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2021-2022学年广东省深圳高级中学高二（下）期中数学试卷原卷及解析版
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2021-2022学年广东省深圳高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x（x﹣3）＜0}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2}
2．（5分）设随机变量X的概率分布列为：
X
1
2
3
4
P
13
m
14
16
则P（|X﹣2|≤1）＝（ ）
A．14 B．16 C．56 D．512
3．（5分）已知等比数列{an}的公比为q，且16a1，4a2，a3成等差数列，则q的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），若函数f（x）在x＝1处取得极大值，则函数y＝﹣xf'（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（5分）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行捡垃圾活动．参加活动的甲、乙两班的人数之比为3：2，其中甲班中女生占13，乙班中女生占12，则该社区居民遇到一位进行捡垃圾活动的同学恰好是女生的概率是（ ）
A．25 B．35 C．13 D．12
6．（5分）若过点（1，2）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x+y﹣9＝0的距离为（ ）
A．655 B．5 C．455 D．255
7．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC的平面展开图中，AC=3，AB＝1，AD＝1，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝（ ）
A．13 B．34 C．25 D．35
8．（5分）已知实数a，b，c满足a＜2，alna﹣21n2＝a﹣2，b＜2，blnb−2ln2=b−2，c＞12，clnc−121n12=c−12，则（ ）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件M发生的概率为12
B．事件M与事件N互斥
C．事件M∩N发生的概率为12
D．事件M与事件N相互独立
（多选）10．（5分）已知椭圆M：x225+y220=1的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．△PF1F2周长为10
B．△PF1F2面积最大值为10
C．存在点P满足：∠F1PF2＝90°
D．若△PF1F2面积为45，则点P横坐标为±5
（多选）11．（5分）如图，在圆锥SO中，AC为底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的一点，OC＝3，SO=33，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．圆锥SO的体积为93π
B．圆锥SO的表面积为18π
C．三棱锥S﹣ABC的体积的最大值为93
D．存在点B使得直线SB与平面SAC所成角为π6
（多选）12．（5分）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84
B．在“杨辉三角”中，当n＝12时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为78
C．在“杨辉三角”中，第n行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字
D．记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai，则i=1n+1 2i−1⋅ai=3n+1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知函数f（x）=lnxx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为 ．
14．（5分）某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有 ．
15．（5分）函数f（x）＝﹣3x﹣|lnx|+3的最大值为 ．
16．（5分）若函数f（x）＝ex（x﹣1）﹣kx2，当x＝0时f（x）有极大值，则k的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数y＝x2lnx．
（1）求这个函数的图象在x＝1处的切线方程；
（2）若过点（0，0）的直线l与这个函数图象相切，求l的方程．
18．（12分）在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处问题中，解决下面两个问题．
已知(2x−1)n=a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋅⋅⋅+anxn(n∈N∗)，若（2x﹣1）n的展开式中，____．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）在（1+x）3+（1+x）4+⋅⋅⋅+（1+x）n+2的展开式中，求x2含项的系数（结果用数字表示）．
19．（12分）已知{an}是等差数列，a1＝1，a4＝10，且a1，ak（k∈N*），a6是等比数列{bn}的前3项．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）数列{cn}是由数列{an}的项删去数列{bn}的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列{cn}的前20项的和．
20．（12分）已知函数f（x）＝ax+2lnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设函数g（x）＝﹣x+2，若任意x∈[1，e3]，使得f（x）≤g（x），求a的取值范围．
21．（12分）某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4的四批疫苗，供全市所辖的A，B，C三个区市民注射，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种．
（1）求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；
（2）记A，B，C三个区选择的疫苗批号的中位数为X，求X的分布列．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2+asinx+1，a∈R．
（1）设函数g（x）＝f′（x），若y＝g（x）在区间[0，π2]上的增函数，求a的取值范围；
（2）当a＝﹣2时，证明函数f（x）在区间（0，π）上无零点．
2021-2022学年广东省深圳高级中学高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x（x﹣3）＜0}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2}
【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜3}，B＝{0，1，2，3}，
∴A∩B＝{1，2}．
故选：D．
【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）设随机变量X的概率分布列为：
X
1
2
3
4
P
13
m
14
16
则P（|X﹣2|≤1）＝（ ）
A．14 B．16 C．56 D．512
【分析】根据给定分布列，利用对立事件的概率公式计算作答．，
【解答】解：依题意，|X﹣2|≤1⇒1≤X≤3，即事件|X﹣2|≤1的对立事件是X＝4的事件，所以P（|X﹣2|≤1）＝1﹣P（X＝4）＝1−16=56．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型概率分布列的性质的应用，解题时要认真审题，是基础题．
3．（5分）已知等比数列{an}的公比为q，且16a1，4a2，a3成等差数列，则q的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据给定条件，利用等差中项列式求解作答．
【解答】解：等比数列{an}的公比为q，16a1，4a2，a3成等差数列，
则16a1+a3＝8a2，即a1q2−8a1q+16a1=0，
整理得（q﹣4）2＝0，解得q＝4，
所以q的值是4．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的综合计算，属于基础题．
4．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），若函数f（x）在x＝1处取得极大值，则函数y＝﹣xf'（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题设条件知：x＜0时，y＝﹣xf'（x）＞0，0＜x＜1时，y＝﹣xf'（x）＜0，当x＝0或x＝1时，y＝﹣xf′（x）＝0；当x＞1时，﹣xf′（x）＞0．由此观察四个选项能够得到正确结果．
【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝1处取得极大值，
∴当x＞1时，f′（x）＜0；
当x＝1时，f′（x）＝0；
当x＜1时，f′（x）＞0．
∴x＜0时，y＝﹣xf'（x）＞0，
0＜x＜1时，y＝﹣xf'（x）＜0，
当x＝0或x＝1时，y＝﹣xf′（x）＝0；
当x＞1时，﹣xf′（x）＞0．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．
5．（5分）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行捡垃圾活动．参加活动的甲、乙两班的人数之比为3：2，其中甲班中女生占13，乙班中女生占12，则该社区居民遇到一位进行捡垃圾活动的同学恰好是女生的概率是（ ）
A．25 B．35 C．13 D．12
【分析】设出两班的总人数，求出女生人数，再利用古典概型计算作答．
【解答】解：设甲乙两班的总人数为n，则甲班人数为35n，其中女生人数为15n，乙班人数为25n，其中女生人数为15n，
因此，两个班的女生总数为25n，
所以捡垃圾活动的同学恰好是女生的概率是P=25nn=25．
故选：A．
【点评】本题考查了古典概型概率计算，属于基础题．
6．（5分）若过点（1，2）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x+y﹣9＝0的距离为（ ）
A．655 B．5 C．455 D．255
【分析】根据已知条件，先设出圆的方程，将点（1，2）代入该方程，即可求出a值，再结合点到直线的距离公式得答案．
【解答】解：∵圆过点（1，2），且与两坐标轴相切，
∴圆的圆心在第一象限且横纵坐标相等，
设圆心坐标为（a，a）（a＞0），
则圆的半径为a，圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，
代入（1，2）可得，（1﹣a）2+（2﹣a）2＝a2，解得a＝1或5，
当a＝1时，圆心坐标为（1，1），到直线2x+y﹣9＝0的距离为|2+1−9|5=655；
当a＝5时，圆心坐标为（5，5），到直线2x+y﹣9＝0的距离为|2×5+5−9|5=655．
综上所述，圆心到直线2x+y﹣9＝0的距离为655．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握点到直线的距离公式是解本题的关键，是中档题．
7．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC的平面展开图中，AC=3，AB＝1，AD＝1，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝（ ）
A．13 B．34 C．25 D．35
【分析】由题意知，AE＝AB＝1，在△ACE中，由余弦定理求得CE的长，也即CF的长，再在△BCF中，由余弦定理，即可得解．
【解答】解：由题意知，AE＝AB＝1，
在△ACE中，由余弦定理知，CE2＝AE2+AC2﹣2AE•AC•cos∠CAE＝1+3﹣2×1×3×32=1，
∴CE＝1＝CF，
而BF＝BD=2，BC＝2，
在△BCF中，由余弦定理知，cos∠FCB=BC2+CF2−BF22BC⋅CF=4+1−22×2×1=34．
故选：B．
【点评】本题考查棱锥的结构性质，以及简单的几何计算，理解展开前后的不变量是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8．（5分）已知实数a，b，c满足a＜2，alna﹣21n2＝a﹣2，b＜2，blnb−2ln2=b−2，c＞12，clnc−121n12=c−12，则（ ）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c
【分析】设f（x）＝xlnx﹣x，利用导数判断函数f（x）的单调性，得到方程f（x）＝t（﹣1＜t＜0）有两个不等的根x1，x2，0＜x1＜1，1＜x2＜e，即可求解．
【解答】解：设f（x）＝xlnx﹣x，则f′（x）＝lnx，
当0＜x＜1时，则f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞1时，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴当x＝1时，f（x）取得最小值为﹣1，
又∵f（e）＝0，当0＜x＜1时，则f（x）＜0，
∴方程f（x）＝t（﹣1＜t＜0）有两个不等的根x1，x2，0＜x1＜1，1＜x2＜e，
∵f(a)=f(2)f(b)=f(2)f(c)=f(12)，又0＜12＜1＜2＜2＜e，
∴0＜a＜1，0＜b＜1，1＜c＜e，
∵f（2）＞f（2），∴f（a）＞f（b），∴a＜b，
∴a＜b＜c，
故选：D．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，利用构造函数的单调性是关键，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件M发生的概率为12
B．事件M与事件N互斥
C．事件M∩N发生的概率为12
D．事件M与事件N相互独立
【分析】结合古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识对选项进行分析，从而确定正确选项．
【解答】解：对于A，由题意可知P(M)=24=12，故A选项正确．
对于B，若两次投掷向下的数字都为3，3+3＝6，则事件M，N同时发生，所以M与N不互斥，故B选项错误．
对于C，事件M∩N表示：“第一次向下的数字为1或2，且两次向下的数字之和为奇数”，包含的事件为：（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），共4种，所以事件M∩N发生的概率为416=14，故C选项错误；
对于D，事件M∩N表示：“第一次向下的数字为3或4，且两次向下的数字之和为偶数”，包含的事件为：（3，1），（3，3），（4，2），（4，4），共4种，所以事件M∩N发生的概率为416=14．
事件N包含的事件为（1，1），（1，3），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（4，2），（4，4），共8种，所以P(N)=816=12，
所以P（MN）＝P（M）P（N），即事件M与事件N相互独立，故D选项正确．
故选：AD．
【点评】本题考查古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件，难度不大，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知椭圆M：x225+y220=1的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．△PF1F2周长为10
B．△PF1F2面积最大值为10
C．存在点P满足：∠F1PF2＝90°
D．若△PF1F2面积为45，则点P横坐标为±5
【分析】由椭圆的方程可得a，b的值，进而求出c的值，分别对所给命题进行判断，A中，△PF1F2的周长为2c+2a，求出其值，判断该命题不正确；B中，当P在短轴顶点时，△PF1F2的面积最大，并求出最大值；C中，由c＜b，所以以椭圆的左右焦点为直径的圆与椭圆无交点，即不存在∠F1PF2＝90°，判断C不正确；D中，由，△PF1F2的面积求出P的纵坐标，代入椭圆求出P的横坐标的值，判断D正确．
【解答】解：由椭圆M：x225+y220=1的方程可得a2＝25，b2＝20，可得c2＝a2﹣b2＝25﹣20＝5，
可得a＝5，b＝25，c=5，
A中，P在椭圆上，则△PF1F2周长为2a+2c＝125，所以A不正确；
B中，P在椭圆上，则△PF1F2面积S≤12•2c•b=12•252⋅5=10，所以B正确；
C中，因为c＜b，所以以椭圆的左右焦点为直径的圆与椭圆无交点，即不存在点P满足：∠F1PF2＝90°，所以C不正确；
D中，若△PF1F2面积为45，所以12•2c|yP|＝45，即12•25|yP|＝45，解得yP2＝16，代入椭圆的方程可得xP225=1−1620，解得xP＝±5，所以D正确；
故选：BD．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用，三角形面积的求法，属于中档题．
（多选）11．（5分）如图，在圆锥SO中，AC为底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的一点，OC＝3，SO=33，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．圆锥SO的体积为93π
B．圆锥SO的表面积为18π
C．三棱锥S﹣ABC的体积的最大值为93
D．存在点B使得直线SB与平面SAC所成角为π6
【分析】根据锥体的体积、表面积公式判断A、B、C，过B作BH⊥AC于H，连接SH，则∠BSH为直线SB与平面SAC所成角，求出∠BSH的最大值，即可判断D．
【解答】解：圆锥SO的体积为13π×32×33=93π，故A正确；
圆锥的母线长为32+(33)2=6，所以圆锥的侧面积为12×2π×3×6=18π，底面面积为9π，故圆锥的表面积为18π+9π＝27π，故B错误；
因为三棱锥的高为定值，故底面积最大时体积最大，故当OB⊥AC时，三棱锥S﹣ABC的体积最大，此时为13×(12×6×3)×33=93，故C正确；
过B作BH⊥AC于H，如图，
显然SO⊥底面ABC，所以SO⊥BH，SO∩AC＝O，SO，AC⊂平面SAC，所以BH⊥平面SAC，
连接SH，∴∠BSH为直线SB与平面SAC所成角，由SB＝6为定值，∴当OB⊥AC时，SB与平面SAC所成角最大，此时sin∠BSH=BHSB=12，所以∠BSH=π6，即（∠BSH）max=π6，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查圆锥的体积和表面积，属于中档题．
（多选）12．（5分）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84
B．在“杨辉三角”中，当n＝12时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为78
C．在“杨辉三角”中，第n行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字
D．记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai，则i=1n+1 2i−1⋅ai=3n+1
【分析】根据二项式定理即可求解A；根据等差数列求和公式即可求解B；根据二项式（1+x）2n＝（1+x）n（1+x）n即可求解C；列出i=1n+1 2i−1ai观察即可求解．
【解答】解：对于A，在杨辉三角中，第9行第7个数是C96=84，故A正确；
对于B，当n＝12时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为1+2+•••+12=12×(1+12)2=78，故B正确；
对于C，在“杨辉三角“中，第n行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字，
即(Cn0)2+(Cn1)2+⋅⋅⋅+(Cnn)2=C2nn．
证明如下：
（1+2x）2n＝（1+x）n（1+x）n＝（Cn0+Cn1x+Cn2x2+⋅⋅⋅+Cnnxn）•（Cnnxn+Cnn−1xn−1+Cnn−2xn−2+•••+（Cnn）2=C2nn，
∵C2nn是二项式（1+x）2n的展开式中第n+1项的二项式系数（即xn的系数），
∴(Cn0)2+(Cn1)2+⋅⋅⋅+(Cnn)2=C2nn，故C正确；
对于D，第n行的第i个数为ai=Cni−1，
∴i=1n+1 2i−1ai=20a1+21a2+22a3+⋅⋅⋅+2nan−1，
∴i=1n+1 2i−1ai=Cn0⋅20+Cn1⋅21+Cn2⋅22+⋅⋅⋅+Cnn⋅2n=（1+2）n＝3n，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查二项式定理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知函数f（x）=lnxx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为 1 ．
【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得f′（x），将x＝1代入可得f′（1）的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）=lnxx，
则f′（x）=(lnx)′x−lnx(x)′x2=1−lnxx2，
则f′（1）=1−ln11=1；
故答案为：1．
【点评】本题考查导数的计算，关键是正确计算函数f（x）的导数．
14．（5分）某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有 30 ．
【分析】由排列、组合及简单计数问题求解即可．
【解答】解：由已知可得：从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有C61C51=30，
故答案为：30．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．
15．（5分）函数f（x）＝﹣3x﹣|lnx|+3的最大值为 2﹣ln3 ．
【分析】由题去绝对值分情况讨论，分别求导求最值，即可求得最大值．
【解答】解：由题可得当x≥1时，f（x）＝﹣3﹣lnx+3，则f'（x）＝﹣3−1x＜0，
所以f（x）在[1，+∞）上单调递减，则f（x）max＝f（1）＝0；
当0＜x＜1时，f（x）＝﹣3x+lnx+3，则f'（x）＝﹣3+1x=−3x+1x，
所以当x∈（0，13）时，f'（x）＞0，当x∈（13，1）时，f'（x）＜0，
所以f（x）max＝f（13）＝2﹣ln3，
综上可得：f（x）max＝2﹣ln3，
故答案为：2﹣ln3．
【点评】本题考查函数的最值，主要涉及利用导数求函数单调区间，进而判断函数最值，属于中档题．
16．（5分）若函数f（x）＝ex（x﹣1）﹣kx2，当x＝0时f（x）有极大值，则k的取值范围为 (12，+∞) ．
【分析】求导f'（x）＝x（ex﹣2k），由当x＝0时f（x）有极大值，得当x＜0时，f'（x）＞0，当x＞0时，f'（x）＜0，列出不等式组，从而可得出答案，注意检查等号是否可取．
【解答】解：f'（x）＝xex﹣2kx＝x（ex﹣2k），
因为当x＝0时f（x）有极大值，
所以当x＜0时，f'（x）＞0，当x＞0时，f'（x）＜0，
即x＜0x(ex−2k)＞0且x＞0x(ex−2k)＜0，
即x＜0ex−2k＜0且x＞0ex−2k＜0，
解得k≥12，
当k=12时，f'（x）＝xex﹣2kx＝x（ex﹣1）≥0，不符题意，
所以k的取值范围为(12，+∞)，
故答案为：(12，+∞)．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，由函数的极值求参数取值范围的方法等知识，属于中等题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数y＝x2lnx．
（1）求这个函数的图象在x＝1处的切线方程；
（2）若过点（0，0）的直线l与这个函数图象相切，求l的方程．
【分析】（1）求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，即可得到所求切线的方程；
（2）设切点为（m，m2lnm），可得切线的斜率，以及切线的方程，代入原点，解方程可得m，进而得到切线的斜率和切线l的方程．
【解答】解：（1）函数y＝x2lnx的导数为y′＝2xlnx+x，
函数的图象在x＝1处的切线斜率为2ln1+1＝1，
切点为（1，0），
可得切线的方程为y﹣0＝x﹣1，
即为y＝x﹣1；
（2）设切点为（m，m2lnm），
可得切线的斜率为2mlnm+m，
即有切线的方程为y﹣m2lnm＝（2mlnm+m）（x﹣m），
由于直线l过（0，0），可得﹣m2lnm＝（2mlnm+m）（﹣m），
由m＞0，可得﹣lnm＝﹣2lnm﹣1，
即为lnm＝﹣1，解得m=1e，
可得切线的斜率为−1e，
则切线l的方程为y=−1ex．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，注意区别“在某点处”和“过某点”的切线，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于中档题．
18．（12分）在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处问题中，解决下面两个问题．
已知(2x−1)n=a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋅⋅⋅+anxn(n∈N∗)，若（2x﹣1）n的展开式中，____．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）在（1+x）3+（1+x）4+⋅⋅⋅+（1+x）n+2的展开式中，求x2含项的系数（结果用数字表示）．
【分析】（1）选①，已知只有第6项的二项式系数最大，则n＝10，然后结合二项式展开式通项公式求解即可；
（2）由组合数的性质求解即可．
（1）选②，已知第4项与第8项的二项式系数相等，则Cn3=Cn7，则n＝10，然后结合二项式展开式通项公式求解即可；
（2）由组合数的性质求解即可．
（1）选③，已知所有二项式系数的和为210，则2n＝210，则n＝10，然后结合二项式展开式通项公式求解即可；
（2）由组合数的性质求解即可．
【解答】解：（1）选①，已知只有第6项的二项式系数最大，
则n＝10，
则展开式中二项式系数最大的项为T6=C105(2x)5(−1)5=−252x5；
（2）在（1+x）3+（1+x）4+⋅⋅⋅+（1+x）12的展开式中，x2含项的系数为C32+C42+...+C122=C33+C32+C42+...+C122−1=C133−1=285．
解：（1）选②，已知第4项与第8项的二项式系数相等，
则Cn3=Cn7，
则n＝10，
则展开式中二项式系数最大的项为为T6=C105(2x)5(−1)5=−252x5；
（2）在（1+x）3+（1+x）4+⋅⋅⋅+（1+x）12的展开式中，x2含项的系数为C32+C42+...+C122=C33+C32+C42+...+C122−1=C133−1=285．
解：（1）选③，已知所有二项式系数的和为210，
则2n＝210，
则n＝10，
则展开式中二项式系数最大的项为为T6=C105(2x)5(−1)5=−252x5；
（2）在（1+x）3+（1+x）4+⋅⋅⋅+（1+x）12的展开式中，x2含项的系数为C32+C42+...+C122=C33+C32+C42+...+C122−1=C133−1=285．
【点评】本题考查了二项式定理，重点考查了组合数的性质，属基础题．
19．（12分）已知{an}是等差数列，a1＝1，a4＝10，且a1，ak（k∈N*），a6是等比数列{bn}的前3项．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）数列{cn}是由数列{an}的项删去数列{bn}的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列{cn}的前20项的和．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得d，进而得到an；再由等比数列的中项性质和等比数列的通项公式，可得bn；
（2）由题意可得当取数列{an}的前24项时，包含数列{bn}的前4项，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由a1＝1，a4＝10，可得1+3d＝10，解得d＝3，
则an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；
且a1，ak（k∈N*），a6是等比数列{bn}的前3项，
可得ak2＝a1a6，即有（3k﹣2）2＝16，解得k＝2，
则等比数列{bn}的公比为a2a1=4，
则bn＝4n﹣1；
（2）由（1）可得an＝3n﹣2，bn＝4n﹣1，
当取数列{an}的前24项时，包含数列{bn}的前4项，
此时{cn}中包含20项，
所以数列{cn}的前20项的和为24×1+12×24×23×3﹣（1+4+16+64）
＝767．
【点评】本题等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数f（x）＝ax+2lnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设函数g（x）＝﹣x+2，若任意x∈[1，e3]，使得f（x）≤g（x），求a的取值范围．
【分析】（1）由题意得函数定义域为（0，+∞），求出f'（x）＝a+2x，分类讨论a≥0，a＜0，即可得出答案；
（2）题意转化为任意x∈[1，e3]，a≤2−x−2lnxx恒成立，构造函数h（x）=2−x−2lnxx，求出h'（x），利用导数研究h（x）在[1，e3]上的单调性和最小值，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得函数定义域为（0，+∞），f'（x）＝a+2x，
当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，
当a＜0时，由f'（x）＝0得x=−2a，由f'（x）＞0得0＜x＜−2a，由f'（x）＜0得x＞−2a，
综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，f（x）在（0，−2a）上单调递增，在（−2a，+∞）上单调递减；
（2）任意x∈[1，e3]，使得f（x）≤g（x），转化为任意x∈[1，e3]，a≤2−x−2lnxx恒成立，
令h（x）=2−x−2lnxx，x∈[1，e3]，则h'（x）=2(lnx−2)x2，由h'（x）＝0得x＝e2，
由h'（x）＞0得e2＜x≤e3，由h'（x）＜0得1≤x＜e2，
∴h（x）在[1，e2）上单调递减，在（e2，e3]上单调递增，
∴当x＝e2时，h（x）取得极小值也是最小值，h（e2）=2−e2−2lne2e2=−2+e2e2，
∴a≤−2+e2e2，
故实数a的取值范围为（﹣∞，−2+e2e2]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和导数解决不等式恒成立问题，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．（12分）某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4的四批疫苗，供全市所辖的A，B，C三个区市民注射，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种．
（1）求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；
（2）记A，B，C三个区选择的疫苗批号的中位数为X，求X的分布列．
【分析】（1）利用分步乘法计数原理、组合应用问题求出基本事件数，再利用古典概率公式计算作答．
（2）求出随机变量X的可能值，再计算各个值对应的概率列出分布列作答．
【解答】解：（1）设“三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同”为事件A，
则P（A）=C32C41C3143=916．
（2）随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4，
P（X＝1）=1+C32A3143=532，P（X＝2）=C21A33+C32A31+143=1132，
P（X＝3）=C21A33+C32A31+143=1132，P（X＝4）=1+C32A3143=532，
所以X的分布列为：
X
1
2
3
4
P
532
1132
1132
532
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，解题时要认真审题，是基础题．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2+asinx+1，a∈R．
（1）设函数g（x）＝f′（x），若y＝g（x）在区间[0，π2]上的增函数，求a的取值范围；
（2）当a＝﹣2时，证明函数f（x）在区间（0，π）上无零点．
【分析】（1）求出g（x）＝f'（x），求出g'（x），题意转化为g'（x）≥0在区间[0，π2]上恒成立，利用分离变量法和分类讨论法，即可得出答案；
（2）由题意得f（x）＝x2﹣2sinx+1，求出f'（x），利用导数研究f'（x）的单调性和最值，即可证明结论．
【解答】解：（1）f（x）＝x2+asinx+1，则g（x）＝f'（x）＝2x+acosx，g'（x）＝2﹣asinx，x∈[0，π2]，
y＝g（x）在区间[0，π2]上的增函数，转化为g'（x）≥0在区间[0，π2]上恒成立，
当x＝0时，g'（0）＝2≥0恒成立，符合题意，
当x≠0时，a≤2sinx，2sinx在（0，π2]上单调递减，（2sinx）min＝2，
∴a≤2，
综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，2]；
（2）证明：由题意得f（x）＝x2﹣2sinx+1，f'（x）＝2x﹣2cosx，x∈（0，π），
令h（x）＝2x﹣2cosx，x∈（0，π），则h'（x）＝2+2sinx≥0，则h（x）在（0，π）上单调递增，即f'（x）在（0，π）上单调递增，
又f'（π6）=π3−3＜0，f'（π4）=π2−2＞0，
由零点存在性定理得存在x0∈（π6，π4），使得f'（x0）＝0，即x0＝cosx0，
由f'（x）＞0得x0＜x＜π，由f'（x）＜0得0＜x＜x0，
∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，π）上单调递增，
∴当x＝x0时，f（x）取得极小值也是最小值，f（x）min＝f（x0）＝x 02−2sinx0+1＝cos2x0﹣2sinx0+1＝﹣（sinx0+1）2+3，
∵x0∈（π6，π4），∴sinx0∈（12，22），则f（x0）＞32−2＞0，
∴当x∈（0，π）时，f（x）＞0恒成立，
即函数f（x）在区间（0，π）上无零点．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值、函数的零点存在性问题，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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2021-2022学年广东省深圳高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x（x﹣3）＜0}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2}
2．（5分）设随机变量X的概率分布列为：
X
1
2
3
4
P
13
m
14
16
则P（|X﹣2|≤1）＝（ ）
A．14 B．16 C．56 D．512
3．（5分）已知等比数列{an}的公比为q，且16a1，4a2，a3成等差数列，则q的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），若函数f（x）在x＝1处取得极大值，则函数y＝﹣xf'（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（5分）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行捡垃圾活动．参加活动的甲、乙两班的人数之比为3：2，其中甲班中女生占13，乙班中女生占12，则该社区居民遇到一位进行捡垃圾活动的同学恰好是女生的概率是（ ）
A．25 B．35 C．13 D．12
6．（5分）若过点（1，2）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x+y﹣9＝0的距离为（ ）
A．655 B．5 C．455 D．255
7．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC的平面展开图中，AC=3，AB＝1，AD＝1，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝（ ）
A．13 B．34 C．25 D．35
8．（5分）已知实数a，b，c满足a＜2，alna﹣21n2＝a﹣2，b＜2，blnb−2ln2=b−2，c＞12，clnc−121n12=c−12，则（ ）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件M发生的概率为12
B．事件M与事件N互斥
C．事件M∩N发生的概率为12
D．事件M与事件N相互独立
（多选）10．（5分）已知椭圆M：x225+y220=1的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．△PF1F2周长为10
B．△PF1F2面积最大值为10
C．存在点P满足：∠F1PF2＝90°
D．若△PF1F2面积为45，则点P横坐标为±5
（多选）11．（5分）如图，在圆锥SO中，AC为底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的一点，OC＝3，SO=33，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．圆锥SO的体积为93π
B．圆锥SO的表面积为18π
C．三棱锥S﹣ABC的体积的最大值为93
D．存在点B使得直线SB与平面SAC所成角为π6
（多选）12．（5分）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84
B．在“杨辉三角”中，当n＝12时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为78
C．在“杨辉三角”中，第n行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字
D．记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai，则i=1n+1 2i−1⋅ai=3n+1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知函数f（x）=lnxx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为 ．
14．（5分）某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有 ．
15．（5分）函数f（x）＝﹣3x﹣|lnx|+3的最大值为 ．
16．（5分）若函数f（x）＝ex（x﹣1）﹣kx2，当x＝0时f（x）有极大值，则k的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数y＝x2lnx．
（1）求这个函数的图象在x＝1处的切线方程；
（2）若过点（0，0）的直线l与这个函数图象相切，求l的方程．
18．（12分）在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处问题中，解决下面两个问题．
已知(2x−1)n=a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋅⋅⋅+anxn(n∈N∗)，若（2x﹣1）n的展开式中，____．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）在（1+x）3+（1+x）4+⋅⋅⋅+（1+x）n+2的展开式中，求x2含项的系数（结果用数字表示）．
19．（12分）已知{an}是等差数列，a1＝1，a4＝10，且a1，ak（k∈N*），a6是等比数列{bn}的前3项．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）数列{cn}是由数列{an}的项删去数列{bn}的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列{cn}的前20项的和．
20．（12分）已知函数f（x）＝ax+2lnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设函数g（x）＝﹣x+2，若任意x∈[1，e3]，使得f（x）≤g（x），求a的取值范围．
21．（12分）某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4的四批疫苗，供全市所辖的A，B，C三个区市民注射，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种．
（1）求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；
（2）记A，B，C三个区选择的疫苗批号的中位数为X，求X的分布列．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2+asinx+1，a∈R．
（1）设函数g（x）＝f′（x），若y＝g（x）在区间[0，π2]上的增函数，求a的取值范围；
（2）当a＝﹣2时，证明函数f（x）在区间（0，π）上无零点．
2021-2022学年广东省深圳高级中学高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x（x﹣3）＜0}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2}
【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜3}，B＝{0，1，2，3}，
∴A∩B＝{1，2}．
故选：D．
【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）设随机变量X的概率分布列为：
X
1
2
3
4
P
13
m
14
16
则P（|X﹣2|≤1）＝（ ）
A．14 B．16 C．56 D．512
【分析】根据给定分布列，利用对立事件的概率公式计算作答．，
【解答】解：依题意，|X﹣2|≤1⇒1≤X≤3，即事件|X﹣2|≤1的对立事件是X＝4的事件，所以P（|X﹣2|≤1）＝1﹣P（X＝4）＝1−16=56．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型概率分布列的性质的应用，解题时要认真审题，是基础题．
3．（5分）已知等比数列{an}的公比为q，且16a1，4a2，a3成等差数列，则q的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据给定条件，利用等差中项列式求解作答．
【解答】解：等比数列{an}的公比为q，16a1，4a2，a3成等差数列，
则16a1+a3＝8a2，即a1q2−8a1q+16a1=0，
整理得（q﹣4）2＝0，解得q＝4，
所以q的值是4．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的综合计算，属于基础题．
4．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），若函数f（x）在x＝1处取得极大值，则函数y＝﹣xf'（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题设条件知：x＜0时，y＝﹣xf'（x）＞0，0＜x＜1时，y＝﹣xf'（x）＜0，当x＝0或x＝1时，y＝﹣xf′（x）＝0；当x＞1时，﹣xf′（x）＞0．由此观察四个选项能够得到正确结果．
【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝1处取得极大值，
∴当x＞1时，f′（x）＜0；
当x＝1时，f′（x）＝0；
当x＜1时，f′（x）＞0．
∴x＜0时，y＝﹣xf'（x）＞0，
0＜x＜1时，y＝﹣xf'（x）＜0，
当x＝0或x＝1时，y＝﹣xf′（x）＝0；
当x＞1时，﹣xf′（x）＞0．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．
5．（5分）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行捡垃圾活动．参加活动的甲、乙两班的人数之比为3：2，其中甲班中女生占13，乙班中女生占12，则该社区居民遇到一位进行捡垃圾活动的同学恰好是女生的概率是（ ）
A．25 B．35 C．13 D．12
【分析】设出两班的总人数，求出女生人数，再利用古典概型计算作答．
【解答】解：设甲乙两班的总人数为n，则甲班人数为35n，其中女生人数为15n，乙班人数为25n，其中女生人数为15n，
因此，两个班的女生总数为25n，
所以捡垃圾活动的同学恰好是女生的概率是P=25nn=25．
故选：A．
【点评】本题考查了古典概型概率计算，属于基础题．
6．（5分）若过点（1，2）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x+y﹣9＝0的距离为（ ）
A．655 B．5 C．455 D．255
【分析】根据已知条件，先设出圆的方程，将点（1，2）代入该方程，即可求出a值，再结合点到直线的距离公式得答案．
【解答】解：∵圆过点（1，2），且与两坐标轴相切，
∴圆的圆心在第一象限且横纵坐标相等，
设圆心坐标为（a，a）（a＞0），
则圆的半径为a，圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，
代入（1，2）可得，（1﹣a）2+（2﹣a）2＝a2，解得a＝1或5，
当a＝1时，圆心坐标为（1，1），到直线2x+y﹣9＝0的距离为|2+1−9|5=655；
当a＝5时，圆心坐标为（5，5），到直线2x+y﹣9＝0的距离为|2×5+5−9|5=655．
综上所述，圆心到直线2x+y﹣9＝0的距离为655．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握点到直线的距离公式是解本题的关键，是中档题．
7．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC的平面展开图中，AC=3，AB＝1，AD＝1，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝（ ）
A．13 B．34 C．25 D．35
【分析】由题意知，AE＝AB＝1，在△ACE中，由余弦定理求得CE的长，也即CF的长，再在△BCF中，由余弦定理，即可得解．
【解答】解：由题意知，AE＝AB＝1，
在△ACE中，由余弦定理知，CE2＝AE2+AC2﹣2AE•AC•cos∠CAE＝1+3﹣2×1×3×32=1，
∴CE＝1＝CF，
而BF＝BD=2，BC＝2，
在△BCF中，由余弦定理知，cos∠FCB=BC2+CF2−BF22BC⋅CF=4+1−22×2×1=34．
故选：B．
【点评】本题考查棱锥的结构性质，以及简单的几何计算，理解展开前后的不变量是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8．（5分）已知实数a，b，c满足a＜2，alna﹣21n2＝a﹣2，b＜2，blnb−2ln2=b−2，c＞12，clnc−121n12=c−12，则（ ）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c
【分析】设f（x）＝xlnx﹣x，利用导数判断函数f（x）的单调性，得到方程f（x）＝t（﹣1＜t＜0）有两个不等的根x1，x2，0＜x1＜1，1＜x2＜e，即可求解．
【解答】解：设f（x）＝xlnx﹣x，则f′（x）＝lnx，
当0＜x＜1时，则f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞1时，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴当x＝1时，f（x）取得最小值为﹣1，
又∵f（e）＝0，当0＜x＜1时，则f（x）＜0，
∴方程f（x）＝t（﹣1＜t＜0）有两个不等的根x1，x2，0＜x1＜1，1＜x2＜e，
∵f(a)=f(2)f(b)=f(2)f(c)=f(12)，又0＜12＜1＜2＜2＜e，
∴0＜a＜1，0＜b＜1，1＜c＜e，
∵f（2）＞f（2），∴f（a）＞f（b），∴a＜b，
∴a＜b＜c，
故选：D．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，利用构造函数的单调性是关键，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件M发生的概率为12
B．事件M与事件N互斥
C．事件M∩N发生的概率为12
D．事件M与事件N相互独立
【分析】结合古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识对选项进行分析，从而确定正确选项．
【解答】解：对于A，由题意可知P(M)=24=12，故A选项正确．
对于B，若两次投掷向下的数字都为3，3+3＝6，则事件M，N同时发生，所以M与N不互斥，故B选项错误．
对于C，事件M∩N表示：“第一次向下的数字为1或2，且两次向下的数字之和为奇数”，包含的事件为：（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），共4种，所以事件M∩N发生的概率为416=14，故C选项错误；
对于D，事件M∩N表示：“第一次向下的数字为3或4，且两次向下的数字之和为偶数”，包含的事件为：（3，1），（3，3），（4，2），（4，4），共4种，所以事件M∩N发生的概率为416=14．
事件N包含的事件为（1，1），（1，3），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（4，2），（4，4），共8种，所以P(N)=816=12，
所以P（MN）＝P（M）P（N），即事件M与事件N相互独立，故D选项正确．
故选：AD．
【点评】本题考查古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件，难度不大，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知椭圆M：x225+y220=1的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．△PF1F2周长为10
B．△PF1F2面积最大值为10
C．存在点P满足：∠F1PF2＝90°
D．若△PF1F2面积为45，则点P横坐标为±5
【分析】由椭圆的方程可得a，b的值，进而求出c的值，分别对所给命题进行判断，A中，△PF1F2的周长为2c+2a，求出其值，判断该命题不正确；B中，当P在短轴顶点时，△PF1F2的面积最大，并求出最大值；C中，由c＜b，所以以椭圆的左右焦点为直径的圆与椭圆无交点，即不存在∠F1PF2＝90°，判断C不正确；D中，由，△PF1F2的面积求出P的纵坐标，代入椭圆求出P的横坐标的值，判断D正确．
【解答】解：由椭圆M：x225+y220=1的方程可得a2＝25，b2＝20，可得c2＝a2﹣b2＝25﹣20＝5，
可得a＝5，b＝25，c=5，
A中，P在椭圆上，则△PF1F2周长为2a+2c＝125，所以A不正确；
B中，P在椭圆上，则△PF1F2面积S≤12•2c•b=12•252⋅5=10，所以B正确；
C中，因为c＜b，所以以椭圆的左右焦点为直径的圆与椭圆无交点，即不存在点P满足：∠F1PF2＝90°，所以C不正确；
D中，若△PF1F2面积为45，所以12•2c|yP|＝45，即12•25|yP|＝45，解得yP2＝16，代入椭圆的方程可得xP225=1−1620，解得xP＝±5，所以D正确；
故选：BD．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用，三角形面积的求法，属于中档题．
（多选）11．（5分）如图，在圆锥SO中，AC为底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的一点，OC＝3，SO=33，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．圆锥SO的体积为93π
B．圆锥SO的表面积为18π
C．三棱锥S﹣ABC的体积的最大值为93
D．存在点B使得直线SB与平面SAC所成角为π6
【分析】根据锥体的体积、表面积公式判断A、B、C，过B作BH⊥AC于H，连接SH，则∠BSH为直线SB与平面SAC所成角，求出∠BSH的最大值，即可判断D．
【解答】解：圆锥SO的体积为13π×32×33=93π，故A正确；
圆锥的母线长为32+(33)2=6，所以圆锥的侧面积为12×2π×3×6=18π，底面面积为9π，故圆锥的表面积为18π+9π＝27π，故B错误；
因为三棱锥的高为定值，故底面积最大时体积最大，故当OB⊥AC时，三棱锥S﹣ABC的体积最大，此时为13×(12×6×3)×33=93，故C正确；
过B作BH⊥AC于H，如图，
显然SO⊥底面ABC，所以SO⊥BH，SO∩AC＝O，SO，AC⊂平面SAC，所以BH⊥平面SAC，
连接SH，∴∠BSH为直线SB与平面SAC所成角，由SB＝6为定值，∴当OB⊥AC时，SB与平面SAC所成角最大，此时sin∠BSH=BHSB=12，所以∠BSH=π6，即（∠BSH）max=π6，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查圆锥的体积和表面积，属于中档题．
（多选）12．（5分）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84
B．在“杨辉三角”中，当n＝12时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为78
C．在“杨辉三角”中，第n行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字
D．记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai，则i=1n+1 2i−1⋅ai=3n+1
【分析】根据二项式定理即可求解A；根据等差数列求和公式即可求解B；根据二项式（1+x）2n＝（1+x）n（1+x）n即可求解C；列出i=1n+1 2i−1ai观察即可求解．
【解答】解：对于A，在杨辉三角中，第9行第7个数是C96=84，故A正确；
对于B，当n＝12时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为1+2+•••+12=12×(1+12)2=78，故B正确；
对于C，在“杨辉三角“中，第n行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字，
即(Cn0)2+(Cn1)2+⋅⋅⋅+(Cnn)2=C2nn．
证明如下：
（1+2x）2n＝（1+x）n（1+x）n＝（Cn0+Cn1x+Cn2x2+⋅⋅⋅+Cnnxn）•（Cnnxn+Cnn−1xn−1+Cnn−2xn−2+•••+（Cnn）2=C2nn，
∵C2nn是二项式（1+x）2n的展开式中第n+1项的二项式系数（即xn的系数），
∴(Cn0)2+(Cn1)2+⋅⋅⋅+(Cnn)2=C2nn，故C正确；
对于D，第n行的第i个数为ai=Cni−1，
∴i=1n+1 2i−1ai=20a1+21a2+22a3+⋅⋅⋅+2nan−1，
∴i=1n+1 2i−1ai=Cn0⋅20+Cn1⋅21+Cn2⋅22+⋅⋅⋅+Cnn⋅2n=（1+2）n＝3n，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查二项式定理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知函数f（x）=lnxx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为 1 ．
【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得f′（x），将x＝1代入可得f′（1）的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）=lnxx，
则f′（x）=(lnx)′x−lnx(x)′x2=1−lnxx2，
则f′（1）=1−ln11=1；
故答案为：1．
【点评】本题考查导数的计算，关键是正确计算函数f（x）的导数．
14．（5分）某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有 30 ．
【分析】由排列、组合及简单计数问题求解即可．
【解答】解：由已知可得：从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有C61C51=30，
故答案为：30．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．
15．（5分）函数f（x）＝﹣3x﹣|lnx|+3的最大值为 2﹣ln3 ．
【分析】由题去绝对值分情况讨论，分别求导求最值，即可求得最大值．
【解答】解：由题可得当x≥1时，f（x）＝﹣3﹣lnx+3，则f'（x）＝﹣3−1x＜0，
所以f（x）在[1，+∞）上单调递减，则f（x）max＝f（1）＝0；
当0＜x＜1时，f（x）＝﹣3x+lnx+3，则f'（x）＝﹣3+1x=−3x+1x，
所以当x∈（0，13）时，f'（x）＞0，当x∈（13，1）时，f'（x）＜0，
所以f（x）max＝f（13）＝2﹣ln3，
综上可得：f（x）max＝2﹣ln3，
故答案为：2﹣ln3．
【点评】本题考查函数的最值，主要涉及利用导数求函数单调区间，进而判断函数最值，属于中档题．
16．（5分）若函数f（x）＝ex（x﹣1）﹣kx2，当x＝0时f（x）有极大值，则k的取值范围为 (12，+∞) ．
【分析】求导f'（x）＝x（ex﹣2k），由当x＝0时f（x）有极大值，得当x＜0时，f'（x）＞0，当x＞0时，f'（x）＜0，列出不等式组，从而可得出答案，注意检查等号是否可取．
【解答】解：f'（x）＝xex﹣2kx＝x（ex﹣2k），
因为当x＝0时f（x）有极大值，
所以当x＜0时，f'（x）＞0，当x＞0时，f'（x）＜0，
即x＜0x(ex−2k)＞0且x＞0x(ex−2k)＜0，
即x＜0ex−2k＜0且x＞0ex−2k＜0，
解得k≥12，
当k=12时，f'（x）＝xex﹣2kx＝x（ex﹣1）≥0，不符题意，
所以k的取值范围为(12，+∞)，
故答案为：(12，+∞)．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，由函数的极值求参数取值范围的方法等知识，属于中等题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数y＝x2lnx．
（1）求这个函数的图象在x＝1处的切线方程；
（2）若过点（0，0）的直线l与这个函数图象相切，求l的方程．
【分析】（1）求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，即可得到所求切线的方程；
（2）设切点为（m，m2lnm），可得切线的斜率，以及切线的方程，代入原点，解方程可得m，进而得到切线的斜率和切线l的方程．
【解答】解：（1）函数y＝x2lnx的导数为y′＝2xlnx+x，
函数的图象在x＝1处的切线斜率为2ln1+1＝1，
切点为（1，0），
可得切线的方程为y﹣0＝x﹣1，
即为y＝x﹣1；
（2）设切点为（m，m2lnm），
可得切线的斜率为2mlnm+m，
即有切线的方程为y﹣m2lnm＝（2mlnm+m）（x﹣m），
由于直线l过（0，0），可得﹣m2lnm＝（2mlnm+m）（﹣m），
由m＞0，可得﹣lnm＝﹣2lnm﹣1，
即为lnm＝﹣1，解得m=1e，
可得切线的斜率为−1e，
则切线l的方程为y=−1ex．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，注意区别“在某点处”和“过某点”的切线，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于中档题．
18．（12分）在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处问题中，解决下面两个问题．
已知(2x−1)n=a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋅⋅⋅+anxn(n∈N∗)，若（2x﹣1）n的展开式中，____．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）在（1+x）3+（1+x）4+⋅⋅⋅+（1+x）n+2的展开式中，求x2含项的系数（结果用数字表示）．
【分析】（1）选①，已知只有第6项的二项式系数最大，则n＝10，然后结合二项式展开式通项公式求解即可；
（2）由组合数的性质求解即可．
（1）选②，已知第4项与第8项的二项式系数相等，则Cn3=Cn7，则n＝10，然后结合二项式展开式通项公式求解即可；
（2）由组合数的性质求解即可．
（1）选③，已知所有二项式系数的和为210，则2n＝210，则n＝10，然后结合二项式展开式通项公式求解即可；
（2）由组合数的性质求解即可．
【解答】解：（1）选①，已知只有第6项的二项式系数最大，
则n＝10，
则展开式中二项式系数最大的项为T6=C105(2x)5(−1)5=−252x5；
（2）在（1+x）3+（1+x）4+⋅⋅⋅+（1+x）12的展开式中，x2含项的系数为C32+C42+...+C122=C33+C32+C42+...+C122−1=C133−1=285．
解：（1）选②，已知第4项与第8项的二项式系数相等，
则Cn3=Cn7，
则n＝10，
则展开式中二项式系数最大的项为为T6=C105(2x)5(−1)5=−252x5；
（2）在（1+x）3+（1+x）4+⋅⋅⋅+（1+x）12的展开式中，x2含项的系数为C32+C42+...+C122=C33+C32+C42+...+C122−1=C133−1=285．
解：（1）选③，已知所有二项式系数的和为210，
则2n＝210，
则n＝10，
则展开式中二项式系数最大的项为为T6=C105(2x)5(−1)5=−252x5；
（2）在（1+x）3+（1+x）4+⋅⋅⋅+（1+x）12的展开式中，x2含项的系数为C32+C42+...+C122=C33+C32+C42+...+C122−1=C133−1=285．
【点评】本题考查了二项式定理，重点考查了组合数的性质，属基础题．
19．（12分）已知{an}是等差数列，a1＝1，a4＝10，且a1，ak（k∈N*），a6是等比数列{bn}的前3项．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）数列{cn}是由数列{an}的项删去数列{bn}的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列{cn}的前20项的和．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得d，进而得到an；再由等比数列的中项性质和等比数列的通项公式，可得bn；
（2）由题意可得当取数列{an}的前24项时，包含数列{bn}的前4项，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由a1＝1，a4＝10，可得1+3d＝10，解得d＝3，
则an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；
且a1，ak（k∈N*），a6是等比数列{bn}的前3项，
可得ak2＝a1a6，即有（3k﹣2）2＝16，解得k＝2，
则等比数列{bn}的公比为a2a1=4，
则bn＝4n﹣1；
（2）由（1）可得an＝3n﹣2，bn＝4n﹣1，
当取数列{an}的前24项时，包含数列{bn}的前4项，
此时{cn}中包含20项，
所以数列{cn}的前20项的和为24×1+12×24×23×3﹣（1+4+16+64）
＝767．
【点评】本题等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数f（x）＝ax+2lnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设函数g（x）＝﹣x+2，若任意x∈[1，e3]，使得f（x）≤g（x），求a的取值范围．
【分析】（1）由题意得函数定义域为（0，+∞），求出f'（x）＝a+2x，分类讨论a≥0，a＜0，即可得出答案；
（2）题意转化为任意x∈[1，e3]，a≤2−x−2lnxx恒成立，构造函数h（x）=2−x−2lnxx，求出h'（x），利用导数研究h（x）在[1，e3]上的单调性和最小值，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得函数定义域为（0，+∞），f'（x）＝a+2x，
当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，
当a＜0时，由f'（x）＝0得x=−2a，由f'（x）＞0得0＜x＜−2a，由f'（x）＜0得x＞−2a，
综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，f（x）在（0，−2a）上单调递增，在（−2a，+∞）上单调递减；
（2）任意x∈[1，e3]，使得f（x）≤g（x），转化为任意x∈[1，e3]，a≤2−x−2lnxx恒成立，
令h（x）=2−x−2lnxx，x∈[1，e3]，则h'（x）=2(lnx−2)x2，由h'（x）＝0得x＝e2，
由h'（x）＞0得e2＜x≤e3，由h'（x）＜0得1≤x＜e2，
∴h（x）在[1，e2）上单调递减，在（e2，e3]上单调递增，
∴当x＝e2时，h（x）取得极小值也是最小值，h（e2）=2−e2−2lne2e2=−2+e2e2，
∴a≤−2+e2e2，
故实数a的取值范围为（﹣∞，−2+e2e2]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和导数解决不等式恒成立问题，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．（12分）某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4的四批疫苗，供全市所辖的A，B，C三个区市民注射，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种．
（1）求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；
（2）记A，B，C三个区选择的疫苗批号的中位数为X，求X的分布列．
【分析】（1）利用分步乘法计数原理、组合应用问题求出基本事件数，再利用古典概率公式计算作答．
（2）求出随机变量X的可能值，再计算各个值对应的概率列出分布列作答．
【解答】解：（1）设“三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同”为事件A，
则P（A）=C32C41C3143=916．
（2）随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4，
P（X＝1）=1+C32A3143=532，P（X＝2）=C21A33+C32A31+143=1132，
P（X＝3）=C21A33+C32A31+143=1132，P（X＝4）=1+C32A3143=532，
所以X的分布列为：
X
1
2
3
4
P
532
1132
1132
532
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，解题时要认真审题，是基础题．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2+asinx+1，a∈R．
（1）设函数g（x）＝f′（x），若y＝g（x）在区间[0，π2]上的增函数，求a的取值范围；
（2）当a＝﹣2时，证明函数f（x）在区间（0，π）上无零点．
【分析】（1）求出g（x）＝f'（x），求出g'（x），题意转化为g'（x）≥0在区间[0，π2]上恒成立，利用分离变量法和分类讨论法，即可得出答案；
（2）由题意得f（x）＝x2﹣2sinx+1，求出f'（x），利用导数研究f'（x）的单调性和最值，即可证明结论．
【解答】解：（1）f（x）＝x2+asinx+1，则g（x）＝f'（x）＝2x+acosx，g'（x）＝2﹣asinx，x∈[0，π2]，
y＝g（x）在区间[0，π2]上的增函数，转化为g'（x）≥0在区间[0，π2]上恒成立，
当x＝0时，g'（0）＝2≥0恒成立，符合题意，
当x≠0时，a≤2sinx，2sinx在（0，π2]上单调递减，（2sinx）min＝2，
∴a≤2，
综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，2]；
（2）证明：由题意得f（x）＝x2﹣2sinx+1，f'（x）＝2x﹣2cosx，x∈（0，π），
令h（x）＝2x﹣2cosx，x∈（0，π），则h'（x）＝2+2sinx≥0，则h（x）在（0，π）上单调递增，即f'（x）在（0，π）上单调递增，
又f'（π6）=π3−3＜0，f'（π4）=π2−2＞0，
由零点存在性定理得存在x0∈（π6，π4），使得f'（x0）＝0，即x0＝cosx0，
由f'（x）＞0得x0＜x＜π，由f'（x）＜0得0＜x＜x0，
∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，π）上单调递增，
∴当x＝x0时，f（x）取得极小值也是最小值，f（x）min＝f（x0）＝x 02−2sinx0+1＝cos2x0﹣2sinx0+1＝﹣（sinx0+1）2+3，
∵x0∈（π6，π4），∴sinx0∈（12，22），则f（x0）＞32−2＞0，
∴当x∈（0，π）时，f（x）＞0恒成立，
即函数f（x）在区间（0，π）上无零点．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值、函数的零点存在性问题，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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