2021-2022学年黑龙江省佳木斯市第一中学高一上学期12月月考数学试题含解析

这是一份2021-2022学年黑龙江省佳木斯市第一中学高一上学期12月月考数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年黑龙江省佳木斯市第一中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：集合，集合，所以,故选D.【解析】1、一元二次不等式；2、集合的运算.2．函数的定义域为（    ）A．（－∞,3] B．（1,3] C．（1,＋∞） D．（－∞,1）∪[3,＋∞）【答案】B【分析】由根式内部的代数式大于等于0 ,对数式的真数大于0联立不等式组求解.【详解】要使函数有意义，则，解得，函数的定义域为，故选B.【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.3．下列函数中既是偶函数，最小正周期又是的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由于函数 y=sin2x周期为π，不是偶函数，故排除A．由于函数y=cosx周期为2π，是偶函数，故排除B．由于函数y=tanx是周期函数，且周期为π，但它不是偶函数，故排除C．由于函数 y=|tanx|是周期函数，且周期为π，且是偶函数，故满足条件，故选D．4．函数的零点所在的区间为　　A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知条件分别求出，，由此利用零点存在性定理能求出结果．【详解】函数，在时，是连续增函数，，，，函数函数零点所在大致区间是．故选D．【点睛】本题考查函数的零点所在区间的判断，注意函数性质和零点存在性定理的合理运用，是基础题．5．某扇形的圆心角为，所在圆的半径为，则它的面积是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题得所以它的面积是故选A.6．函数f(x)=的值域是（       ）A．(-∞，1) B．(0，1)C．(1，+∞) D．(-∞，1)∪(1，+∞)【答案】B【分析】根据的范围，利用不等式法，即可求得函数值域.【详解】∵3x+1>1，∴0<<1，∴函数的值域为(0，1).故选：.【点睛】本题考查利用不等式法求指数型复合函数值域的求解，属基础题.7．已知，，则的大小关系为（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】易知，，，根据的范围即可比较出结果.【详解】解：易知，，，所以.故选C.【点睛】本题考查指数、对数大小的比较，找中间值是比较大小常用的一种方法，属于基础题.8．函数的一个单调递增区间是（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的单调递增区间.即可选出答案.【详解】因为在区间上单调递增.所以所以的单调递增区间为.当时: 区间为：.故选：A.【点睛】本题考查正切函数的单调区间.属于基础题.9．将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位后，得到函数的图象，那么所得图象的一条对称轴方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的图象变换规律得到的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性可求所得图象的一条对称轴方程.【详解】将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得的图象；再将所得图象向左平移个单位后，得到函数的图象，令，求得，时得图象的一条对称轴方程为,故选A.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题. 能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.10．函数的图象大致为（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由排除不正确的选项，从而得出答案..【详解】详解：为奇函数，排除A,，故排除D.，当时，，所以在单调递增，所以排除C；故选：B.11．关于有以下命题，其中正确的个数（　　）①若，则;②图象与图象相同;③在区间上是减函数;④图象关于点对称.A．1 B．0 C．3 D．2【答案】C【分析】由结合的性质分别判断即可.【详解】由，.若，则.①错误..②正确.当时，，在区间上单调递减. 故在区间上是减函数.③正确.当时，，关于对称. 图象关于点对称. ④正确.故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数的性质.属于基础题.熟练掌握的相关性质是解本题的基础.12．已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】把方程有三个不同的实根转化为函数的图象与有三个不同交点，画出函数图象，数形结合可得，从而求得实数的范围.【详解】解：，，，显然不合题意，因此，方程有三个不同的实根，即函数的图象与有三个不同交点. 作出函数的图象如图：由图可知：，得. ∴实数的范围是. 故选：B.  二、填空题13．______．【答案】【详解】.14．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：x22.99456.002y48.0215.993264.01现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律：①；②；③；④其中最接近的一个是 _______ （只填序号）【答案】④【分析】将分别带入①②③④，即可得出答案.【详解】x22.99456.002y48.0215.993264.01①45.98810120.04②1.53.977.5121800.70③11.5822.325.91④47.94163264由表格数据可知其中最接近的一个是④.故答案为：④.【点睛】本题考查函数模型的建立.属于基础题.15．已知函数，若在R上单调递增，则实数的取值范围为__________．【答案】【分析】分段函数在R上单调递增，则在每一段上都单调递增，且在分段处左边函数值小于或等于右边的函数值，据此列式求解即可.【详解】由题可知，.故答案为：.16．关于的方程恒有实数解，则实数的取值范围是__________．【答案】【详解】关于x的方程4cosx﹣cos2x+m﹣3=0，化为m=cos2x﹣4cosx+3=（cosx﹣2）2﹣1，因为cosx∈[﹣1，1]，所以cosx﹣2∈[﹣3，1]，m∈[0，8]．方程4cosx﹣cos2x+m﹣3=0恒有实数解，则实数m的取值范围是：[0，8]．故答案为[0，8]．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 三、解答题17．已知．(1)化简；(2)若，求的值．【答案】(1))(2)【分析】（1）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简即可；（2）由（1）可得，利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；【详解】(1)解：，即；(2)解：由（1）得到，所以18．如图为函数的部分图象． (1)求函数解析式；(2)求函数的单调递增区间及对称轴方程；【答案】(1)(2)单调递增区间为；对称轴方程为【分析】（1）根据图像可分别求出、、,则可写出答案.（2）根据在区间上单调递增；的对称轴方程为.则可求出答案.【详解】(1)由图可知.,又.将代入所以，又.所以.(2)因为在区间上单调递增.所以解得：.所以的单调递增区间为；因为的对称轴方程为.所以.所以函数的对称轴方程【点睛】本题考查正弦型函数的性质.属于基础题.19．已知函数(1)求函数的最小正周期;(2)当时，求的最值，并指明相应的值．【答案】(1)(2)，最小值，时，最大值【分析】（1）直接根据正弦函数的周期性即可得解；（2）根据正弦函数的性质结合整体思想即可得出答案.【详解】(1)解：因为所以f(x)的最小正周期T=；(2)解：由可得，所以当，即时，取得最小值，当，即时，取得最大值．20．已知是定义在上的偶函数，且当时，（1）求函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【分析】（1）令，则，由函数为R上的偶函数，得到，进而可求得函数的解析式；（2）根据复合函数的单调性，可得在上单调递增，在上单调递减，把不等式转化为或，即可求解．【详解】（1）由题意，令，则，因为是定义在上的偶函数，所以，即当时，，所以函数的解析式为．（2）由内层函数在上单调递减，外层函数在上单调递减，根据复合函数的单调性，可得在上单调递增，又是定义在上的偶函数，所以在上单调递减，又由，可得或，即或，解得或．即实数的取值范围或．【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数的单调性的应用，其中熟记函数的单调性与奇偶性，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．21．已知定义域为的函数是奇函数（1）求的值（2）判断并证明该函数在定义域上的单调性（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1） （2）减函数，证明见解析（3）【分析】(1)由题意结合确定实数a的值即可；(2)由题意结合函数单调性的定义确定函数的单调性即可；(3)由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性脱去f符号，结合恒成立的结论求解实数的取值范围即可.【详解】（1）由题设，需．经验证，为奇函数，（2）减函数.证明：任取，，，，所以在上是减函数.（3）由得，是奇函数，，由（2）知在是减函数，故原问题可化为即：对任意恒成立，，解得.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题.22．已知，当时，.（Ⅰ）若函数过点，求此时函数的解析式；（Ⅱ）若函数只有一个零点，求实数的值；（Ⅲ）设，若对任意实数，函数在上的最大值与最小值的差不大于1，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）【详解】试题分析：（Ⅰ）将点 代入可得函数的解析式；（Ⅱ）函数有一个零点，即 ，根据对数运算后可得 ，将问题转化为方程有一个实根，分 和 两种情况，得到 值，最后再代入验证函数的定义域；（Ⅲ）首先根据单调性的定义证明函数的单调性，再根据函数的最大值减最小值 整理为 ，对任意 恒成立， 时，区间为函数的单调递增区间，所以只需最小值大于等于0，求解 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）函数过点，， ， 此时函数（Ⅱ）由得，化为，当时，可得，经过验证满足函数只有一个零点； 当时，令解得，可得，经过验证满足函数只有一个零点， 综上可得：或.（Ⅲ）任取且，则，，即，在上单调递减. 函数在区间上的最大值与最小值分别为，，整理得对任意恒成立， 令，函数在区间上单调递增， ，即，解得，故实数的取值范围为.【点睛】本题以对数函数为载体，考查了函数的零点，单调性，最值，恒成立问题，以及转化与化归的能力，综合性比较高，最后一问转化为了二次函数的问题，所以需熟练掌握二次函数的恒成立问题.