2021-2022学年天津市静海区四校高一上学期11月阶段性检测数学试题含解析

2021-2022学年天津市静海区四校高一上学期11月阶段性检测

数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出集合，再进行补集和交集运算即可求解.

【详解】，

因为，可得，

因为，所以，

故选：C．

2．设，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】解出不等式，然后可得答案.

【详解】由可得，然后可得

因为由可以推出，反之不成立

所以“”是“”的充分不必要条件

故选：A

3．命题,则为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.

【详解】由全称命题的否定是特称命题,命题,

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,属于基础题.

4．若为实数，且，则下列命题正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对于A，当时，，可判断；

对于B，举反例，当，时，代入比较可判断；

对于C，作差 ，由已知可判断；

对于D，运用作差比较法可判断.

【详解】对于A，当时，，A错误；

对于B，当，时，，，此时，B错误；

对于C，因为，所以，又，，C错误；

对于D，，，，，

，D正确.

故选：D.

5．下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据幂函数、指数函数的性质及函数奇偶性的定义即可求解.

【详解】解：对A：由指数函数的性质知，不具有奇偶性，故选项A错误；

对B：因为，所以为奇函数，又根据幂函数的性质知在上是增函数，故选项B正确；

对C：因为为偶函数，故选项C错误；

对D：因为在上是减函数，故选项D错误.

故选：B.

6．函数在单调递增，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】直接由抛物线的对称轴和区间端点比较大小即可.

【详解】函数为开口向上的抛物线，对称轴为

函数在单调递增，则，解得.

故选：A.

7．函数取最小值时的值等于（       ）

A．3 B． C． D．4

【答案】A

【分析】先对目标函数进行配凑，利用基本不等式即可求得结果.

【详解】因为，

因为，故，

由基本不等式可得：；

当且仅当，且时取得最小值.

解得.

故选：A.

8．下列函数中与相等的函数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】若两个函数是相等函数，则两个函数的定义域相等，对应关系相同，依次判断选项.

【详解】的定义域为，

A.的定义域为，所以不是同一函数；

B.的定义域是，并且，对应关系也相同，所以是同一函数；

C.的定义域为，但，对应关系不相同，所以不是同一函数；

D.的定义域为，定义域不相同，所以不是同一函数.

故选：B

9．幂函数在上是减函数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用幂函数的定义以及幂函数的定义即可求解.

【详解】，或.

当时，在上是增函数，排除；

当时，在上是减函数，∴.

故选：.

【点睛】本题考查了幂函数的定义、幂函数的性质，属于基础题.

10．已知偶函数在上单调递增，则下列关系成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由在上单调递增，可得，再有，即得解.

【详解】由题意，函数为偶函数，故

又在上单调递增，且，

故，即

故选：D

二、填空题

11．已知函数，___________.

【答案】9

【分析】由分段函数解析式求，再由所得函数值代入解析式求.

【详解】由解析式知：，

∴.

故答案为：9.

12．已知，，且，求的最小值_________．

【答案】8

【分析】由题意，得到，展开后，由基本不等式，即可得出结果.

【详解】由题得，

当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.

13．___________.

【答案】

【分析】由分数指数幂的运算性质及对数的运算性质即可求解.

【详解】解：，

故答案为：.

14．已知为奇函数，当时，，则___________.

【答案】

【分析】根据奇函数的定义及已知条件即可求解.

【详解】解：因为为奇函数，当时，，

所以，

故答案为：.

15．已知函数（且）恒过定点P，则点P的坐标为___________.

【答案】

【分析】指数函数必然满足，取指数为0即可求得定点.

【详解】由知，当时，，即过定点.

故答案为：

16．给定函数，，，用表示，中的最小者，记请用解析法表示函数___________.

【答案】

【分析】先由不等式求出的范围，可知此时函数为，从而可求得的解析式

【详解】由，得，

所以当时，，

当或时，，

综上，，

故答案为：

三、解答题

17．已知不等式的解集为A，不等式的解集为.

(1)求；

(2)若不等式的解集为，求不等式的解集.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）解不等式求出集合，进而求出；（2）根据韦达定理求出，，进而求出的解集.

(1)

，解得：，所以，解得：，所以，所以

(2)

，由题意得：，，所以，，不等式，即，解得：或，不等式解集为或

18．已知集合，集合．

(1)当时，求、；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先求出集合，，，然后结合集合的交、并运算求解即可；

（2）由，得，然后结合集合的包含关系对B是否为空集进行分讨论，即可求解．

(1)

解：由题意得，，

当时，，

，．

(2)

解：由，得，

当，即时，，满足题意；

当时，，解得，

综上，a的取值范围为．

19．（1）设函数.若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）由题设知对一切实数恒成立，根据二次函数的性质列不等式组求参数范围.

（2）分类讨论法求一元二次不等式的解集.

【详解】（1）由题设，对一切实数恒成立，

当时，在上不能恒成立；

∴，解得.

（2）由，

∴当时，解集为；

当时，无解；

当时，解集为；

20．（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式；

（2）已知函数①求，，；②若，求a的值．

【答案】（1）；（2）①，，；②或.

【分析】（1）待定系数法，设，便可由得出，从而可求出，，即得出的解析式；

（2）①利用对应法则即可得到结果；②逆用法则可得结果.

【详解】（1）设，则：

，；

；

；

，；

．

（2）函数

①，，，

；

②当时，，，

又，∴；

当时，，，

又，∴；

当时，，，

又，∴此时无解.

综上，或.

21．已知函数

(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)证明：函数在上是增函数；

(3)求函数，的最大值和最小值

【答案】(1)奇函数，证明见解析

(2)证明见解析

(3)函数的最大值为3，最小值为

【分析】（1）求出函数的定义域，利用奇偶性的定义即可判断；

（2）利用函数单调性的定义即可证明；

（3）由（1）（2）可判断函数在上也单调递增，从而即可求出函数的最大值和最小值．

(1)

解：函数的定义域为，定义域关于原点对称，

因为，

所以函数是奇函数；

(2)

证明：任取，且，

则＝＝＝，

因为0＜x1＜x2，所以＜0，且，

所以，即，

所以函数在上单调递增；

(3)

解：由（1）（2）知函数在上单调递增，且函数是奇函数，

所以在上也单调递增，

所以当时，，

所以函数的最大值为3，最小值为．