2020-2021学年广东省揭阳市高一（下）期中考试数学试卷人教A版

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这是一份2020-2021学年广东省揭阳市高一（下）期中考试数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合M={x|−4A.{x|−4
2. 已知复数z=1−5i1−i，则复数z的虚部为（）
A.2B.−2C.2iD.−2i

3. 下列命题中正确的是( )
A.命题“∀x∈N，x2<2x”的否定是“∃x0∈N，x02>2x0”
B.若x∈R且x≠0，则x+1x≥2
C.已知a∈R，则“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件
D.命题“若p，则q”的否命题是“若p，则¬q”

4. 已知向量a→与b→的夹角为60∘，且|a→|=3，|b→|=3，则|a→+b→|等于( )
A.33B.3C.32D.23

5. 已知csα=−35，α∈π2,π，则tanα−π4的值为( )
A.−7B.7C.−8D.8

6. 向量a→=2,−1，b→=−1,2，则2a→+b→⋅a→=( )
A.6B.5C.1D.−6

7. 函数f(x)=lg3(x+1)+x−2的零点所在的一个区间是（）
A.(0, 1)B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3, 4)

8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2bcsC，△ABC的形状为( )
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.等腰三角形D.没有符合条件的三角形
二、多选题

下列命题为真命题的是( )
A.若a>b>0，则ac2>bc2B.若a1b
C.若aa>b>0，则ac−a>bc−b

下列说法中正确的有( )
A.向量AB→的长度与向量BA→的长度相等
B.有向线段就是向量，向量就是有向线段
C.两向量的大小与其方向有关
D.向量的模可以比较大小

已知复数z(1+2i)=5i，则下列结论正确的是( )
A.|z|=5
B.复数z在复平面内对应的点在第二象限
C.z¯=−2+i
D.z2=3+4i

已知函数y=x2+1(x≤0)，2x(x>0)，若f(a)=10，则a的值可以是( )
A.−3B.3C.0D.5
三、填空题

函数y=(m2−5m+7)xm+3是幂函数且为奇函数，则m的值为________．

3lg32+912+lg52+2lg2=________.

函数fx=2x21−x+2x−10的定义域为________.

函数fx=Asinωx+ϕ，其中A>0，ω>0，ϕ∈[0,2π)，f(x)的图像如图，则ϕ=________.

四、解答题

若复数z1满足z1−2+i1+i=1−i （i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数．
(1)求z1的模长；

(2)求z2．

若a，b，c是△ABC中A，B，C的对边，a=43 ，b=6，csA=−13.
(1)求c；

(2)求cs2B的值．

已知向量a→=3,2,b→=2,−1 .
(1)若a→+kb→与ka→+b→平行，求k的值；

(2)若λa→−b→与a→+λb→垂直，求λ的值．

已知函数 fx=2csπ−xcsπ2+x+sin−xsin3π2+x2cs2π−xcsπ+x.
(1)化简fx；

(2)若fα=−3，求tanα+π4的值．

已知函数f(x)=lg(x+2)−lg(2−x).
(1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)求不等式f(x)>1的解集.

党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得重要进展．新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本Cx万元，且Cx=10x2+500x,0(1)请写出2020年的利润Lx（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售−成本）

(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广东省揭阳市高一（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
一元二次不等式的解法
并集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ M={x|−4N={x|x2−x−6<0}
={x|(x−3)(x+2)<0}
={x|−2∴M∪N={x|−4={x|−4故选A.
2.
【答案】
B
【考点】
复数的基本概念
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：z=1−5i1−i=1−5i1+i1−i1+i=3−2i，故复数z的虚部为−2．
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的否定
四种命题间的逆否关系
【解析】
对于A：全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，直接判断；
对于B：验证x<0进行判断；
对于C：分充分性和必要性分别判断；
对于D：利用否命题直接判断．
【解答】
解：命题“∀x∈N,x2<2x”的否定是“∃x0∈N,x02≥2x0”，所以A不正确；
x<0，则x+1x≤−2恒成立，所以B不正确；
因为1a−1=1−aa，所以a>1时，1−aa<0 ，即由a>1能推出1a<1，
而1a<1时，即1−aa<0，即a<0或a>1，所1a<1不能推出a>1，
故“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件，所以C正确；
命题“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”，所以D不正确．
故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：两边平方|a→+b→|2=a→2+2a→⋅b→+b→2
=9+2×3×3×cs60∘+9=27，
所以|a→+b→|=33.
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的正切公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为csα=−35，α∈π2,π，
所以sinα=45，tanα=−43，
所以tanα−π4=tanα−tanπ41+tanα⋅tanπ4=−43−11−43=7.
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
由题求出a→和a→⋅b→的值，即可得解2a→+b→⋅a→=2a→2+b→⋅a→=2a→2+b→⋅a→的值.
【解答】
解：∵ 向量a→=(2,−1)，b→=(−1,2)，
∴ a→=22+(−1)2=5，a→⋅b→=−2−2=−4，
∴ 2a→+b→⋅a→=2|a→|2+b→⋅a→=2×5−4=6.
故选A.
7.
【答案】
B
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
利用函数f(x)=lg3(x+1)+x−2在(−1, +∞)上单调递增且连续，从而由函数的零点的判定定理求解．
【解答】
解：因为f0=−2，
f1=lg32+1−2=lg32−1<0，
f2=lg33+2−2=1>0，
f3=lg34+3−2=lg34+1>0，
f4=lg35+4−2=lg35+2>0，
所以零点所在的一个区间可以是1,2.
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
三角形的形状判断
余弦定理的应用
【解析】
利用余弦定理，将csC=a2+b2−c22ab代入已知a=2bcsC，即可判断△ABC的形状．
【解答】
解：∵ 在△ABC中，csC=a2+b2−c22ab，
∴ a=2bcsC=2b⋅a2+b2−c22ab
∴ a2=a2+b2−c2，
∴ b2=c2，
∴ b=c．
∴ △ABC为等腰三角形．
故选C．
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
不等式的证明
【解析】
A举反例判断，BC用分析法结合不等式性判断，D用命题等价变换判断．
【解答】
解：A，当c=0时，ac2=bc2，故错误；
B，因为1a−1b=b−aab，且b−a>0，ab>0，
所以1a−1b>0，所以1a>1b，故正确；
C，因为aa⋅b，a⋅b>b⋅b，所以b2D，因为c>a>b>0，所以c−a>0，c−b>0，
又c−aa=ca−1，c−bb=cb−1，且ca所以0bc−b，故正确.
故选BD．
【答案】
A,D
【考点】
平行向量的性质
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：向量AB→的长度与向量BA→的长度都等于线段AB的长度，故A选项正确；
有向线段是向量的几何表示，两个并不相同，故B选项错误；
向量不能比较大小，故C选项错误；
向量的模就是有向线段的长度，可以比较大小，故D选项正确．
故选AD．
【答案】
A,D
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
共轭复数
【解析】
利用复数的四则运算可得z=2+i，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．
【解答】
解：z=5i1+2i=5i1−2i1+2i1−2i=i1−2i=2+i，
z¯=2−i，|z|=5，z2=3+4i，
复数z在复平面内对应的点在第一象限，故AD正确．
故选AD．
【答案】
A,D
【考点】
函数的求值
【解析】
根据f(a)=10，分别讨论当a≤0和a>0两种情况，分别列出关于a的方程，解出即可得．
【解答】
解：∵ y=x2+1(x≤0)，2x(x>0)，若f(a)=10，
当a≤0时，f(a)=a2+1=10，
∴ a=−3或a=3（舍去），
当a>0时，f(a)=2a=10，
∴ a=5，
综上所述，a=−3或a=5．
故选AD.
三、填空题
【答案】
2
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
由题意利用幂函数的定义、性质可得m2−m−5=1m+1 ，由此求得m的值．
【解答】
解：∵ 函数y=(m2−5m+7)xm+3是幂函数且为奇函数，
∴ m2−5m+7=1，
解得m=2或m=3，
当m=2时，y=x5是奇函数，符合题意；
当m=3时，y=x6是偶函数，不符合题意.
故答案为：2.
【答案】
6
【考点】
对数的运算性质
【解析】
由幂的运算法则和对数运算法则计算．
【解答】
解：原式=2+3+lg52+lg4
=5+lg52×4=5+1=6．
故答案为：6．
【答案】
(−∞,12)∪(12,1)
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据函数定义域的限制列不等式求解．
【解答】
解：根据题意得1−x>0，2x−1≠0，
x∈(−∞,12)∪(12,1)，
故答案为： (−∞,12)∪(12,1).
【答案】
π4
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由图像易见， T=2×7−3=8，ω=2π8=π4，A=3，
∴ fx=3sinπ4x+ϕ，
将3,0代入得3π4x+ϕ=2kπ+π，
即ϕ=2kπ+π4，
又∵ ϕ∈[0,2π），∴ φ=π4.
故答案为：π4.
四、解答题
【答案】
解：(1)∵ (z1−2+i)(1+i)=1−i，
∴ z1=1−i1+i+2−i=−i+2−i=2−2i，
∴ |z1|=4+4=22.
(2)设z1=a+2i，
则z1z2=(2−2i)(a+2i)=(2a+4)(4−2a)i，
∵ z1z2为实数，
∴ 4−2a=0，解得：a=2，
∴ z2=2+2i．
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
复数的模
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ (z1−2+i)(1+i)=1−i，
∴ z1=1−i1+i+2−i=−i+2−i=2−2i，
∴ |z1|=4+4=22.
(2)设z1=a+2i，
则z1z2=(2−2i)(a+2i)=(2a+4)(4−2a)i，
∵ z1z2为实数，
∴ 4−2a=0，解得：a=2，
∴ z2=2+2i．
【答案】
解：(1)由余弦定理知，a2=b2+c2−2bccsA，
即48=36+c2−2×6c×(−13)，
整理得，c2+4c−12=0，
解得c=2或 c=−6（舍去）．
故c=2.
(2)∵csA=−13，且A∈(0，π)，
∴sinA=1−cs2A=223.
由正弦定理知， asinA=bsinB，
即43223=6sinB，
∴sinB=63，
∴cs2B=1−2sin2B=−13.
【考点】
余弦定理
正弦定理
二倍角的余弦公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由余弦定理知，a2=b2+c2−2bccsA，
即48=36+c2−2×6c×(−13)，
整理得，c2+4c−12=0，
解得c=2或 c=−6（舍去）．
故c=2.
(2)∵csA=−13，且A∈(0，π)，
∴sinA=1−cs2A=223.
由正弦定理知， asinA=bsinB，
即43223=6sinB，
∴sinB=63，
∴cs2B=1−2sin2B=−13.
【答案】
解：(1)因为向量a→=3,2，b→=2,−1，
所以a→+kb→=3+2k,2−k，
ka→+b→=3k+2,2k−1，
因为a→+kb→与ka→+b→平行，
所以3+2k2k−1−2−k3k+2=0，
即k2=1，所以k=±1．
(2)因为向量a→=3,2，b→=2,−1，
所以λa→−b→=3λ−2,2λ+1，
a→+λb→=3+2λ,2−λ，
因为λa→−b→与a→+λb→垂直，
所以3λ−2,2λ+1⋅3+2λ,2−λ=0，
所以3λ−23+2λ+2λ+12−λ=0，
解得λ=−1±2．
【考点】
平行向量的性质
平面向量的坐标运算
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
1
1
【解答】
解：(1)因为向量a→=3,2，b→=2,−1，
所以a→+kb→=3+2k,2−k，
ka→+b→=3k+2,2k−1，
因为a→+kb→与ka→+b→平行，
所以3+2k2k−1−2−k3k+2=0，
即k2=1，所以k=±1．
(2)因为向量a→=3,2，b→=2,−1，
所以λa→−b→=3λ−2,2λ+1，
a→+λb→=3+2λ,2−λ，
因为λa→−b→与a→+λb→垂直，
所以3λ−2,2λ+1⋅3+2λ,2−λ=0，
所以3λ−23+2λ+2λ+12−λ=0，
解得λ=−1±2．
【答案】
解：(1)csπ−xcsπ2+x=csxsinx，
sin−xsin3π2+x=sinxcsx，
∴2csπ−xcsπ2+x+sin−xsin3π2+x=3sinxcsx，
cs2π−xcsπ+x=−cs2x，
∴fx=3sinxcsx−2cs2x=−32tanx．
(2)由fα=−3，知：−32tanα=−3，
即tanα=2，
又tanα+π4=1+tanα1−tanα，
所以tanα+π4=−3．
【考点】
诱导公式
两角和与差的正切公式
【解析】
(1)根据诱导公式化简分子、分母，即可得fx=3sinxcsx−2cs2x，进而可得最简形式；
(2)根据两角和的正切公式有tanα+π4=1+tanα1−tanα，结合已知f(α)=−3求tanα，即可求函数值．
【解答】
解：(1)csπ−xcsπ2+x=csxsinx，
sin−xsin3π2+x=sinxcsx，
∴2csπ−xcsπ2+x+sin−xsin3π2+x=3sinxcsx，
cs2π−xcsπ+x=−cs2x，
∴fx=3sinxcsx−2cs2x=−32tanx．
(2)由fα=−3，知：−32tanα=−3，
即tanα=2，
又tanα+π4=1+tanα1−tanα，
所以tanα+π4=−3．
【答案】
解：(1)要使函数 f(x) 有意义，则x+2>0,2−x>0,
解得 −2故所求函数f(x)的定义域为(−2,2).
(2)由(1)知 f(x) 的定义域为(−2,2)，
设∀x∈(−2,2) ，则−x∈(−2,2)，
且f(−x)=lg(−x+2)−lg(2+x)=−f(x)，故f(x)为奇函数.
(3)因为f(x)>1 ，所以x+22−x>10，解得x>1811.
所以不等式 f(x)>1 的解集是(1811,2).
【考点】
指、对数不等式的解法
对数函数的定义域
函数奇偶性的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)要使函数 f(x) 有意义，则x+2>0,2−x>0,
解得 −2故所求函数f(x)的定义域为(−2,2).
(2)由(1)知 f(x) 的定义域为(−2,2)，
设∀x∈(−2,2) ，则−x∈(−2,2)，
且f(−x)=lg(−x+2)−lg(2+x)=−f(x)，故f(x)为奇函数.
(3)因为f(x)>1 ，所以x+22−x>10，解得x>1811.
所以不等式 f(x)>1 的解集是(1811,2).
【答案】
解：(1)当0当x≥40时，Lx=9×100x−901x−10000x+4300−2500=1800−x+10000x；
所以L(x)=−10x2+400x−2500,0答：2020年的利润Lx （万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为L(x)=−10x2+400x−2500,0(2)当0当x=20时， Lxmax=1500，
当x≥40时，Lx=1800−x+10000x
≤1800−2x⋅10000x
=1800−200=1600．
（当且仅当x=10000x即x=100时，“="成立）
因为1600>1500，
所以，当x=100时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1600万元．
【考点】
分段函数的应用
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
本题关键点在能够读懂题意，明确利润Lx也分0【解答】
解：(1)当0当x≥40时，Lx=9×100x−901x−10000x+4300−2500=1800−x+10000x；
所以L(x)=−10x2+400x−2500,0答：2020年的利润Lx （万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为L(x)=−10x2+400x−2500,0(2)当0当x=20时， Lxmax=1500，
当x≥40时，Lx=1800−x+10000x
≤1800−2x⋅10000x
=1800−200=1600．
（当且仅当x=10000x即x=100时，“="成立）
因为1600>1500，
所以，当x=100时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1600万元．

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