2021-2022学年广东省揭阳市普宁市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年广东省揭阳市普宁市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 复数的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段与线段所在的直线(    )

A. 平行
B. 相交
C. 是异面直线
D. 可能相交，也可能是异面直线

3. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则(    )

A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B. 讲座后问卷答题的正确率的中位数大于
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

4. 已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则

5. 在中，角，，所对的边分别是，，，，，，则(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

6. 若随机事件，满足，，，则事件与的关系是(    )

A. 互斥 B. 相互独立 C. 互为对立 D. 互斥且独立

7. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则(    )

A.
B. 与平面所成的角为
C.
D. 与平面所成的角为

8. 如图，在中，，，交于点，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 已知复数为虚数单位，对于复数的以下描述，正确的有(    )

A.  B.
C. 的共轭复数为 D. 在复平面内对应的点在第三象限

10. 已知点与点在所在平面内，且，，则点，分别是的(    )

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

11. 一个袋子中装有除颜色外完全相同的个球，其中有个红球，个白球，每次从中随机摸出个球，则下列结论中正确的是(    )

A. 若不放回的摸球次，则恰有次摸到红球的概率为
B. 若不放回的摸球次，则第一次摸到红球的概率为
C. 若不放回的摸球次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为
D. 若有放回的摸球次，仅有前次摸到红球的概率为

12. 在正方体中，，点在线段上运动，点在线段上运动，则下列说法中正确的有(    )

A. 当为中点时，三棱锥的外接球半径为
B. 线段长度的最小值为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 平面截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形
 

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量，则向量的单位向量的坐标是______．
14. 为了解某地居民月收入情况，一个社会调查机构调查了人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这人中抽出人进一步调查，则月收入在单位：元内的应抽取______人．

15. 正四面体相邻两侧面所成二面角的正弦值是________
16. 某市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周六和周日不限行．某公司有，，，，五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知车周四限行，车昨天限行，从今天算起，，两车连续四天都能上路行驶，车明天可以上路，由此可推测出今天是星期______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知，，
    设，的夹角为，求的值；
    若向量与互相垂直，求的值．
18. 在中，．
    求；
    若，的面积为，求的值．
19. 圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，，，．
    证明：面；
    求圆柱的体积．

20. 中国制造是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的产品中随机抽取了件，检测产品的某项指标值，根据检测数据得到如表单位：件

估计产品的某项质量指标值的百分位数；
估计这组样本的质量指标值的平均数和方差同一组中的数据用该组区间中点值作代表；
设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？参考数据：，

21. 如图，直线与的边，分别相交于点，设，，，，请用向量方法证明：．

22. 重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的项点为，，设．
    
    Ⅰ将，用含有的关系式表示出来；
    Ⅱ该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则复数的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，先化简，再结合虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图，将展开图还原成长方体，易得线段与线段是异面直线，

故选：．
将展开图还原成长方体，即可判断．
本题考查了空间中直线与直线的位置关系，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：对于，名社区居民在讲座前问卷答题的正确率分别为，，，，，，，，，，
从小到大排列为，，，，，，，，，，所以其中位数为，所以A错误，
对于，名社区居民在讲座后问卷答题的正确率分别为，，，，，，，，，，
则从小到大排列为，，，，，，，，，，所以其中位数为，所以B正确，
对于，因为讲座前问卷答题的正确率比讲座后问卷答题的正确率的数据分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错误，
对于，讲座前问卷答题的正确率的极差为，讲座后问卷答题的正确率的极差，所以讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，所以D错误，
故选：．
对于，根据中位数的定义求解判断，对于，根据数据的集中程度判断，对于，根据极差的定义判断．
本题考查极差，标准差，考查学生的推理运算能力，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于，即，，若和在一个平面内，并且相交，
则垂直于，所确定的平面，即与的夹角可以不等于，故A错误；
对于，若，，如图：

则与可平行，可相交，故B错误；
对于，若，，则与平行或相交，或，故C错误；
对，若，，则，又，则，故D正确；
故选：．
根据每项所提供的条件，思考可能的图像，或者推理，逐项分析．
本题考查了空间中线线，线面，面面的位置关系，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由正弦定理得，，即，得，
所以，
因为，所以，所以，即．
故选：．
先利用正弦定理求出，再由同角三角函数的平方关系求得，但需要注意根据“大边对大角”的性质，对的值进行取舍．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，同角三角函数的平方关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：随机事件，满足，，，
，
则事件与的关系是相互独立事件．
故选：．
利用互斥事件、相互独立事件、对立事件的定义直接求解．
本题考查互斥事件、相互独立事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，，不妨令，

在长方体中，面，面，
所以和分别为与平面和平面所成的角，
即，
所以在中，，，
在中，，，
所以，，，
故选项A，C错误，
由图易知，在平面上的射影在上，
所以为与平面所成的角，
在中，，
故选项B错误，
如图，连接，

则在平面上的射影为，
所以为与平面所成的角，
在中，，所以，
所以选项D正确，
故选：．
不妨令，可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求解．
本题考查了直线与平面所成角，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，
所以，
因为，，三点共线，所以，解得，
所以，
因为，所以，，
所以．
故选：．
设，根据平面向量的线性运算法则，推出，由，，三点共线，知，求得的值，再代入运算，得解．
本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的加法，减法和数乘的运算法则，以及三点共线的条件是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
：，A错误，
：，B正确，
：的共轭复数为，C错误，
：在复平面内对应的点在第三象限，D正确．
故选：．
先化简复数，利用求模公式判断，利用复数的乘法运算判断，利用共轭复数的定义判断，利用复数得到其在复平面内对应点的坐标判断．
本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
点到三角形三个顶点的距离相等，即为三角形的外心，
如图，设时的中点，则，
，
，
，
又与有公共点，
，，三点共线，
点在边的中线上，
点为重心，
故选：．
由可得到，，三点距离相等，得出是三角形的外心，结合图形可得与的关系，可解．
本题考查了向量的运算，以及三角形五心的相关知识，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，若不放回的摸球次，则恰有次摸到红球的概率为，故A正确；
对于，若不放回的摸球次，则第一次摸到红球的概率为，故B错误；
对于，若不放回的摸球次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为，故C正确；
对于，若有放回的摸球次，仅有前次摸到红球的概率为，故D正确．
故选：．
根据给定条件，用古典概型的概率公式判断，用条件概率公式判断即可．
本题考查古典概型的概率公式及条件概率公式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，当为中点时，

是正方形，，
平面，平面，，
，、平面，平面，
平面，平面平面，
易知外接圆圆心为中点，外接圆圆心为中点，
则过外接圆圆心作平面的垂线，过外接圆圆心作平面的垂线，
易知两垂线交点为中点，则三棱锥的外接球球心即为中点，
外接球半径即为，故A正确；
对于，如图过作于，过作于，

易知，故线段长度的最小值为，故B正确；
对于，

，平面，平面，平面，
，故到平面的距离为定值，又为定值，则为定值，故C正确；
对于，易知，截面与平面的交线始终为，连接，
易知，过作交于，连接、，则即为截面，其最多为四边形：

当与重合，与重合，此时截面为三角形：

平面截该正方体所得截面不可能为五边形，故D错误
故选：．
：易知三棱锥的外接球球心为中点，据此即可求解判断；：根据几何图形即可判断线段长度的最小值为；：易知为定值；：作出平面与正方体各个面的交线即可判断其形状．
本题主要考查棱柱的结构特征，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，则，
向量的单位向量为．
故答案为：．
先根据求，再代入向量的单位向量为运算求解．
本题主要考查与向量的单位向量的求法，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：月收入在的频率为，
故应抽取人．
故答案为：．
根据频率分布直方图求出的频率，从而可求出应抽取的人数．
本题考查分层抽样方法，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中确定即为相邻两侧面所成二面角的平面角，是解答本题的关键，
由已知中正四面体的所有面都是等边三角形，取的中点，连接，，由等腰三角形“三线合一”的性质，
易得即为相邻两侧面所成二面角的平面角，解三角形即可得到正四面体所有面都是等边三角形的三棱锥相邻两侧面所成二面角的余弦值．
【解答】
解：取的中点，连接，，如下图所示：

设四面体的棱长为，则，
且，，则即为相邻两侧面所成二面角的平面角，
在中，，
故正四面体所有面都是等边三角形的三棱锥相邻两侧面所成二面角的正弦值是．
故答案为：．  

16.【答案】四 

【解析】解：由题意，，只能在每周前三天限行，
又昨天限行，车明天可以上路，因此今天不能是一周的前天，
因此今天是周四．这样周一、周二，限行，周三限行，周四限行，周五限行．满足题意．
故答案为：四．
从，考虑，它们只能在前三天限行，考虑到昨天行，还有，的限制，今天是周四．
本题考查合情推理，考查学生的推理能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：，，，的夹角为，
，

；
因为向量与互相垂直，
所以，
即，
因为，，
所以． 

【解析】本题考查向量的数量积以及向量的夹角的求法与应用，考查计算能力，属于基础题．
利用已知条件通过向量的数量积求解即可；
利用向量垂直，数量积为，转化求解即可．
 

18.【答案】解：在中，，
由正弦定理可得：，
即，又，，
故，
．
由，的面积为，
，解得，因为，，
由余弦定理可得：，
可得． 

【解析】利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解大小即可．
通过三角形的面积公式求解，然后利用余弦定理求解即可．
本题正弦定理以及余弦定理，两角和与差的三角函数的应用，是中档题．
 

19.【答案】证明：连接，，，
可得平面．
平面，
，
，
四边形为平行四边形，
，
且，
四边形为平行四边形，
，平面，
平面，
平面

解：连接．
，．
垂直上底面，，
，平面，平面，
，
，
为等腰直角三角形，，
圆柱的体积为． 

【解析】连接，，，根据面面垂直的性质，可得，证明四边形为平行四边形，从而可得，再证明四边形为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；
连接，证明平面，从而可得，即可求得圆柱的底面圆的半径和高，再根据圆柱的体积公式即可得
本题考查圆柱的体积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：设产品的某项质量指标值的百分位数为，
则，
解得．
由题可知：
，
．
由，知，
则，，
该抽样数据落在内的频率约为，
，，
该抽样数据落在内的频率约为，
可以判断技术改造后的产品质量初稳定，但不能判定生产线技术改造成功． 

【解析】利用百分位数定义、计算公式直接求解．
利用平均数和方差计算公式直接求解．
根据定义先求出，，，，再利用频率分布表能求出结果．
本题考查百分数、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

21.【答案】解：，则，即．
又．
．
即． 

【解析】根据图形易得，结合数量积可得，根据数量积的定义代入运算整理即可，注意向量夹角的分析理解．
本题主要考查向量的数量积公式，属于中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ在中，
由正弦定理可知，
则，
由正弦定理可得，
则．
Ⅱ，
，
在中，由余弦定理可知

，
，，

当时，即时，
取最大值，

，

，
即当时，取最大值． 

【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查正弦定理在解三角形中的应用，考查数学建模的核心素养，属于较难题．
Ⅰ在中，结合正弦定理可将，用来表示；
Ⅱ先求出，在中，由余弦定理可求出用来表示，再利用三角恒等变换结合三角函数图象求最值即可得到答案．