2021-2022学年广东省揭阳市榕城区仙桥中学高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年广东省揭阳市榕城区仙桥中学高一（下）期中数学试卷

1. 已知复数z满足，则

A.  B.  C.  D.

2. 已知向量，，，若，则

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. 下列命题正确的是

A. 经过三点确定一个平面
B. 经过一条直线和一个点确定一个平面
C. 四边形确定一个平面
D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

4. 如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是

A. 6 B. 12 C. 6 D.

5. 如图，扇形OAB中，，，将扇形绕OB所在直线旋转一周所得几何体的表面积为

A.  B.  C.  D.

6. 过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则圆柱的侧面积是

A.  B.  C.  D.

7. 将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的侧面积为

A.  B.  C.  D.

8. 下列说法中不正确的是

A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥
D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

9. 设复数z满足，i为虚数单位，则下列命题正确的是

A.
B. 复数z在复平面内对应的点在第四象限
C. z的共轭复数为
D. 复数z在复平面内对应的点在直线上

10. 下列命题中正确的是

A. 若，则
B.
C. 若向量是非零向量，则与方向相同
D. 若，则存在唯一实数使得

11. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角B的值为

A.  B.  C.  D.

12. 已知单位向量，的夹角为，与垂直，则______.
13. 已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱和圆锥的表面积分别为，，则______.
14. 复数______；______.
15. 在中，，，，则边______.
16. 若复数，当实数m为何值时
    是实数；
    是纯虚数；
    对应的点在第二象限．
    
    
    
    
    
    
     
17. 已知向量，，，且
    求，；
    求与的夹角及与的夹角．
    
    
    
    
    
    
     
18. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知
    求角B的大小；
    若，求
    
    
    
    
    
    
     
19. 在三棱锥中，面ABC，，，
    求三棱锥的侧面积；
    求点A到平面PBC的距离．
    
    
     

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：复数z满足，
，
则
故选：
利用复数的性质、运算法则直接求解．
本题考查复数的运算，考查复数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：，且；
；

故选：
可以求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出
考查向量垂直的充要条件，向量减法和数量积的坐标运算．
 

3.【答案】D
 

【解析】解：A、根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对；
B、根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故B不对；
C、比如空间四边形则不是平面图形，故C不对；
D、两两相交且不共点的三条直线，则三个交点不共线，故它们确定一个平面，由公理1知三条直线都在此平面内，故D正确．
故选：
根据公理2以及推论判断A、B、D，再根据空间四边形判断
本题主要考查了确定平面的依据，注意利用公理2的以及推论的作用和条件，可以利用符合题意的几何体来判断，考查了空间想象能力．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：是水平放置的的直观图，
所以是直角三角形，且两条直角边长为6和4，
它的面积为
故选：
还原成，是直角三角形，且两条直角边分别为6和4，求出它的面积即可．
本题考查了斜二测法画直观图与面积的计算问题，是基础题．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：将扇形绕OB所在直线旋转一周所得几何体如图，

该几何体为半球，半球的半径为1，
则该几何体的表面积为
故选：
由题意画出图形，再由圆的面积公式及球的表面积公式求解．
本题考查旋转体表面积的求法，是基础题．
 

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了圆柱的轴截面与侧面积计算问题，是基础题．
根据圆柱的轴截面面积求出圆柱的底面半径和母线长，再计算圆柱侧面积．

【解答】

解：设圆柱的轴截面边长为x，
则由，解得，
所以圆柱的底面半径为，母线长为，
所以圆柱的侧面积为：

故选：

7.【答案】B
 

【解析】解：边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，所以该圆锥的底面半径为1，圆维的母线长为2，因此该圆锥的侧面积为，
故选：
根据圆锥的侧面积公式进行求解即可．
本题考查圆锥的侧面积公式，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】ABC
 

【解析】解：A、如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；
B、如图所示，若不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；
C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；
D、根据圆锥母线的定义知，故D正确．
故选：

通过简单几何体和直观图说明A和B错误，根据正六棱锥的过中心和定点的截面知C错误，由圆锥的母线的定义进行判断知D正确．
本题考查棱柱的结构特征，旋转体的特征，是基础题．
 

9.【答案】AC
 

【解析】解：由，得，故A 正确：
复数z在复平面内对应的点的坐标为，在第三象限，故B不正确：
z的共轭复数为，故C正确：
复数z在复平面内对应的点不在直线上，故D不正确．
故选：
根据复数的模、复数的几何意义、共轭复数等知识，逐一判断各选项即可．
本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，复数的模和共轭复数，属基础题．
 

10.【答案】BC
 

【解析】

【分析】
本题考查向量的定义，向量的运算法则以及共线向量定理的应用，是基础题．
利用向量的定义判断A，向量加减运算判断B；向量的模的运算判断C，共线向量判断D即可．
【解答】
解：向量不能比较大小，所以A不正确；
，所以B正确；
若向量是非零向量，则与方向相同，所以C正确；
若，当时，则存在唯一实数使得，所以D不正确.
故选：  

11.【答案】BD
 

【解析】解：，
，
代入已知等式得：，即，
则或
故选：
利用余弦定理表示出，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出的值，即可确定出B的度数．
此题考查了余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积的关系，属于基础题.
由已知求得，再由与垂直可得，展开即可求得k值.
【解答】
解：向量，为单位向量，且，的夹角为，
，
又与垂直，
，
即，则
故答案为  

13.【答案】2
 

【解析】

【分析】
本题考查圆锥与圆柱的表面积，考查学生的运算能力，属于中档题．
根据圆柱与圆锥的表面积公式直接计算．
【解答】
解：设圆柱与圆锥的半径均为r，母线为l，
故，
所以，
故答案为：  

14.【答案】
 

【解析】解：；

故答案为：i；
根据复数的运算法则计算即可．
本题考查了复数的运算，属于基础题．
 

15.【答案】1
 

【解析】解：由正弦定理可得：
故答案为：
由已知利用正弦定理及特殊角的三角函数值即可求值．
本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
 

16.【答案】解：由题意可得：，
解得：或2；
由题意可得：，且，
或，且且，
；
由题意可得：，
解得：
 

【解析】令复数z的虚部为0，即可求解；
令复数z的实部为0且虚部不为0，即可求解；
根据第二象限点的符号特征，列出不等式，即可求出m的范围．
本题主要考查了复数的定义，是基础题．
 

17.【答案】解：因为向量，，，且，
所以，
所以，
又，
所以；
记与的夹角为，，与的夹角为，，
则，
所以，
所以
 

【解析】由、，结合平面向量数量积的运算即可得解；
记与的夹角为，与的夹角为，，由平面向量数量积的定义可得、，即可得解．
本题考查了平面向量数量积的运算与应用，考查了运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：由正弦定理及，知，
因为，所以，
因为，所以
由余弦定理得，，
所以
 

【解析】利用正弦定理化边为角，可得的值，从而得解；
利用余弦定理求解即可．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：面ABC，
，，又，
，，均为直角三角形，
又，，
，，
为等腰三角形，
，，，
；
由知，，
，
设点A到平面PBC的距离为d，
则，
，
即点A到平面PBC的距离为
 

【解析】分别计算三个侧面的面积即可；
利用等积法即可得到点A到平面PBC的距离．
本题考查求空间几何体的表面积和点到面的距离，属中档题．