，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
6．（2022•宁波模拟）如图△OAB，△BCD的顶点A，C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，D在x轴正半轴上，AO＝AB，CB＝CD，BD＝2OB，设△AOB，△CBD的面积分别为S1，S2，若S1+S2＝4，则k的值为（　　）

A．2 B． C． D．3
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，由AO＝AB，CB＝CD，BD＝2OB，得OM＝BM，BN＝DN，设OM＝a，AM＝b，则点A（a，b），点C（4a，CN），再由反比例系数k的几何意义得到S1，S2的表达式，最后由S1+S2＝4求得k的取值．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
∵AO＝AB，CB＝CD，BD＝2OB，
∴OM＝BM，BN＝DN，
设OM＝a，AM＝b，则点A（a，b），点C（4a，CN），
∵点A、C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴ab＝4a•CN＝k，即CN＝b，
∴S1＝，S2＝，
∵S1+S2＝4，
∴k+k＝4，
∴k＝，
故选：C．

【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，等腰三角形的性质，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
7．（2022•河南模拟）在平面直角坐标系中，已知反比例函数y＝的图象经过点A（x1，y1），B（2，y2），C（3，2），则下列说法不正确的是（　　）
A．k＝6
B．函数图象位于第一、三象限
C．已知点D（2，0），连接OB，BD，则S△OBD＝3
D．若x1＜2，则y1＞y2
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】先由点C的坐标求得k的取值，然后得到函数的解析式和函数图象特征，进而求得点B的坐标，即可求得△BOD的面积，最后由函数的增减性比较y1和y2的大小关系．
【解答】解：将点C（3，2）代入y＝，得k＝3×2＝6，故选项A正确，不符合题意；
∴反比例函数的解析式为y＝，
∴函数图象位于第一、三象限，故选项B正确，不符合题意；
当x＝2时，y2＝3，
∴B（2，3），
∵D（2，0），
∴BD＝3，OD＝2，且BD⊥x轴，
∴S△BOD＝＝3，故选项C正确，不符合题意；
∵k＞0，
∴函数在第一、三象限内的函数值y随x的增大而减小，
∴当x1＜0时，y1＜0，
∵y2＝3，
∴y1＜y2，故选项D错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，解题的关键是代入点C的坐标求得反比例函数的解析式．
8．（2022•前进区一模）如图，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝﹣和y＝的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．8
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】连接AO、BO，得到△ABC的面积和△ABO的面积相等，然后借助反比例函数的几何意义求得△AOP和△BOP的面积，最后得到△ABC的面积．
【解答】解：连接AO、BO，
∵AB∥x轴，
∴S△ABC＝S△ABO，
∵A点和B点分别在反比例函数y＝﹣和y＝的图象上，
∴S△AOP＝＝1，S△BOP＝＝3，
∴S△ABC＝S△AOP+S△BOP＝1+3＝4，
∴S△ABO＝4，
故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数的反比例系数k的几何意义，解题的关键是将△ABC的面积转化为△ABC的面积．
9．（2022•甘井子区校级模拟）下列说法：
①若代数式有意义，则x的取值范围是x≥2且x≠l；
②已知反比例函数y＝，当k＞4时，在第二象限内，y随x的增大而增大；
③一次函数y＝﹣2x+m的图象一定不经过第一象限；
④由二次函数y＝6（x﹣2）2+1可知函数的最大值为1．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质；二次函数的最值；二次根式有意义的条件；一次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】①由分式和二次根式的定义求得x的取值范围，②由反比例函数的性质求得函数的增减性，③由一次函数的图象与系数间的关系判定，④由二次函数的顶点式判断．
【解答】解：①∵x+2≥0且x﹣1≠0，
∴x≥﹣2且x≠1，
故①错误，不符合题意；
②当k＞4时，4﹣k＜0，
∴函数在第二象限内，y随x的增大而增大，故②正确，符合题意；
③∵一次项系数k＝﹣2，
∴一次函数y＝﹣2x+m一定经过第二、四象限，
当m＞0时，一次函数经过第一、二、四象限，故③错误，不符合题意；
④∵二次函数y＝6（x﹣2）2+1，且开口向上，
∴函数的最小值为1，故④错误，不符合题意；
∴正确的有1个，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式，分式的定义，一次函数、反比例函数和二次函数的性质，解题的关键是熟知一次函数、二次函数、反比例函数的图象与系数之间的关系．
10．（2022•肥西县一模）在平面直角坐标内A，B两点满足：①点A，B都在函数y＝f（x）的图象上；②点A，B关于原点对称，则称A和B为函数y＝f（x）的一个“黄金点对”，则函数f（x）＝的“黄金点对”的个数为（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【考点】反比例函数的性质；关于原点对称的点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】设点A（x，﹣）（x＞0），则当点A和点B为“黄金点对”时，点B的坐标为（﹣x，|﹣x+3|），然后列出方程，根据方程解的个数判断函数f（x）的“黄金点对”的个数．
【解答】解：设点A（x，﹣）（x＞0），则点A关于原点的对称点B为（﹣x，），
当点A和点B为“黄金点对”时，点B的坐标为（﹣x，|﹣x+3|），
∴＝|﹣x+3|，
当x≥3时，＝x﹣3，
解得：x＝+或x＝﹣（舍），
∴满足条件的点B有1个；
当0＜x＜3时，＝3﹣x，
解得：x＝+或x＝﹣，
∴满足条件的点B有2个；
综上所述，函数f（x）＝的“黄金点对”的个数为3个，
故选：A．
【点评】本题以新定义为背景，考查一次函数图象和反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知关于原点对称的两个点之间的坐标关系．
二．填空题（共10小题）
11．（2022•东莞市校级一模）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）的图象上的一点，点B在x轴的负半轴上且AO＝AB，若△ABO的面积为4，则k的值为 　﹣4　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】过点A作AC⊥x轴，设点A（x，y），可得出xy＝k，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴，设点A（x，y），

∵OA＝AB，
∴OC＝BC，
∴点B（2x，0），
∵顶点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴xy＝k，
∵△OAB的面积为4，
∴OB•AC＝4，
即×2|x|×y＝4，
∴xy＝﹣4，
即k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及等腰三角形的性质，反比例函数y＝图象上的点（x，y）一定满足xy＝k．
12．（2022春•福州期中）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象分别与矩形OABC两边AB，BC交于点D，E，沿直线DE将△DBE翻折得到△DFE，且点F恰好落在直线OA上．下列四个结论：①CE＝AD；②tan∠FED＝；③OE＝EF；④S△EOF＝k；其中结论一定正确的有 　②③④　（填序号即可）．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】设OA＝a，OC＝b，表示出CE和AD的长，即可判断①；过点E作EG⊥x轴于点G，易证△GEF∽△AFD，根据相似三角形的性质以及三角函数即可判断②；根据相似三角形的性质可知GF＝OG，根据垂直平分线的性质即可判断③；根据三角形的面积公式求出△EOF的面积即可判断④．
【解答】解：设OA＝a，OC＝b，
根据题意，可知E点纵坐标为b，D点横坐标为a，分别代入反比例函数解析式y＝，
得E（，b），D（a，），
∴CE＝，AD＝，
∵四边形OABC是矩形，
∴a≠b，
∴CE≠AD，
故①选项不符合题意；
过点E作EG⊥x轴于点G，如图所示：

在矩形OABC中，∠OAB＝∠ABC＝90°，
则有∠EGF＝∠FAD＝90°，
∴∠GEF+∠GFE＝90°，
根据折叠，∠EFD＝∠B＝90°，
∴∠GFE+∠AFD＝90°，
∴∠GEF＝∠AFD，
∴△GEF∽△AFD，
∴＝，
∵GE＝AB，
∴tan∠FED＝＝，
故②选项符合题意；
∵BE＝a﹣，FD＝BD＝b﹣，且△GEF∽△AFD，
∴EF：FD＝GF：AD，
∴GF＝，
∵OG＝CE＝，
∴OG＝GF，
∴GE垂直平分OF，
∴OE＝EF，
故③选项符合题意；
S△EOF＝＝OG•GE＝•b＝k，
故④选项符合题意；
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，涉及相似三角形的性质和判定，垂直平分线的性质等，构造相似三角形是解题的关键，本题综合性较强．
13．（2022•宁波模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，a+）（其中k为常数且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．已知点A在反比例函数y＝的图象上运动，且点A是点B的“关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为 　（，）或（﹣，﹣）　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】由点A是点B的“关联点”，可设点B坐标，表示出点A坐标，由点A在函数y＝的图象上，就得到点B在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点M、N，过Q作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段QB，此时QB最小，由∠NMO＝60°可得出点B的坐标．
【解答】解：设B（x，y），
∵点A是点B的“关联点”，
∴A（x+y，x+）
∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴（x+y）（x+）＝，
即：x+y＝或x+y＝﹣，
当点B在直线y＝﹣x+上时，
设直线y＝﹣x+与x轴、y轴相交于点M、N，则M（1，0）、N（0，），
当OB⊥MN时，线段OB最短，此时OB＝＝，
由∠NMO＝60°，可得点B（，）；
设直线y＝﹣x﹣时，同理可得点B（﹣，﹣）；
故答案为：（，）或（﹣，﹣）．
【点评】考查反比例函数的图象上点的坐标特征、一次函数的图象和性质等知识，合理地把“坐标与线段的长”互相转化，是解决问题的关键，由于新定义一种概念，切实理解“关联点”的意义是解决问题的前提．
14．（2022•灞桥区校级模拟）如图，矩形OABC的面积为48，它的对角线OB与双曲线y＝（k≠0）相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为 　﹣　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；推理填空题；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】过点D作DN⊥CO，求出S△BCO＝24，再根据DH∥BC，推出△ODH∽△OBC，根据相似三角形的性质求出，进而求出k．
【解答】解：过点D作DN⊥CO，
∴∠DHO＝90°，
∵矩形OABC的面积为48，
∴S△BCO＝24，∠BCO＝90°，
∴∠DHO＝∠BCO，
∴DH∥BC，
∴△ODH∽△OBC，
∵OD：OB＝2：3，
∴，
∴S△ODH＝，
∴|k|＝，
∵k＜0，
∴k＝﹣，
故答案为：﹣．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，掌握相似三角形的性质与判断的应用，其中作出辅助线是解题关键．
15．（2022•湘潭县校级模拟）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则A2022的坐标为 　（，0）　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标．菁优网版权所有
【专题】规律型；反比例函数及其应用．
【分析】过点B1作B1H⊥x轴于点H，过点B2作B2G⊥x轴于点G，根据等边三角形的性质可得，H是OA1的中点，∠B1OA1＝60°，设OH＝m，则B1（m，m）代入反比例函数解析式，即可求出m的值，进一步求出A1点坐标，同理可求出A2点坐标，A3点坐标，A2022点坐标．
【解答】解：过点B1作B1H⊥x轴于点H，过点B2作B2G⊥x轴于点G，如图所示，

∵△OB1A1，△A1B2A2是等边三角形，
∴H是OA1的中点，G是A1A2的中点，∠B1OA1＝∠B2A1A2＝60°，
设OH＝m，则B1H＝m，
∴B1（m，m），
将点B1坐标代入反比例函数解析式，
得m•m＝，
解得m＝1，
∴A1（2，0），
同理，可得A2（2，0），A3（2，0），
∴A2022的坐标（，0）；
故答案为：（，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与规律的综合，涉及等边三角形的性质，找出点坐标的规律是解题的关键．
16．（2022•宁波一模）如图，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（2，0），过点C（﹣1，0）作直线l交AO于点E，交AB于点D，点D在反比例函数y＝的图象上，当△OCE的面积和△ADE的面积相等时，k＝　　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；等边三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【分析】过点D作DF⊥x轴于F，过A作AG⊥x轴于G，求出△OAB的面积，得到△BCD的面积，由面积公式求得D点的坐标，最后用待定系数法便可求得结果．
【解答】解：过点D作DF⊥x轴于F，过A作AG⊥x轴于G，如下图，

∵△AOB为等边三角形，点B的坐标为（2，0），
∴OG＝BG＝1，∠ABO＝60°，
∴AG＝BG•tan60°＝，
∴，
∵△OCE的面积和△ADE的面积相等，
∴，
∵C（﹣1，0），
∴BC＝2+1＝3，
∴，
∴DF＝，
∴BF＝，
∴OF＝2﹣＝，
∴D（，），
把D（，）代入y＝，得k＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到解直角三角形、等边三角形的性质、三角形的面积等有关知识，综合性较强，关键在由三角形面积求得D点坐标．
17．（2022春•衡阳期中）如图，△OA1B1，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为 　（，），　．（用含有正整数n的式子表示）

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标．菁优网版权所有
【专题】规律型；反比例函数及其应用．
【分析】过B1作B1M1⊥x轴于M1，根据等腰直角三角形的性质，可知M1是OA1的中点，且B1M1＝OM1，求出B1的坐标，同理，求出B2的坐标，Bn的坐标即可．
【解答】解：过B1作B1M1⊥x轴于M1，如图所示：

∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴M1是OA1的中点，且B1M1＝OM1，
设B1（m，m），代入反比例函数解析式，
得m2＝1，
解得m＝1，
∴B1（1，1），
同理可得B2的坐标为（+1，﹣1），
B3的坐标为（+，﹣），
∴Bn的坐标为（，），
故答案为：（，）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合，涉及等腰直角三角形的性质，找出坐标之间的规律是解题的关键．
18．（2022•东坡区校级模拟）如图，直线y＝kx（k＞0）与双曲线交于A，B两点，以AB为边构造等边△ABC，且C为第四象限内一点，当A的坐标是（1，2）时，则点C的坐标为 　　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】连接OC，过点A作AG⊥y轴于点G，过点C作CH⊥y轴于点H，根据等边三角形的性质，可知∠OAC＝60°，根据三角函数可知＝，易证△AOG∽△OCH，根据相似三角形的性质即可求出C点坐标．
【解答】解：连接OC，过点A作AG⊥y轴于点G，过点C作CH⊥y轴于点H，如图所示：

∵△ABC是等边三角形，且O是AB的中点，
∴OC⊥AB，∠OAC＝60°，
∴tan∠OAC＝＝，
∵∠AOG+∠OAG＝90°，∠AOG+∠COH＝90°，
∴∠OAG＝∠COH，
∴△AOG∽△OCH，
∴＝，
∵A（1，2），
∴AG＝1，OG＝2，
∴CH＝2，OH＝，
∴C（2，﹣），
故答案为：（2，﹣）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合，涉及等边三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定，构造相似三角形是解题的关键．
19．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，连接OM，ON，MN，若∠MON＝45°，MN＝2，则k的值为 　　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形．
【分析】延长BA到G，使得AG＝CN，连接OG，易证△OCN≌△OAG（SAS），根据全等三角形的性质，进一步证明△MON≌△MOG（SAS），根据全等三角形性质，求出AM的值，再设正方形边长为a，在△BMN中根据勾股定理即可求出正方形的边长，进一步可知M点坐标，即可求出k的值．
【解答】解：延长BA到G，使得AG＝CN，连接OG，如图所示：

在正方形OABC中，OA＝OC，∠OCB＝∠OAB＝∠COA＝90°，
∴∠OAG＝∠OCN，
∴△OCN≌△OAG（SAS），
∴∠CON＝∠GOA，OG＝ON，
∵∵∠MON＝45°，
∴∠CON+∠AOM＝45°，
∴∠AOM+∠GOA＝45°，
∵OM＝OM，
∴△MON≌△MOG（SAS），
∴MN＝MG，
即MN＝MA+CN，
设AM＝x，
∵MN＝2，
∴CN＝2﹣x，
∵M，N在反比例函数上，
∴CN•OC＝AM•OA，
∵OC＝OA，
∴2﹣x＝x，
解得x＝1，
设正方形边长为a，则BM＝a﹣1，BN＝a﹣1，
在△BMN中，根据勾股定理，得2（a﹣1）2＝4，
解得a＝或1﹣（舍），
∴M点坐标为（，1），
将M点坐标代入反比例函数解析式，
得k＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数与正方形的综合，涉及三角形全等，正方形的性质，勾股定理等，构造全等三角形求出AM的长再根据勾股定理求出正方形的边长是解题的关键，本题综合性较强．
20．（2022•邯山区模拟）如图，已知平面直角坐标系xOy中的四个点：A（0，2）．B（1，0），C（3，1），D（2，3）．
（1）若点C和点D在双曲线y＝（k＞0，x＞0）的两侧，则k的整数值为 　4，5　；
（2）在经过这四个点中的三个点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，a的最大值是 　　．

【考点】反比例函数的性质；二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】函数的综合应用；运算能力．
【分析】（1）分别将C（3，1），D（2，3）代入y＝中，可得对应k的值，从而可解答；
（2）比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a＜0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可判断．
【解答】解：（1）当双曲线y＝经过点C（3，1）时，k＝3×1＝3，
当双曲线y＝经过点D（2，3）时，k＝3×2＝6，
∵点C和点D在双曲线y＝（k＞0，x＞0）的两侧，
∴k的整数值为4，5；
（2）解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，a＞0；
A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0；
B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可，
设二次函数为y＝ax2+bx+c，
当抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点时，则，
解得a＝；
当抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、D三点时，则，
解得a＝；
故a的值最大时二次函数经过A、B、D三点，且a＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数的定义和二次函数与系数的关系，解本题的关键要熟练掌握二次函数和反比例函数的性质和待定系数法求函数的解析式．
三．解答题（共10小题）
21．（2022•新都区模拟）如图，点D在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，四边形ABCD是矩形，点A和点B在y轴上，连接CA，交反比例函数图象于点F，并延长交x轴于点E，连接BE．
（1）若D点坐标是（5，2），求反比例函数的表达式；
（2）在（1）小题的条件下，若CE所在直线的表达式是y＝x+2，求F点的坐标；
（3）若△ABE的面积为4，求k的值．

【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）联立反比例函数，一次函数解析式，解方程组求交点坐标即可；
（3）连结OD，证明△BAC∽△OAE，得到＝，从而OA•BC＝BA•OE＝2S△ABE＝8，根据BC＝AD，得到OA•AD＝8，根据反比例函数k的几何意义即可得到k＝8．
【解答】解：（1）∵点D（5，2）在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，
∴k＝5×2＝10，
∴反比例函数表达式为y＝（x＞0）；
（2）由得：x2+4x﹣20＝0，
∵x＞0，
∴x＝2﹣2，
∴y＝+1，
∴F（2﹣2，+1）；
（3）如图，连结OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥x轴，BC＝AD，
∴∠BCA＝∠OEA，
又∵∠BAC＝∠OAE，
∴△BAC∽△OAE，
∴＝，
∴OA•BC＝BA•OE＝2S△ABE＝8，
∵BC＝AD，
∴OA•AD＝8，
∴k＝8．

【点评】本题考查了反比例函数的综合题，根据反比例函数k的几何意义求k的值是解题的关键．
22．（2022•青龙县一模）某小超市计划购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品每件的进价为20元，乙商品每件的进价由基础价与浮动价两部分组成，其中基础价固定不变，浮动价与购进乙商品件数成反比，现购进乙商品x件，乙商品每件的进价为P元．
在购进过程中，可以获得如下信息：
x（件）
10
50
P（元）
70
38
（1）求P与x之间函数关系式；
（2）若乙商品每件的进价是甲商品的2倍，求x的值；
（3）若购进甲商品的总钱数不超过购进乙商品的总钱数，求小超市购进这两种商品的最少花费．
【考点】反比例函数的应用．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】（1）设（m，n为常数，且m≠0，n≠0），根据题意可得方程组，解方程组即可；
（2）根据“乙商品每件的进价是甲商品的2倍”列方程，求解即可；
（3）根据“购进甲商品的总钱数不超过购进乙商品的总钱数”列不等式，求出x的取值范围，再表示出W与x的函数关系式，根据增减性即可求出最小值．
【解答】解：（1）设（m，n为常数，且m≠0，n≠0），
由题意得，
解得，
∴P与x之间函数关系式：；
（2）根据题意，得，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原方程的根且满足题意，
∴x的值是40；
（3）由题意得，，
解得x≥32，
设商场购进这两种商品的的总花费为W元，
W＝，
∵10＞0，
∴W随着x增大而增大，
∴当x＝32时，W最小，最小值为2720元．
∴小超市购进这两种商品的最少花费为2720元．
【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，涉及待定系数法求解析式，分式方程的应用，一次函数的性质等，本题综合性较强．
23．（2022•越秀区一模）如图，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点D（4，2），且与边AB、BC分别交于点E，F．直线EF交x轴于点G．
（1）求点E的坐标；
（2）求证：四边形AEGC是平行四边形．

【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】（1）根据矩形的性质可得B（8，4），根据点D（4，2）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，得k＝4×2＝8，从而得出点E的坐标；
（2）首先求出点F的坐标，利用待定系数法求出直线EF的解析式，得出OG的长，从而得出AE＝CG，即可证明结论．
【解答】（1）解：∵点D（4，2）是矩形OABC对角线的交点，
∴B（8，4），
∵点D（4，2）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝4×2＝8，
∴y＝，
当y＝4时，x＝2，
∴E（2，4）；
（2）证明：对于y＝，当x＝8时，y＝1，
∴F（8，1），
设直线EF的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线EF的解析式为y＝﹣x+5，
当y＝0时，x＝10，
∴OG＝10，
∴CG＝2＝AE，
∴AECG，
∴四边形AEGC是平行四边形．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，平行四边形的判定，求出直线EF的解析式是解题的关键．
24．（2022•呼和浩特一模）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，2）点B（﹣4，n）．
（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；
（2）如图所示，请直接写出不等式k1x+b≥的解集；
（3）在x轴上存在一点P，使△PAB的周长最小，直接写出点P的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，然后再把点B的坐标代入反比例函数求出n的值，从而求出点B的坐标，再把点A、B的坐标代入一次函数表达式，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据两函数的交点坐标可得答案；
（3）作点B关于x轴的对称点C，连接AC，交x轴于点P，此时△PAB的周长最小，设直线AC的表达式为y＝ax+c，根据待定系数法求得解析式，令y＝0，即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，2）在反比例函数图象上，
∴＝2，
解得k2＝﹣2，
∴反比例函数的解析式是y＝﹣，
∵点B（﹣4，n）在反比例函数图象上，
∴n＝﹣＝，
∴点B的坐标是（﹣4，），
∵一次函数y＝k1x+b的图象经过点A（﹣1，2）、点B（﹣4，）．
∴
解得．
∴一次函数解析式是y＝x+；
（2）不等式k1x+b≥的解集为：﹣4≤x≤﹣1；
（3）作B点关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于P，则PA+PB＝AC，此时PA+PB最小，即△PAB的周长最小，

∵点C（﹣4，﹣）和B关于x轴对称，
∴点C的坐标为（﹣4，﹣），
设直线AC的表达式为y＝ax+c，
∴，
解得：，
∴直线AC的表达式为：y＝x+，
当y＝0时，则x＝﹣，
∴P点坐标为（﹣，0）．
【点评】主要考查了反比例函数与一次函数的交点．熟练掌握用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．
25．（2022•渝中区模拟）如图，当x＞0时，反比例函数y1＝（k≠0）与正比例函数y2＝x的图象交于点A（4，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当y1≤y2时，x的取值范围；
（3）若点B（n，4）在反比例函数的图象上，直线OA向上平移后经过点B，交y轴于点C，求△ABC的面积．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式求出m，然后通过待定系数法求解．
（2）根据图象求解．
（3）先求出点B坐标，过点B作BE⊥x轴交AC于点E，由S△ABC＝S△ABE+S△CBE求解．
【解答】解：（1）将（4，m）代入y2＝x得m＝4＝2，
∴点A坐标为（4，2），
将（4，2）代入y1＝＝2＝，
解得k＝8，
∴反比例函数的解析式y1＝．
（2）由图象可得：y1≤y2时，x＞4．
（3）将（n，4）代入y1＝得：4＝，
解得n＝2，
∴点B坐标为（2，4），
将x＝2代入y2＝x得：y2＝1，
4﹣1＝3，
∴直线OA向上平移3个单位得到BC，即直线BC表达式为y＝x+3，
将x＝0代入y＝x+3得：y＝3，
∴点C坐标为（0，3），
过点B作BE⊥x轴交AC于点E，

设直线AC解析式为y＝kx+b，
将（4，2），（0，3）代入y＝kx+b得：，
解得，
∴y＝﹣x+3，
将x＝2代入y＝﹣x+3得y＝，
∴点E坐标为（2，），BE＝4﹣＝，
∴S△ABC＝S△ABE+S△CBE＝BE•（xA﹣xB）+BE•（xB﹣xC）＝BE•xA＝×4＝3．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程及不等式的关系．
26．（2022•宝安区二模）在并联电路中，电源电压为U总＝6V，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：I总＝I1+I2（I1＝，I2＝），已知R1为定值电阻，当R变化时，干路电流I总也会发生变化，且干路电流I总与R之间满足如下关系：I总＝1+．
（1）定值电阻R1的阻值为 　6　Ω；
（2）小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I2＝来探究函数I总＝1+的图象与性质．
①列表：如表列出I总与R的几组对应值，请写出m，n的值：m＝　2.5　，n＝　2　；
R
…
3
4
5
6
…
I2＝
…
2
1.5
1.2
1
…
I总＝1+
…
3
m
2.2
n
…
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来；

（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①I总随R的增大而 　减小　；（填“增大”或“减小”）
②函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向 　上　平移 　1　个单位而得到．

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【专题】反比例函数及其应用．
【分析】（1）根据I1＝，即可求出R1；
（2）①当R分别为4和6时，根据公式I总＝1+即可求出m和n的值；
②图象见解析；
（3）①②根据图象可知．
【解答】解：（1）∵I1＝＝1，
∴R1＝6，
故答案为：6；
（2）①当R＝4时，m＝1+1.5＝2.5，
当R＝6时，n＝1+1＝2，
故答案为：2.5，2；
②图象如下：

（3）①根据图象可知，I总随R的增大而减小，
故答案为：减小；
②函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向上平移1个单位得到，
故答案为：上，1．
【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，理解题意并画出函数图象是解题的关键．
27．（2022春•内乡县期中）阅读材料：
【自学自悟】在平面直角坐标系中已知点P1（a，b）、P2（c，d），则线段P1P2的中点坐标为（，）．
【学以致用】在平面直角坐标系中已知点A（2，1）、B（0，1），则线段AB的中点坐标为 　（1，1）　．
【解决问题】
如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标．

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【分析】【学以致用】直接利用中点公式可得答案；
【解决问题】（1）首先利用中点坐标公式得点D的坐标为（2，1），将点D（2，1）代入y＝得，反比例函数解析式为y＝，从而得出点E、F的坐标，再代入一次函数解析式，解方程即可；
（2）作点E关于x轴的对称点E'（1，﹣2），连接E'F交x轴于P，此时PE+PF的值最小，利用待定系数法求直线E'F的解析式，从而得出答案．
【解答】解：【学以致用】根据中点坐标公式得，线段AB的中点坐标为（1，1），
故答案为：（1，1）；
【解决问题】（1）∵OA＝2，OC＝4，
∴B（4，2），
∴OB的中点D的坐标为（2，1），
将点D（2，1）代入y＝得，k1＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵点E、F在反比例函数y＝上，
∴E（1，2），F（4，），
∵一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+；
（2）作点E关于x轴的对称点E'（1，﹣2），连接E'F交x轴于P，此时PE+PF的值最小，

设直线E'F的函数解析式为y＝mx+n，
∴，
解得，
∴直线E'F的解析式为y＝x﹣，
当y＝0时，x＝，
∴P（，0）．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了中点坐标公式，矩形的性质，函数图象上点的坐标的特征，待定系数法求函数解析式等知识，求出点E、F的坐标是解题的关键．
28．（2022•江西模拟）如图，点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数y＝（x＞0）图象上一动点（不与P点重合），过点M作MD⊥AP于点D，若∠PMD＝45°，求点M的坐标．


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【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】（1）根据一次函数表达式可得点P的坐标，再将点P代入反比例函数，可得答案；
（2）过点D作GH⊥PB，交BP的延长线于G，作MH⊥HG于H，利用AAS证明△PGD≌△DHM，得PG＝DH，DG＝MH，设D（m，m+1），表示出点M的坐标，从而得出m的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）对于y＝x+1，当y＝4时，x＝6，
∴P（6，4），
将点P（6，4）代入y＝得，m＝6×4＝24；
（2）过点D作GH⊥PB，交BP的延长线于G，作MH⊥HG于H，

∵△PMD是等腰直角三角形，
∴PD＝DM，
∵∠PDG+∠MDH＝90°，∠PDG+∠DPG＝90°，
∴∠DPG＝∠MDH，
∵∠G＝∠H，
∴△PGD≌△DHM（AAS），
∴PG＝DH，DG＝MH，
设D（m，m+1），
∴DG＝m﹣6，PG＝m﹣3，
∴MH＝m﹣6，DH＝m﹣3，
∴M（m﹣3，7﹣m），
∵点M在反比例y＝的图象上，
∴（m﹣3）×（7﹣m）＝24，
解得m1＝6，m2＝10，
当m＝6时，M（6，4）（舍），
当m＝10时，M（12，2），
∴M（12，2）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数图象的交点问题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，构造全等三角形表示出点M的坐标是解题的关键．
29．（2022•新泰市一模）如图，已知一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于第一象限内的点A（1，6）和B（6，m），与x轴交于点C，交y轴于点D．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；
（3）点P为坐标平面内的点，若点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标．

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【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，可得k2＝6，从而可求出点B坐标，再将A、B坐标代入一次函数解析式，解方程组可得答案；
（2）根据面积和差关系可得S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC，从而解决问题；
（3）分AP∥OC且AP＝OC或AP'∥OC且AP'＝OC或AO∥P''C，且AO＝P''C时，画出图形，利用平行四边形的性质可得答案．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于第一象限内的点A（1，6），
∴6＝，
∴k2＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵B（6，m）在反比例函数y＝上，
∴m＝，
∴B（6，1），
将点A（1，6），B（6，1）代入y＝k1x+b得：
，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+7；
（2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+7，
则D（0，7），C（7，0），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝；
（3）如图，当AP∥OC且AP＝OC时，

则AP＝OC＝7，
∵A（1，6），
∴P（8，6），
当AP'∥OC且AP'＝OC时，
则AP'＝OC＝7，
∵A（1，6），
∴P'（﹣6，6），
当AO∥P''C，且AO＝P''C时，
则点A与点P''到x轴距离相等，且P''点横坐标为7﹣1＝6，
∴P''（6，﹣6），
综上，点P的坐标为（8，6）或（﹣6，6）或（6，﹣6）．
【点评】本题是一次函数与反比例函数交点问题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，运用分类思想是解决问题（3）的关键．
30．（2022•锦江区校级模拟）如图，已知一次函数y＝kx+1与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC．
（1）求k，b的值和B点坐标；
（2）将△ABC沿x轴向右平移，对应得到△A′B′C′，当反比例函数图象经过A′C′的中点M时，求△MAC的面积；
（3）在第一象限内的双曲线上求一点P，使得tan∠PCA＝．

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【专题】反比例函数及其应用．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得k，b的值，然后解析式联立成方程组，解方程组即可求解点B的坐标；
（2）由中点公式求出点M坐标，进而求出直线CM的表达式，根据△MAC的面积S＝S△AHC+S△AHM，即可求解；
（3）作AD⊥x轴于点D，将△ACD沿AC对折，得到△ACE，连接ED交AC于M，作EF⊥x轴于点F，根据A和C点坐标，先求出tan∠ACD＝＝，再证△EFD∽△CDA，根据相似三角形的性质，求出E点坐标，进一步求出CE的解析式，然后联立反比例函数解析与直线CE的解析式，即可求出点P坐标．
【解答】解：（1）∵点A（2，3）在y＝的图象上，
∴b＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为：y＝①，
将点A的坐标代入一次函数表达式得：3＝2k+1，
解得：k＝1，
故一次函数表达式为：y＝x+1②，
联立①②并解得：x＝2或﹣3，
∴点B的坐标为（﹣3，﹣2）；
（2）设△ABC向右平移了m个单位，如图所示：

∵BC⊥x轴，
∴C（﹣3，0），
∴点A′、C′的坐标分别为（2+m，3）、（﹣3+m，0），
∵点M是A′C′的中点，
∴点M（m﹣，），
将点M的坐标代入①式并解得：m＝，
∴点M（4，），
过点A作y轴的平行线交CM于点H，
由点C、M的坐标，得直线CM的表达式为：y＝x+，
当x＝2时，y＝，
∴点H（2，），
∴△MAC的面积S＝S△AHC+S△AHM＝×AH×（xM﹣xC）＝×（3﹣）×（4+3）＝；
（3）如图，作AD⊥x轴于点D，将△ACD沿AC对折，得到△ACE，连接ED交AC于M，作EF⊥x轴于点F，

∵A（2，3），C（﹣3，0），
∴D（2，0），
∴AD＝3，CD＝5，
∴AC＝＝，tan∠ACD＝＝，
∵tan∠PCA＝，
∴∠ACD＝∠PCA，
则∠ACE＝∠ACD，ED⊥AC，EM＝DM，
∵S△ACD＝＝AC•DM，
∴DM＝＝，
∴ED＝2DM＝，
∵∠EDF+∠DEF＝90°＝∠CDM+∠ACD，
∴∠DEF＝∠ACD，
∵∠EFD＝∠CDA＝90°，
∴△EFD∽△CDA，
∴＝＝，即，
∴DF＝，EF＝，
∴OF＝﹣2＝，
∴E（﹣，），
设直线CE的解析式为y＝mx+n，
将C，E点坐标代入，得
∴，解得，
∴直线CE为y＝x+，
联立，
解得x＝，
∵P在第一象限，
∴x＝，y＝，
∴P点坐标（，）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合，涉及三角形的面积，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，本题综合性较强，难度较大．

考点卡片
1．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
2．规律型：点的坐标
规律型：点的坐标．
3．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
4．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
5．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
6．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
7．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
8．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
9．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
10．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
11．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
12．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
13．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
14．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
15．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
16．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
17．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
18．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
19．等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
20．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
21．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
22．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
23．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
24．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
25．关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
26．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）